原題は『The First Six Books of the Elements of Euclid』、著者は Euclid、解説は John Casey です。
　例によって、プロジェクト・グーテンベルグさまに御礼。
　図版は省略しました。索引が無い場合、それは私が省いたか、最初から無いかのどちらかです。
　以下、本篇。（ノー・チェックです）

*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍開始 ユークリッド原論第1巻から第6巻 ***

制作ノート

コーネル大学図書館は、修復不可能なほど劣化していた原本を 置き換えるために、本書を作成しました。本書は、ゼロックス社の
ソフトウェアと機器を用いて600dpiの解像度でスキャンされ、
CCITTグループ4圧縮方式で圧縮された後、保管されました。デジタルデータは 、ANSI規格Z39.48-1984に準拠した紙に
印刷され、コーネル大学の代替版として活用されました。 本書の作成は、保存・アクセス委員会およびゼロックス社からの支援を受けて行われました。デジタルファイルの著作権は、1991年にコーネル大学図書館に帰属します。

翻訳者注：索引は、この版のページ番号に合わせて再作成されています。著者は「誤植はほとんど見過ごされていないだろう」と述べていますが、実際には いくつかあり、それらは修正され、本文末尾に記載さ れています。

コーネル大学図書館

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エヴァン・ヴィルヘルム・エヴァンス
数学神学校図書館

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ルシアン・オーガスタス・ウェイト の贈り物

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ユークリッド哲学の要素

準備完了

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価格3s。

初等三角法に関する論文、
多数の例題と試験問題付き。

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第三版、改訂増補版、価格3シリング6ペンス、布装。 ユークリッド原論
の最初の6巻の続編で、現代幾何学への簡単な入門書です。多数の例題付き。

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第三版、価格4シリング6ペンス。または2部構成で各2シリング6ペンス。
ユークリッド原論、第1巻
～第6巻、および第11巻命題1～21。円柱、球、円錐など
に関する付録付き。豊富な注釈と多数の練習問題付き。

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価格6シリング。 ケーシー著『ユークリッド原論』
第1巻から第6巻までの練習問題の解答集。

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価格7シリング6ペンス

点、線、円、円錐曲線の解析幾何学に関する論文。
最新の拡張に関する説明
と多数の例を含む。

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ダブリン：HODGES, FIGGIS, & CO.
ロンドン：LONGMANS & CO.

ユークリッド原論の最初の6巻、
第11巻の命題1～21、および円柱、球、円錐などに関する付録。豊富な注釈と多数の練習問題付き。

による

ジョンケーシー、法学博士、王立協会フェロー

アイルランド王立大学フェロー、
アイルランド王立アカデミー評議員、
ロンドンおよびフランスの数学協会会員、アイルランド・カトリック大学
高等数学および数理物理学教授。

第三版、改訂増補版。

ダブリン：HODGES, FIGGIS, & CO., GRAFTON-ST.

ロンドン：ロングマンズ、グリーン＆カンパニー

1885年。

ダブリン

大学出版局で印刷、

ポンソンビーとウェルドリック著

序文。

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アイルランド有数の大学や学校の校長たちの要請を受けて編纂された本書『ユークリッド原論』は、現代の教師たちが切望していたニーズに応えることを目的としています。それは、比類なき原典を完全な形で提供しつつ、原論が扱う幾何学分野の現代的な概念や発展も網羅した作品を生み出すことです。本書をざっと見ていただければ、編者がこの後者の方向において、これまでの編者たちよりもはるかに進んだことがお分かりいただけるでしょう。なぜなら、本書には、編者が知る限り、他のどの編者よりも多くの実際の内容が含まれているだけでなく、編者が知る限り、この主題に関するこれまでのどの著作にも見られない特別な内容も多く含まれているからです。近年の幾何学的手法の大きな発展により、このような著作は学生にとって不可欠なものとなっています。本書は、学生が現代の数学書を効果的に読むだけでなく、初等幾何学の正確な知識を必要とする現代の数学書を理解​​するためにも必要であり、実際、本書はそうした数学書への最良の入門書と言えるでしょう。

編者は、本書の編纂にあたり、故タウンゼント牧師教授から貴重な支援を受けた。、s . f . t . c . d。この本は彼の提案に従って書き直され、大幅に変更されたので、この本が持つ価値の大部分はその著名な幾何学者に負っている。

第1巻の冒頭部分にある試験問題は、あくまでも見本であり、教師はこれを全編を通して活用すべきである。指導経験のある者であれば、初等幾何学の指導においてこのような試験がいかに重要であるかをよく理解しているだろう。

800を超える演習問題はすべて、細心の注意を払って選ばれています。各巻の本文にある演習問題は、ユークリッドの命題の応用として意図されています。それらはほとんどが初歩的な性格のものであり、ほぼすべてが以前のコレクションにすでに掲載されているため、共通の財産とみなすことができます。各巻の末尾にある演習問題はより高度なもので、いくつかは故タウンゼント教授によるもので、いくつかはオリジナルであり、多数は2つの重要なフランスの著作、カタランの著作から引用されています。 Th éor èmes et Probl èmes de G éom étrie El émentaire、およびTrait é de G éom étrie、R o u c é著そして デ・コンベロウズ​​​​​​​​​​。

第2版​​は徹底的に改訂され、大幅に増補されました。新たな内容としては、いくつかの代替証明、各巻に関する重要な試験問題、比較不可能な量の比の説明、第11巻の最初の21の命題、そして角柱、角錐、円柱、球、円錐の性質に関する付録が含まれています。

本書は全体を通して非常に丁寧に校正されており、誤植はほとんど見落とされていないと確信しております。

編集者は、本書の以前の版（各3000部）が急速に売れ、学校で広く採用されていることから、本書が執筆時に掲げた二つの目的、すなわち、偉大なギリシャの幾何学者の不朽の業績に関する徹底的な知識を学生に提供すると同時に、現代幾何学の最も重要な概念や発展のいくつかを紹介するという目的を達成できる見込みであることを喜んでいます。

ジョン・ケイシー。

ダブリン、サウス・サーキュラー・ロード86番地。​​​​​​​​​​​​​​​
1885年11月。
コンテンツ

ユークリッド哲学の要素

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導入。
幾何学は図形空間の学問である。図形空間は、線、面、立体から構成されるかによって、一次元、二次元、三次元に分類される。立体の境界は面であり、面の境界は線であり、線の境界は点である。したがって、立体、面、そして面上に描かれた図形の性質を研究するのが幾何学の領域である。すべての面の中で最も単純なのは平面であり、平面上に描かれた線と曲線を扱う幾何学の分野は平面幾何学と呼ばれ、立体、曲面、そして曲面上に描かれた図形の性質を研究する分野は三次元幾何学と呼ばれる。平面上に描くことができる最も単純な線は直角直線と円であり、点、直角直線、円の性質の研究は幾何学の入門であり、幾何学の広範かつ重要な分野を形成している。これは、現存する最古の数学書であるユークリッドの『原論』が書かれた幾何学の分野であり、本書の主題でもある。円錐曲線や平面上に記述できるその他の曲線は特別な分野を形成し、あらゆる科学の中で最も包括的なこの分野の区分を完成させる。学生はシャールの 『Aper çu Historique』は、幾何学の方法の起源と発展に関する貴重な歴史書です。

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以下の課題では、図が描かれていない場合は、学生は与えられた指示に従って図を作成する必要があります。ユークリッドの命題は大きな活字で印刷され、括弧で囲まれたローマ数字で参照されます。したがって、[III. x x x i i . ] は第3巻の第32命題を表します。巻の番号は、参照されている巻と異なる場合にのみ示されます。各命題の一般表現と特殊表現は1つにまとめられています。括弧で囲まれた文字を省略すると一般表現が得られ、それらを読み取ると特殊表現が得られます。注釈は小さな活字で印刷されます。注釈には次の記号が使用されます。

丸 は、 ⊙
三角形 、、 △
平行四辺形 、、 写真
平行線 、、 ∥
垂直 、、 ⊥
これらに加えて、代数学で一般的に用いられる記号である +、−など、そして合同記号である≡も使用します。この記号は、かの有名なガウスによって導入されました。

第１巻
　角度、三角形、平行線、平行四辺形の理論

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定義。

ポイント。​​​​​​​

i．点とは、位置は持つが次元を持たないものである。

長さ、幅、 厚さという3つの次元を持つ幾何学的量は立体であり、長さと幅といった2つの次元を持つものは面であり、 1つの次元しか持たないものは線である。しかし、点は立体でも 面でも線でもない。したがって、点には次元がない、つまり長さも幅も厚さもない 。

ライン。​​​​​​

線とは、幅のない長さのことで ある。

線は一次元空間である。もし線に幅があれば、たとえわずかであっても 二次元空間となり、さらに厚みがあれば三次元空間となる。 したがって、線には幅も厚みもない。

線と線の交点とその端点は点 です。

i v .両端の点の中間に位置する線は、直線または直角線と呼ばれます。例えば、 ABなどです。

点が方向を変えずに移動すると、直線を描きます。 点が移動する方向を「方向」と呼びます。移動する点が方向を絶えず変えると、 曲線を描きます。したがって、2点間には1本の直線しか引けないことがわかります。 以下の図はヘンリチ教授によるものです。「重りを糸で吊るすと、 糸は伸びてまっすぐになり、私たちはそれをまっすぐだと言います。これは、 糸が特定の明確な形をとったことを意味しています。この糸から厚みを一切取り除くと 、最も単純な線、つまり直線という概念が得られます 。」

飛行機。​​​​​​​

v .表面長さと幅を持つもの。

表面は2次元の空間である。厚みはない。もし厚みがあったとしたら、たとえわずかでも 3次元の空間になってしまうからだ。

vi .任意の2点を結ぶ直線が完全にその表面内にあるような表面を平面と呼ぶ。

平面は、静止した水面や滑らかな床面のように、完全に平らで均一です。—ニューコム

図。​​​​​​

vii .平面上の点、線、または点と線の組み合わせは、平面図形と呼ばれます。図形が点のみで構成されている場合は、スティグマティック図形と呼ばれ、直線のみで構成されている場合は、直線図形と呼ばれます。

v i i i。同じ直線上にある点は共線点と呼ばれます。同一直線上に並んだ点の集合を点列と呼ぶ。

角度。​​​​​​​

i x。1点から異なる方向に伸びる2本の直角の傾きを直線角と呼びます。

x。2つの線は脚と呼ばれます。そして頂点角度の。

頂点から引いた直角線が、角度の平面内で、 一方の辺と一致する位置からもう一方の辺と一致する位置まで回転する場合、その線は 角度を通過すると言われ、回転量が大きいほど角度は大きくなります。また、線は2通りの方法で一方の位置から他方の位置へ回転できるため、 1点から引いた2本の線によって2つの角度が形成されます。

したがって、 ABとACを脚とすると、線は矢印で示された2つの方法で位置ABから位置ACへ曲がることができます。このようにして形成される角度のうち小さい方を、線によって囲まれた角度と理解します。大きい方を凹角と呼びます。 「エレメンツ」にはめったに登場しない。

x i .角度の表記。—図中の特定の角度は、 BACのように 3 つの文字で表され、中央のAは頂点にあり、他の 2 つの文字は脚に沿っています。角度は、 BACと読みます。

x i i。2つ以上の角を結び合わせてできる角をそれらの和と呼びます。したがって、2 つの角ABC、 PQRの和は角AB ′ Rです。

辺QPを辺BCに適用することで形成される。これにより、頂点Qは頂点B上にあり、辺QRはBAからBCの反対側に位置する。

x i i i。2つの角BAC、 CAD の合計が、辺BA、 AD が1 つの直角を形成するようなものである場合、それらは互いに 補角と呼ばれます。

したがって、ある直線が別の直線の上に立つとき、その直線が立つ側の直線と同じ側に作る2つの角は、 互いに補角の関係にある。

x i v。ある線が別の線の上にあり、隣接する角をなす場合両側の角が等しい場合、それぞれの角を直角と呼びます。そして、もう一方の線上に立つ線は垂線と呼ばれる。それへ。

したがって、直角はその補角と等しい。

x v .鋭角​Aは直角よりも小さい角度です。

x v i。鈍角は、 BACのように直角より大きい角です。

サプリメント 鋭角の補角は鈍角であり、逆に鈍角の補角は 鋭角である。

x v i i。2 つの角の和が直角である場合、それぞれの角は補角と呼ばれます。 互いに補角の関係にある。したがって、角BAC が直角であれば、角BADと角 DAC は互いに補角の関係にある。

同時線。​​​​​​​​​​​​​

x v i i i。同じ点を通る 3 つ以上の直角直線は 共線と呼ばれます。

x i x。3本以上の線が同時に交わるシステムを線束と鉛筆の各線は光線と呼ばれます。光線が通過する共通点を頂点と呼ぶ。。

三角形。​​​​​​​​​​

x x。三角形は、3本の直角線を端と端でつないだ図形です。3本の線は辺と呼ばれます。

x x i。3辺の長さが異なる三角形は不等辺三角形と呼ばれます。Aのように、2辺が等しい三角形は二等辺三角形である。Bのように、またすべての辺が等しく、正三角形である。Cとして。

x x i i。直角三角形は、 Dのように、1つの角が直角であるものです。直角を挟む辺を斜辺と呼びます。。

x x i i i。鈍角三角形鈍角の角が1つあるEとして 。

x x i v。鋭角三角形とは、3 つの角が鋭角である三角形のこと です。

x x v。外角​三角形の 1 辺は、任意の辺と別の辺の延長線によって形成される。

したがって、三角形には6つの外角があり、また、それぞれの外角は 隣接する内角の補角である。

多角形。​​​​​​​​

x x v i。3つ以上の直角で囲まれた 直線図形は、通常、多角形と呼ばれます。

x x v i i。多角形は、凹角を持たないときに 凸であると言われます。

x x v i i i。4つの辺を持つ多角形は四角形と呼ばれます。

x x i x。4辺の長さが等しい四角形は菱形と呼ばれます。

x x x。直角を持つ菱形は正方形と呼ばれます。

x x x i。5つの辺を持つ多角形は五角形と呼ばれます。6つの辺を持つもの、つまり六角形など。

サークル。​​​​​​​​

x x x i i。円円周と呼ばれる曲線によって形成される平面図形また、図形内の特定の点から円周に引いたすべての直角が互いに等しくなるような図形である。この点を中心と呼ぶ。。

x x x i i i。半径円の直線とは、中心から円周に引かれた任意の直線のことで、CDなどです。

x x x i v。直径円の中心を通る直線で、両端が円周で終わる直線です。例えば、ABなどです。

円の定義から、平面上の 固定点から一定の距離を保つ可動点の軌跡は円であることが直ちに導かれる。また、平面上の任意の点Pは、中心からの距離が半径 より小さいか大きいか、または等しいかに応じて、円の内側、外側、または円周上にある 。

仮定する。​​​​​​​​​

仮に以下のことが認められるとすれば――

i．任意の一点から他の任意の一点へ直線を引くことができる。

2つの固定点（その両端）の間にある直線を考えると、そのような部分は 有限直線と呼ばれます。

i i . 終端された右線は、右線上に任意の長さに作成できます。

あらゆる直線は、どちらの方向にも、あるいは両方向にも無限に延長できる。このような場合、直線は 不定直線と呼ばれる。この仮定により、有限直線は、いつでも好きな時に不定直線に延長できると想定できる。

円は任意の中心から、その中心からの任意の距離を半径として描くことができます 。

2点AとBがあり、定規やペンなどの道具を使って AからBへ線を引くと、当然ながら多少の不規則性や幅、太さが生じます。したがって、どれほど幾何学的な線に近づこうとも、それは幾何学的な線とは言えません。これが、ユークリッドが1点から別の点へ直線を引くことを仮定した理由です。もしそれが正確にできるのであれば、彼が私たちにそれを許容するように求める必要はないでしょう。他の仮定についても同様のことが言えます。また、ユークリッドは、他の問題や前述の仮定に基づいて幾何学的な作図が可能な事柄については、決してそれを当然のこととは考えていないことも注目に値します。

公理。​​​​​

i . 同じもの、または等しいものに等しいものは、互いに等しい。

したがって、3 つのものがあり、最初のものと 2 番目のものがそれぞれ 3 番目のものと等しい場合、 この公理により、最初のものが 2 番目のものと等しいと推論できます。この公理は、あらゆる種類の大きさに関係します。公理 i i .、i i i .、i v .、v .、v i .、v i i .、i x .についても同様ですが、v i i i .、x .、x i .、x i i . は厳密には幾何学的です。

i i。等しいものに等しいものを加えると、合計は等しくなります。

i i i。等しいものから等しいものを取ると、余りは等しくなります。

i v . 等しいものに等しくないものを加えると、合計は等しくなくなります。

v . 等しくないものから等しいものを取った場合、余りは等しくなくなります。

vi .同じ大きさの2倍は等しい。

vi i .同じ大きさの半分は等しい。

v i i i。一致させることができる大きさは等しい。

線の上に線、 三角形の上に三角形、円の上に円など、ある幾何学的量を別の幾何学的量の上に重ねることを、重ね合わせと呼びます。幾何学で用いられる重ね合わせは、 あくまでも精神的なものであり、つまり、ある量を別の量の上に重ねることを想像し、 それらが一致することを証明できれば、この公理によってそれらが等しいと推論します。重ね合わせには 、ユークリッドが明示的に述べずに頻繁に用いている次の原理が含まれます 。「いかなる図形も、形や大きさを変えることなく、ある位置から別の位置へ移動できる 。」

i x。全体は部分よりも大きい。

この公理は、より詳細な記述である以下の文に含まれている。

i x ′。全体は、そのすべての部分の総和に等しい。

x . 2本の右向きの線で空間を囲むことはできません。

これは、「2つの直角直線に共通する2つの点があれば、それらは方向が一致する」という記述と同等であり、つまり、それらは1つの直線を形成する。そして、これは、一方の 点が無限遠にある場合でも成り立つ。

x i。すべての直角は互いに等しい。

これは次のように証明できます。2本の直角直線AB 、CDと、 それらに垂線EF 、GHがあるとします。ABとCDを重ね合わせることで、点Eが点Gと一致するようにします。すると、直角はその補角に等しいので、直線EFはGHと一致しなければなりません。したがって、角AEFは角CGHに等しくなります。

x i i。2 つの直角 ( AB、CD ) が 3 番目の直角 ( AC ) と交わり、同じ側の 2 つの内角 ( BAC、ACD )の和が 2 つの直角より小さくなる場合、これらの直線を延長すると、ある有限の距離で交わります。

この公理は、第 1 巻の命題x vi i の逆です。

用語の説明。​​​​​​​​​​​​​​​

公理―ダグラス・スチュワートによれば、「人間の理性の要素」とは、自明で、かつ非常に基本的なため、より初歩的な命題から推論できない、ある種の一般的な命題のことである。言い換えれば、それらは証明不可能である。「三角形の2辺は3辺目より長い」は、おそらく自明であるが、他の命題から証明によって推論できるため、公理ではない。しかし、「同じものに等しいものは互いに等しい」という命題は証明できないため、自明であり、公理である。

命題公理ではないものは、推論過程によって得られる図形の性質である。これらは定理と問題に分類される。

定理​定理とは、既知の命題から証明できる性質の形式的な記述である。これらの命題自体が定理または公理である場合もある。定理は仮説と公理の2つの部分から構成される。あるいは想定されていること、そして 結論、あるいはそこから導かれると主張されるもの。したがって、典型的な定理では、

XがYならば、ZはWである。
仮説はXがYであり、結論はZがWであるということである。

逆定理2つの定理は、一方の仮説が他方の結論である場合に、互いに逆であると言われる。したがって、定理（i）の逆は—

ZがWならば、XはYである。

2 つの定理 ( i . ) と ( ii . ) から、それらの 対偶と呼ばれる他の 2 つの定理を推論することができます。したがって対偶

( i .) の条件は、ZがWでないならば、X はYではない、です。 （iii 。）​
(ii.) の条件は、XがYでない場合、Z はWではない、です。 （i v .）
定理（iv .）は逆定理と呼ばれる。（ i .）の、そして（iii . ）は（ iii . ）の裏表である。

問題​提案とは、ある特定の条件下で、線を引く、図形を作成するなど、何かを行うことを提案する命題のことである。

解決 策問題の本質は、必要な目的を達成するための構築方法である。

デモ​定理の場合、それは結論が仮説から導かれることの証明であり、問​​題の場合、それは構成が提案された目的を達成することの証明である。

発音​問題の構成は、データ（与えられるべきもの）とクアエシタ（行うべきこと）の2つの部分から成ります。

公準は幾何学的構成の要素であり、問​​題に対しては公理が定理に対して持つのと同様の関係性を持つ。

帰結​推論とは、命題から導き出される推論または演繹のことである。

補題​は、主命題の証明に必要な補助命題である。

割線​または横断的直線とは、線群、円、またはその他の幾何学的図形を切断する線のことである。

合同図形とは、重ね合わせることで一致させることができる図形のことである。それらは形と大きさは一致するが、位置が異なる。したがって、公理v i i iにより、合同な図形の対応する部分または部分は合同であり、合同な図形はあらゆる点で等しいことが導かれる。

同一性のルール.—この名前で、次の原則が言及されることがあります。「X が1 つ、Yが 1 つしかない場合、 XがYであるという事実から、YがX であること が必然的に導かれる。」—シラバス。

命題I.—問題与えられた有限の
直角線( AB )上に正三角形を作図する。

解答：Aを中心とし、ABを半径として円BCDを描きます（後述）。Bを中心とし、BAを半径として円ACEを描き、前述の円をCで切り取ります。CAとCBを結びます（後述）。すると、ABCが求める正三角形になります 。

証明 — Aは円BCDの中心であるため、ACはABに等しい (定義x x x i i )。また、Bは円ACEの中心であるため、BCはBAに等しい。したがって、証明しました。

AC = AB、
そして 紀元前 = AB。
しかし、同じものに等しいものは互いに等しい（公理i）。したがって、AC はBCに等しい。したがって、3 つの線分AB、BC、CAは互いに等しい。ゆえに、三角形ABCは正三角形である（定義x x i）。そして、それは与えられた線分AB上に描かれており、これは求められていたことである。

試験問題

1.この命題におけるデータとは何ですか？

2. quaesitumとは何ですか?

3.有限な直角直線とは何ですか？

4.有限の反対語は何ですか？

5.構成のどの部分で、どのような目的で第3公準が引用されていますか？また、 第1公準はどこに引用されていますか？

6.最初の公理はどこに引用されていますか？

7.円の定義はどのような用途に使われるのか？円とは何か？

8.正三角形とは何ですか？

演習。

生徒が第一巻を習得したら、以下の練習問題を解くこと。

1.線AFと線BFを結ぶと、図形ACBFは菱形になります。

2. ABをDとEまで延長すると、三角形CDFと三角形CEFは正三角形になる。
3. CA 、CBを延長して円と再び交わるようにすると、点G 、F 、Hは同一直線上にあり、三角形GCHは正三角形となる。
4. CFが結合されている場合、CF 2 = 3 AB 2となります。

5.直線ABと2つの円で囲まれた空間ACB内の円を記述しなさい。

命題II.—問題与えられた
点( A )から、与えられた有限の直線 ( BC )に等しい直線を引く。

解答— ABを結びます(投稿i ) 。AB上に正三角形ABD [ i ]を描きます。B を中心とし、BC を半径として円ECHを描きます(投稿i i i )。DB を延長して円ECHと点Eで交わります(投稿i i )。Dを中心とし、DEを半径として円EFGを描きます(投稿i i i )。DA を延長してこの円と点Fで交わります。AFはBCと等しくなります 。

証明：Dは円EFGの中心なので、DFはDEに等しい （定義x x x i i。）。また、DABは正三角形なので、DAはDBに等しい （定義x x i。）。したがって、

DF = DE、
そして DA = DB ;
そして前者から後者を取ると、余りAFは余り BEに 等しくなります（公理1 1 1 1 2​​​​​​​​​​​​

ユークリッドの解説者の間では、彼が定規とコンパスの使用を認めていたと述べるのが一般的である。 もしそうであれば、この命題は不要であっただろう。実際、ユークリッドの目的は 理論幾何学を教えることであり、実践幾何学を教えることではなかった。彼が仮定したのは 、直角を引いて円を描くことだけである。もし彼が定規とコンパスの機械的な使用を認めていたならば、 「点、線、円の幾何学」の限界を超える多くの問題を解決する方法を示すことができたであろう。― 本書末尾の注釈D、Fを参照。

演習。

1.点Aが線分BC上にある場合の問題を解きなさい。

2.与えられた点Aから与えられた直線BCへの変曲線を、与えられた直線と等しい直線にしてください。 解の数を答えてください。

命題 III.—問題2つの与えられた直線のうち
大きい方 (AB) から小さい方( C )に等しい部分 を切り取る。

解答 — ABの端点の 1 つであるAから、 Cに等しい直線ADを引きます [ i i . ]。Aを中心とし、ADを半径として、 ABをEで切る円EDF (Post. i i i . )を描きます。AEはCに等しくなります。

証明 — Aは円EDFの中心であるため、AEはADに等しく (定義x x x i i。 )、CはADに等しい(定数)。また、同じものに等しいものは互いに等しい (公理i。 )。したがって、AEはCに等しい。ゆえに、与えられた 2 つの線のうち大きい方のABから 、C に等しい部分 AE が切り出され、小さい方の線からCに等しい部分AEが切り出されている。

試験問題

1.この問題を解決するために、どのような以前の問題が利用されていますか？

2.どのような公理か？

3.この証明における公理は何ですか？

4.与えられた2つの線のうち小さい方を延長し、延長した線全体が 大きい方と等しくなるまで延長する方法を示してください。

命題IV.—定理。​​​​​

2 つの三角形( BAC、EDF )において、一方の三角形の2 辺( BA、AC )が他方の三角形の2 辺( ED、DF )とそれぞれ等しく、かつそれらの辺によって挟まれた角( A、D )も等しい場合、それらの三角形はあらゆる点で等しい、すなわち、底辺または 3 辺( BC、EF )が等しく、一方の三角形の底辺にある角( B、C ) が他方の三角形の底辺にある角( E、F )とそれぞれ等しい、すなわち、等しい辺の向かい合う角が等しい、ということになる。

証明—三角形BAC をEDFに適用すると、点AはDと一致し、線分ABはDEと一致し、点CはDEのFと同じ側にあるとします。すると、 AB はDEと等しいので、点BはEと一致します。また、角BACは角EDFと等しいので、線分 AC はDFと一致します。そして、AC はDF (斜辺)と等しいので、点CはFと一致します。そして、点BがEと一致することが証明されました。したがって、線分BCの 2 点は線分EFの 2 点と一致します。そして、2 つの直角線は空間を囲むことができないので、BC はEFと一致しなければなりません。したがって、三角形はあらゆる点で一致します。したがって、 BCはEFと等しく、角Bは角Eと等しく、角Cは角Fと等しく、三角形BACは三角形EDFと等しくなります。

試験問題

1.この命題の仮説にはいくつの要素がありますか？答え：3つ。それらの名前を挙げてください。

2.結論にはいくつありますか？それらを挙げてください。

3.位置以外はすべて一致する図形に用いられる専門用語は何ですか？答え：それらは 合同であると言われます。

4.重ね合わせとは何ですか？

5.重ね合わせの原理では、どのような公理が用いられていますか？

6.三角形はいくつの部分から構成されていますか？答え：6つ。つまり、3つの辺と3つの角です。

7. 2 つの三角形が合同であることを証明する必要がある場合、一方の三角形のいくつの部分が 他方の三角形の対応する部分と等しくなければなりませんか?答え:一般に、3 つの角を除く任意の 3 つです。これは 、i v i i .およびx x v i .とi v .で確立されます。

8.この命題では、2つの共通点を持つ2つの直線の性質として、どのようなことが述べられていますか？ それらは 一致しなければならない。

演習。

1.二等辺三角形の頂角を二等分する線は、底辺を 垂直に二等分する。

2.四角形の隣り合う2辺が等しく、対角線が それらの間の角を二等分する場合、それらの他の辺も等しい。

3. 2つの直線が直角に交わり、かつ互いに二等分する場合、一方の直線上の任意の点は、もう 一方の直線の両端から等距離にある。

4.任意の三角形の辺上に正三角形を描くと、 元の三角形の頂点と正三角形の対向する頂点との間の距離は等しくなる。（この命題は、学生が命題 x x x i iを読んだ後に証明する必要がある。）

命題V.—定理。​​​​​

二等辺三角形の底辺（BC）における角（ABC、ACB）は互いに等しく、等しい辺（AB、AC）を延長すると、底辺の下にある外角 （DBC、ECB）は等しくなります。

証明—BD において任意の点Fを取り、AEからAFに等しい AG を切り取ります[ i i i ]。BG と CF を結びます(後述i . )。AFはAGに等しく(定数)、ACはABに等しい(斜辺) ので、2 つの三角形FACとGABは、一方の辺FAとACが他方の辺GAとABにそれぞれ等しく、挟角 Aは両方の三角形に共通です。したがって [ i v . ] 底辺FCはGBに等しく、角AFCはAGBに等しく、角ACFは角ABGに等しくなります 。

また、AF はAG (定数)に等しく、 AB はAC (斜辺) に等しいので、残りのBFはCG (公理i i i )に等しくなります。また、 FC はGBに等しく、角BFC は角CGBに等しいことが証明されています。したがって、2 つの三角形BFC、CGBは、一方の三角形の 2 辺BF、FC が他方の三角形の 2 辺CG、GBに等しく、一方の三角形の 2 辺に囲まれた角BFC は 他方の三角形の 2 辺に囲まれた角CGBに等しくなります。したがって、これらの三角形の角FBCは角GCBに等しく、これらは底辺の下にある角です。また、角FCB はGBCに等しく、角FCA全体が角GBA全体に等しいことが証明されています。したがって、残りの角 ACB は残りの角ABCに等しく、これらは底辺にある角です。

観察。―初心者がこの命題で大きな困難を感じるのは、 2つの三角形ACFとABGが重なり合っているためです。教師は、 添付の図のようにこれらの三角形を分離し、対応する部分を次のように指摘する必要があります。―

AF = AG、
AC = AB ;
角度 FAC = 角度 GAB。

したがって[ i v . ]、 角度 ACF = 角 ABG。
そして 角度 AFC = 角度 AGB。
生徒には、一方の三角形をもう一方の三角形に適用して、 それらを一致させる方法も示す必要があります。三角形BFC 、 CGBについても同様の図解を示すことができます。

この命題の非常に簡単な証明は次のとおりです。△ ACBを、 変更せずに線AC の周りを回転させて反対側に落ちるまで考えます。ACDをその新しい 位置とします。すると、移動した三角形の角ADC は、明らかに、元々一致していた角ABCに等しくなります。また、2 つの△ BACとCADは、一方の辺BAとACがそれぞれ他方の辺ACとADに等しく、挟角も等しいので、辺ABの対角である角ACBは、辺ACの対角である角ADCに等しくなります。しかし、角ADCはABCに等しいので、ACB はABCに等しくなります。

Cor. —すべての正三角形は等角です。

定義―前の図のACのような、任意の図形における線で、その線を中心に図形の平面を折り畳むと、図形の一方の部分が他方の部分と一致するような線を、対称軸と呼ぶ。 図の。

演習。

1.辺を延長せずに底角が等しいことを証明しなさい。また、 頂点を通る辺の延長を用いて証明しなさい。

2.点Aと直線CFと直線BGの交点を結ぶ線が、図形の対称軸であることを証明せよ。

3. 2 つの二等辺三角形が同じ底辺を持ち、同じ辺または反対 側にある場合、それらの頂点を結ぶ線は、それらによって形成される図形の対称軸となる 。

4.すべての角には二等分線が存在するという公理を仮定して、この命題を証明する方法を示しなさい 。

5.菱形の各対角線は、その菱形の対称軸である。

6.正三角形の各辺上に 、角から等距離にある3つの点を取ると、それらを結ぶ線によって新しい正三角形が形成される 。

命題VI.—定理。三角形の2
つの角 (B、C) が等しい場合、それらに対向する辺( AC、AB )も等しい。

証明 — ABとAC が等しくない場合、一方が他方より大きい必要があります。AB が大きい方で 、 BDがACに等しいとします。CD を結びます(後述i )。すると、2 つの三角形DBCとACBはBD がACに等しく、BC が両方に共通です。したがって、一方の三角形の 2 辺DBとBCは、もう一方の三角形の 2 辺ACとCBに等しく、一方の三角形の角DBC は、もう一方の三角形の角ACB (斜辺) に等しくなります。したがって [ i v . ] 三角形DBCは三角形ACBに等しくなります—小さい方が大きい方、これは不合理です。したがって、 ACとAB は等しくなくなく、つまり 等しいのです。

試験問題

1.この命題における仮説は何ですか？

2.これはどの命題の逆ですか？

3.この命題の逆は何ですか？

4.命題vの逆は何ですか?

5.間接証明とは何ですか？

6.ユークリッドは一般的にどのようにして逆命題を証明するのか？

7.このデモンストレーションでは、どのような誤った前提が置かれていますか？

8.この仮定は何につながるのか？

命題VII—定理。​​​​​

同じ底辺( AB )を持ち、同じ側にある2 つの三角形( ACB、ADB )において、隣接する辺の 1 組( AC、AD )が等しい場合、もう 1 組の隣接する辺( BC、BD ) は等しくない。

証明—1. 各三角形の頂点を互いに離れているとします。CD を結びます。ADはAC (斜辺)と等しいので、三角形ACDは二等辺三角形です。したがって [ v . ] 角ACDは角ADCと等しくなります。しかし、ADC はBDCより大きい(公理i x . ) ので、ACDはBDCより大きいです。したがって、BCD は BDC よりはるかに大きくなります。ここで、辺BDがBCと等しいとすると、角BCD はBDCと等しくなります [ v . ]。しかし、より大きいことが証明されています。したがって、BDはBCと等しくありません。

2. 一方の三角形ADB の頂点がもう一方の三角形ACB内にあるとする。辺AC、AD をEとFに延長する。するとACはADと等しい(斜辺) ので、三角形ACDは二等辺三角形であり、[ v . ]底辺CDの反対側の外角ECD、FDCは等しい。しかし、ECDはBCDより大きい(公理i x . )。したがって、 FDCはBCDより大きい。BDC は BCD よりはるかに大きい。しかし、 BC がBDと等しい場合、角BDC はBCDと等しくなる[ v . ]。したがって、BC はBDと等しくはなり得ない。
3. 2番目の三角形の頂点Dが線分BC上にある場合、 BC とBDは等しくないことは明らかです。

試験問題

1.命題vi iはどのような用途に使われますか?答え:命題vi i iの補題として使われます。

2.命題vi iの証明において、命題vの対偶が現れる。その場所を示せ。

3. 2つの円は、中心を結ぶ直線の同じ側の1点でのみ交わることを示し 、したがって、2つの円は2点を超える 交点を持つことはできないことを示す。

命題VIII.—定理。​​​​​

2つの三角形（ABC、DEF）において、一方の三角形の2辺（AB、AC）が他方の三角形の2辺（DE、DF）とそれぞれ等しく、かつ一方の三角形の底辺（BC）が他方の三角形の底辺（EF）と等しい場合、2つの三角形は等しく、一方の三角形の角は他方の三角形の角とそれぞれ等しくなります。すなわち、等しい辺が向かい合う角が等しくなります。

証明—三角形ABC をDEFに適用すると、点BはEと一致し、線BCは線EFと一致します。BCはEFと等しいので、点CはFと一致します。次に、頂点A が 頂点Dと同じEF側にある場合、点A はDと一致しなければなりません。そうでない場合は、別の位置Gを取るとします。すると、 EGはBAと等しく、BAはED (斜辺)と等しくなります。したがって (公理i . ) EG はEDと等しくなります。同様に、FG はFDと等しくなります が、これは不可能です [ v i i . ]。したがって、点A はDと一致しなければならず、三角形ABC はあらゆる点で三角形DEFと一致します。したがって、一方の三角形の3つの角は、もう一方の三角形の3つの角（AとD 、BとE 、CとF）とそれぞれ等しく、2つの三角形は等しい。

この命題はi v . の逆であり、原論における三角形の合同の 2 番目のケースです。

フィロンの証明。前述の証明と同様に等しい底辺を適用するが、頂点は 反対側にあるとする。そして、BGC をEDF が取る位置とする。AGを結ぶ。すると、 BG = BAなので、角BAG = BGA となる。同様に、角CAG = CGA となる。したがって、角BAC = BGCとなる。しかし、BGC = EDFなので、BAC = EDF となる。

命題 IX.—問題 与えられた直線
角( BAC )を二等分する。

解答 — AB において任意の点Dを取り、 AE をADに等しく切り取ります。 [ i i i . ] DE (後述i . ) を結び、その上で、 Aから遠い側の辺上に正三角形 DEFを描きます。 [ i . ] AFを結びます。AFは与えられた角BACを二等分します。

証明—三角形DAFとEAF は辺ADがAE (定数)と等しく、 AF が共通であるため、2 辺DAとAFはそれぞれEAとAFと等しく、底辺DFは底辺EFと等しい。なぜなら、これらは正三角形の辺だからである (定義x x i。。したがって [ v i i i。 ] 角 DAFは角EAFと等しく、したがって角BACは線 AFによって二等分される。

Cor. —線AFは図形の対称軸です。

試験問題

1.ユークリッドはなぜ、正三角形を点Aから遠い辺上に記述するのでしょうか？

2.正三角形が線分 DEの反対側に描かれている場合、どのような場合に作図は失敗するでしょうか？

演習。

1.命題vi i iを使用せずにこの命題を証明してください。

2. AFがDEに垂直であることを証明せよ。
3. AF内の任意の点が点Dと点Eから等距離にあることを証明せよ。

4.線分 AF内の任意の点が、線分ABおよびACから等距離にあることを証明します。

命題X.—問題与えられた
有限の直角直線( AB )を二等分する。

解答：AB上に正三角形ACB [ i . ]を描きます。角を二等分します。 ACB を直線CD [ i x . ] で結び、ABとDで交わると、ABはDで二等分される 。

証明— 2 つの三角形ACDとBCD は、正三角形の辺ACとBCが等しく、 CD が共通です。したがって、一方の三角形の 2 辺ACとCDは、もう一方の三角形の 2 辺BCとCDに等しく、角ACDは角BCDに等しくなります(一定)。したがって、底辺ADは底辺DBに等しくなります[ i v . ]。したがって、 ABはDで二等分されます。

演習。

1. 2つの円を描いて、有限の直角直線を二等分する方法を示しなさい。

2.点A 、点Bから等距離にあるすべての点は直線CD上にある。

命題XI.—問題.​​​​​

与えられた直線( AB )上の点( C )から、与えられた直線に垂直な直線を引きます。

解答 — AC において任意の点Dを取り、CE をCDと等しくします[ i i i . ]。DE 上に正三角形 DFE を描きます[ i . ]。CF を結びます。するとCFはABと直角になります 。

証明— 2 つの三角形DCFとECFはCDとCE (定数)が等しく、 CF が共通です。したがって、一方の 三角形の 2 辺CDとCF は、それぞれ他方の三角形の 2 辺CEとCFに等しく、底辺DFは底辺EFに等しく、正三角形の辺です (定義x x i . )。したがって、角 DCE は角 ECF に等しく、隣接角です。したがって (定義 x i i i . )それぞれが直角であり、CFは点C でABに垂直です。

演習。

1.ひし形の対角線は互いに垂直に二等分する。

2.命題viを使用せずに命題x iを証明します。

3.与えられた直線の一方の端点に直角に交わる直線を、元の 直線を延長せずに立てる。

4.与えられた直線上で、与えられた2点から等距離にある点を見つけます。

5.与えられた直線上に、その直線の反対側にある2つの与えられた点を結ぶと 、その2つの点を結ぶ線によって形成される角度が与えられた直線によって二等分されるような点を見つけます 。

6.与えられた3点から等距離にある点を見つけなさい。

命題 XII.—問題 与えられた点( C )から与えられた
不定の直線 (AB) に垂線を引くが、その直線は存在しない。

解答 — ABの反対側の任意の点Dを取り、(後述i ii )中心をC 、半径をCDとする円を描き、ABとの交点をFとGとする。FGをH [ x .]で二等分する。CH を結ぶ(後述i .)。CHはABと直角になる。

証明— CFとCGを結びます。すると、2 つの三角形FHCとGHCは、 FHがGHと等しく (定数)、HC が共通であり、底辺CF が底辺CGと等しく、円FDGの半径です(定義x x x i i .)。したがって、角CHF は角CHGと等しく [ v i i i .]、隣接角であるため、直角です (定義x i i i .)。したがって、 CHはABに垂直です。

演習。

1.円が直線ABと2点以上で交わることはないことを証明せよ。

2.三角形の1つの角が他の2つの角の和に等しい場合、その三角形は 2つの二等辺三角形の和に分割でき、底辺は三角形の中点から 対角までの線の長さの2倍に等しくなります。

命題XIII.—定理。​​​​

直角線（AB）が別の直角線 （CD）の上に立っているとき、その直角線となす隣接角（ABC、ABD）は、両方とも直角であるか、またはそれらの和が2つの直角に等しいかのいずれかである。

証明 —図 1 のようにABがCDに垂直である場合、角ABCと角ABDは直角です。そうでない場合は、BE をCDに垂直に引きます[ x i .]。すると、角CBA は2 つの角CBEと角 EBAの和に等しくなります(定義x i .)。したがって、角ABDを加えると、角CBAと角ABDの和は、3 つの角CBEと 角 EBAと角ABDの和に等しくなります。同様に、角CBEと角EBDの和は、3 つの角CBEと角 EBAと角ABD の和に等しくなります。そして、同じに等しいものは互いに等しくなります。したがって、角 CBAと角ABDの和は、角CBEと角EBDの和に等しくなります。しかし、CBEと角EBD は直角です。したがって、角CBAと角ABDの和は 2 つの直角になります。

あるいは、このように：角度EBA をθとすると、明らかに

角度 CBA = 直角 + θ ;

角度 アブダビ = 直角− θ ;

したがって CBA + ABD ＝2つの直角。
コリント1章—2つの補角の和は2つの直角である。

コリント2章—2本の右の線は共通の部分を持つことはできない。

コリント3章—任意の角の二等分線は、対応する凹角を二等分する。

コリント4章—2つの補角の二等分線は互いに直角である。

コリント5章—角EBAは角CBAと角ABDの差の半分である。

命題XIV.–定理。​​​​

直線( BA )上の点( B )において、反対側にある他の 2 つの直線( CB、BD )が、隣接する角( CBA、ABD )を合わせて 2 つの直角に等しくなる場合、これら 2 つの直線は 1 つの連続した直線を形成します。

証明 — BDがCBの延長でないならば、BE をその延長とする。さて、CBEは直角であり、BA はその上にあるので、角CBAと角ABEの和は 2 つの直角 ( x i i i .) であり、角CBAと角ABDの和も2 つの直角 (斜角) である。したがって、角CBAと角ABEの和は、角CBAと角ABDの和に等しい。共通である角CBAを除外すると、角ABEは角ABDに等しくなる、つまり全体が部分と等しくなるが、これは不合理である。したがって、BD はCBと同じ直角上にあるに違いない 。

命題XV.—定理。2つの
直角直線( AB、CD )が交わる場合、対角は 等しい( CEA = DEB、およびBEC = AED ) 。

証明 —線分AEはCD上にあるので、角CEAと角AEDの和は 2 直角です [ x i i i .]。また、線分CE はAB上にあるので、角BECと角CEAの和 は 2 直角です。したがって、角CEAと角AEDの和は、角BECと角CEAの和に等しくなります。共通である角CEAを除外すると、角AED はBECに等しくなります。同様に、角CEAはDEBに等しくなります。

上記の証明は、対角は共通の補角を持つため等しい、と述べることで簡潔に説明できる。

第 XIII 章、第 XIV 章、第 XV 章に関する試験問題

1.ユークリッドの命題x i i iの証明にはどのような問題が必要ですか?

2.定理は何ですか？答え：定理はありません。公理のみです。

3. 2本の直線が交わる場合、それらはいくつの補角の組を作りますか？

4.命題x i v .は命題x i i i . とどのような関係がありますか?

5.命題x i vのどの 3 つの線が一点で交わっていますか?

6.命題x i vの発表にはどのような注意が必要ですか?

7.命題x vの逆を述べ、それを証明せよ。

8.問題x i i i ., x i v ., x v .の主題は何ですか?答え:一点における角度。

命題XVI.—定理。​​​​​

三角形 ABC のいずれかの辺 BC を延長すると、外角ACDは内角の 2 角よりも大きくなる。 隣接していない角。

証明— EでACを二等分します[ x .]。BEを結びます(後述i .)。それを延長し、延長した部分からBEに等しいEFを切り取ります[ i i i ]。CF を結びます。ECは EA に等しく (定数)、EF は EB に等しいので、三角形CEF とAEBは、一方の辺CEとEFが 他方の辺AEとEBに等しく、角CEF はAEBに等しくなります[ x v .]。したがって [ i v .] 角ECFはEABに等しくなりますが、角ACDはECFより大きいので、角ACDはEABより大きいです 。

同様に、辺ACを延長すると、外角BCG が角ABCより大きいことが示されます。しかし、BCG はACDと等しいです[ x v .]。したがって、 ACDはABCより大きいです。したがって、ACD は三角形ABCの隣接していない内角AまたはBのどちらよりも大きいです 。

コリント1章—三角形BCFの3つの内角の和は、三角形ABCの​​3つの内角の和に等しい。

コリント2章—BCFの面積はABCの面積に等しい。

コリント3章—線BAとCFを延長しても、有限の距離で交わることはありません。なぜなら、もしそれらが有限の点Xで交わるとしたら、三角形CAXの外角BACは内角ACXと等しくなってしまうからです。

命題XVII.—定理。三角形( ABC )の任意の
2 つの角( B、C )の合計は 2 つの直角より小さい。

証明— BC をDまで延長します。すると、外角ACD はABCより大きい [ x v i . ]。それぞれに角ACBを加えると、角ACDとACBの和は角ABCとACB の和よりも大きくなります。しかし、角ACDと ACBの和は2 直角です [ x i i i . ]。したがって、角ABCとACBの和は2 直角より小さくなります。

同様にして、角Aと角Bの和、または角Aと 角Cの和が2直角より小さいことを示すことができる。

コリント1章—すべての三角形には少なくとも2つの鋭角が必要です。

コリント人への手紙2章—三角形の2つの角が等しくない場合、小さい方の角は鋭角でなければならない。

エクササイズ。

側を生成せずに、命題x vi iを証明します。

プロップ。XVIII. — Theorem .​​​​

任意の三角形（ABC）において、一方の辺（AC）がもう一方の辺（AB）よりも大きい場合、大きい辺の対角は小さい辺の対角よりも大きくなる。

証明— AC からAD を切り取り、ABに等しくします[ i i i ]。BD を結びます(後述i . )。ABはADに等しいので 、三角形ABDは二等辺三角形です。したがって [ v . ] 角ADBはABDに等しくなります。しかし、角ADBは角ACBより大きいので[ x v i . ]、 ABDはACBより大きいです。さらに、角ABC は角 ACBより大きいです。

または次のように：Aを中心として、短い辺ABを半径として円 BEDを描き、BCをEで切断します。AEを結びます。ABはAEに等しいので、角AEBはABEに等しくなります。しかし、AEBはACBより大きいので（x v i .）、ABEはACBより大きいです 。

演習。

1. 2番目の方法で円が点Bを通る直線CBと交わる場合、命題を証明せよ。

2.この命題は、小さい方の辺を引出することによって証明できる。

3.四角形の向かい合う2辺がそれぞれ最大と最小である場合、 最小の辺に隣接する角は、その対角よりも大きい。

4.任意の三角形において、残りの2辺の長さ以上の辺の対辺に頂点から下ろした垂線は、 三角形の内部に収まる。

命題XIX.—定理。​​​​​

三角形( ABC )の1 つの角( B )が別の角( C )より大きい場合、大きい角の対辺 ( AC )は小さい角の対辺( AB )より大きくなります。

民主主義―ACがABより大きくない場合、ACはABと等しいか、またはABより小さいかのどちらかである。それぞれのケースを検討してみよう。―

1. ACがABと等しい場合、三角形ACB は二等辺三角形となり、角BはCと等しくなります[ v .]。しかし、仮定によりそうではないため、AB はACと等しくありません。
2. ACがABより小さい場合、角Bは角Cより小さくなります[ x v i i i .]。しかし、仮定によりそうではないので、AC はABより小さくありません。ACはABと等しくも小さくもないので、AB より大きいはずです。

演習。

1.この命題を直接的な証明によって示しなさい。

2.二等辺三角形の頂点から底辺上の任意の点までの線分は、 等しい辺のどちらよりも短いが、底辺を延長した線分上にある点の場合は長くなる。

3.同じ点から同じ線まで、3本の等しい線を引くことはできない。

4.垂線は、与えられた点から与えられた直線に引くことができる最短の直線であり、 垂線に引くことができる他のすべての直線の中で、垂線に最も近い直線は、それより 遠い直線よりも短い。

5.図において、命題x v i .、AB が△ ABC の最も長い辺であり、BF が △ FBCの最も長い辺であり、角BFC が角ABC の半分より小さい場合。

6. ABC がABがAC以下である△である場合、 AからBC上の任意の点Gに引かれた線分AGはACより小さい。なぜなら、角ACB [ x v i i i .] はABC以下であり、AGC [ x v i .]はABCより大きいからである。したがって、AGCはACGより大きい。ゆえに、ACはAGより大きい。

命題 XX.—定理。三角形( ABC) の任意の 2 辺 ( BA、AC )の和は、 3
辺目よりも大きい。

証明— BA をDまで延長し(後述)、AD をAC と等しくします [ i i i . ] 。CDを結びます。ADは AC と等しいので、角ACDはADCと等しくなります( v .)。したがって、角BCDは角BDCより大きくなります。したがって、 大きい角の対辺BDは小さい角の対辺BCより大きくなります [ x i x .]。また、AC はADと等しいので、両方にBAを加えると、辺BAとACの和はBDと等しくなります。したがって、 BAとACの和はBCより大きくなります。

または次のように： AEで角BACを二等分します[ i x .] すると、角BEA はEACより大きいですが、EAC = EAB (定数) なので、角BEAはEABより大きいです。したがって、ABはBEより大きい[ x i x .]。同様に、ACはECより大きいです。したがって、 BA 、ACの和はBCより大きいです。

演習。

1.どんな三角形でも、任意の2辺の差は3辺目の差よりも小さい。

2.三角形内の任意の点をその角の点と結ぶと、その結ぶ線の合計は 三角形の半周長よりも大きくなる。

3.辺の長さが異なる三角形の底辺の両端から、その三角形 の頂角の二等分線上の任意の点に線を引くと、それらの線の差は辺の長さの差よりも小さくなる 。

4.外角の二等分線上の任意の点に線を引くと、それらの線の合計は 辺の合計よりも大きくなる。

5.任意の多角形のどの辺も、残りの辺の合計より小さい。

6.任意の三角形の周長は、任意の内接三角形の周長よりも大きく、 任意の外接三角形の周長よりも小さい。

7.任意の多角形の周長は、 同じ辺の数の内接多角形の周長よりも大きく、外接多角形の周長よりも小さい。

8.四角形の周長は、その対角線の長さの合計よりも大きい。

定義—三角形の任意の角から反対側の辺の中点に引かれた線を 中線と呼ぶ。 三角形の。

9.三角形の3つの中線の合計は、その三角形の周長よりも小さい。

10.四角形の対角線の合計は、対角線 の交点を除く任意の点からその角点に引くことができる線の合計よりも小さい 。

命題XXI.—定理。​​​​

三角形の底辺( BC )の両端から三角形内の点( D )に向かって2 つの線( BD、CD )を引くと、それらの合計は残りの辺 ( BA、CA )の合計よりも小さくなりますが、それらの線が作る角度は大きくなります。

証明—1. BD (後述i i .)を延長してACと点Eで交わるようにします。すると、三角形BAEにおいて、辺BAとAEの和は辺BE [ x x .] よりも大きくなります。それぞれにECを加えると、 BAとACの和はBEとECの和よりも大きくなります。また、三角形DECの辺DEとECの和はDCよりも大きくなります。それぞれにBDを加えると、 BEとECの和はBDとDCの和よりも大きくなります。しかし、 BAとACの和はBEとECの和よりも大きいことが証明されています。 したがって、 BAとACの和はBDとDCの和よりもはるかに大きくなります。

2.三角形DECの 外角BDCは内角BECより大きく[ x v i .]、同様の理由で角BECはBACより大きくなります。 したがって、BDCはBACよりはるかに大きくなります。

パート 2 は、辺BDとDCのどちらも延長せずに証明できます。したがって、 ADを結び、それを延長してBCと点Fで交わるようにします。すると、角BDF は角 BAFより大きくなり[ x v i .]、FDCはFACより大きくなります。したがって、角BDC全体はBACより大きくなります。

演習。

1.三角形内の任意の点からその三角形の角に引いた線の長さの合計は、 三角形の周長よりも短い。（例2の最後の命題を参照。）

2.凸多角形線ABCDが凸多角形線AMNDの内部にあり、同じ端点で終わる場合 、前者の長さは後者の長さより短い。

提案XXII.—問題。​​​​​

与えられた3つの直線（A、B、C）にそれぞれ等しい3辺を持つ三角形を作図する。ただし、それらの直線のうち2つの長さの合計は、 残りの1つよりも大きいものとする。

解答—任意の直線DEを取り、Dで終端し、 Eに向かって無限に伸びるようにし、 DFをA、FGをB、GH をCに切り取ります。Fを中心とし、FD を半径として円KDLを 描きます(後述)。G を中心とし、 GH を 半径として円KHLを描き、 Kで前の円と交わります。KFと KG を結びます。KFGが求める三角形です。

証明 — Fは円KDLの中心であるため、FKはFDに等しい。しかし、 FDはAに等しい(定数)。したがって (公理i ) FKはAに等しい。同様に、GKはCに等しく、FGはBに等しい(定数)。したがって、三角形KFGの3辺 はそれぞれ 3 つの直線A 、B 、Cに等しい。

試験問題

1.与えられた2行の合計が 3行目より大きくなければならないと、この文で述べている理由は何ですか？

2.その条件が満たされるとき、2つの円は必ず交わることを証明せよ。

3.どのような条件下では、円は交わらないでしょうか？

4. 2つの直線の合計が3つ目の直線の合計と等しい場合、円は交わるでしょうか？ 交わらないことを証明してください。

命題XXIII.—問題与えられた直線 (AB) 上の与えられた点(
A) で、与えられた直線角 ( DEF )に等しい角度を作る。

解答：与えられた角の辺ED、EFにおいて、任意の点DとFを取る。DF を結び、三角形BAC を作図する。三角形BACの辺は、順にDEFの辺と等しくなる。すなわち、ABはEDに等しく、AC はEFに等しく、CB はFD に等しい。すると、角BAC はDEFに等しくなる。したがって、これが求める角である。

演習。

1.与えられた2辺とそれらの間の角度から三角形を作図する。

2. 2つの角とそれらの間の辺が与えられたときに、三角形を作図する。

3.与えられた2辺と、そのうちの1辺の対角から三角形を作図する。

4.底辺、底辺の角の1つ、および 辺の和または差が与えられたときに、三角形を作図する。

5.与えられた直線上に2つの点があり、そのうちの1つが直線上にある場合、与えられた直線上に別の点を見つけ 、その点と2つの点との距離の和または差が与えられるようにする。 各場合において、そのような点が2つ見つかることを示せ。

命題XXIV.—定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、DEF )において、一方の三角形の2 辺( AB、AC )が他方の三角形の2 辺( DE、DF )と等しいが、一方の三角形の内角( BAC )が他方の三角形の内角( EDF )より大きい場合、内角が大きい方の三角形の底辺は、もう一方の三角形の底辺よりも大きい。

証明 — 2 つの辺ABとACのうち、AB を大きい方ではない方とし、それで角BAG をEDFに等しくします[ x x i i i .]。すると、ABはACより大きくないので、AG はACより小さくなります[ x i x .、練習問題 6]。AGをHまで延長し、 AH をDFまたはACに等しくします[ i i i . ]。BHとCHを結びます。

三角形BAH、EDFでは、AB はDE (斜辺)と等しく、 AH はDF (定数)と等しく、角BAH は角EDF (定数) と等しいので、底辺BHはEFと等しくなります。また、AH はAC (定数)と等しいので、三角形ACHは二等辺三角形です。したがって、角ACHはAHCと等しくなります。しかし、ACHはBCH より大きいので、 AHCはBCHより大きいです。さらに、角 BHC はBCHより大きく、大きい角は大きい辺によって張られます。したがって、BCはBHより大きいですが、BH はEFと等しいことが証明されているので、BCはEFより大きいです。

この命題の結論部分は、 CHを結合することなく、次のように証明できる。

BG + GH > BH [ x x . ]、

AG + GC > AC [ x x . ];

したがって BC + AH > BH + AC ;

しかし AH = AC （定数）

したがって
BC は BHより大きい。

または次のようにします。角CAH をAOで二等分します。OH を結びます。これで、△ CAO 、HAOでは、一方の辺CA 、AO が他方の辺AH 、AOと等しく、挟角も等しくなります。したがって、底辺OC は底辺OHと等しくなります[ i v . ]。それぞれにBOを加えると、BC はBO 、OHの和と等しくなります。しかし、 BO 、OHの和はBHより大きい[ x x . ]。したがって、BCはBHより大きい、つまりEFより大きいです。

演習。

1.角ABH をABの左側に作ることによって、この命題を証明します。

2.角BCAがEFDより大きいことを証明せよ。

命題XXV.—定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、DEF )において、一方の三角形の2 辺( AB、AC )が他方の三角形の2 辺( DE、DF )とそれぞれ等しいが、一方の三角形の底辺( BC )が他方の三角形の底辺 ( EF )より大きい場合、底辺が大きい方の三角形の辺によって形成される角( A )は、底辺が大きい方の三角形の辺によって形成される角( D )よりも大きい。

証明：角Aが角Dより大きくない場合、角Aは角Dと等しいか、または角Dより小さいかのどちらかである。それぞれのケースを検討してみよう。

1. もしA がDと等しいならば、三角形ABCとDEF は、それぞれ2 辺ABと ACが 2 辺DEとDFに等しくなり、一方の 2 辺によって囲まれた角A が、もう一方の 2 辺によって囲まれた 角Dに等しくなります。したがって [ i v .] BC はEFと等しくなりますが、仮定によりBCはEFより大きいので、角A は角 Dと等しくありません。
2. もしA がDより小さいならば、D はAより大きくなり、三角形 DEFとABC は、それぞれ一方の2 辺DEとDFが他方の2 辺ABとACに等しくなり、一方の 2 辺によって囲まれた角Dが他方の 2 辺によって囲まれた角Aより大きくなる。したがって [ x x i v .] EF はBCより大きいことになるが、EF (斜辺) はBCより大きくない。したがってAは Dより小さくなく、またDと等しくないことが証明されたので、A は Dより大きいに違いない 。

または、直接的に：三角形ACGを作図します。その 3 辺AG、GC、CA は、それぞれ三角形DEFの 3 辺DE、EF、FD に等しくなります [ x x i i .]。BGを結びます。BCはEFより大きいので、BCはCGより大きいです。したがって [ x v i i i .] 角BGCはGBCより大きいです。そして ( x x i i i .) 角 BGH をGBHに等しくし、AHを結びます。すると [ v i .] BH はGHに等しくなります。したがって、三角形ABHとAGHは、一方の辺AB、AHが他方の辺AG、AHに等しく、底辺BHがGHに等しくなります。したがって [ v i i i .] 角BAHはGAHに等しくなります 。したがって、角BACはCAGより大きく、したがってEDFより大きいです。

エクササイズ。

BCからEFに等しい部分を切り取ることで、この命題を直接証明してください。

命題XXVI.—定理。​​​​​

2つの三角形（ABC、DEF）において、一方の三角形の2つの角（B、C）が他方の三角形の2つの角（E、F）とそれぞれ等しく、かつ一方の三角形の1辺が他方の三角形の等しい角に対して同様の位置にある辺と等しい場合、これらの三角形はあらゆる点で等しい。

デモ. — この命題は、等しいとされる辺が等しい角に隣接する辺、すなわちBCとEFであるか、等しい角の反対側の辺であるかに応じて 2 つに分けられます。

1. 等しい辺をBCとEFとする。DEがABと等しくない場合、 GE がAB と等しいと仮定する。GF を結ぶ。すると、三角形ABCとGEFは、一方の辺ABと BCが他方の辺GEとEFに等しく、角ABCが角GEF (斜辺) に等しい。したがって、角ACBは 角GFEに等しい。しかし、角ACBは (斜辺) DFEに等しい。したがって、 GFE はDFEに等しい。つまり、全体が等しい部分となり、これは不合理である。したがって、ABとDE は等しくないのではなく、等しい。結果として、三角形ABCとDEFは、一方の辺ABとBCが他方の辺DEとEFに等しく、挟まれた角ABCとDEF が等しい。 したがって[ i v .] ACはDFに等しく、角BACは角EDFに等しい。
2. 等しいと与えられた辺をABとDEとします。BCがEF に等しく、AC がDFに等しいことを証明する必要があります。BCがEFに等しくない場合は、BG がEFに等しいとします。AG を結びます。すると、三角形ABGとDEF は、それぞれ2 辺ABとBGが 2 辺DEとEFに等しく、角ABGが角DEFに等しくなります。したがって [ i v .] 角AGBはDFEに等しくなります。しかし、角ACB はDFE に等しくなります(斜辺)。したがって (公理i .) 角AGBはACBに等しくなります。つまり、三角形ACGの外角は内角で隣接していない角に等しくなりますが、これは [ x v i .] 不可能です。したがって、BCはEFと等しくなければならず、 1と同様に、ACはDFと等しく、角BACは角EDFと等しい。

この命題は、 i v .およびv i i i .とともに、2 つの三角形の合同のすべての場合を包含します。パート I. は、重ね合わせによってすぐに証明できます。なぜなら、ABC をDEFに適用すると、点BがEと一致し、線BCがEFと一致することは明らかであり、 BC はEFと等しいので、点CはFと一致します。また、角BとCはそれぞれ角EとFと等しいので、線BAとCAはEDとFDと一致します。したがって、三角形は合同です。

定義―幾何学的図形上のすべての点が指定された条件を満たす場合、その 図形は軌跡と呼ばれます。 条件を満たす点の軌跡。例えば、円は中心からの距離が半径に等しい点の軌跡である。

演習。

1.二等辺三角形の底辺の両端は、 底辺の垂直角から引いた垂線上のどの点からも等距離にある。

2.三角形の頂角を二等分する線が底辺も二等分する場合、その三角形は 二等辺三角形である。

3. 2本の固定線から等距離にある点の軌跡は、 それらの固定線が作る角を二等分する2本の直線である。

4.与えられた直角直線上に、与えられた2つの直線に下ろした垂線の和が等しくなるような点を見つけなさい 。また、そのような解の数も述べなさい。

5. 2つの直角三角形の斜辺が等しく、一方の鋭角が 他方の鋭角と等しい場合、それらは合同である。
6. 2 つの直角三角形の斜辺が等しく、一方の三角形の 1 辺がもう 一方の三角形の 1 辺と等しい場合、それらは合同である。

7.三角形の3つの内角の二等分線は一点で交わる。

8. 2つの外角の二等分線と3つ目の内角の二等分線は 一点で交わる。

9.与えられた点を通る直角を描き、その点の 反対側にある2つの与えられた点からその点に下ろした垂線の長さが等しくなるようにします。

10.与えられた点を通って、与えられた2つの直線と交わり、それらで二等辺三角形を形成する直角線を引きます。

平行線。​​​​​​​​​​​

定義i . —同一平面上の 2 つの直角直線が、無限に延長しても有限の距離で交わらない場合、それらは平行であると言われます。

定義ii . —平行四辺形​​​​ これは四角形であり、その向かい合う辺の組は両方とも平行である。

定義. iii .—四角形の対角のいずれかのペアを結ぶ直角の線は対角線と呼ばれます。 。

定義IV .—四角形の向かい合う2組の辺を延長して交わらせると、それらの交点を結ぶ直線は、その四角形の第3対角線と呼ばれる。 。

定義動詞―対辺のうち一組が平行な四角形を 台形という。 。

定義6 .—ある直角線の両端から別の直角線に垂線を引くと、それらの垂線の足の間の交点を投影線と呼ぶ。 2行目の最初の行の。

Def.vii​​​​​​ 直線が他の2本の直線と2つの異なる点で交わるとき、直線はそれらと8つの角を形成し、それらの角は互いに特別な名前が付けられています。したがって、図では、1、2、7、8は外角、3、4、5、6は内角と呼ばれます 。角度。繰り返しますが、4、6、3、5は錯角と呼ばれます。最後に、1、5、2、6、3、8、4、7は同位角と呼ばれます。

命題XXVII.—定理。2つの直角直線( AB、CD )と交わる直角直線( EF )が錯角( AEF、EFD )を互いに等しくする
場合、これらの直線は平行である。

証明 — ABとCDが平行でない場合、延長すると有限の距離で交わるはずです。可能であれば、点Gで交わるとします。すると、図形EGFは三角形になり、角AEFは外角、EFD は隣接しない内角になります。したがって [ x v i . ] AEF はEFDより大きいですが、同時に等しくもあります (斜体)。つまり、等しくもあり、大きいという矛盾が生じます。したがって、ABとCD は平行です 。

あるいは、次のように考えます。OでEFを二等分し、 Oを中心として図形全体を回転させると、 EF はそれ 自身に重なります。OE = OFなので、点EはF上に来ます。また、角AEF は角EFDと等しいので、直線EA はFDの位置を占め、直線FD はEAの位置を占めます。したがって、直線ABとCDの位置が入れ替わり、図形は点Oに関して対称になります。したがって、ABとCD がOの片側で交わるならば、反対側でも交わらなければなりません。しかし、2 つの直角直線は空間を囲むことはできません (公理x )。したがって、両側で交わることはありません。したがって、それらは平行です。

命題XXVIII.—定理。​​​​​

2本の直角直線（AB、CD）と交わる直角直線（EF）が、外角 （EGB）を対応する内角（GHD）と等しくするか、または同じ側の2つの内角（BGH、GHD）を2つの直角と等しくする場合、2本の直角直線は平行である。

証明—1. 直線ABとEFが交わるので、角AGHはEGBに等しくなります [ x v .]。しかし、EGB はGHD (斜角)に等しくなります。したがって、 AGH はGHDに等しく、錯角です。したがって[ x x v i i .] ABはCDに平行です 。

2. AGHとBGH は隣接角なので、それらの和は 2 つの直角に等しくなります [ x i i i .]。しかし、 BGHとGHDの和は 2 つの直角 (斜角) です。したがって、角BGHを除外すると、 AGHはGHDに等しくなり、それらは錯角になります。 したがって、ABはCDに平行です[ x x v i i .]。

命題XXIX.—定理。​​​​​

直角直線( EF )が2 つの平行な直角直線( AB、CD )と交わると、次のようになります。1 .錯角 ( AGH、GHD )が互いに等しくなります。2 .外角( EGB )が 対応する内角( GHD )と等しくなります。3 .同じ側の2 つの内角 ( BGH、GHD )が2 つの直角と等しくなります。

証明— 角AGH がGHDと等しくない場合、どちらか一方が他方より大きいはずです。AGH が大きい方とします。それぞれに BGH を加えると、角AGHとBGHの和は角BGHとGHDの和よりも大きくなります。しかし、AGHとBGHの和 は 2 直角です。したがって、BGHとGHDの和は 2 直角より小さく、したがって (公理x i i )直線ABとCD を延長すると、ある有限の距離で交わります。しかし、それらは平行 (斜交) なので、有限の距離で交わることはありません。したがって、角AGH はGHDと等しくないわけではなく、等しいのです。

2. 角EGBはAGH [ x v . ]に等しく、GHDはAGH (1) に等しいので、 EGBはGHDに等しい(公理i .)。
3. AGH はGHD (1)と等しいので、それぞれにHGBを加えると、角度AGH、HGBの合計は角度GHD、HGBの合計と等しくなります。しかし、角度AGH、HGB [ x i i i . ]の合計は2 つの直角です。したがって、角度BGH 、GHDの合計 は 2 つの直角です。

演習。

1.命題x x v i i iを使用せずに、命題x x v i iの両方の部分を実証します。

2. 2本の平行線に引いた垂線のうち、2本の平行線で挟まれた部分の和は 等しい。
3. ACD 、BCDが隣接する角である場合、 ABに平行な線は、これらの角の二等分線と、 CDとの交点から等距離にある点で交わります。
4. 2本の平行な直線で終端する任意の直線の中点Oを通る別の割線を引くと、この直線と平行線との交点はOで二等分される。
5. 2つの平行線から等距離にある点を通る2つの直線は、 平行線上の等しい部分を横切る。

6.正三角形の3辺目の任意の点から2辺に平行線を引いてできる平行四辺形の周長は、 その辺の長さの2倍に等しい。

7.六角形の向かい合う辺が等しく平行である場合、その対角線は一点で交わる。

8.交わる2本の直角線がそれぞれ他の2本の直角線に平行である場合、前者の角は後者の角に等しい。AB 、ACがそれぞれDE 、DFに平行であり、AC 、DEがGで交わる場合、角A 、DはそれぞれG [ x x i x .]に等しい。

命題XXX.—定理。2
つの直角直線( AB、CD )が同じ直角直線( EF )に平行である場合、それらは 互いに平行である。

証明—任意の割線GHKを描きます。すると、ABとEFは平行なので、角 AGHはGHFに等しくなります[ x x i x .]。同様に、角GHFはHKDに等しくなります [ x x i x .]。したがって、角AGKは角GKDに等しくなります（公理i .）。したがって [ x x v i i .] ABはCDに平行です。

命題XXXI.—問題与えられた
点( C )を通って、与えられた直線に平行な直線を引く。

解答 — AB内の任意の点Dを取る。CDを結び(投稿i )、角DCFを 角ADCと等しくする[ x x i i i .]。直線CEはABに平行である[ x x v i i .]。

演習。

1.三角形の高さと底角が与えられているとき、その三角形を作図しなさい。

2.与えられた点から、与えられた直線に向かって、与えられた角度に等しい角度をなす直線を引きます。 解が2つあることを示してください。

3.与えられた直線AB を三等分するための次の作図を証明します。— AB上に正三角形△ ABCを描きます 。角AとB を直線ADとBDで二等分し、それらの交点をDとします。D を通ってACとBCに平行な線を引いて、AB との交点をEとFとします。EとFはABの三等分点です。

4.与えられた正三角形の中に、底辺が 三角形の与えられた辺上にある正方形を内接させる。

5.三角形の底辺に平行な直線を引いて、次の3つの値をとるようにします。1.底辺の端から三角形の辺の1辺に引いた切片に等しい。2. 底辺の端から三角形の辺の 2辺に引いた切片の和に等しい。3. 底辺の端から三角形の辺の2辺に引いた切片の差に等しい。それぞれの場合に2つの解が存在することを示してください。

6. 2本の平行線上の2つの与えられた点を通る2本の線を引いて、与えられた平行線とひし形を形成します 。

7.位置が与えられた2本の線の間に、与えられた長さの線を配置し、その 線が与えられた線と平行になるようにします。解が2つあることを示してください。

命題XXXII.—定理。​​​​​

三角形( ABC )のいずれかの辺( AB )を延長( Dまで)すると、外角 ( CBD )は 2 つの内角の和に等しくなります。 隣接していない角（A、C）があり、 3つの内角の合計は2つの直角に等しい。

証明— BE をACに平行に引きます[ x x x i .]。 BC は平行線 BE、ACと交わるので、錯角EBC、ACB は等しくなります [ x x i x .]。また、AB は 平行線BE、ACと交わるので、角EBDはBACに等しくなります[ x x i x .]。したがって、角CBD全体は2 つの角ACB、BACの和に等しくなります。これらのそれぞれに角ABCを加えると、 CBD、ABCの和は3 つの角ACB、BAC、ABCの和に等しくなります。しかし、 CBD、ABCの和は 2 つの直角です [ x i i i .]。したがって、3 つの角ACB 、BAC 、ABC の和は 2 つの直角です。

コリント1章—直角三角形が二等辺三角形であれば、それぞれの底角は直角の半分です。

コリント2章—2つの三角形において、一方の三角形の2つの角が他方の三角形の2つの角と等しいならば、それらの残りの角は等しい。

コリント3章—四角形は2つの三角形に分割できるので、その内角の和は4つの直角に等しい。

コリント4章—n辺の図形を、いずれかの角から対角線を引いて三角形に分割すると、( n – 2)個の三角形ができます。したがって、その内角の和は2( n – 2)個の直角 に等しくなります。

コリント人への手紙5章—凸多角形のすべての辺を延長すると、外角の和は4つの直角に等しくなります。

コリント6章—正三角形の各角は直角の3分の2である。

コリント人への手紙7章—三角形の1つの角が他の2つの角の和に等しい場合、それは直角です。

コリント人への手紙8章—すべての直角三角形は、直角から斜辺に引いた線によって2つの二等辺三角形に分割できます。

演習。

1.直角を三等分する。

2.三角形のどの角も、その角から引いた中線の2倍より対辺が大きい か、等しいか、小さいかによって、鈍角、直角、鋭角のいずれかになります。

3. n辺の多角形の辺を延長すると、交互の辺のペア間の角度の合計は2( n − 4) 直角に等しくなります。

4.外角を二等分する線が底辺に平行である場合、その三角形は 二等辺三角形である。

5. 2 つの直角△ ABCとABD が同じ斜辺AB上にあり、頂点CとDが結ばれている場合、このようにして形成される四角形のどの辺によっても作られる角のペアは等しい。

6.三角形の3つの垂線は一点で交わる。

7.平行四辺形の隣接する2つの角の二等分線は直角である。

8.四角形の外角の二等分線は、 対角の和が2直角に等しい外接四角形を形成する。

9.ある三角形の3辺がそれぞれ別の三角形の3辺と垂直である場合、 それらの三角形は正三角形である。

10.斜辺と辺の和または差が与えられている場合、直角三角形を作図する。

11.二等辺三角形の底辺と、その両端から 等しい辺に下ろした垂線によってできる角は、それぞれその底辺の垂直角の半分に等しい。

12.三角形の一方の底角の内角二等分線と 他方の底角の外角二等分線によって囲まれた角は、対頂角の半分に等しい。

13.命題x v i i iの構成において、角DBC は底角の差の半分に等しいことを証明せよ。

14. A 、B 、C が△の角を表すとき、( A + B )、( B + C )、( C + A ) は、任意の辺と、その辺と他の辺の延長線との間の外角の二等分線によって形成される△の角であることを証明せよ。 12 12 12

命題XXXIII.—定理。2つの等しく平行な直角線( AB 、CD )の隣接する端点を結ぶ
直角線( AC、BD )は等しく平行である。

証明— BCを結びます。ABはCDと平行で、BC はそれらと交わるので、角ABCは錯角DCBと等しくなります[ x x i x . ]。 また、ABはCDと等しく 、BC は共通なので、三角形ABCとDCB は、それぞれ一方の辺ABとBCが他方の辺DCとCBと等しく、それらの辺によって囲まれた角 ABCとDCB が等しくなります。 したがって [ i v . ] 底辺ACは底辺BD と等しく、角ACBは角CBDと等しくなります。 しかし、これらは錯角です。 したがって [ x x v i i . ] AC はBDと平行であり、等しいことが証明されています。したがって、ACはBDと等しく、かつ平行です 。

演習。

1. 2つの直角直線AB 、BCがそれぞれ他の2つの直角直線DE 、EFと等しく平行である場合、 前者の2つの直線の両端を結ぶ直角直線ACは、後者の2つの直線の両端を結ぶ直角直線DFと等しい。

2.等しい直角直線は平行であり、他のどの直角直線に対しても等しい投影を持ちます。 逆に、平行な直角直線は、他の直角直線に対して等しい投影を持ち、 等しいです。

3.互いに等しい直角直線で、他の直角直線上に等しい投影を持つものは平行である。

4. 2本の等しい平行な直線の両端を横断的に結ぶ直線は 互いに二等分する。

命題XXXIV.—定理。​​​​​

平行四辺形の対辺（AB、CD；AC、BD）と対角（A、D；B、C） は互いに等しく、いずれかの対角線が 平行四辺形を二等分します。

証明— BCを結びます。AB は CD と平行で、BC はそれらと交わるので、角ABCは角BCD に等しくなります[ x x i x . ]。また、BC は平行線 AC、BDと交わるので、角ACBは角CBDに等しくなります。したがって、三角形ABC、DCB は、それぞれ一方の 2 つの角ABC、ACB が他方の2 つの角BCD、 CBDに等しく、辺BC が共通です。したがって[ x x v i . ] ABはCDに等しく、AC はBDに等しく、角BAC は角BDCに等しく、三角形ABC は三角形BDCに等しくなります。

また、角ACBはCBDに等しく、DCB はABCに等しいので、角ACD全体は角 ABD全体に等しくなります。

コリント1章—平行四辺形の1つの角が直角であれば、そのすべての角は直角である。

コリント人への手紙2章—平行四辺形の隣り合う2辺が等しい場合、それはひし形です。

コリント3章—四角形の向かい合う辺の組が両方とも等しい場合、それは平行四辺形です。

コリント4章—四角形の対角が両方とも等しい場合、それは平行四辺形です。

コリント人への手紙5章—四角形の対角線が互いに二等分するならば、それは平行四辺形である。

コリント6章—四角形の2本の対角線が四角形を二等分するならば、それは平行四辺形である。

コリント人への手紙7章—平行四辺形の隣り合う辺が等しい場合、その対角線はその角を二等分します。

コリント人への手紙8章—平行四辺形の隣り合う辺が等しい場合、その対角線は直角に交わります。

コリント人への手紙9章—直角平行四辺形では、対角線の長さは等しい。

コリント10章—平行四辺形の対角線が互いに垂直であれば、それはひし形です。

コリント11章—平行四辺形の対角線が、その対角線が頂点を結ぶ角を二等分するならば、その平行四辺形はひし形である。

演習。

1.平行四辺形の対角線は互いに二等分する。

2.平行四辺形の対角線が等しい場合、そのすべての角は直角である。

3.直角線を任意の数の等しい部分に分割する。

4.長さの異なる2本の平行な直角線の隣接する端点を結ぶ直角線を延長すると、 短い方の平行線側で交わる。

5.四角形の向かい合う2辺が平行だが等しくなく、残りの2辺が等しいが 平行でない場合、その四角形の対角は補角の関係にある。

6.与えられた3辺の中点から三角形を作図しなさい。

7.四角形の面積は、2辺の長さが 対角線の長さに等しく、かつその対角線間の角度が三角形の面積に等しい。

命題XXXV.—定理。
同じ底辺( BC )を持ち、同じ平行線の間にある 平行四辺形は等しい。

証明—1.共通の底辺 BC に対向する平行四辺形AC、BF の辺AD 、 DF が同じ点 D で終わるとすると、各平行四辺形は三角形BCDの 2 倍である。したがって、それらは互いに等しい。

2. BCの反対側 の辺AD、EF (図 ( α )、( β ))が同じ点で終わらないようにする。

ABCDは平行四辺形な ので、 AD はBCと等しくなります[ x x x i v .]。また、 BCEFは平行四辺形なので、EF はBCと等しくなります。したがって (図 ( α ) を参照) EDを取り除き、図 ( β )でEDを加えると、いずれの場合もAE はDFと等しくなり、BAはCDと等しくなります[ x x x i v .]。したがって、三角形BAEとCDFは、それぞれ 2 辺BAとAEが 2 辺CDとDFに等しく、角BAE [ x x i x .] は角CDFと等しくなります。したがって [ i v .] 三角形BAEは三角形 CDFと等しくなります。そして、四角形BAFCからこれらの三角形を順に取り出すと 、平行四辺形BCFE が残り、平行四辺形BCDAと等しくなります。

あるいは、三角形ABEとDCF は、それぞれ辺ABとBEが 互いに等しく、角ABE が角DCFに等しい[ x x i x ., 例 8]。したがって、三角形ABEは三角形 DCFに等しく、四角形BAFCからそれぞれを取り除くと、 平行四辺形BCFEが残り、平行四辺形 BCDAに等しくなります。

考察― 第二の証明方法では、証明を場合分けする 必要がなくなります。2つの平行四辺形ABCDとEBCFのどちらかを分割して 並べ替えることで、もう一方の平行四辺形と合同にできることは容易にわかります。この命題は、『原論』 において、合同ではない等式が初めて現れる例です。この 等式は代数的に記号=で表され、合同は≡（同一性記号とも呼ばれる）で表されます。合同な図形は、 同一に等しいと言われます。 。

命題XXXVI.—定理。等しい底辺( BC、FG )を持ち、同じ平行線の間にある平行四辺形(
BD、FH )は等しい。

証明— BEとCHを結びます。FHは平行四辺形なので、 FGはEHと等しくなります [ x x x i v .]。しかし、BC はFGと等しくなります(斜辺)。したがって、BC はEHと等しくなります(公理i .)。したがって、隣接する端点を結ぶBEとCHは等しく平行です。したがって、 BHは平行四辺形です。また、平行四辺形BDとBH は同じ底辺BC上にあり、同じ平行線BCとAHの間にあるので、等しくなります [ x x x v .]。同様に、平行四辺形HBとHF は同じ底辺EH上にあり、同じ平行線EHとBGの間にあるので、等しくなります。したがって 、 BDとFHはそれぞれBHと等しくなります。したがって(公理i .) BDはFHと等しくなります 。

練習問題.— BEとCHを結合せずにこの命題を証明してください。

命題XXXVII.—定理。同じ底辺( BC )を持ち、同じ平行線( AD、BC )の間にある
三角形( ABC、DBC )は等しい。

証明— AD を両方向に延長します。 BE をACに平行に、CF をBDに平行に 引きます[ x x x i .] すると、図形AEBCとDBCF は平行四辺形になります。また、同じ底辺BC上にあり、同じ平行線BCとEFの間にあるので、等しいです [ x x x v .]。 また、三角形ABCは平行四辺形AEBC の半分です[ x x x i v .]。これは、対角線AB が三角形 ABCを二等分しているためです。同様に、三角形DBCは平行四辺形DBCF の半分です。これは、対角線 DC が三角形 DBCF を二等分しており、等しいものの半分は等しいからです (公理v i i .)。したがって、三角形ABCは三角形 DBCと等しいです。

演習。

1. 2 つの等しい三角形が同じ底辺を持ち、反対側にある場合、それらの 頂点を結ぶ直線は底辺によって二等分されます。

2.与えられた四角形と同じ面積の三角形を作図する。

3.与えられた直線図形と面積が等しい三角形を作図する。

4.与えられた平行四辺形と同じ大きさで、底辺が平行四辺形の与えられた辺である菱形を作図する 。

5.三角形の底辺と面積が与えられたとき、頂点の軌跡を求めなさい。

6.平行四辺形ABCDの対角線ACの延長線上の点Oを通って、辺AB 、BC を点E 、Fで交わる任意の直角線を引いたとき、 ED 、FD を結んだ三角形EFD は平行四辺形の半分より小さい。

命題XXXVIII.—定理。底辺が等しく、平行線が等しい2つの三角形は等しい。

証明 —前回と同様の作図により、三角形は底辺が等しく、平行線の間にある平行四辺形の半分であることがわかります。したがって、それらは等しい平行四辺形の半分です [ x x x v i .]。したがって、それらは互いに等しいです 。

演習。

1.三角形のすべての中線は三角形を二等分する。

2. 2つの三角形において、一方の三角形の2辺が他方の三角形の2辺と等しく、かつそれらの 間の角が補角である場合、それらの面積は等しい。

3.三角形の底辺を任意の数の等しい部分に分割すると、 頂点から分割点に引いた直角線は、三角形全体を同じ数の等しい 部分に分割します。

4.平行四辺形の対角線上の任意の点から、 対角線が通らない角の点と対角線に引いた直角は、平行四辺形を 2つずつ等しい4つの三角形に分割します。

5.四角形の一方の対角線がもう一方の対角線を二等分する場合、その対角線は四角形を二等分し、その 逆もまた同様である。

6. 2 つの△ ABC 、ABD が同じ底辺AB上にあり、同じ平行線の間にあり、ABに平行な線が辺AC 、BCと点E 、Fで交わり、辺AD 、BDと点G 、Hで交わるならば、EF = GH である。

7.同じ底辺を持つ三角形の代わりに、同じ 平行線の間に同じ底辺を持つ三角形がある場合、三角形の辺が底辺に平行な任意の線と交わる点は すべて等しくなります。

8.三角形の任意の2辺の中点を結ぶと、その 2つの半分の辺で形成される三角形は、全体の4分の1になる。

9. 2辺の中点と、 別の三角形の底辺上の任意の点を頂点とする三角形は、その三角形の4分の1の大きさである。

10.与えられた三角形を、辺上の与えられた点から引いた直角線で二等分する 。

11.与えられた三角形を、三角形内の与えられた点から引いた3本の直角線で三等分する 。

12.平行四辺形の対角線の交点を通る任意の直線は、 平行四辺形を二等分することを証明せよ。

13.台形の平行でない辺の一方の中点と 反対側の辺の両端を結んでできる三角形は、台形の長さの半分に等しい。

命題XXXIX.—定理。同じ底辺( BC )を持ち、同じ側にある等しい
三角形( BAC、BDC ) は、同じ平行線の間にある。

証明— ADを結びます。次に、AD がBCに平行でない場合は、AE をAD に平行にして、BD をEで交わるようにします。EC を結びます。三角形BECとBACは同じ底辺BC上にあり、同じ平行線BCとAEの間にあるので、それらは等しいです [ x x x v i i .]。しかし、三角形BAC は三角形BDC (斜辺) に等しいです。したがって (公理i .) 三角形BECは三角形BDCに等しい、つまり全体が等しいということは不合理です。したがって、AD はBCに平行でなければなりません 。

命題XL.—定理。​​​​​

等しい底辺（BC、EF）を持ち、同じ直線の一部を形成し、かつ直線の同じ側にある等しい三角形（ABC、DEF）は、同じ平行線の間にあります。

証明— ADを結びます。ADがBFに平行でない場合は、AG をBF に平行にします。GF を結びます。三角形GEFとABC は底辺BC、EF が同じで、平行線BF、AGの間にあるので、等しいです [ x x x v i i i .]。しかし、三角形DEFは三角形ABCに等しい(斜辺)。したがって、GEFはDEFに等しい(公理i .) —​​つまり、全体が等しいということであり、これは不合理です。したがって、AD はBFに平行でなければなりません 。

定義―三角形の高さとは、頂点から底辺に下ろした垂線の ことです。

演習。

1.底辺と高さが等しい三角形と平行四辺形はそれぞれ等しい。

2.三角形の2辺の中点を結ぶ直線は、3辺目に平行である。なぜなら、 底辺の両端からこれらの点に引いた中線は、それぞれ元 の三角形を二等分するからである。したがって、底辺が3辺目で、頂点が二等分点である2つの三角形は 等しい。

3.三角形の任意の辺に平行で、別の三角形の中点を通る線は、その3番目の三角形を 二等分する。

4.三角形の各辺の中点を結ぶ線は、三角形を4つの 合同な三角形に分割する。

5.三角形の2辺の中点を結ぶ線分の長さは、3辺 目の長さの半分に等しい。

6.凸四角形の4辺の中点を順に取ると、 面積が四角形の面積の半分に等しい平行四辺形の角点になります。

7.台形の2つの平行な辺の和は、残りの2辺の中点を結ぶ線の長さの2倍である。

8.三角形の2辺の中点を結ぶ線と 、同じ点を通って3辺目と交わる任意の2本の平行線によって形成される平行四辺形は、 三角形の半分に等しい。

9.四角形の対辺の中点を結ぶ直線と、 対角線の中点を結ぶ直線は一点で交わる。

命題XLI.—定理。​​​​​

平行四辺形（ABCD）と三角形（EBC）が同じ底辺（BC）上にあり、 同じ平行線の間にある場合、平行四辺形は三角形の2倍の大きさになります。

証明— ACを結合します。平行四辺形ABCDは三角形ABCの 2 倍です [ x x x i v .]。しかし、三角形ABCは三角形EBCと等しいです[ x x x v i i .]。したがって、 平行四辺形ABCDは三角形EBCの 2 倍です。

コリント1章—三角形と平行四辺形の高さが等しく、三角形の底辺が平行四辺形の底辺の2倍であるならば、面積は等しい。

コリント人への手紙2章—平行四辺形の向かい合う2辺を底辺とし、それらの辺の間にある任意の点を共通の頂点とする三角形の和は、平行四辺形の半分に等しい。

命題XLII.—問題 与えられた三角形 (ABC) と等しく、与えられた角度( D )と等しい角度を持つ平行四辺形を
作図する。

解答：EでABを二等分する。ECを結ぶ。角BEF [ x x i i i .]をDに等しくする。CG をAB [ x x x i .]に平行に、BGをEFに平行に引く。EGは必要な条件を満たす平行四辺形である。

証明 — AEはEBと等しい(定数) ので、三角形AECは三角形EBCと等しい[ x x x v i i i .]、したがって三角形ABCは三角形EBCの 2 倍である。しかし、平行四辺形EGも三角形EBCの 2 倍である[ x l i .]、なぜならそれらは同じ底辺EB上にあり、同じ平行線EBとCG の間にあるからである。したがって、平行四辺形EG は三角形ABCと等しく、角BEFは (定数) Dと等しい。したがって、EGは必要な条件を満たす平行四辺形である 。

プロップ。XLIII.—理論。​​​​​

平行四辺形の対角線( AC )のいずれかの点( K )を通る平行線( EF、GH )は、平行四辺形を 4 つの平行四辺形に分割し、そのうち対角線が通らない 2つの平行四辺形( BK、KD )は補角と呼ばれます。 他の2つについては 、同等である。

証明：対角線が平行四辺形AC、AK、KCを二等分するので、三角形ADC は三角形ABCと等しく、三角形AHK はAEKと等しく 、三角形KFC は三角形KGCと等しくなります。したがって、最初の等式から最後の 2 つの等式の和を引くと、平行四辺形DK は平行四辺形KBと等しくなります。

コリント1章—平行四辺形ABCD内の点Kを通って辺に平行な線を引くと、平行四辺形DK、KBが等しくなる場合、Kは対角線AC上の点である 。

コリント2章—平行四辺形BHはAFに等しく、BFはHCに等しい。

コリント人への手紙2章は、静力学における基本的な命題を簡単に証明している。

演習。

1. EF 、GHが平行四辺形ABCDの隣接する辺に平行である場合、それらが分割する4つの四角形のうち2つの対角線EH 、GFとABCDの対角線の1つは一点で交わる。 写真

デモ. — EHとGF がMで交わるようにします。Mを通ってMP​​とMJ をABとBCに平行に引きます。AD 、GH 、BC を延長してMP​​と交わらせ、AB 、EF 、DCを延長してMJと交わらせます。ここで補集合OF = FJです。それぞれに FL を加えると、図形OFL = CJが得られます。また、補集合PH = HK [ x l i i i .] です。それぞれにOCを加えると、PC =図形OFLが得られます。したがって、PC = CJです。したがって、それらはほぼ同じ対角線です [ x l i i i ., Cor . 1]。したがって、延長されたACはMを通ります。 写真 写真 写真 写真 写真

2.四角形ABCDの3つの対角線AC 、BD 、EFの中点は同一直線上にある。

証明— AEBGを完成させます 。DHとCIをAGとBGに平行に引きます。IHを結び、延長します。するとAB 、CD 、IHは一点で交わります (例1)。したがって、IHはFを通ります。EIとEHを結びます。ここで [ x i .、例2、3] EI 、EH 、EFの中点は同一直線上にありますが、[ x x x i v .、例1] EI 、EHの中点はAC 、BDの中点です。したがって、 AC 、BD 、EFの中点は同一直線上にあります。写真

命題XLIV.—問題.​​​​​

与えられた直角線（AB）に平行四辺形を適用し、その平行四辺形は 与えられた三角形（C）と等しく、その角の1つが与えられた角 （D）と等しくなるようにします。

解答—与えられた三角形Cと等しく、角Bが与えられた角Dと等しく、辺BE がABと同じ直角になるように平行四辺形BEFG [ x l i i .] を作図します。 Aを通ってBG [ x x x i .]に平行なAHを引き、FG を延長してHで交わるようにします。 HBを結びます。 すると、HAとFE は平行で、 HF がそれらと交わるので、角AHFとHFEの和は2 直角 [ x x i x .] になります。 したがって、角BHFとHFEの和は2 直角より小さくなります。 したがって (公理x i i .) 直線HBとFEを延長すると、Kで交わります。 K を通ってAB [ x x x i .]に平行なKLを引き、 HAとGBを延長して点LとMで交わるようにします。すると、AM は必要な条件を満たす平行四辺形になります。

証明—平行四辺形AMはGE [ x l i i i .]に等しいが、 GEは三角形C (定数) に等しいので、AMは三角形Cに等しい。また、角ABMはEBG [ x v .] に等しく、EBGはD (定数)に等しいので、角ABMはDに等しい。また、AM は与えられた直線上に作図されるので、これが求める平行四辺形である 。

命題XLV.—問題 与えられた直線図形 (ABCD) と等しく、与えられた直線角( X )と等しい角度を持つ平行四辺形
を作図する。

解答：BDを結びます。三角形ABDと等しく、角Eが与えられた角Xと等しい平行四辺形EG [ x l i i . ] を作図します。そして、右側の直線GHに、三角形BCDと等しく、角GHKがX [ x l i v . ]と等しい平行四辺形HI を適用します。さらに三角形があれば、同様に繰り返します。すると、EIは必要な条件を満たす平行四辺形になります。

証明— 角GHKとFEHはそれぞれX (定数) に等しいので、互いに等しくなります。それぞれに角GHEを加えると、角 GHK とGHEの和は角 FEH と GHE の和に等しくなります 。しかし、 HGは EF に平行で、EH は EF と交わるので、FEHとGHE の和は2つの直角になります [ x x i x . ]。したがって、 GHKとGHE の和は 2 つの直角になります。したがって、EHとHKは同じ直角線上にあります [ x i v . ]。

また、GH は平行線FG、EKと交わるため、錯角FGH、 GHK は等しくなります [ x x i x . ]。それぞれに角HGIを加えると、角FGH、HGIの和は角 GHK、HGI の和に等しくなります。しかし、 GIは HK と平行で、GH はそれらと交わるため、角GHK 、HGIの和は 2 つの直角に等しくなります [ x x i x . ]。したがって、角FGH、 HGI の和は 2 つの直角です。したがって、FGとGIは同じ直角線上にあります [ x i v .]。

また、EGとHIは平行四辺形なので、EFとKIはそれぞれGHに平行です 。したがって[ x x x .] EFはKIに平行で、対辺EKとFIは平行です。したがって、EIは平行四辺形です。また、平行四辺形EG（定数）は三角形ABDに等しく、HIは三角形BCDに等しいので、平行四辺形EI全体 は直線図形ABCDに等しく、角度Eは与えられた角度Xに等しくなります。したがって、EIは必要な条件を満たす平行四辺形です 。

問題x l i v .、x l v . を長方形の作図として記述すれば、問題は簡略化され、長方形は 他の領域が参照される最も単純な領域であるため、この特別な形式の方が学生にとって理解しやすくなるだろう。

演習。

1. 2つまたは任意の数の直線図形の合計に等しい長方形を作図する。

2.与えられた2つの図形の差に等しい長方形を作図しなさい。

命題46.—問題与えられた直線( AB )
上に正方形を描く。

解答：ADをABに直角に立てて[ x i .]、 ABと等しくします[ i i i .]。Dを通ってDCをABに平行に引き[ x x x i .]、Bを通ってBCをADに平行に 引きます。すると、ACが求める正方形になります。

証明 — ACは平行四辺形なので、ABはCDに等しい[ x x x i v .]。しかし、ABはADに等しい(定数)。したがって、ADはCDに等しく、ADはBCに等しい[ x x x i v .]。したがって、4 辺は等しい。したがって、ACは菱形であり、角Aは直角である。したがって、ACは正方形である(定義x x x .)。

演習。

1.等しい線上にある正方形は等しい。逆に、等しい正方形の辺の長さは 等しい。

2.正方形の対角線に関する平行四辺形は正方形である。

3.正方形の4辺、または延長した辺上で、 4つの角から等距離にある点を取ると、それらは別の正方形の角点になります。 正五角形、正六角形などについても同様です。

4.与えられた正方形を 5 つの等しい部分に分割します。つまり、4 つの直角三角形と 1 つの 正方形です。

命題XLVII.—定理。直角
三角形( ABC )において、斜辺( AB )の二乗は、他の2 辺( AC、BC )の二乗の和に等しい。

証明— 辺AB、BC、CA上に正方形を描きます [ x l v i .]。CLをAGに平行に 引きます。CGとBKを結びます。 すると、角ACB は直角 (斜角) であり、ACH は直角で正方形の角であるため、角ACBとACH の和は 2 つの直角になります。したがって、 BCとCH は同じ直角線上にあります [ x i v .]。 同様に 、 ACとCD も同じ直角線上にあります。 また、BAG は正方形の角であるため直角です。同様に、CAKも直角です。したがって、BAG はCAK に等しくなります。それぞれにBACを加えると、角CAG はKABに等しく なります。 また、BGとCK は正方形であるため、BAはAGに等しく、CA はAKに 等しくなります。したがって、2 つの三角形CAGとKABは、一方の辺CAとAG が他方の辺KAとABにそれぞれ等しく、挟角CAGとKABも等しい。したがって [ i v .] 三角形は等しい。しかし、平行四辺形ALは三角形CAGの 2 倍である[ x l i .]。なぜなら、それらは同じ底辺AG上にあり、同じ平行線AGとCLの間にあるからである。同様に、平行四辺形AHは三角形KABの 2 倍である。なぜなら、それらは同じ底辺 AK上にあり、同じ平行線AKとBHの間にあるからである。そして、等しいものの 2 倍は等しい (公理v i .) ので、平行四辺形ALはAHに等しい。同様に、平行四辺形BLがBDに等しいことも証明できる。 したがって、正方形AF全体は、2 つの正方形AHとBDの和に等しい。

あるいは、このように：すべての正方形を逆方向に作成します。CG 、BKを結び、Cを通ってOL をAGに平行に引きます。ここで、右側の∠ s BAG 、CAKから∠ BACを取ると、残りの∠ s CAG 、B​​AKは等しくなります。したがって、△ s CAG 、B​​AKは辺CA = AK 、AG = AB 、∠ CAG = BAKを持ちます。したがって、それらは等しくなります。また、s AL 、AHはそれぞれこれらの三角形の 2 倍なので、それらは等しくなります。同様に、s BL 、BDも等しくなります。したがって、正方形AF全体は、2つの正方形AH 、BDの和に等しくなります。 写真 写真

この証明は、 ACとCDが一直線上にあることを証明する必要がないため、通常の証明よりも短くなっています。同様に、正方形をあらゆる方向に回転させてできる8つの図形のいずれかを取ることで、この命題を証明することができます。また、△ CAGと△ BAKのうちの1つを、その平面上でAを中心に回転させてもう1つの△と一致させることができる点Aを考えれば、証明をさらに簡略化できます。つまり、△ CAGと△BAKは合同であるということです。

演習。

1. AC上の正方形は長方形ABに等しい。AO 、 BC = AB上の正方形。BO 。
2. CO = AOの正方形。OB 。
3. AC 2 − BC 2 = AO 2 − BO 2。

4.与えられた2つの平方数の和に等しい平方数となる直線を求めなさい。

5.三角形の底辺と辺の二乗の差が与えられたとき、その 頂点の軌跡は底辺に垂直な直線となる。

6.横断線BKとCGは互いに垂直である。

7. EGを連結すると、その二乗はAC 2 + 4 BC 2に等しくなります。

8.直角三角形の辺の和で描かれる正方形は、 斜辺で描かれる正方形よりも三角形の面積の4倍大きくなります（図、x l v i、例3を参照）。より一般的には、三角形の頂角がn辺の正多角形の角度に等しい場合、辺の和に等しい直線で描かれるn辺の正多角形の面積は、底辺で描かれるn辺の正多角形の面積よりも三角形の面積のn倍大きくなります。

9. ACとBKが点Pで交わり、点Pを通ってBCに平行な直線が引かれ、ABと点Qで交わるならば、CPはPQに等しい。

10.正方形の隣接する角を結んでできる三角形AGKとBEF は、それぞれ直角三角形ABCと等しい。

11. 2つの直線の二乗の差に等しい二乗となる直線を見つけなさい 。

12.辺ACとCBの差の二乗は、斜辺の二乗より三角形の面積の 4 倍小さい。

13. AEを結合すると、線分AE 、BK 、CLは一点で交わる。

14.正三角形では、任意の辺の二乗の3倍は、 反対側の頂点からその辺に垂線を下ろした長さの二乗の4倍に等しい。

15.正方形ABCDの辺BCの一部であるBE上に、辺BGがABの延長線上にある正方形BEFGが描かれています。図形AGFECD を正方形を形成する3 つの部分に分割する必要があります。

16.直角 三角形の辺を二等分する中線の二乗の和の4倍は、斜辺の二乗の5倍に等しい。

17.多角形の各辺に任意の点から垂線を引いて、各辺を 2つの線分に分割する場合、交互の線分の1の平方和は、 残りの線分の平方和に等しい。

18.長方形の任意の点から一方の対角に引いた直線上の平方和は、 同じ点から残りの対角に引いた直線上の平方和に等しい 。

19.直角三角形の斜辺を2つの部分に分割し、 それらの2乗の差が1つの辺の2乗に等しくなるようにします。

20.三角形の底辺の両端から対向する 辺に垂線を引くとき、辺とその下辺によって囲まれた長方形の合計が 底辺の正方形に等しいことを証明する。

命題XLVIII.—定理。​​​​​

三角形の一辺（AB）の二乗が、残りの二辺（AC、CB）の二乗の和に等しい場合、 その辺の対角（C）は直角である。

証明— CDをCBに直角に立てて[ x i .]、CD をCAと等しく します[ i i i .]。BDを結びます。ACはCDと等しいので、 AC上の平方はCD上の平方と等しくなります。それぞれにCB上の平方を加えると、 ACとCB上の平方の和はCDと CB上の平方の和と等しくなります。しかし、 ACとCB上の平方の和はAB (斜辺)上の平方と等しく、 CDとCB 上の平方の和はBD上の平方と等しくなります [ x l v i i .]。したがって、AB上の平方はBD上の平方と等しくなります。したがって、AB はBDと等しくなります[ x l v i ., 例 1]。繰り返しますが、ACはCDと等しく （一定）、CBは2 つの三角形ACBとDCBに共通であり、底辺 AB は底辺DBと等しいので、角ACBは角DCBと等しくなります。しかし、角DCBは直角（一定）です。したがって、角ACBは直角です 。

前述の証明は、直接的な証明であるため、ユークリッドの逆命題の証明の例外となる 。以下は間接的な証明である。CBがACに直角でない場合、CDをACに垂直とする。CD = CBとする。ADを結ぶ。すると、前述と同様に、AD = AB 、CD = CB （定数）であることが証明できる。これは命題vi iに反する。したがって、角ACBは直角である。

第1巻の試験問題。

1.幾何学とは何か？

2.幾何学的大きさとは何か？答え：空間に広がりを持つもの。

3.幾何学の基本的な概念を挙げてください。答え：点、線、面、立体。

4.線は何種類に分けられますか？答え：直線と曲線に分けられます。

5.直線はどのようにして生成されるのですか？答え：一点が常に同じ方向を移動することによって生成されます 。

6.曲線はどのようにして生成されるのですか？答え：方向を絶えず変化させる点の動きによって生成されます 。

7.表面はどのように分類できますか？答え：平面と曲面に分けられます。

8.平面はどのように生成されるか。答え：別の直線と交差する直線の動きによって 、方向を変えずに直線に沿って移動することによって生成される。

9.点にはなぜ次元がないのですか？

10.なぜ線には幅も太さもないのですか？

11.曲面はいくつの次元を持っていますか？

12.平面幾何学とは何ですか？

13.平面幾何学のどの部分が「ユークリッド原論の最初の6巻」の主題となっているか ？答え：点、線、円の幾何学。

14.第1巻の主題は何ですか？

15.平面上の点の位置を確定するには、いくつの条件が必要ですか？答え：2つ。 直線または曲線の2本の交点でなければならないからです。

16.第1巻から例を挙げてください。

17.直線を作図するには、いくつの条件を与える必要がありますか?答え: 2つ。たとえば、 直線が通過しなければならない2つの点、または直線が通過しなければならない1つの点と、直線が平行または垂直でなければならない直線などです 。

18.第1巻では、線を描く際にどのような問題が出題されますか？答え：i i .、i x .、x i .、x i i .、x x i i i .、 x x x i .。問題2を除いて、それぞれ2つの条件があります。問題2の方向は不確定です。

19.円を記述するにはいくつの条件が必要ですか?答え: 3つです。たとえば、 中心の位置 (これは2つの条件に依存します) と半径の長さ ( 投稿iiiを参照)などです。

20.命題はどのようにして間接的に証明されるのか？答え：その矛盾命題が 偽であることを証明することによって。

21.命題の裏表とは何ですか？

22.第1巻のどの命題が、それぞれ命題i v .、v .、v i .、x x v i i .の裏表ですか?

23.同一性の規則の一例となる命題は何ですか？

24.合同な図形とは何ですか？

25.それらは他にどのような名前で呼ばれていますか？答え：それらは完全に等しいと言われています。

26.第1巻に登場する、合同ではない等号の例をすべて挙げてください。

27.合同と同一性を表す記号の違いは何ですか？

28.第1巻で証明された三角形と平行四辺形の性質を分類しなさい。

29.命題x x v i . 、パート I. の逆命題は何ですか?

30.隣接角、外角、内角、錯角をそれぞれ定義しなさい。

31.ある直線を別の直線に投影するとはどういう意味ですか？

32.三角形の中線とは何ですか？

33.四角形の第3対角線とは何ですか？

34.第1巻にある命題のうち、 後に続くより一般的な命題の特殊なケースであるものをいくつか挙げてください。

35.任意の直線図形のすべての外角の合計はいくつですか？

36.三角形を構成するには、いくつの条件を与える必要がありますか?答え: 3つ。例えば 、3辺、または2辺と1つの角など。

第1巻の練習問題。

1.任意の三角形は、各頂点を通ってその対辺に平行な線を引いてできる三角形の4分の1に等しい。

2.問1の最初の三角形の3つの垂線は、 2番目の三角形の辺の中点における垂線です。

3.与えられた点を通る線を引いて、与えられた角の2辺によって切り取られる部分が その点で二等分されるようにする。

4.三角形の3つの中線は一点で交わる。

5.三角形の中線は互いに2：1の比で割り合う。

6. 2辺と3辺目の中線が与えられたときに、三角形を作図する。

7.すべての三角形において、中線の合計は周長より小さく、 周長の4分の3より大きい。

8.与えられた1辺と、残りの2辺の中線から引いた2本の線分を用いて三角形を作図する 。

9. 3つの中央線が与えられている状態で三角形を作図しなさい。

10.三角形の底辺上の垂直角から下ろした垂線と、その垂直角の二等分線との間の角度は 、底角の差の半分に等しい 。

11.与えられた点から等距離にあり、かつその 接続線が与えられた直線に平行な2つの点を2つの平行線上に見つける。

12. 2本の対角線と1辺が与えられた状態で、平行四辺形を作図しなさい。

13.三角形の最も短い中央線は、最も長い辺に対応する。

14.与えられた点から直角をなす2つの平行線上の2点を見つけ、 それらの点から等距離にある点を見つけます。

15.二等辺三角形の底辺上の任意の点から 等しい辺までの距離の合計は、底辺のいずれかの端点から反対側の辺までの距離に等しい 。

16.三角形の辺の中点に引いた3本の垂線は一点で交わる。 したがって、対辺の頂点から引いた垂線も一点で交わることを証明せよ[例2参照]。

17.三角形の1つの角を角度とする菱形を三角形に内接させる。

18.三角形の辺を底辺とする正方形を三角形の中に内接させる。

19. 2 つの固定線からの距離の和または差が、与えられた長さに等しい点の軌跡を求めます 。

20.正三角形の内部の任意の点から引いた垂線の合計は、 その対辺の任意の頂点から引いた垂線の長さに等しい。

21.垂直角の二等分線上の三角形の底辺の両端から垂線の足までの距離は 、底辺の中点からの距離の半分に等しい 。

22.同様に、外角の二等分線を取ると、距離は 辺の和の半分になります。

23.三角形の1辺上の点を見つけ、その点からこれらの辺に引いた平行線上の他の辺が作る切片の合計が、与えられた 長さに等しくなるようにします。

24. 2 つの角のそれぞれの辺が平行である場合、それらの二等分線は平行または 垂直になります。

25.三角形の底辺の両端から、対頂角の二等分線 上の同じ点から下ろした垂線の足に線を引くと、これらの線は 対頂角のもう一方の二等分線上で交わる。

26.三角形の垂線は、三角形の角の二等分線であり、その頂点は これらの垂線の足である。

27.与えられた三角形に、対角線が与えられた一点で交わる平行四辺形を内接させる 。

28. 4辺の長さが与えられ、向かい合う2辺の中点の 位置が与えられている四角形を作図しなさい。

29.共通の頂点を持つ2つ以上の三角形の底辺が、大きさ と位置の両方で与えられ、面積の合計が与えられているとき、頂点の軌跡が直線であることを証明せよ 。

30.与えられた直線図形の各辺に、ある点から下ろした垂線の合計が 与えられている場合、その点の軌跡は直線である。

31. ABCは、等しい辺がAB 、ACである二等辺三角形です。B ′ C ′ は、等しい辺B ′ 、C ′を切断する任意の割線であり、AB ′ + AC ′ = AB + ACです。B ′ C ′がBCより大きいことを証明してください。
32. A 、Bは与えられた2点であり、Pは与えられた直線L上の点である。直線Lが角APBを二等分するときにAPとPBの差が最大となり、直線Lが角APBの補角を二等分するときにそれらの和が最小となることを証明せよ。

33.四角形の1つの角から引いた直角線で四角形を二等分します。

34. ADとBCは平行な2本の線で、 ABによって斜めに、ACによって垂直に切断されています。これらの線の間にBEDを引き、ACをEで切断し、 ED = 2ABとなるようにします。角DBCがABCの3分の1であることを証明してください。

35.三角形ABCの角の二等分線の交点をOとし、AOを延長した線がBCと点Dで交わり、OからOE をBCに垂直に引いたとき、角BODが角COEに等しいことを証明せよ。

36.三角形の外角を二等分すると、 元の三角形の辺上に形成される3つの外側の三角形は等角三角形となる。

37.凸四角形の隣り合う2つの角の二等分線が作る角は、 残りの角の和の半分に等しく、また、向かい合う2つの角の二等分線が作る角は、 他の2つの角の差の半分に等しい。

38.図の構成において、命題x l v i i . 、EF 、KGが結合される場合、

EF2 + KG2 = 5AB2。

39.奇数個の辺を持つ凸多角形の各辺の中点が与えられたとき、 その多角形を作図せよ。

40.四角形の1つの角から引いた線で四角形を三等分する。

41.三角形の底辺の大きさと位置、および辺の和が与えられているとき、 底辺のいずれかの端から隣接する辺に下ろした垂線と、 頂角の外二等分線が、底辺に垂直な与えられた直線上で交わることを証明せよ 。

42.凸四角形の角の二等分線は、対 角が補角となる四角形を形成する。最初の四角形が平行四辺形であれば、2番目の四角形は長方形となる。 最初の四角形が長方形であれば、2番目の四角形は正方形となる。

43.三角形の辺AB 、BC 、CAの中点はそれぞれD 、E 、Fであり、DGはBFに平行に引かれ、EFと交わる。三角形DCGの辺はそれぞれ三角形ABCの 3 つの中線に等しいことを証明せよ。

44.ビリヤードボールが与えられた地点から出発し、 テーブルの4つの側面で反射した後、別の与えられた地点を通過する経路を求めなさい。

45.三角形の2つの角を二等分し、対辺で終わる2つの直線の長さが等しい場合、 その三角形は二等辺三角形である。

46.底辺と 辺の差が与えられている場合、演習41に対応する命題を述べ、証明しなさい。

47.正方形が三角形に内接する場合、その辺の下にある長方形と底辺 と高さの和は、三角形の面積の2倍に等しい。

48. ABとACが二等辺三角形の等しい辺であり、 BDがACに垂線であるとき、BC² = 2ACであることを証明せよ。 。CD 。

49.直角三角形の2辺上に形成される正三角形の合計は、 斜辺上に形成される正三角形の合計に等しい。

50.三角形の底辺、底角の差、 辺の和または差が与えられたとき、その三角形を作図しなさい。

51.三角形の底辺、底辺を二等分する中線、および面積が与えられたとき、 三角形を作図しなさい。

52.四角形ABCDの対角線AC 、BDが点Eで交わり、点F 、Gで二等分される場合、

4△EF G = (AEB + ECD )− (AED + EBC )。

53.三角形の辺上に正方形を描くと、隣接する頂点を結ぶ線は それぞれ次のようになる。(1) 三角形の中線の2倍の長さ。(2) それらに垂直。

第2巻
　長方形の理論

第二巻のすべての命題には、正方形か長方形のいずれかが含まれている。その表現において。始める前に、学生は以下の予備的な説明を読んでおくべきです。これらを読めば、通常は難しいとされるこの本が、簡単になるだけでなく、ほとんど直感的に理解できるようになるでしょう。

1.線形単位はあらゆる線形測定値を表す単位であるのと同様に、平方単位は あらゆる表面的な測定値の基準となる単位です。また、 この国ではインチ、フィート、ヤード、マイルなど、フランスではメートルとその倍数または 分数など、さまざまな線形単位が使用されているように、さまざまな平方単位が使用されています。

2.平方単位とは、長さが線形単位である線上に描かれた正方形のことです。したがって、1平方インチとは、長さが1インチの線上に描かれた正方形のことです。1平方フィートとは 、長さが1フィートの線上に描かれた正方形のことです。

3. 1フィートの直線を取り、その上に正方形を描き、隣接する2辺をそれぞれ12 等分し、辺に平行線を引くと、明らかに平方フィートを平方インチに分割します。 そして、明らかに12個の長方形の平行四辺形があり、それぞれが12平方インチなので、 平方フィートは144平方インチになります。

同様に、1平方ヤードは9平方フィートであることが示され、 一般に、任意の線上に描かれる正方形は、その線のn番目の部分上に描かれる正方形のn 2 倍になります。したがって、簡単な例として、線上の正方形はその半分の正方形の4倍になります。この性質により、量の2乗はその平方と呼ばれます。逆に、線AB上の正方形は、記号的にAB 2で表されます。

4.長方形の平行四辺形において、隣接する2辺がそれぞれmとnの 線形単位を含む場合、一方の辺をm等分し、もう一方の辺をn等分して、 それらの辺に平行線を引くと、明らかに全体の面積はmn個の正方形単位に分割されます。したがって、平行四辺形の面積は 、その長さと幅を掛け合わせることで求められます。これが、（定義ivを参照 ）長方形は任意の2つの隣接する辺によって囲まれると言う理由です。なぜなら、一方の辺の長さを他方の辺の長さで掛け合わせると面積が得られるからです。したがって、ABとADが長方形の隣接する2辺である場合、長方形はABで表されます。 。AD 。

定義。​​​​​​​​​​

i ．直線AB上に点Cを取る、 ACとCBは線分と呼ばれる。、そして Cは分割点である。

i i 。線分ABを延長した線上に C を取ると、 ACとCB は依然として線分ABの線分と呼ばれますが、 Cは外部分割点と呼ばれます。

i i i。角が直角である平行四辺形は長方形と呼ばれます。

i v . 長方形は、隣接する 2 つの辺によって囲まれていると言われます。したがって、長方形ABCD は、 AB、 AD、またはAB、 BCなどによって囲まれていると言われます。

v . ABとCDのような2つの別々の線で囲まれた長方形は、 ABに垂直な線をAでCDに等しいを引くことによって形成される平行四辺形です。長方形の面積はABになります。。CD。

v i . 平行四辺形において、対角線と 2 つの補角に関する平行四辺形のいずれかで構成される図形 [I.、 x l i i iを参照] は、グノモンと呼ばれます。したがって、平行四辺形ACから平行四辺形AOまたはOCのいずれかを取り除くと、残りはグノモンと呼ばれます。

命題I.—定理。​​​​​

2本の線（A、BC）があり、そのうちの1本が任意の数の部分 （BD、DE、EC）に分割されている場合、2本の線（A、BC）で囲まれた長方形は、分割されていない線（A）と分割された線の各部分で囲まれた長方形の合計に等しくなります 。

証明— BF をBCに直角に立てて[I., x i .]、 Aと等しくします。平行四辺形BKを完成させます(定義v .)。DとEを通って、BFに平行な DGとEHを引きます。B 、D、Eの角は直角なので、四角形BG、 DH、EKはそれぞれ長方形です。また、AはBFと等しい(定数) ので、 AとBCで囲まれた長方形は、BFとBCで囲まれた長方形です(定義v .)。しかし、BKはBFとBCで囲まれた長方形です。したがって、 AとBCで囲まれた長方形はBKです。同様に、 A とBDで囲まれた長方形はBGです。また、AはBFと等しい(定数) で、BF はDGと等しい[I. x x x i v .] ので、AはDGと等しくなります。したがって、 A とDEで囲まれた長方形は図形DHです(定義v .)。同様に、AとECによって囲まれた長方形は図形EKである。したがって、次の恒等式が成り立つ。

矩形 含まれる Aによる そして BD ≡ BG。
、、 、、 A 、、 DE ≡ DH。
、、 、、 A 、、 EC ≡ EK。
、、 、、 A 、、 BC ≡ BK。
しかし、BK はBG、DH、EKの合計に等しい(I.、公理i x .)。したがって、 AとBCで囲まれた長方形は、 AとBD 、AとDE 、AとECで囲まれた長方形の合計に等しい。

線分BD 、DE 、EC をそれぞれa 、b 、cとすると、命題は、Aとa + b + cで囲まれた長方形は、 Aとa 、Aとb 、Aとcで囲まれた長方形の和に等しい、つまり、 A ( a + b + c ) = Aa + Ab + Acと書けることを主張している。これは乗法の分配法則に対応しており、幾何学における長方形と、算術および代数学における積が同じ規則に従うことを示している。

図解。Aが6インチ、BDが5インチ、DEが4インチ、ECが3インチとすると、BCは12インチとなり、長方形の各辺の長さは次のようになります。

矩形 A。BC = 6 × 12 = 72 平方インチ。
、、 A。BD = 6 × 5 = 30 、、
、、 A。DE = 6 × 4 = 24 、、
、、 A。EC = 6 × 3 = 18 、、
さて、最後の3つの長方形、すなわち30、24、18の合計は72です。したがって、長方形 Aは。BC = A。BD + A。DE + A。EC 。

第2巻では、様々な方法で分割された線分間の関係について論じています。これらはすべて、代数乗法を用いることで最も簡単に証明できます。学生には、この方法による証明とユークリッドの証明の両方を習得することをお勧めします。そうすることで、各命題の意味をより深く理解できるでしょう。

コリント1章—ある線と他の2本の線によって囲まれた長方形の差は、 その線と他のそれぞれの線によって囲まれた長方形の差に等しい 。

コリント2章—その地域 三角形の は、その底辺と垂線によって囲まれた長方形の半分に等しい 。

証明：頂点Cから垂線CDを引く。EFをABに平行に 、AEとBFをそれぞれCDに平行に引く。するとAFはAB とBFで囲まれた長方形となる。ただしBFはCDに等しい。したがってAF = ABとなる。。CD ; しかし [I. x l i .] 三角形ABCは平行四辺形AF の半分です。したがって、三角形ABCはAB に等しくなります。12。CD 。

命題II.—定理。​​​​​

線分( AB )を任意の 2 つの部分( Cで)に分割すると、線分全体の正方形は、線分全体と各部分 ( AC、CB )に含まれる長方形の合計に等しくなります。

証明 — AB上に正方形ABDF [I. x l v i .] を描き、Cを通ってAF に平行なCEを引きます[I. x x x i .]。ここで、AB はAFに等しいので、 ABとACで囲まれた長方形は AFとACで囲まれた長方形に等しくなります。しかし、AEはAFとACで囲まれた長方形です。したがって、 ABとACで囲まれた長方形はAEに等しくなります。同様に、ABとCBで囲まれた長方形は図形CDに等しくなります。したがって、2 つの長方形ABの合計は 。AC 、AB。CBはAB上の正方形に等しい 。

あるいはこうだ。 AB = AC + CB、
そして AB = AB。
したがって、掛け合わせると、 AB 2 = AB。AC + AB。CB。
この命題は、分割線と分割さ​​れていない線が等しい場合のiの特殊なケースであるため、別途証明する必要はありません。

命題III.—定理。​​​​​

線分（AB）を点Cで2つの線分に分割した場合、線分全体とどちらかの線分（CB）によって囲まれた長方形は、その線分上の正方形と、線分によって囲まれた長方形の合計に等しくなります。

証明— BC上に正方形BCDEを描きます[I. x l v i .]。Aを通ってCD に平行なAFを引きます。EDを延長してAFと点Fで交わるようにします。CBはCDと等しいので、AC と CB で囲まれた長方形はACとCDで囲まれた長方形と等しくなります。しかし、 ACとCDで囲まれた長方形は図形ADです。したがって、長方形AC は。CBは図形ADに等しく、 CB上の正方形は図形CEである。したがって、長方形AC。CBとCB上の正方形を合わせると、図形 AEになります。

繰り返しますが、CBはBEに等しいので、長方形ABは。CBは長方形 ABに等しい。BE ; しかし長方形AB。BEは図形AEに等しい。したがって長方形 AB。CBは図形AEに等しい。そして、等しいものは互いに等しいので、長方形AC。CBとCB上の正方形を合わせると、長方形ABになる。 。CB。

あるいはこうだ。 AB = AC + CB、
CB = CB。
したがって AB。CB = AC。CB + CB 2。
命題iii .は、分割されていない線が分割された線の一部と等しい場合の命題i .の特殊なケースです。

命題IV.—定理。​​​​​

線分( AB )を任意の 2 つの部分( C )に分割すると、線分全体の正方形は、分割された部分( AC、CB )の正方形の合計に、それぞれの長方形の 2 倍を加えたものに等しくなります。

証明— AB上に正方形ABDEを描きます。EB を結び、 C を通ってAEに 平行なCF を引き、BEとの交点をGとします。Gを通ってABに平行な HIを引きます。

さて、AE はABと等しいので、角ABEはAEBと等しい[I. v .]。しかし、 BE は平行線AE、CFと交わるので、角AEBはCGBと等しい[I. x x i x .]。したがって、角CBGはCGBと等しく、したがって [I. v i .] CGはCBと等しい。しかし、 CGはBIと等しく、CB はGIと等しい。したがって、図形CBIGは菱形であり、角 CBI は直角である。したがって (I.、定義x x x .) 正方形である。同様に、図形EFGH も正方形である。

繰り返しますが、CBはCGに等しいので、長方形AC。CBは長方形 ACに等しい。CG ; しかしAC。CGは図形AGである（定義i v .）。したがって、長方形AC。CBは図形AGに等しい。ここで、図形AGとGDは平行四辺形ADの対角線に関する補角であり、等しい[I. x l i i i .]。したがって、平行四辺形 AGとGDは合わせて長方形ACの2倍に等しい。。CB。ここでも、図形HFはHG上の正方形であり、HGはACに等しい。したがって、HFはAC上の正方形に等しく 、CIはCB上の正方形である。しかし、 AB上の正方形である 図形AD全体は、4つの図形HF、CI、AG、GDの合計である。したがって、AB上の正方形は、 AC 、CB上の正方形と長方形ACの2倍の合計に等しい。 。CB 。

あるいは、次のように考えます。AB上に正方形ABDEを描き、CBに等しいAH、EG、DFを切り取ります。CF、FG、GH、HCを結びます。これで、4つの△ACH 、CBF 、FDG 、GEHは明らかに等しくなります。したがって、それらの合計は△ ACHの4倍に等しくなります。しかし、△ ACHは長方形ACの半分です。 。AH （i .コリント2）—つまり、長方形ACの半分に等しい 。CB 。したがって、4つの三角形の合計は 2ACに等しい。。CB 。

繰り返しますが、図形CFGHは正方形であり [I. x l v i ., Cor. 3]、 AC 2 + AH 2に等しく[I. x l v i i .]、つまりAC 2 + CB 2に等しくなります。したがって、図形ABDE全体はAC 2 + CB 2 + 2 ACとなります。 。CB 。

あるいはこうだ。 AB = AC + CB。
二乗すると、 AB 2 = AC 2 + 2 AC。CB + CB 2。
コリント1章—正方形の対角線に関する平行四辺形は正方形である。

コリント2章—直線上の平方は、その 半分の平方の4倍に等しい。

AB = 2 AC とすると、AB 2 = 4 AC 2となります。

この相関関係は、第一の書によって次のように証明できます。CDをABに対して直角に 立て、CD = ACまたはCBにします。ADとDBを結びます。

それから AD 2 = AC 2 + CD 2 = 2 AC 2
同様に、 DB 2 = 2 CB 2 ;
したがって AD 2 + DB 2 = 2 AC 2 + 2 CB 2 = 4 AC 2。
しかし、角ADB は直角なので、AD 2 + DB 2 = AB 2です。

したがって AB 2 = 4 AC 2。
コリント3章—線をいくつでも分割すると、 全体の正方形は、すべての部分の正方形の合計と、 それぞれの異なる部分のペアによって囲まれた長方形の合計の2倍に等しくなります 。

演習。

1.命題i iとi i iを使用して命題i vを証明します。

2.直角三角形の頂角から 斜辺に垂線を下ろしたとき、その垂線の二乗は斜辺の線分によって囲まれた長方形に等しい 。

3.直角三角形の斜辺から、隣接する 辺と同じ長さの部分を切り取ります。中央の線分上の正方形は、 両端の線分で囲まれた長方形の2倍に等しいことを証明してください。

4.直角三角形では、斜辺の和と 斜辺上の直角から下ろした垂線の二乗は、辺の和の二乗よりも垂線の二乗だけ大きい 。

5.直角三角形の周長上の正方形は、 斜辺と1辺の和と斜辺ともう1 辺の和で囲まれた長方形の2倍に等しい。

命題V.—定理。​​​​​

線分( AB )を Cで2つの等しい部分とD で 2つの不等な部分に分割すると、長方形( AD )は。DB )は、不均等な部分によって囲まれた部分 ( CD )の正方形と、断面の点間の部分( CD ) の正方形を合わせたもので、線分の半分の正方形に等しい。

デモ. —CB上に正方形CBEFを描きます[I. x l v i .]。BFを結びます。Dを通ってCFに平行なDGを引き 、BFとの交点をHとします。Hを通ってABに平行なKMを引き、Aを通ってCLに平行なAKを引きます[I. x x x i .]。

平行四辺形CMはDEと等しい[I. x l i i i ., Cor. 2]。しかし、ALはCMと等しい [I. x x x v i .]。なぜなら、それらは同じ底辺AC、CB を持ち、同じ平行線の間にあるからである。したがって、ALはDEと等しい。それぞれにCH を加えると、平行四辺形AHが得られ、これはグノモンCMGと等しい。しかし、AHは長方形 ADと等しい。。DHであり、したがって長方形ADと等しい。。DB は、DHがDBに等しいので[ i v ., Cor. 1]、したがって長方形AD は。DBはグノモンCMGに等しく、 CD上の正方形は図形LGに等しい。したがって、長方形AD。DBはCD上の正方形と合わせて、図形 CBEF全体、つまりCB上の正方形に等しくなります。

あるいはこうだ。 広告 = AC + CD = BC + CD ;
DB =BC − CD ;
したがって 広告。BD = ( BC + CD )( BC − CD ) = BC 2 − CD 2。
したがって 広告。BD + CD 2 = BC 2。
コリント1章—長方形AD。DBは、直線 ACとCDの和とそれらの差によって囲まれた長方形であり、我々はそれがAC上の正方形とCD上の正方形の差に等しいことを証明した。したがって、2つの直線上の正方形の差は、 それらの和と差によって囲まれた長方形に等しい 。

コリント人への手紙2章—長方形AHの周長は2ABに等しく、したがって線分AB上の点Dの位置に依存しません。また、同じ長方形の面積は、線分の半分上の正方形と、点Dと線分の中点を結ぶ線分上の正方形の積よりも小さくなります。したがって、Dが中点である場合、長方形の面積は最大になります。 ゆえに、周長が同じすべての長方形の中で、正方形の面積が最大になります。

演習。

1.与えられた線分を分割して、その分割部分によって囲まれた長方形の 面積が最大になるようにする。

2.与えられた線分を分割して、その線分によって囲まれた長方形が、与えられた正方形と等しくなり 、かつ、与えられた線分の半分の正方形を超えないようにする。

3.三角形の2辺の和と差で囲まれた長方形は、 底辺と、 頂点から下ろした垂線によって作られる底辺の線分の差で囲まれた長方形に等しい。

4.三角形の辺の差は、 頂点から垂線を引いて底辺を構成する2辺の差よりも小さい。

5.二等辺三角形の等しい辺の1つにある正方形と、頂点から底辺上の点に引いた線上の正方形との差は、 底辺の線分によって囲まれた長方形に等しい。

6.直角三角形の両側の正方形は、 斜辺と他の辺の長さの和と差によって囲まれた長方形に等しい。

命題VI.—定理。​​​​

線分( AB )が( Cで)二等分され、任意の点( D )で外側に分割された場合、長方形( AD) 。BD ) は、外部点によって作られる線分によって囲まれた領域と、線分の半分の正方形を合わせたもので、 中点と外部分割点の間の線分の正方形に等しい。

証明：CD上に正方形CDFEを描き[I. x l v i .]、DEを結びます。Bを通ってCEに平行なBHGを引き[I. x x x i .]、DEとの交点をHとします。Hを通ってADに平行なKLMを 引きます。Aを通ってCLに平行なAKを引きます。すると、ACはCBに等しいので、長方形ALはCHに等しくなります[I. x x x v i .]。しかし、補角CHとHFは等しいので[I. x l i i i .]、ALはHFに等しくなります 。これらの等号それぞれにCMとLGを加えると、AMとLGは 正方形CDFEに等しくなります。しかし、AMは長方形ADに等しくなります。。DMであり、したがって長方形ADと等しい。。DBはDMと等しいので、またLGはCB上の正方形と等しく、CDFEはCD上の正方形である。したがって、 長方形ADは。DBとCB上の正方形を合わせると、 CD上の正方形と等しくなります。

あるいはこうだ。

デモ. —CB上に正方形CBEFを描きます[ I. x l v i .]。BFを結びます。Dを通ってCFに平行なDGを引き 、FBの延長線とHで交わります。Hを通ってABに平行な KMを引きます。Aを通ってCLに平行なAKを引きます[I. x x x i .]。

平行四辺形CMはDEと等しい[I. x l i i i .]。しかし、ALはCMと等しい [I. x x x v i .]。なぜなら、それらは同じ底辺AC、CB を持ち、同じ平行線の間にあるからである。したがって、ALはDEと等しい。それぞれにCHを加えると、平行四辺形AHが得られ、これはグノモンCMGと等しい。しかし、AHは長方形 ADと等しい。。DHであり、したがって長方形ADと等しい。。DB は、DHがDBに等しいので[ i v .、 Cor. 1]、したがって長方形AD は。DBはグノモンCMGに等しく、 CB上の正方形は図CEである。したがって、長方形AD。DBはCB上の正方形と合わせて、図形 LHGF全体と等しくなります。つまり、 LH上の正方形またはCD上の正方形と等しくなります。

あるいはこうだ。 AD = AC + CD = CD + CB ;
BD = CD − CB。
したがって 広告。DB = ( CD + CB )( CD − CB ) = CD 2 − CB 2 ;
したがって 広告 。DB + CB 2 = CD 2。

演習。

1.命題v i .が、反対方向に線を引くことによって命題v .に還元されることを示せ。

2.与えられた線を外側から分割し、その分割線で囲まれた長方形が、 与えられた線上の正方形と等しくなるようにします。

3. 2つの直線の差と、それらによって囲まれた長方形が与えられたとき、 直線を求めなさい。

4.任意の2つの線で囲まれた長方形は、その和の半分の平方から、 その差の半分の平方を引いたものに等しい。

5. 2 つの直線の和または差、およびそれらの 2 乗の差が与えられたとき、 直線を求めます。

6.二等辺三角形の頂点Cから底辺の延長線上の任意の点に線分CDを引くと、CD² − CB² = ADが成り立つことを証明せよ。 。DB 。

7.命題v .とv iを含む共通の表現を与えてください。

命題VII.—定理。​​​​​

直線( AB ) を任意の 2 つの部分( Cで)に分割すると、直線全体( AB )と各部分( CB )の平方和は長方形の 2 倍 (2 AB)に等しくなります。 。CB ) は、線全体とその線分、および もう一方の線分上の正方形によって囲まれています。

証明— AB上に正方形ABDEを描きます。BE を結びます。Cを通ってAEに平行なCGを引き 、BEとの交点をFとします。F を通ってABに平行な HK を引きます。

ここで、正方形AD は3 つの図形AK、FD、GHに等しくなります。それぞれに正方形CKを加えると、正方形AD、CKの和は3 つの図形AK、CD、GHの和に等しくなります。しかし、 CDはAKに等しいので、正方形AD、CKの和は図形AKの 2 倍と図形GHの和に等しくなります。ここでAKは長方形ABです。。BK ; しかしBKはBCと等しいので、AK は長方形ABと等しい。。BCはAB上の正方形、ADはCB上の正方形、 GH はHF上の正方形であり、したがってAC上の正方形と等しい。ゆえに、 ABとBC上の正方形の和は長方形AB の2 倍に等しい。 。BCと AC上の正方形。

あるいは、次のようにします。AC上に正方形ACDEを描きます。辺CD、DE、EAを延長し、それぞれの延長部分をCBに等しくします。BF、FG 、GH 、HBを結びます。すると、図形BFGHは正方形になります[ I. x l v i . 、例3 ] 。これは、 AC上の正方形と、4つの等しい三角形HAB 、BCF 、FDG 、GEHを合わせたものに等しくなります。ここで[I. x l v i i .]、図形BFGHはAB 、AH上の正方形の和、つまりAB 、BC上の正方形の和に等しくなります。そして、4つの三角形の和は長方形ABの2倍に等しくなります。 。各三角形のBCは長方形ABの半分に等しい。。BC 。したがって、ABとBC上の平方和は長方形 ABの2倍に等しい。。BCと AC上の正方形。

あるいはこうだ。 AC = AB − BC ;
したがって AC 2 = AB 2 − 2 AB。紀元前 + BC 2 ;
したがって AC 2 + 2 AB。BC = AB 2 + BC 2。
i v .とv i iの比較。

i v .により、平方の合計 = 平方の合計 + 2 つの長方形。

v i i .により、差の二乗 = 二乗の合計 – 長方形の 2 倍。

Cors.はi v . とv i iから来ています。

1. 任意の2つの直線の和の平方、平方の和、および差の平方は等差数列をなす。
2. 任意の 2 つの直線の和の二乗 + 差の二乗 = 直線の二乗の和の 2 倍 (性質i x . およびx .)。
3. 任意の 2 つの線の和の二乗−差の二乗 = 線の下の長方形の 4 倍 (命題v i i i .)。

命題VIII.–定理。​​​​​

線分( AB ) をCで2つの部分に分割すると、線分( AB )全体といずれかの線分( BC )の合計の正方形は、線分( AB )全体とその線分によって囲まれた長方形と、もう一方の線分 ( AC )の正方形の合計の 4 倍に等しくなります。

証明— AB をDまで延長します。BDをBCと等しくします。AD 上に正方形AEFD [I. x l v i .] を描きます 。DEを結びます。C 、 Bを通ってAEに平行なCH、BL を引きます [I. x x x i .]、 K、Iを通ってADに平行なMN、POを引きます。

COはCD上の正方形であり 、CKはCB上の正方形であり、CBはCDの半分である ため、COはCKの4倍に等しい[ iv . , Cor. 1]。また、CGとGIは等しい正方形の辺であるため、それらは等しい[I. x l v i . , Cor. 1]。したがって、平行四辺形AGはMIに等しい[I. x x x v i .]。同様に、 ILはJFに等しいが、MIはILに等しい [I. x l i i i .]。したがって、4つの図形AG、MI、IL、JFはすべて等しい。したがって、それらの和はAGの4倍に等しく、正方形COはCKの4倍に等しいことが証明された。したがって、グノモンAOHは長方形AKの4倍 、すなわち長方形ABの4倍に等しい。 。BC はBK と等しいので、BCはBKと等しい 。

繰り返しますが、図形PHはPI上の正方形であり、したがってAC上の正方形と等しくなります 。したがって、図形AF全体、つまりAD上の正方形は、長方形ABの4倍に等しくなります。 。BCとAC上の正方形。

または次のようにします。BAをDまで延長し、AD = BCとします。DB 上に正方形 DBEF を描きます。BCに等しいBG 、EI 、FLを切り取ります。AとIを通ってDFに平行な線を引き、GとLを通ってABに平行な線を引きます。

これで、4つの長方形AG 、GI 、IL 、LAはすべて等しいことが明らかになりました。ただし、AGは長方形ABです。 。BGまたはAB。BC 。したがって、4つの長方形の合計は 4ABに等しい。。BC 。ここでも、図形NPは明らかにAC上の正方形に等しい。したがって、 BD上の正方形、つまりABとBCの和上の正方形である全体の図形は4ABに等しい。 。BC + AC 2。

あるいはこうだ： AB + BC = AC + 2 BC ;
したがって ( AB + BC ) 2 = AC 2 + 4 AC。CB + 4 BC 2
= AC 2 + 4( AC + CB )。CB
= AC 2 + 4 AB。紀元前。
vまたはv i からの直接シーケンス。

v . またはv i . により、任意の 2 つの線で囲まれた長方形は、それらの和の半分の平方-それらの差の半分の平方に等しいので、任意の 2 つの線で囲まれた長方形の 4 倍は、それらの和の平方-それらの差の平方に等しくなります。

i v .とv i i .からのv i i i . の直接シーケンス。

i v . により、合計の上の正方形 = 正方形の合計 + 長方形の 2 倍。

式(v i i )により 、差の二乗は二乗の和から長方形の2倍を引いた値になります。したがって、引き算により、和の二乗から差の二乗を引いた値は長方形の4倍になります。

演習。

1.図 [I. x l v i i .]において、 EFとGKが結合されている場合、EF 2 − CO 2 = ( AB + BO ) 2を証明せよ。

2. GK 2 − EF 2 = 3 AB ( AO − BO )を証明します 。

3.1​ 1例3 は、17 辺の正多角形を 円に内接させる問題の解法で発生します。注 C を参照してくださいつの直線の差がR、それらの長方形が 4R 2である場合、直線を求めます。

命題IX.—定理。​​​​​

線分( AB )が( Cで)二等分され、 ( Dで) 2 つの不等な部分に分割された場合、不等な部分( AD、DB )の平方和は、線分の半分( AC )と、分割点間の線分( CD )の平方和の 2 倍になります。

デモ.— CE をAB に対して直角に立て、AC または CB と等しくします。AE とEBを結びます 。DFをCEに平行に、FGをCDに平行に引きます。AF を結び ます。

ACはCEと等しく 、角ACEは直角なので、角CEAは半直角です。同様に、角CEBとCBEは半直角なので、角AEFは直角です。また、GF はCBと平行で、CE がそれらと交わるので、角EGFはECBと等しくなります。しかし、ECBは直角 (定数) なので、EGFは直角です。また、GEF は半直角であることが証明されているので、角GFE は半直角です [I. x x x i i .]。したがって [I. v i .] GE はGFと等しくなります。同様に、 FD はDBと等しくなります。

また、ACはCEに等しいので、AC 2はCE 2に等しくなります。しかし、AE 2はAC 2 + CE 2に等しくなります [I. x l v i i .]。したがって、AE 2は 2 AC 2に等しくなります。同様に、EF 2は 2 GF 2または 2 CD 2に等しくなります。したがって、AE 2 + EF 2は 2 AC 2 + 2 CD 2に等しくなります。しかし、AE 2 + EF 2はAF 2 に等しくなります[I. x l v i i .]。したがって、AF 2は 2 AC 2 + 2 CD 2に等しくなります。

繰り返しますが、DFはDBと等しいので、DF 2はDB 2と等しくなります。それぞれにAD 2を加えると、AD 2 + DF 2はAD 2 + DB 2と等しくなります。しかし、AD 2 + DF 2はAF 2と等しいので、 AF 2はAD 2 + DB 2と等しくなります。そして、 AF 2 は2 AC 2 + 2 CD 2と等しいことが証明されました。 したがって、AD 2 + DB 2 は2 AC 2 + 2 CD 2と等しくなります。

あるいはこうだ。 AD = AC + CD ; DB = AC − CD。
2乗して足すと、 AD 2 + DB 2 = 2 AC 2 + 2 CD 2。

演習。

1.与えられた長さの線分の二乗の合計は、その線分を 二等分したときに最小値となる。

2.与えられた線分を内部で分割し、分割された部分の平方の合計が 与えられた平方に等しくなるようにし、その可能性の限界を述べなさい。

3.線分ABがCで二等分され、Dで不均等に分割される場合、

AD2 + DB2 = 2AD.DB + 4CD2。

4.直角 二等辺三角形の斜辺上の任意の点と頂点を結ぶ線上の平方の2倍は、斜辺の各辺の平方の和に等しい 。

5.線分を任意の数の部分に分割した場合、すべての部分の積は 、すべての部分が等しいときに最大となり、それらの二乗の和は最小となる 。

命題X.—定理。​​​​​

直線( AB )が( Cで)二等分され、 ( Dで)外側で分割された場合、外側の点によって作られる線分( AD、DB )上の平方の合計は、直線の半分の平方の 2 倍と、分割点間の線分の平方の 2 倍に等しくなります。

証明— CEをABに直角に立て、 ACまたはCBと等しくする。AE と EB を結ぶ 。CEに平行な DF を引き、EBを延長する。DFはECに平行な ので、角BDFはBCEに等しく[I. x x i x .]、角DBFはEBCに等しくなる [I. x v .]。しかし、角BCEとEBCの和は2 直角より小さい [I. x v i i .]。したがって、角BDFとDBFの和は 2 直角より小さく、したがって [I., 公理x i i .] 直線EBとDFを延長すると、それらは交わる。それらが Fで交わるようにする。Fを通ってABに平行なFG を引き、 ECを延長してGで交わるようにする。AF を 結ぶ。

ACはCEと等しく 、角ACEは直角なので、角CEAは半直角です。同様に、角CEBとCBEは半直角なので、角AEF全体が直角です。また、GF はCBと平行で、GE がそれらと交わるので、角EGF はECBと等しくなります[I. x x i x .]。しかし、 ECBは直角 (定数) なので、EGFは直角で、GEF は半直角であることが証明されています。したがって [I. x x x i i .] GFE は半直角なので、したがって [I. v i .] GE はGFと等しくなります。同様に、FD はDBと等しくなります 。

また、ACはCEに等しいので、AC 2はCE 2に等しくなります。しかし、AE 2はAC 2 + CE 2に等しいので[I. x l v i i .]、AE 2は 2 AC 2に等しくなります。同様に、EF 2は 2 GF 2または 2 CD 2に等しいので、AE 2 + EF 2は 2 AC 2 + 2 CD 2に等しくなります。しかし、AE 2 + EF 2はAF 2に等しいので[I. x l v i i .]、AF 2は 2 AC 2 + 2 CD 2に等しくなります。

繰り返しますが、DFはDBと等しいので、DF 2はDB 2と等しくなります。それぞれにAD 2を加えると、AD 2 + DF 2はAD 2 + DB 2と等しくなります。しかし、AD 2 + DF 2はAF 2と等しいので、 AF 2はAD 2 + DB 2と等しくなります。そして、AF 2 は2 AC 2 + 2 CD 2と等しいことが証明されています。 したがって、AD 2 + DB 2 は2 AC 2 + 2 CD 2と等しくなります。

あるいはこうだ。 AD = CD + AC、
BD = CD − AC。
2乗して足し合わせると、AD 2 + BD 2 = 2 CD 2 + 2 AC 2となります。

以下の命題には、命題i x . およびx . が含まれます。

1.任意の2つの直線の和の2乗とそれらの差の2乗の和は、 それらの2乗の和の2倍に等しい。

2.任意の 2 つの直線の平方和は、その和の半分の平方の 2 倍と、 直線の差の半分の平方の 2 倍に等しい。

3.線を2つの不等な部分と2つの等しい部分に分割した場合、 2つの不等な部分の平方和は、2つの等しい部分の平方和を、等しい部分と不等な 部分の2つの差の平方和だけ 大きくする。

演習

。

1.任意の 2 つの直線の和または差、およびそれらの 2 乗の和が与えられたとき、 直線を求めます。

2.三角形の2辺AC 、CBの平方の和は、底辺ABの半分の平方の2倍と、 ABを二等分する中線の平方の2倍に等しい。

3.三角形の底辺が大きさと位置の両方で与えられ、 辺の二乗の和が大きさで与えられている場合、頂点の軌跡は円になります。

4. △の場合ABCにおいて、底辺BC上の点Dは、

BA2 + BD2 = CA2 + CD2;

線分ADの中点が点Bと点Cから等距離にあることを証明せよ。

5.平行四辺形の辺の平方の合計は、 その対角線の平方の合計に等しい。

命題XI.—問題.​​​​​

与えられた有限線分( AB ) を2 つのセグメント( H内)に分割して、長方形 ( AB )を作る。BH )は線全体で含まれ、一方のセグメントはもう一方のセグメントの正方形と等しくなる場合があります 。

解答 — AB上に正方形ABDC [I. x l v i .] を描きます。AC をEで二等分します。BEを結びます。EA をFまで延長し、EF をEBと等しくします。AF上に正方形AFGHを描きます。 Hが求める点です。

証明― GHをKに延長する。すると、CA はEで二等分され、Fで外分されるので、長方形CF は。AFはEA上の正方形と合わせてEF上の正方形に等しい[ v i .]。しかしEF はEB (定数) に等しい。したがって長方形CF は。AFとEA 2を合わせるとEB 2に等しくなります。つまり、EA 2 + AB 2に等しくなります 。共通であるEA 2を除外すると、長方形CFが得られます。。AF はAB 2に等しい 。また、AF はFGに等しく、正方形の辺であるため、長方形 CF は。AFはCFと等しい。FGは図形CGに等しく、AB2は図形ADに等しいので、CGはADに等しい。共通部分AKを除外すると、図形FHは図形HDに等しいが、HDは長方形ABに等しい。。BH は、BDがABと等しく、FH がAH上の正方形であるためです。したがって、長方形AB。BHはAH上の2乗に等しい 。

D e f .—この命題のように分割された線は、「極値と 中値の比率」で分割されていると言われます。

コリント1.—線C FはAで「極値と平均値の比」に分割されます。

コリント人への手紙2章—CFの大きい方の線分CAからAFに等しい線分を取ると、 CA はそれぞれAHとHBに等しい部分に分割されることは明らかです。したがって、線分を外径比と中径比で分割する場合、大きい方の線分は小さい方の線分に等しい部分を取って同じように分割され、小さい方の線分は同様に差に等しい部分を取って分割され、以下同様です。

コリント3.— ABをCで「極値と中値の比」で分割すると、(コリント2) ACがCBより大きいことは明らかです。CD = CBを切り取ると、(コリント2) ACはDで「極値と中値の比」で分割され、CDはADより大きいです。次に、 DEをADに等しく切り取ると、同様にDEはECより大きい、以下同様です。CDがADより大きいので 、CDはACとCBの共通尺度ではない ことは明らかであり、したがってABとACの共通尺度でもありません。同様に、 ADはACとCDの共通尺度ではないので、 ABとACの共通尺度でもありません。したがって、どれだけ進んでも、ABとACの共通尺度と なる余りに到達することはできません。したがって、線分を「極値と中値の比」で分割すると、 比較不可能である 。

演習。

1. 「極値と平均値の比率」に沿って、外側に線を引きます。

2.線分を「極値と平均値の比」で分割した線分上の正方形の差は、 それらの長方形に等しい。

3.直角三角形において、一方の辺の正方形が 斜辺と他方の辺によって囲まれた長方形と等しい場合、斜辺は 直角から斜辺に下ろした垂線によって「外径比と中径比」で切断される。

4. ABをCで「極値と平均値の比」で切断した場合、次のことを証明せよ。

（１） AB 2 + BC 2 = 3 AC 2。
（２） ( AB + BC ) 2 = 5 AC 2。
5.命題x iの構成において、点G 、B 、F 、D 、A 、Kのペアを結ぶ 3 つの線は平行である。

6. CHがBEとOで交わる場合、AOはCHに垂直である。
7. CHが生成されると、 BFと直角に交わる。
8. ABCはAB = 2 ACの直角三角形です。AHをBCとACの差に等しくすると、ABはHで「外径比と中径比」に分割されます。

命題XII.—定理。​​​​​

鈍角三角形（ABC）において、鈍角を挟む辺（AB）上の正方形は、鈍角を含む辺（BC、CA）上の正方形の合計に、それらの辺（BC）と、反対側の角からその辺に下ろした垂線（AD）との交わりまでの延長線（CD）によって囲まれた長方形の2倍を加えた値を超える。

デモ。BDはCで2つの部分に分けられるので、

BD 2 = BC 2 + CD 2 + 2 BC。CD [ i v . ]
そして AD 2 = AD 2。
したがって、[I. x l v i i . ] BD 2 + AD 2 = AB 2およびCD 2 + AD 2 = CA 2を加えると、

2 2 2 AB = BC + CA + 2BC.CD。

したがって、AB 2 はBC 2 + CA 2より2 BCだけ大きい。 。CD 。

上記の証明は、記号の使い方においてのみユークリッドの証明と異なる。私の経験上、 生徒たちは他のどの方法よりもこの方法を容易に理解できることが分かった。

あるいは、次のように：第一の書によれば、3辺に正方形を描きます。正方形の辺に垂直な線分AE 、BF 、CGを引きます。すると、 [I. x l v i i .]の証明と全く同じように、長方形BGはBEに等しく、AGはAFに等しく、CEはCFに等しいことが証明できます。したがって、 AC 、CB上の2つの正方形の和は、 AB上の正方形より長方形CEの2倍、つまり長方形BCの2倍だけ小さくなります。 。CD 。

コリント1章—AとBから反対側の辺に下ろした垂線がHとDで交わる場合、長方形ACは 。CHは長方形BCに等しい。CD 。

演習。

1.三角形の角ACBが正三角形の角 AB 2 の 2 倍に等しい場合、 AB 2 = BC 2 + CA 2 + BC が成り立つ。 。CA 。

2. ABCDは、対角BとDが直角で、ADとBCを延長したものが点Eで交わる四角形である。AEを証明せよ。 。DE = BE。CE 。
3. ABCは直角三角形であり、BDは斜辺ACに垂線である。ABを証明せよ。 。DC = BD。紀元前。

4.線分ABを点Cで分割し、AC 2 = 2 CB 2とするとき、 AB 2 + BC 2 = 2 ABであることを証明せよ。 。AC 。

5. AB が半円の直径である場合、 AB上の点Cを見つけ、C を円周上の固定点Dに結び、円周と交わる垂直線CEを立てると、CE 2 − CD 2が与えられた正方形に等しくなるようにします。

6.正三角形ABCの角Cから辺ABの延長線上の点Dに引いた線分CDの二乗が2 AB 2に等しい場合、ADは点Bで「外径と中径の比」で交わることを証明せよ。

命題XIII.—定理。​​​​​

任意の三角形（ABC）において、鋭角（C）を挟む辺の正方形は、その角を含む辺の正方形の合計よりも、それらの辺（BC）のいずれかによって囲まれた長方形（BC、CD）の2倍と、鋭角 と反対側の 角からその鋭角に下ろした垂線の足との間の切片（CD）よ​​りも小さい。

民主党— BCはDで 2 つのセグメントに分割されているため、

BC2 + CD2 = BD2 + 2BC.CD [vii.];

そして AD 2 = AD 2。
したがって、

CD 2 + AD 2 = AC 2 [I. x l v i i .]、
そして BD 2 + AD 2 = AB 2、
私たちは BC 2 + AC 2 = AB² + 2BC​。CD。
したがって、AB²は BC² + AC²より2BCだけ小さい。 。CD 。

あるいは、次のように記述します。辺に正方形を描きます。辺に垂直な線分AE、BF、CGを描きます。すると、[I. x l v i i . ]の証明と同様に、長方形BGはBEに等しく、 AGはAFに等しく、CEはCFに等しくなります。したがって、 AC 、CB上の正方形の合計は、AB上の正方形の合計を2CE倍、つまり2BC倍します。 。CD。

観察。—命題i vとv i i 、 vとv i 、 i xとx 、 x i iとx i i iのペアの証明を比較すると、それらは実質的に同一であることがわかる。 この同一性をより明確にするために 、通常の証明に若干の変更を加えました。このようにグループ化された命題のペアは、 現代幾何学では別個のものとしてではなく、各ペアが1つの命題として扱われます 。

演習。

1. △ ACBの角Cが正三角形の角に等しい場合、AB² = AC² + BC² − AC 。紀元前。

2.四角形の対角線の平方の合計と、 それらの中心点を結ぶ線上の平方の4倍の合計は、その四角形の 辺の平方の合計に等しい。

3.与えられた直線ABを延長した線上に、AC² + BC² = 2AC となる点C を見つけます。 。紀元前。

命題XIV.—問題与えられた直線図形( X )に等しい正方形を
作図する。

解答—長方形AC をXに等しく作図します。次に、隣接する辺ABとBCが等しい場合、ACは正方形となり、問題は解決します。そうでない場合は、 ABをEまで延長し、BE をBCに等しくします。AEをFで二等分します。F を中心、FEを半径として半円AGEを描きます。CBを延長してGで交わります。BG上に描かれる正方形はXに等しくなります。

民主党— FGに加わる。すると、 AE はFで均等に分割され、 Bで不均等に分割されるため、長方形AB は。BEとFB 2を合わせるとFE 2 [ v . ]、つまりFG 2に等しくなります。しかし、 FG 2はFB 2 + BG 2 [I. x l v i i . ]に等しくなります。したがって、長方形AB は。BE + FB 2はFB 2 + BG 2に等しい。共通であるFB 2を除外すると、長方形 ABが得られる。。BE = BG 2 ; しかし、BEはBCに等しいので、長方形AB。BEは図形ACに等しい。したがって、BG 2は図形ACに等しく、したがって与えられた 直線図形（X）に等しい。

Cor. —直径上の半円内の任意の点から下ろした垂線上の正方形は、直径の線分によって囲まれた長方形に等しい。

演習。

1. 2つの直線上の正方形の差と、それらの長方形が与えられたとき、直線を求めなさい。

2.与えられた線を分割し、別の与えられた線と一方の線分によって囲まれた長方形が、 もう一方の線分上の正方形と等しくなるようにします。

第2巻の試験問題。

1.第2巻の主題は何ですか？答え：長方形の理論。

2.長方形とは何ですか？日時計の針とは何ですか？

3. 1平方インチ、1平方フィート、1平方パーチ、1平方マイルとは何ですか？答え：長さが1インチ、1フィート、1パーチなどの線上に描かれた正方形です。

4.線形測定と表面測定の違いは何ですか？答え：線形 測定は1次元ですが、表面測定は2次元です。

5.線が内部的に分割されていると言われるのはどのような場合ですか？外部的に分割されていると言われるのはどのような場合ですか？

6.長方形の面積はどのように求められますか？

7.線分によって囲まれた長方形が最大になるように線分を分割するにはどうすればよいでしょうか ？

8.平行四辺形の面積はどのように求められますか？

9.底辺が65メートル、面積が1430平方メートルの平行四辺形の高さはいくらですか ？

10.線分の二乗和が最小となる場合、線分はどのように分割されますか？

11.長方形の面積は 108.60 平方メートル、周囲の長さは 48.20 メートルです。 その寸法を求めなさい。

12.第2巻のどの命題が乗法の分配法則を表していますか？

13.平方根を求める規則は、どのような命題に基づいているか？

14. I. x l v i i .と II. x i i .およびx i i i .を比較してください。

15.三角形の辺の長さがそれぞれx 2 + 1、x 2 − 1、2 x単位で表される場合、 直角三角形であることを証明せよ。

16.面積がちょうど 1 エーカーになる正方形をどのように作図しますか? I. x l v i iによる解法を示してください。

17.不可通約線とは何ですか？第2巻から例を挙げてください。

18.正方形の一辺と対角線は互いに通約できないことを証明せよ。

19.ひし形の対角線の長さはそれぞれ16メートルと30メートルです。 辺の長さを求めなさい。

20.長方形の対角線の長さは 4.25 パーチ、面積は 7.50 平方パーチです。その 寸法はいくつですか？

21.三角形の3辺の長さは8、11、15です。鈍角を持つことを証明してください。

22.三角形の辺の長さは 13、14、15 です。中線の長さと 垂線の長さを求め、すべての角が鋭角であることを証明してください。

23.三角形の辺の長さがそれぞれm 2 + n 2、m 2 − n 2、 2 mn線形単位で表される場合 、直角三角形であることを証明せよ。

24. 5.29平方パーチの正方形の各辺において、それぞれの角から1.5直線パーチの距離を測った場合 、このようにして得られた点を結んでできる正方形の面積を求めなさい 。

第2巻の練習問題。

1.四角形の対角線上の正方形の合計は、対向する辺の中点を結ぶ線上の正方形の合計の2倍である。

2.三角形の中線が点Oで交わる場合、AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3( OA 2 + OB 2 + OC 2 ) となります。

3.与えられた点Oを通って、与えられた長さの3 つの直線OA 、OB 、OCを引きます。これらの直線の 端点は同一直線上にある可能性があり、AB = BCとなります。

4.任意の四角形において、向かい合う2辺が二等分される場合、残りの2 辺の平方の和と対角線の平方の和は、 二等分された辺の平方の和と、二等分点を結ぶ線上の平方の4倍に等しい 。

5.任意の三角形の辺上に正方形を描くと、隣接する頂点を結ぶ線上の正方形の合計は、三角形 の辺上の正方形の合計の3倍に等しい 。

6.与えられた線を2つの部分に分割し、全体と一方の 線分によって囲まれた長方形が、もう一方の線分上の正方形の任意の倍数と等しくなるようにします。

7. P が半円の直径AB上の任意の点であり、CD が任意の平行弦である場合、 2 2 2 2 CP + PD = AP + PB 。
8. A 、B 、C 、Dが順に並んだ 4 つの共線点である場合、

AB.CD + BC.AD = AC.BD。

9.任意の五角形の辺の平方の合計の3倍は、その対角線の平方の合計よりも大きく、 対角線の中点を結ぶ線の平方の合計の4倍だけ大きい。

10.どんな三角形でも、辺の二乗の和の3倍は、中線の二乗の和の4倍に等しい。

11.正方形の角の点から任意の直線に垂線を引くと、 一方の対角から垂線を引くことで得られる正方形の面積の合計は 、もう一方の対角から垂線を引くことで得られる長方形の面積の2倍に正方形の面積を加算した値になる。

12.三角形の底辺ABをDで分割し、mAD = nBDとすると、

2 2 2 2 2 mAC +nBC = mAD + nDB + (m+ n)CD 。

13.点DをAB延長線上にとり、mAD = nDBとすると、

mAC2 − nBC2 = mAD2 − nDB2 + (m− n)CD2。

14.三角形の底辺の大きさと位置が与えられ、一方の辺のm倍の2乗と 他方の辺のn倍の2乗の和または差の大きさが与えられている場合、頂点の軌跡は円である。

15.任意の長方形は、その隣接する辺に描かれた正方形の対角線によって囲まれた長方形の半分に等しい。

16. A 、B 、C 、…が任意の数の固定点であり、Pが可変点である場合、 AP 2 + BP 2 + CP 2 + …が大きさで与えられているとき、 Pの軌跡を求めなさい。

17.長方形の面積が与えられている場合、その周囲長は正方形のときに最小となる。

18.点A 、C 、Bを横断する切断線が点Dから出る 3 つの直線である場合、 次のことを証明します。

BC.AD2 + AC.BD2 − AB.CD2 = AB.BC.CA.

19.直線ABの線分AC 、CB上に正三角形が描かれている。これらの三角形を中心とする円の中心をD 、D ′とすると、6 DD ′ 2 = AB 2 + AC 2 + CB 2であることを証明せよ。

20. a 、b 、p が直角三角形の直角に関する辺を表し、直角から斜辺に下ろした垂線が+ = である。 -12 a 12-b 12ページ

21.線分ACの長い方の線分ABを外径と中径の比で分割し、正三角形ABDを描き、CDを結ぶと、CD 2 = 2 AB 2 となる。

22.両端が与えられた2つの同心円の円周上にある可変線が、 任意の固定点で直角をなす場合、その中点の軌跡は円である。

第3巻
　円の理論

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定義。

i．正円とは、半径が等しい円のことです。

これは定理であって定義ではありません。2 つの円の半径が等しい場合、それらは明らかに 合同な図形であり、したがって等しいからです。この定理を証明するこの方法から、命題 x x v i .– x x i x .が直接推論として導かれます。

i i . コード円の円周上の2点を結ぶ線は、円周上の2点を結ぶ線である。

弦を両方向に延長すると、その線全体を割線と呼び、割線が円周を分割する各部分を 弧と呼ぶ。—主共役弧が大きく、副 共役弧が小さいほど。—新しいコム。

直線が円に接し、両方向に延長しても円と交わらないとき、直線は円に接していると言われます。この直線は接線と呼ばれます。円に対して、そして円に接する点を接触点とする。

現代幾何学では、曲線は無限個の点から構成されると考えられ、それらの点は 曲線に沿って順番に配置され、連続する2点を通る割線が接線となります。 ユークリッドの接線の定義は、円と、円から投影によって得られる曲線（円錐曲線）以外の曲線には全く不十分であり、 これらの曲線についても現代の定義の方が 優れています。

i v . 円は互いに接しているが交差していないと言われる。接触には2種類ある。:—

1. それぞれの円が互いに外側にある場合。
2. 一方の円が他方の円の内側にある場合。

以下は曲線接触の現代的な定義です。2つの曲線が 2 つ、3 つ、 4 つ、など連続する点を共有している場合、それらは第 1 次、第 2 次、第 3 次、など接触していることになります 。

v .セグメント円弧とは、弦と、その弦によって円周が分割される弧のいずれかによって囲まれた図形のことである。

vi .弦は、中心から弦に引いた垂線の長さが等しい場合に、中心から等距離にあると言われます。

vi i .線分の円周上の任意の点からその弦の両端に引いた2本の線によってできる角度を、線分の角と呼びます。

vi i i 。線分の角度は、その弦と両端の接線との間の角度です。

この定義には、弦の両端における接線とのなす 角が等しいという定理が暗黙のうちに仮定されている。これについては後ほど証明する。

i x。線分内の角は、その共役弧上に あると言われます。

x。円の相似なセグメントとは、等しい角度を含むセグメントのことです。

x i。セクター円は、2つの半径と、それらの間に挟まれた弧によって構成される。

一対の半径には、その端点が円を分割する2つの共役弧のいずれか が属することができる。—ニューコム。

x i i . 同心円中心が同じであるもの。

x i i i。円周上にある点は同円周上にあると言われます。

x i v .円に内接する四角形円に内接するものです。

x v 。ここで、 angleという単語の拡張された意味について説明するのが適切でしょう。現代幾何学において。この拡張は三角法、力学、実際には幾何学のあらゆる応用において必要であり、I. 定義i xで部分的に与えられています。

したがって、図1、2、3、4のよう に、線分OAが点Oを中心に回転して位置OBに達する場合、 OAからOBへの回転量を角度と呼びます。図から、図1では2直角未満、図2では2直角、図3では2直角より大きく4直角未満、図4では4直角より大きいことがわかります。矢印の先端は、線分OAが回転する方向、または専門用語でいうところの「向き」を示しています。上記の図で示されている方向を正、反対を負と呼ぶのが一般的です。OAのように固定点を中心に回転する線分は、半直線と呼ばれます。そして、次の定義が得られます。

x v i 。時計の針とは 反対方向に曲がる光線は正の角度を描き、針と同じ方向に曲がる光線は負の 角度を描きます。

命題I.—問題.与えられた円の
中心( ADB )を求める。

解答：円周上の任意の2点A、Bを取る。ABを結ぶ。ABを二等分してCとする。ABに直角にCDを立てる。DCを延長して円と再び交わる点をEとする。DE を二等分してFとする。するとFが中心となる。

証明― 可能であれば、他の任意の点Gを中心とします。GA、GC、GBを結びます。すると、三角形ACG、BCGでは、 AC はCBに等しく(一定)、CG は共通で、底辺GAはGBに等しくなります。なぜなら、これらは仮定により中心であるGから円周に引かれているからです。したがって [I. v i i i .] 角ACGは隣接する角BCGに等しく、したがって [I. Def. x i i i .] それぞれが直角です。しかし、角ACD は直角 (一定) です。したがって、ACDはACGに等しくなります。つまり、全体が部分と等しいことになり、これは不合理です。したがって、直線DE上にない点は中心にはなり得ません。したがって、 DEの中点Fが中心でなければなりません。

前述の証明は次のように要約できます。EDはAB を直角に二 等分する
ため、点A、Bから等距離にあるすべての点はED内になければなりません[I. x .例 2]。しかし、中心はAとBから等距離にあります。したがって、中心はED内になければなりません。また、中心はEとDから等距離にあるので、DEの中点にならなければなりません。

コリント1章—円の弦を垂直に二等分する線は、円の中心を通ります。

コリント人への手紙2章—2つの固定点を通る円の中心の軌跡は、その2点を結ぶ直線を直角に二等分する直線である。

コリント3章—円周上の3点A、B、Cがある場合、弦AB、BCを垂直に二等分する線は中心で交わります。

命題II.—定理。​​​​​

円周上に任意の2 点( A、B )を取ると、1.これらの点を通る不定直線の線分 ( AB )のうち、2 点の間にある部分は円の内側にあります。2. 直線の残りの部分は円の外側にあります。

証明—1. Cを中心とする。AB内の任意の点Dを取る。CA 、CD、CBを結ぶ。ここで、角ADCはABCより大きい[I. x v i . ]。しかし、三角形CABは二等辺三角形なので、角ABCはCABに等しい [I. v . ]。したがって、角ADCはCADより大きい。ゆえに、ACはCDより大きい[I. x i x . ]。したがって、CD は円の半径より小さい。したがって、点Dは円の内側にある必要がある (I. Def. x x x i i i .の注記)。

同様に、AとBの間の他のすべての点も円の内側に位置する。

2. ABをどちらの方向にも延長した点 E を取ります。CEを結びます。すると、角ABCはAEC より大きいので、CAB はAECより大きいことになります。したがって、CEはCAより大きく、点Eは円の外にあります。

この命題の第二部を追加しました。 ユークリッド幾何学のいくつかの版で示されている第一部の間接的な証明は非常に洗練されておらず、多くの学生が幾何学を嫌う原因の一つとなっている不条理なものです 。

コリント1章—3つの同一直線上の点は同一円周上にはなり得ない。

コリント人への手紙2章—直線は円と2点以上で交わることはできない。

コリント3章—円周は、どこも中心に向かって凹んでいます。

命題III.–定理。​​​​​

円の中心を通る直線( AB )が、中心を通らない弦( CD )を二等分する場合、直線は弦を直角に切断します。 2.直線が弦を直角に切断する場合、直線は弦を二等分します。

証明1. O を円の中心とする。OC と OD を結ぶ。すると、三角形 CEOとDEO は、CEとED (斜辺) が等しく、EOは共通で、OCと OD は円の半径であるため等しい。したがって [I. v i i i .] 角CEO はDEOと等しく、これらは隣接角である。したがって [I. Def. x i i i .] それぞれが直角である。ゆえに AB はCDと直角に交わる。

2. 同じ作図を行う。OC は OD と等しいので、角OCDは ODCと等しく[I. v .]、CEO はそれぞれ直角なのでDEO (斜角)と等しい。したがって、三角形CEOとDEO は、それぞれ一方の 2 つの角が他方の 2 つの角と等しく、辺EO が共通である。したがって [I. x x v i .] 辺CEはEDと等しい。したがって、CDはEで二等分される 。
3. 次のように証明することができる。

OC 2 = OE 2 + EC 2 [I. x l v i i .]、およびOD 2 = OE 2 + ED 2 ;
しかし OC 2 = OD2 ;​ ∴ OE 2 + EC 2 = OE 2 + ED 2。
したがって EC 2 = ED 2、およびEC = ED。
観察.— 3 つの定理、すなわちCor . 1.、Prop. i .、および Prop. iii. のパート 1、2 は、直接1つが証明されると、同一性の規則により他の 2 つが導かれるという関係にあります。

コリント1章—円の2本の平行な弦のうち一方を垂直に二等分する線は、もう一方の弦も垂直に二等分する。

コリント2章—円の平行弦の系の中点の軌跡は、それらすべてに垂直な円の直径である。

コリント3章—直線が2つの同心円と交わるとき、円と円の間のその直線の切片は等しい。

コリント4章—交わる2つの円の中心を結ぶ線は、それらの共通の弦を垂直に二等分する。

演習。

1.円の弦がある点において直角をなす場合、その弦の中点の軌跡は 円である。

2.ある点を通り、中心が与えられた直線上にある円はすべて、 別の与えられた点を通る。

3.与えられた円の中に、与えられた点において直角をなす弦を描き、 与えられた直線に平行になるようにする。

命題IV.—定理。円
の 2 つの弦( AB 、CD )は、両方とも直径でない限り 、互いに二等分することはできませんが、どちらか一方が他方を二等分することは可能です。

証明― Oを中心とする。AB と CD が E で交わるとする。ABとCDはどちらも直径ではないので、 OEを結ぶ。可能であれば、AEをEBに、CE をEDに等しくする 。さて、中心を通るOE は中心を通らないAB を二等分するので、OE は AB と直角である。したがって、角AEO は直角である。同様に、角CEO も直角である。したがって、AEOはCEOに等しい、つまり全体が部分と等しいということになり、これは不合理である。したがって、ABとCD は互いに二等分しない。

Cor. —円の2つの弦が互いに二等分する場合、それらは両方とも直径です。

命題V.—定理。2つ
の円( ABC、ABD )が任意の点( A )で交わる場合、それらは同心円ではない。

証明：可能であれば、円の中心をOにするとします。OAを結び、円をそれぞれCとDで交わる任意の線ODを引きます。すると、Oは円ABC の中心なので、OAはOCに等しくなります。また、Oは円ABDの中心なので、OAはODに等しくなります。したがって、 OCはODに等しくなります。つまり、全体が部分と等しいということになり 、これは不合理です。したがって、これらの円は同心円ではありません。

演習。

1.同心円でない2つの円が1点で交わる場合、必ず別の点でも交わる。O 、O ′を円の中心とし、 Aを交点とする。Aから直線OO′上に⊥ACを下ろし、ACをBまで延長してBC = CAとする。するとBはもう1つの交点となる。

2. 2つの円は、完全に一致しない限り、3つの共通点を持つことはできない。

命題VI.—定理。​​​​​

ある円（ABC）が別の円（ADE）の内接点（A）に接する場合、その円は別の円と同心円ではない。

証明― 可能であれば、円が同心円になるようにし、それぞれの中心をOとする。OAを結び、円をそれぞれ点BとDで交わる任意の直線ODを引く 。すると、 Oはそれぞれの円の中心 (斜辺) なので、OBとODはそれぞれOAと等しくなる。したがって、 OBとODは等しくなるが、これは不可能である。ゆえに、円は同じ中心を持つことはできない。

命題VII.—定理。​​​​​

円の中心ではない任意の点( P )から円周に向かって線( PA、PB、PCなど)を引き、そのうちの 1 つが中心を通る場合、次のことが成り立ちます。1.最も長いのは中心を通る線( PA )です。2.この線の反対方向への延長 ( PE )は最も短くなります。3. 他の線のうち、中心を通る線に最も近い線は、それより遠い線よりも長くなります。4. 円周の反対側で直径と等しい角度をなす 2 つの線は等しいです。5.与えられた点( P )から円周に向かって2 本を超える等しい直角を引くことはできません。

証明1. Oを中心とする。OB を結ぶ。Oは中心なので、 OAはOBと等しい。それぞれにOPを加えると、APはOBとOPの和に等しい。しかし、 OBとOPの和はPBより大きい[I. x x .]。したがって、PAはPBより大きい 。

2. ODを結合します。すると [I. x x .] OPとPDの合計はODより大きいですが、ODはOEと等しいです[I. Def. x x x .]。したがって、 OPとPDの合計はOEより大きいです。共通であるOPを棄却すると、PDはPEより大きいことがわかります 。
3. OCを結びます。すると、2 つの三角形POBとPOCは、辺OBがOCと等しく [I. Def. x x x .]、OP が共通ですが、角POBはPOCより大きいので [I. x x i v .]、底辺PBはPCより大きいです。同様に、PC はPDより大きい です。
4. 中心Oにおいて、角POF をPODと等しくします。PF を結びます。すると、三角形PODとPOFは、それぞれ2 辺OPとOD が2 辺OPとOFに等しく、角POD が角POFと等しくなります。したがって、PDはPF と等しく[I. i v . ]、角OPDは角OPFと等しくなります。したがって、PD とPF は直径と等しい角度をなします。
5. 点Pから、等しい直線PDと PFのどちらにも等しい 3本目の直線を引くことはできません。仮にPGをPDに等しいとすると、PGはPFに等しくなります。つまり、中心を通る直線に最も近い直線が、中心を通る直線から遠い直線に等しくなることになりますが、これは不可能です。したがって、点Pから円周に等しい3本の直線を引くことはできません。

コリント1章—点Pから円周上に等しい2本の直線PD、PFを引くと、点Pを通る直径は、これらの直線によって形成される角DPFを二等分する。

コリント2.—半径がPA、PB、PCなどの円の共通中心をPとすると、1. 半径が最大線( PA )である円は円ADEの外側にあり、 AでADEに接する[定義iv ]。2 . 半径が最小線( PE )である円は円ADEの内側にあり、EでADEに接する。3. 残りの線( PD )のいずれかを半径とする円はADEを2点( D、F )で切断する。

考察。—命題v i iは、次の重要な定義をよく示している （『ユークリッド続編』 13ページ参照）。—幾何学的量が何らかの法則に従って連続的に位置を変化させ 、その間ずっと同じ値を保つ場合、それは定数と呼ばれる。 例えば、中心を周回する円の半径などである。しかし、それがしばらくの間増加し続け、その後減少し始める場合、それは 最大値と呼ばれる。 増加の終わりに 。したがって、前述の図では、Pの周りを回転して円と交わると想定されるPA は最大値になります。また、しばらく減少してから増加し始めると、最小値になります。 増加の開始時。したがって、以前と同様にPの周りを回転して円と交わると仮定されるPEは最小値です。命題v i i i .は他の例を示します。

命題VIII.—定理。​​​​​

円の外側の任意の点( P )から凹円周に線( PA 、PB 、PCなど)を引くと、次のようになります。1. 最大は中心を通る線です。2. 他の線のうち、中心を通る線に近い線は、遠い線よりも大きくなります。また、凸円周に線を引くと、次のようになります。3.最小は、その延長線が中心を通る線です。4 .他の線のうち、最小に最も近い線は、遠い線よりも小さくなります。5 .与えられた点( P )から凹円周または凸円周に 2 つの等しい線を引くことができ、どちらの線も中心を通る線と等しい角度をなします。6.与えられた点( P )からどちらの円周にも 2 本を超える等しい線を引くことはできません。

証明—1. Oを中心とする。OB を結ぶ。Oは中心なので、 OA はOBと等しい。それぞれにOPを加えると、AP はOBとOPの和に等しくなる。しかし、 OBとOPの和はBPより大きい[I. x x . ]。したがって、APはBPより大きい 。

2. OC、ODを結びます。2 つの三角形BOP、COP は、辺OBがOCと等しく、OP が共通であり、角BOP がCOPより大きいので、底辺 BPはCPより大きい[I. x x i v . ]。同様に、CPはDPより大きい、など。
3. OFを結びます。三角形OFPでは、辺OFとFPの合計はOPより大きい[I. x x . ] ですが、OF はOEと等しい[I. Def. x x x . ] です。これらを棄却すると、FP はEPより大きいままになります 。
4. OG、OHを結びます。2 つの三角形GOP、FOP は、それぞれ2辺GO、OPを持ち、他の三角形の 2 辺FO、OP と等しくなります。しかし、角GOPはFOPより大きいので、底辺GPはFPより大きいです。同様に、HPはGPより大きいです。
5. 角POI をPOF に等しくします[I. x x i i i .]。IPを結びます。これで、三角形IOPと FOP は、それぞれ2 辺IOとOPを持ち、 2 辺FOとOP は互いに等しく、角IOP はFOP (定数)に等しくなります。したがって[I. i v .] IP はFPに等しくなります 。
6. PからIPまたはFP のいずれかの線に等しい3 番目の線を引くことはできません。 なぜなら、可能であればPK をPFに等しくすると、PK はPIに等しくなります。つまり、最小値に近い方が、より遠い方に等しくなりますが、これは不可能です。

コリント1.— PIを延長して円と再びLで交わると、PLはPBに等しくなります 。

コリント人への手紙 2章—点Pから凸面または凹面の円周に等しい2本の線を引くと、点Pを通る直径はそれらの間の角を二等分し、円によって切り取られるそれらの部分は等しくなります。

3. Pを、半径がPからHDE の円周に引かれた線である円の共通中心とすると、1. 半径が最小の線 ( PE )である円は、ADEと第一種の接触を持つ[定義iv ]。2. 半径が最大の線 ( PA )である円は、第二種の接触を持つ。3. 残りの線 ( PF ) のいずれかを半径とする円は、 HDEと 2 点 ( F、I )で交わる。

命題IX.—定理。​​​​​

円( ABC )内の点( P )で、円周上に 2 つ以上の等しい線 ( PA、PB、PCなど)を引くことができる点を中心といいます。

証明 — P が中心でないならば、 Oを中心とする。OP を結び、円と交わる点をDとEとする。するとDE は直径であり、Pはその直径上の点であり、中心ではない。したがって [ v i i . ] Pから円周に引ける等しい直線は 2 本だけである。しかし、等しい直線が 3 本引かれている (斜線)。これは矛盾である。したがって、P は中心でなければならない 。

あるいは、次のようにも言える。直線APとBP は等しいので、角APB [ v i i . Cor. 1] を二等分する直線は中心を通らなければならない。同様に、角BPC を二等分する直線も中心を通らなければならない。したがって、これらの二等分線の交点、すなわち点Pは中心でなければならない。

命題X.—定理。2つの円が2 点以上共通するならば、それらは一致しなければならない。

証明：円をXとする。可能であれば、円YがXと共通点A、B、Cを持ち、かつXと重ならないとする。円Xの中心 Pを求める。直線PA、PB、PCを結ぶ。Pは円Xの中心であるため、直線PA、PB、PCは 互いに等しい。

また、Yは円であり、Pは点であり、その円周上に3つの等しい直線PA、PB、 PCを引くことができるので、PはYの中心でなければなりません。したがって、XとYは同心円になります が、これは不可能です。

対照的に、一致しない2つの円は、2点を超える共通点を持つことはできない。一致しない2つの直線は、1点を超える共通点を持つことはできないというI.の公理xと比較せよ。

命題XI.—定理。ある
円( CPD )が別の円( APB )の任意の点Pで内部に接する場合、中心を結ぶ線はその点を通らなければならない。

証明— O をAPBの中心とする。OPを結ぶ。 小さい円の中心は直線OP上にあると言う。 そうでない場合は、 Eなどの他の位置とする。OE、 EPを結び、OE をEを通って延長し、円と点C、Aで交わる。 ここで、E は中心とAの間の大きい円の直径上の点であるため、EAはEPより小さい[ v i i . 2]。 しかし、EP は小さい円の半径であるEC (斜辺)と等しい。 したがって、 EAはECより小さい。 これは不可能である。 結果として、小さい円の中心は直線OP上にある必要がある。 それをHとする 。 すると、中心を結ぶ直線が点 Pを通ることがわかる。

あるいは、EP は円APB内の点から円周に引かれた線分ですが、 Eを通る直径の一部を形成していないため、中心がEで半径がEP の円はAPB をPで切りますが、PでAPBに接します (斜交)。これは不可能です。したがって、小さい円CPDの中心は線分OP上にある必要があります。

命題XII.—定理。2
つの円 ( PCF、PDE ) が任意の点 P で外部接触している場合、それらの中心を結ぶ線はその点 を通らなければならない。

証明— A を一方の円の中心とする。APを結び、それを延長して、もう一方の円と再び交わる点をEとする。 2 番目の円の中心は直線PE上にあるとする。そうでない場合は、 Bのように別の場所にあるとする。ABを結び、円との交点をCとDとする。 BP を結び、 Aは円PCFの中心であるため、AP はACに等しい。また、 Bは円PDEの中心であるため、BP はBDに等しい。したがって、直線 APとBPの和は直線ACとDBの和に等しい。しかし、ABはACとDBの和よりも大きい 。したがって、AB はAPとPBの和よりも大きい。つまり、三角形の 1 辺が他の 2 辺の和よりも大きいということである。これは [I. x x . ] 不可能である。したがって、2 番目の円の中心は直線PE上にあるに違いない。Gとする と、中心を通る線は点 Pを通ることがわかります。

あるいは、BP は円PCF の外側の点から円周に引かれた線であり、延長しても中心を通らないので、中心がBで半径がBP の円は円PCFと点Pで交わらなければならない[ v i i i . , Cor. 3]。しかし、この円はPで (斜交) 接しており、これは不可能である。したがって、2 番目の円の中心は 線PE上にある必要がある。

考察。—命題x i、x i i .は、次のように一つの表現にまとめることができます。—「2 つの 円が任意の点で接する場合、中心とその点は同一直線上にある。」そして、この後者の命題は、命題 i i i . 、Cor. 4で与えられた定理、 「交差する 2 つの円の中心を結ぶ線は、共通の弦を垂直に二等分する」の極限の場合です。

中心がOで交点の1つである円と、その交点の1つであるAが固定されたままであると仮定し、 2番目の円がその点を中心に回転して、2番目の 交点Bが最終的にAに連続するようになるとします。すると、線分OO ′は常にABを二等分するので、 Bが最終的にAに連続するようになると、線分OO ′はAを通ることがわかります。この運動の結果、共通弦は極限において、2番目の図のように、それぞれの円に接するようになります。— Comberousse , G éom étrie Plane 、 57 ページ。

コリント人への手紙第一 ― 2つの円が互いに接する場合、その接点は2つの 交点の和集合である。したがって、1つの接点は2つの交点として数えられる。

コリント2.—2つの円がどこかで互いに接している場合、それらは他の共通 点を持つことはできません。なぜなら、2つの円は2つ以上の共通点を持つことができない[ x . ]こと、そして接触点は 2つの共通点と等しいことから、接する円は他の 共通点を持つことができないからです。この命題の正式な証明は次のとおりです。2つの円の中心をO 、O ′ 、接触点をAとし、 O ′がOとAの間にあるとします。Oの円周上の任意の点Bを取ります。O′Bを結びます。すると[ vii . ] O′BはO′Aよりも大きくなります。したがって、点Cは小さい円の円周の外側にあります。したがって、Bは両方の円に共通することはできません。同様に、A以外の共通点を持つことはできません。

命題XIII.—定理。2つの円は二重接触すること
はできない、つまり、2 点で互いに接触することはでき ない。

証明—1. 可能であれば、2 つの円が 2 つの点AとBで互いに接するようにします。2 つの円はAで接しているので、それらの中心を結ぶ線はAを通ります[ x i . ]。同様に、線はBを通ります。したがって、中心と点A、Bは一直線上にあります。したがって、 ABは各円の直径です。したがって、 AB をEで二等分すると、E は各円の中心でなければなりません。つまり、円は同心円になりますが、これは不可能です[ v . ] 。

2. 2 つの円が 2 つの異なる点で外接している場合、[ x i i . ] 中心を結ぶ線は各点を通るはずですが、これは 不可能です。

あるいは、次のように考えてみましょう。ABを直角に二等分する線を引きます。すると、この線[ i . , Cor.1 ]は各円の中心を通らなければならず、したがって[ xi.xiii ]は各接点を通らなければなりませんが、これは不可能です。したがって、2つの円は二重に接触することはできません。

この命題は、接点が2つの交点として数えられるという定理[ x i i . , Cor. 1]から直接導かれる推論である。 なぜなら、2つの接点は4つの交点と等しくなるからである。 しかし、交点は2つ以上はあり得ない[ x . ]。また、命題x i i . , Cor. 2から、2つの円が点Aで互いに接する場合、他の共通点を持つことはできないことが導かれる。したがって、それらはBで再び接することはできない。

演習。

1.可変円が2つの固定円に外部で接する場合、その中心から固定円の中心までの距離の差は、 接触が同種か異種かによって、それらの半径の差または合計に等しくなります（定義 i v）。

2.可変円が2つの固定円のうちの1つに内側から接触し、もう一方の固定 円に外側または内側から接触する場合、可変円の中心から固定円の中心までの距離の合計は、 2番目 の円との接触が 第1種か第2種かに応じて、それらの半径の合計または差に等しくなります。

3.接する2つの円の接点を通る割線を引いて、その割線が円を 2点で切断する場合、これらの点に引いた半径は平行である。

4.接する2つの円の直径が平行である場合、接点から 一方の直径の両端への線は、もう一方の直径の両端を通る。

命題XIV.—定理。等間隔円
において— 1.等しい弦( AB、CD )は中心から等距離にある 。 2.中心から等距離にある弦は等しい。

証明—1. Oを中心とする。垂線OE、OFを引く。AO、COを結ぶ。ABは円の弦であり、OE は中心から引かれ、 ABを直角に切断するので、AB を二等分する [ i i i . ]。したがって、AEはABの半分である。同様に、CFはCDの半分である。しかし、ABはCDと等しい(斜辺)。したがって、AEはCF と等しい[I.、公理v i i . ]。また、Eは直角なので、AO 2はAE 2 + EO 2と等しい。同様に、CO 2はCF 2 + FO 2と等しい。しかし、 AO 2はCO 2と等しい。したがって、AE 2 + EO 2はCF 2 + FO 2と等しく、 AE 2はCF 2と等しいことが証明された。したがって、EO 2はFO 2に等しく、したがって EOはFOに等しい。したがって、ABとCDは(定義v i )中心から等距離にある。

2. EO をFOと等しいとすると、 AB がCDと等しいことを証明する必要がある。同じ構成を行うと、前と同様にAE 2 + EO 2がCF 2 + FO 2と等しくなる。しかし、 EO 2はFO 2と等しい（仮定）。したがって、AE 2はCF 2と等しく、AEはCFと等しい。しかし、ABはAEの 2 倍であり、CD はCFの 2 倍である。したがって、ABはCDと等しい 。

エクササイズ。

長さが与えられた弦が固定された円周上を滑る場合、1. その弦の中点の軌跡は円である。2. 弦上の任意の固定点の軌跡は円である。

命題XV.—定理。​​​​​

円の直径（AB）は円の中で最も長い弦であり、他の弦のうち、中心に近い弦 （CD）は中心から遠い弦（EF）よりも長く、長い弦は中心から遠い弦よりも中心に近い。

証明—1. OC、OD、OEを結び、垂線OG、OHを引きます。O は中心なので、 OAはOCに等しく[I.、定義x x x i i。 ]、OBはOD に等しくなります。したがって、ABはOCとODの和に等しくなります。しかし、OCとODの和はCDより大きい[I. x x。 ]。したがって、ABはCDより大きいです 。

2. 弦CD はEFよりも中心に近いので、OGはOHより小さい。また、三角形OGCとOHE は直角三角形なので、OC 2 = OG 2 + GC 2、OE 2 = OH 2 + HE 2となる。したがって、 OG 2 + GC 2 = OH 2 + HE 2となる。しかし、OG 2はOH 2より小さい 。したがって、GC 2はHE 2より大きく、GCはHEより大きい。しかし、 CDとEFはGCとHEの 2 倍である。したがって、CDはEFより大きい 。
3. CDがEFより大きいと仮定して、 OGがOHより小さいこと を証明する必要がある。

これまでと同様に、OG 2 + GC 2 はOH 2 + HE 2に等しいですが、CG 2はEH 2より大きい ので、OG 2はOH 2より小さくなります。したがって、OG はOHより小さくなります。

演習。

1.円内の特定の点を通る最短の弦は、 その点を通る直径に垂直な線である。

2.与えられた円の内側または外側にある特定の点を通って、与えられた弦と同じ長さの弦を引きます。

3. 2 つの円の交点の 1 つを通って割線を引きます。1.その割線によって円に切り取られる線分の合計は 最大になります。2.その割線の長さは最大の長さよりも短くなります。
4. 3つの円が互いに外接している A 、B 、Cにおいて、 2 つの円の弦AB 、ACを延長して、3 番目の円と再び点DとEで交わるようにします。DEが3 番目の円の直径であり、他の 2 つの円の中心を結ぶ線と平行であることを証明します。

命題XVI.—定理。​​​​​

1.円の直径( AB )に、その端点( B ) で垂直な線( BI )は、その点で円に接する。 2.同じ点を通る他の線( BH )は、円と交わる。

証明—1. 任意の点Iを取り、中心Cに結びます。すると、角 CBIは直角なので、CI 2はCB 2 + BI 2に等しくなります[I. x l v i i .]。したがって、CI 2はCB 2より大きいです。ゆえにCIはCBより大きく、点I [I. の注釈、定義x x x i i . ] は円の外にあります。同様に、B を除くBI内の他のすべての点も円の外にあります。したがって、BI はBで円と交わりますが、円を切断しないので、円に接しているはずです。

2. ABに垂直ではないBH が円と交わる ことを証明します。 CGをHBに垂直に引きます。BC 2はCG 2 + GB 2に等しくなります。 したがって、BC 2はCG 2より大きく、BCはCGより大きくなります。 したがって [I.、定義x x x i iの注記]点Gは円の内側にある必要があり、その結果、延長された直線BGは再び円と交わり、円と交わる必要があります。

この命題は次のように証明できる。

円周上のどの点においても、接線は半径に垂直である。

PとQを円周上の連続する2点とする。CP、CQ、PQを結び 、PQを両方向に延長する。PとQは連続する点なので、PQは接線である（定義iii ）。また、三角形CPQの3つの角の和は2つの直角に等しいが、角Cは無限に小さく、他の角は等しい。したがって、それぞれが直角である。ゆえに、接線は直径に垂直である。

あるいは、接線は割線の極限位置、すなわち、割線が円との2つの交点が連続するまで外側に移動したときの位置である。しかし、円の内部にある割線の部分[ i i i . ]を二等分する中心を通る直線は、それに垂直である。したがって、極限では、接線は中心から接点までの直線に垂直である。

あるいは、角CPRは常に角CQSに等しいので、PとQが 交わるとき、それぞれが直角となり、接線は 半径に垂直になります。

演習。

1. 2つの円が同心円である場合、大きい方の円の弦で小さい方の円に接するものはすべて 等しい。

2.与えられた直線に平行な線を引いて、与えられた円に接させる。

3.与えられた直線に垂直な線を引いて、与えられた円に接させます。

4.中心が与えられた点にある円について説明してください。1.与えられた直線に接する円。2.与えられた円に 接する円。この場合の解はいくつありますか？

5.与えられた半径を持ち、与えられた2つの直線に接する円を記述してください。解はいくつありますか？

6.与えられた2つの直線に接する円の系の中心の軌跡を求めなさい。

7.与えられた半径を持つ円が、与えられた円と与えられた直線に接するか、または 与えられた2つの円に接するように記述します。

命題XVII.—問題与えられた
点 (P) から、与えられた円( BCD ) なしで円に接線を引く。

解答—与えられた円の中心をO (図 1) とする。円周をCで交わるようにOPを結ぶ。Oを中心、OP を半径として円APEを描く。OPに直角にCAを立てる。円BCDと交わるようにOAを結ぶ。BPを結ぶ。 これが求める接線となる。

証明— Oは 2 つの円の中心なので、OA はOPに等しく、 OC はOBに等しい。したがって、2 つの三角形AOC、POBは、それぞれ辺OA、OCが辺OP、OBに等しく、挟角は両方に共通である。したがって [I. i v . ] 角OCAはOBPに等しい。しかし、OCAは直角 (定数) なので、OBPは直角であり、[ x v i . ] PB は円に Bで接する。

相関— AC (図 2) をEまで延長し、OEを結び、円BCD をDで切断し、線DPを引くと、DP はPからの別の接線になります。

演習。

1. 2つの接線PB 、PD （図2）は互いに等しい。なぜなら、それぞれの2乗は OPの2乗から半径の2乗を引いたものに等しいからである。
2. 2つの円が同心円である場合、外側の点から内側の円に引いた接線はすべて 等しい。

3.四角形が円に外接する場合、一方の対辺の和は もう一方の対辺の和に等しい。

4.平行四辺形が円に外接する場合、それは菱形になり、その対角線は 中心で交わる。

5. BDを結び、OPと点Fで交わる場合、OPはBDに垂直である。
6. 2つの円に対する2つの等しい接線の交点の軌跡は直角である（これを根軸と呼ぶ）。 2つの円のうちの）。

7.与えられた3つの円への接線の長さが等しくなるような点を見つけなさい。（この点を 根の中心と呼びます。） 3つの円のうちの。）

8.長方形​。OPは半径の2乗に等しい。

2点FとPのように、中心からの距離OF 、OPが半径の2乗に等しい長方形の2点を逆点と呼ぶ。 円に関して 。

9.可変接線と2つの固定接線が交わる点は、 中心で一定の角度をなす。

10. 2つの円に共通接線を描きます。それに基づいて、2つの円を横切る直線を描き、 その直線によって切り取られる弦の長さがそれぞれ指定された値になるようにします。

命題XVIII.—定理
直線( CD )が円に接する場合、中心から接点までの直線( OC )は直線に垂直である。

証明 —そうでない場合は、中心から引いた別の線OGがCDに垂直であると仮定します。OGが円Fと交わるとします。すると、角OGC は直角 (斜角) なので、角OCG [I. x v i i . ] は鋭角でなければなりません。したがって [I. x i x . ] OCはOGより大きいですが、OCはOFに等しいので[I. Def. x x x i i . ]、OFはOGより大きい、つまり全体が部分より大きいということになり、これは不可能です。したがって、OC は CDに垂直でなければなりません。

あるいは、OからCDへの最短線は垂線でなければならず、OCは明らかに最短線であるため、OCはCDに垂直でなければならない。

命題XIX.—定理。直線( AB ) が円の接線である
場合、接点から直線( AC )に直角に引いた直線は円の中心を通る。

中心がAC上にない場合、Oを中心とする。AO を結ぶ。すると、 AB は 円に接しており、OA は中心から接点まで引かれているため、 OA はABと直角である[ x v i i i . ]。したがって、角OAB は直角であり、角CABも直角 (斜角) である。したがって、OABはCABと等しい。つまり、全体が部分と等しいということはあり得ない。したがって、中心は直線 AC上にある必要がある。

Cor. —複数の円が同じ点で同じ直線に接する場合、それらの円の中心の軌跡は、その点で直線に垂直な線になります。

考察。―命題x v i .、x v i i i .、x i x . は、 「同一性の規則」によって、任意の 2 つから 3 番目の命題を推論できるような関係にある 。したがって、厳密な論理では、 3 つの命題のうちいずれか 1 つを証明すれば十分であり、他の命題もそこから導かれる。また、これら 3 つの定理は、 命題i . 、Cor. 1.、および命題i i i .のパート 1、2 の極限の場合、すなわち、弦が円と交わる点が連続する場合である。

命題XX.—定理。円の中心( O )における
角( AOB )は、同じ弧上に立っているときの円周上の角( ACB )の2 倍である。

証明：COを結び、Eまで延長します。OAはOCと等しいので、角ACOはOACと等しくなります。しかし、角AOE は2 つの角OACとACOの和に等しくなります。したがって、角AOEは角ACO の2 倍です。同様に、角EOBは角OCB の2 倍です。したがって、（図 ( α ) と ( β )を足し、（γ ) を引くことにより）角AOBは角 ACBの 2 倍です。

Cor. —AOBが直線であれば、ACBは直角になります。つまり、 半円の内角は直角です（x x x iと比較してください）。

命題XXI.—定理。円の同じ弧内の角
（ ACB 、ADB）は等しい。

証明— Oを中心とする。OA と OB を結ぶ。すると、角AOBは角ACBの 2 倍であり、角ADBの 2 倍でもある。したがって、角ACBは角ADBに等しい。

以下は、第２の部分、すなわち弧ABが半円以下である 場合の証明であり、２直角を超える角度は使用しない。

Oを中心とする。 CO を結び 、それを延長して円と再び交わる点をEとする。 DEを結びます。Oが中心であるため、線分ACE は半円よりも大きくなります。したがって、最初のケース (図α ) により、角ACEはADEに等しくなります。同様に、角 ECBはEDBに等しくなります。したがって、角ACB全体は角ADB全体に等しくなります。

コリント1章—同じ底辺ABを持ち、同じ側にある2つの三角形ACB、ADBが等しい対頂角を持つならば、4つの点A、C、D、Bは同一円周上にある。

コリント2章—AとBが2つの固定点であり、Cの位置が変化するとき、角ACBが常に同じ値を保つならば、Cの軌跡は円である。

言い換えれば、三角形の底辺と頂角が与えられれば、 頂点の軌跡は円になる。

演習。

1.三角形の底辺と対頂角が与えられたとき、軌跡を求めよ。

（１）その垂線の交点の

（２）底角の内部二等分線の交点の

（３）底角の外部二等分線の交点

（４）一方の底角の外二等分線と他方の底角の内二等分線の交点。

2. 2つの直線の二乗の和が与えられている場合、それらの和は2つの直線が 等しいときに最大となる。

3.底辺と頂角が同じ三角形の中で、二等辺三角形の辺の和が 最大である。

4.円に内接するすべての三角形の中で、正三角形の 周長が最大である。

5.与えられた数の辺を持つすべての同心円図形の中で、面積が最大になるのは辺の長さが 等しいときである。

命題XXII.—定理。円に内接する四角形( ABCD )の
対角の和は2直角である。

証明— ACとBDを結びます。角ABDはACDと等しく、同じ線分ABCD上にあるので[ x x i . ]、角DBCはDACと等しく、同じ線分DABC上にあるので。したがって、角ABC全体は、 2 つの角ACDとDACの和に等しくなります。それぞれに角CDAを加えると、2 つの角ABCとCDAの和は、三角形ACDの 3 つの角ACD、DAC、CDA の和に等しくなります。しかし、三角形の 3 つの角の和は 2 つの直角に等しくなります [I. x x x i i . ]。したがって、 ABCとCDAの和は 2 つの直角です。

あるいは、次のようにします。円の中心をOとします。OAとOCを結びます(図 2を参照)。すると、角AOCはCDAの 2 倍になります[ x x . ]、角COAはABCの 2 倍になります。したがって、角 AOCとCOAの和は、角CDAとABCの和の 2 倍になります。しかし、2 つの角AOCとCOAの和は 4 つの直角です。したがって、角CDAとABCの和は 2 つの直角です。

または、O を中心とします (図 2)。OA、OB、OC、OD を結びます。すると、4 つの三角形 AOB、BOC、COD、DOAはそれぞれ二等辺三角形になります。したがって、角OABは角OBAに等しく、角OAD は角ODAに等しくなります。したがって、角 BADは角OBAとODAの和に等しくなります。同様に、角BCD は角OBCとODCの和に等しくなります。したがって、2 つの角BADと BCDの和は2 つの角ABCとADCの和に等しく、したがって、それぞれの和は 2 つの直角になります。

Cor. —平行四辺形が円に内接する場合、それは長方形になります。

演習。

1.四角形の対角が補角である場合、その四角形は円に内接する。

2. 6辺の図形が円に内接する場合、錯角のうち3つの角の合計は4 直角になる。

3.円に内接する四角形の対辺のうち1組と等しい角度をなす直線は、 残りの対辺と対角線とも等しい角度をなす。

4.円に内接する四角形の向かい合う2辺を延長して交わらせ、 その対角線の交点からそれらの間の角の二等分線に垂線を引くと、この 垂線は対角線間の角を二等分する。

5.円で囲まれた六角形の向かい合う2組の辺がそれぞれ平行である場合、 残りの1組の辺も平行である。

6. 2 つの円が点A 、Bで交わり、任意の 2 つの直線ACD 、BFEがAとBを通って引かれ 、一方の円を点C 、Eで、もう一方の円を点D 、Fで交わる場合、直線CEはDFに平行である。

7.ある三角形の辺上に正三角形を描くと、 元の三角形の頂点と正三角形の対向する頂点を結ぶ線は 一点で交わる。

8.同じ場合において、正三角形を中心とする円の中心が 別の正三角形を形成することを証明せよ。

9.四角形が円を中心として描かれる場合、その中心で対向する 辺がなす角は補角となる。

10.三角形の垂線は一点で交わる。

11.可変接線が2本の平行な接線と交わる場合、その中心で直角をなす 。

12.外接円の円周上の任意の点から三角形の各辺に下ろした垂線の足は 一直線上にある（シムソン）。

D e f . —共線性の線はシムソン線と呼ばれます。

13.六角形が円に外接する場合、中心で交互の3辺がなす角の合計は 2直角に等しい。

命題XXIII—定理。一致しない 2 つの
相似な円弧は、 同じ弦(AB) 上、かつその弦の同じ側に作図することはできない。

証明 —可能であれば、ABの同じ側に作図された 2 つの相似な線分をACB、ADBとします。内側の線分上の任意の点Dを取ります。ADを結び、それを延長して外側の線分と点Cで交わります。BC 、BDを結びます。すると、線分は相似なので、角ADBはACBと等しくなります(定義x . )。これは不可能です [I. x v i . ]。したがって、一致しない 2 つの相似な線分を同じ弦上に、かつ同じ側に記述することはできません。

命題XXIV.—定理。等しい弦 (AB、CD) 上の円の相似な弧
( AEB 、CFD )は互いに等しい。

証明：線分が等しいので、線分ABをCDに適用して点AがC と一致し、線分AB がCDと一致するようにすると、点BはDと一致する。また、線分は相似なので、一致するはずである [ x x i i i。 ]。したがって、線分は 等しい。

この証明は次のように述べることができる。弦の長さが等しいので、弦は合同である。 したがって、線分は相似なので、合同でなければならない。

命題XXV.—問題円弧( ABC )
が与えられたとき、円全体を記述する必要がある。

解答：円弧上の任意の3点A、B、Cを取ります。ABとBCを結びます。ABをDで二等分し、BCをEで二等分します。ABとBCに直角になるようにDFとEFを立てます。すると、交点Fが円の中心になります 。

証明：線分DF は弦AB を二等分し、かつ弦 AB に垂直であるため、中心を通ります [ i . , Cor. 1 ]。同様に、線分EF も中心を通ります。したがって、 点F が中心でなければなりません。そして、 Fを中心としてFA を半径とする円が、求める円となります。

命題XXVI.—定理。​​​​​

4つの命題x x v i .– x x i x .は表現が非常に似ているため、学生は しばしばそれらを互いに置き換えてしまう。以下の図式は、 それらを記憶するのに役立つだろう。

命題において x x v i .は 与えられた 角度 =、 証明する 弧 =、
、、 x x v i i。 、、 弧 =、 、、 角度 =、
、、 x x v i i i。 、、 コード =、 、、 弧 =、
、、 x x i x。 、、 弧 =、 、、 コード =;

したがって、命題x x v i i .はx x v i .の逆であり、x x i x .はx x v i i iの逆である。

正円（ACB、DFE）では、中心角（AOB、DHE）または 円周角（ACB、DFE）が等しい場合、その円弧も等しくなります。

証明—1. 中心角が等しいと仮定します。円が等しいので、半径も等しくなります (定義i )。したがって、2 つの三角形AOB、 DHEは、一方の辺AO、OBが他方の辺DH、HEと等しく、角AOBはDHE (斜角)と等しくなります。したがって [I. i v ]底辺ABはDEと等しくなります。

また、角ACB、DFEは [ x x . ] 等しい角AOB、 DHEの半分であるため、等しい [I. 公理v i i . ]。したがって (定義x . ) 線分ACB、DFE は 相似であり、それらの弦AB、DEは等しいことが証明されているので、 [ x x i v . ] 線分は等しい。そして、等しい (斜辺) 円全体からこれらの等しいものを取ると、残りの線分AGB、DKEは等しい。したがって、弧AGB 、DKE は等しい。

2. この事例の実証は前述の内容に含まれる。

コリント1章—円に内接する四角形の対角が等しい場合、その対角線の1つは外接円の直径となる。

コリント2章—円における平行な弦は等しい弧を切り取る。

コリント3章—2本の弦が円の内側の任意の点で交わる場合、それらが切り取る反対方向の弧の和は、円周上で交わる平行弦が切り取る弧に等しい。2. それらが円の外側で交わる場合、それらが切り取る弧の差は、円周上で交わる平行弦が切り取る弧に等しい。

コリント4章—2つの弦が直角に交わる場合、それらが円上で交わる反対の弧の和は半円になります。

命題XXVII.—定理。​​​​​

正円（ACB、DFE）では、等しい弧（AB、DE）上にある中心（AOB、DHE）または円周（ACB 、 DFE ）における角は等しい。

証明—可能であれば、 AOBのような一方の角がDHEより大きいとします 。また、 AOLのような部分がDHEに等しいとします。すると、円は等しく、中心の角AOLとDHE は等しい (斜角) ので、弧ALはDEに等しくなります[ x x v i . ]。しかし、ABはDEに等しくなります(斜角)。したがって、 ALはABに等しくなります。つまり、全体が等しい部分となり、これは不合理です。したがって、角AOBはDHEに等しくなります 。

2.円周上の角度は中心角の半分である ため、等しい。

命題XXVIII.—定理。​​​​​

正円（ACB、DFE）では、等しい弦（AB、DE）が円周を弧に分割し、それぞれの弧の長さは等しくなります。つまり、小さい弧は小さい弧に、大きい弧は大きい弧に等しくなります。

証明 —等しい弦が直径である場合、命題は明らかです。そうでない場合は、O、Hを中心とします。AO 、OB、DH、HEを結びます。すると、円は等しいので、半径も等しくなります (定義i )。したがって、2 つの三角形AOB、 DHEは、一方の辺AO、OBが 他方の辺DH、HEと等しく、底辺ABはDE (斜辺)と等しくなります。したがって [I. v i i i . ] 角AOBはDHEと等しくなります。したがって、弧AGBはDKEと等しくなります [ x x v i . ]。また、円周AGBC全体が円周DKEFと等しいので、残りの弧ACB は残りの弧DFEと等しくなります。

演習。

1.位置が与えられた2つの直径上の円周上の任意の点から引いた垂線の足を結ぶ線の長さは 、大きさで表されます。

2.与えられた長さの線が、位置が与えられた2本の線の間を滑るように移動するとき、その線の両端における与えられた線への垂線の交点の軌跡は円である。（これは 1の逆である。）

命題XXIX.—定理。等しい円
( ACB、DFE ) では、等しい弧( AGB 、 DCK )は等しい弦によって支えられる 。

証明— O、H を中心とする (最後の図を参照)。AO 、OB、DH、HEを結ぶ。すると、円は等しいので、等しい弧AGB、DKE上にある中心の角AOB、DHEは等しい [ x x v i i . ]。また、三角形AOB、 DHEは、それぞれ 2 辺AO、OBが 2 辺DH、HEに等しく 、角AOB が角DHEに等しいので、一方の底辺ABは他方の底辺DEに等しい。

観察。―最後の４つの命題における２つの円は等しいので、それらは合同な 図形であり、重ね合わせによって命題の真偽が明らかになる。

命題XXX.—問題.与えられ
た弧ACBを二等分する。

解答：弦ABを描き、それをDで二等分し、ABに直角にDCを立てて弧とCで交わらせ、弧をCで二等分します。

証明— ACとBCを結びます。すると、三角形ADCとBDC は、辺ADがDB (定数)と等しく 、 DC が両方に共通で、角ADC が角BDCと等しく、どちらも直角です。したがって、底辺ACは底辺 BC と等しくなります。したがって、弧ACは弧BCと等しくなります。したがって、弧ABはCで二等分され ます。

演習。

1. ABCDは直径がADである半円です。弦BCを延長したものがADを延長したものと点Eで交わります。CEが半径に等しい場合、弧ABはCD の3 倍に等しいことを証明してください。

2.円に内接する三角形の頂角の内二等分線と外二等分線は、底辺 の両端から等距離にある点で円周と再び交わる 。

3.与えられた2つの円の交点の1つであるAから、円を点C 、D 、C ′ 、D ′で切断する2つの弦ACD 、AC′D ′を引くと、これらの弦を円の2番目の交点Bに結んで形成される三角形BCD 、BC′D ′は等角三角形となる。

4.円に内接する三角形の頂角ACB を直線CDで二等分し、直線 CD が円と再び交わる点をDとするとき、Dから辺に垂線DEとDFを引き、そのうちの 1 つを延長すると、EA がBFに等しいことを証明し、それによってCEがACとBCの和の半分に等しいことを示せ。

命題XXXI.—定理。​​​​​

円において— (1)半円の内角は直角である。 (2)半円より大きい弧の内角 は鋭角である。 (3)半円より小さい弧の内角 は鈍角である。

証明—(1). AB を直径、C を半円 内の任意の点とする。AC と CB を結ぶ。角ACBは直角である。

Oを中心とする。OC を結び 、ACを F まで延長する。AOはOCと等しいので、角ACOは角OAC と等しい。同様に、角 OCBはCBOと等しい。したがって、角ACBは 2 つの角BACとCBAの和に等しい。しかし [I. x x x i i . ] 角FCBは三角形ABCの 2 つの内角BACとCBA の和に等しい。したがって、角 ACBはその隣接する角FCBと等しく、したがって直角である [I. Def. x i i i . ]。

（２）弧ACEが半円より大きいとする。CEを結ぶ。すると、角ACEは明らかに角ACBより小さいが、ACBは直角である。したがって、ACEは鋭角である 。

（３）弧ACDが半円より小さいとすると、（１）より明らかに、角 ACDは鈍角である。

コリント人への手紙1章—平行四辺形が円に内接する場合、その対角線は円の中心で交わります。

コリント人への手紙2章—大工の定規を使って円の中心を見つけなさい。

コリント3章—円の外側の点から円に2本の接線を引きます。

命題XXXII.—定理。​​​​​

直線（EF）が円の接線であり、接点（A）から円を切る弦 （AC）が引かれたとき、この弦と接線がなす角は、円の交互のセグメントの角とそれぞれ等しくなります。

証明—(1). 弦が中心を通る場合、角が直角なので命題は明らかです。そうでない場合は、接点Aから接線に直角にAB を引きます。BC を結びます。EFは円の接線であり、AB は 接点からEFに垂直に引かれているため、AB はこの中心を通ります [ x i x . ]。したがって、角ACB は直角です [ x x x i . ]。したがって、残りの 2 つの角ABC、CAB の和は 1 つの直角ですが、角BAFは直角 (一定) です。したがって、角ABC、BACの和はBAFに等しくなります。共通であるBAC を除外すると、角ABC は角 FACに等しくなります。

（２）弧AC上の 任意の点Dを取る。角CAEがCDA に等しいことを証明する必要がある。

四角形ABCD は円に内接するので、対角ABC、 CDAの和は2 つの直角 [ x x i i . ] であり、したがって角FAC、 CAEの和に等しくなります。しかし、角ABC、FAC は等しい (1)。これらを棄却すると、角 CDA はCAEに等しくなります。

または次のようにします。半円AGB内の任意の点Gを取ります。AG、GB、GC を結びます。すると、角AGB = FABとなり、それぞれ直角であり、CGB = CAB [ x x i . ] となります。したがって、残りの角AGC = FAC となります。再び、BD、CDを結びます。角 BDA = BAEとなり、それぞれ直角であり、CDB = CAB [ x x i . ] となります。したがって、角CDA = CAEとなります。 — L a r d n e r。

または極限法による。タウンゼントの​​​​​ 現代幾何学、第1巻、14ページ。

角BACはBDCに等しい[ x x i . ]。ここで、点B がAに隣接するまで移動すると、AB は接線となり、BD はADと一致し 、角BDCはADCと一致します。したがって、AX がAにおける接線で、AC が任意の弦である場合、 接線が弦となす角は、その弦と別の線分の角に等しくなります 。

演習。

1. 2つの円が接している場合、接点を通る線を引くと、同じ大きさの 円弧が切り取られます。
2. 2つの円が接していて、接点を通る任意の2本の線が両方の 円を再び切断する場合、一方の円との交点を結ぶ弦は、 もう一方の円との交点を結ぶ弦と平行である。
3. ACBは円弧であり、CE はCにおける接線で、弦ABの延長線とEで交わり、AD はABに垂直な線でDで交わる。DEがCで二等分されるとき、円弧AC = 2 CBであることを証明せよ。
4. 2つの円が点Aで接し、ABCがAを通る弦で、円と点BおよびCで交わる場合、点BおよびCにおける接線が互いに平行であり、一方の円が他方の円の内側にあるとき、点Bにおける接線が外側の円とCから等距離にある2点で交わることを証明せよ。
5. 2つの円が外接する場合、それぞれの円の両側の共通接線は 接触点で直角をなす。また、その二乗は2つの円の 直径で囲まれた長方形に等しい。

命題XXXIII.—問題与えられた直線( AB )
上に円弧を描き、その円弧が与えられた直線角( X )に等しい角度を含むようにする。

解答：Xが直角である場合、与えられた直線上に半円を描けば、求められることは達成される。なぜなら、半円の内角は直角だからである 。

そうでない場合は、与えられた線分ABに対して、角BAE がXに等しくなるように線分ABと直角にACを立て、線分ABと直角にBC を立てます。AC を直径として円を描きます。これが求める円になります。

証明— 直径がACである円は、角ABC が直角であるため、B を通り、角CAEが直角であるため、AEに接します。したがって、角 BAE は、その交点の角に等しくなります。しかし、角 BAE は角 X (定数)に等しくなります。したがって、 角Xは、AB上に描かれた線分の角に等しくなります。

演習。

1.底辺、対頂角、および以下のいずれかのデータが与えられたときに三角形を作図します。—1. 垂直。2. 辺の和または差。3. 辺の二乗の和または差。4. 底辺に内接する正方形の辺。5. 底辺を二等分する中線。

2.ある固定点から与えられた円の円周上のすべての点に線を引くと、 それらのすべての二等分点の軌跡は円になる。

3.三角形の底辺と頂角が与えられたとき、 辺上に描かれた正三角形の頂点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めます。

4.同様に、一辺に描かれた正方形の角点の軌跡を求めなさい 。

命題XXXIV.—問題与えられた
円( ABC )から、与えられた角度 (X) に等しい角度を含む線分 を切り取る。

解答：円周上の任意の点Aを取ります。接線ADを描き、角DACを与えられた角Xと等しくします。ACは必要な線分を切り取ります。

証明 —代替線分上の任意の点Bを取る。BAとBCを結ぶ。すると、角 DACはABC [ x x x i i . ]に等しくなる。しかし、DAC はX (定数)に等しい。したがって、角 ABCはXに等しい。

命題XXXV.—定理。円の2つの
弦（ AB、CD）が円内の点（E）で交わる場合、長方形（AE）は 。EB、CE。ED )セグメントに含まれるものは等しい。

証明― 1. 交点が中心である場合、各長方形は半径の2乗に等しくなります。したがって、それらは等しいです。

2. 弦ABのうち1つを中心Oに通し、 中心を通らないもう1つの弦CDを直角に切断します。OCを結びます。AB は中心を通り、中心を通らないもう1つの弦CDを直角に切断するので、CDを二等分します[ iii ]。また、 ABはOで等分され、 Eで不等分されるため、長方形AEは。EB はOE 2と共にOB 2 、すなわちOC 2に等しい[II. v . ]。しかしOC 2はOE 2 + EC 2に等しい[I. x l v i i . ]。したがって 2 2 2 AE.EB + OE = OE + EC 。

一般的なOE 2を拒否すると、AEが得られます。。EB = EC 2 ; ただしCE 2は長方形CEに等しい。CEはEDに等しいので、EDは長方形AEに等しい。。EBは 長方形CEに等しい。ED 。

3. ABを中心を通る線とし、中心を通らないCDを斜めに切断する。中心をOとする。CDに垂直なOFを引く[I. x i . ]。OCとODを結ぶ。すると、CDは中心を通るOFによって直角に切断されるため、 Fで二等分され[ i i i . ]、 Eで不均等に分割される。したがって

CE。ED + FE 2 = FD 2 [II. v . ] 、
そして 2分の1 = 2の​
したがって、FE 2 + OF 2 = OE 2 [I. x l v i i . ]、およびFD 2 + OF 2 = OD 2を加えると、

CE.ED + OE2 = OD または OB2。

また、ABはOで二等分され、Eで不均等に分割されるため、

AE。EB + OE 2 = OB 2 [II. v . ]。
したがって CE。ED + OE 2 = AE。EB + OE 2。
したがって CE。ED = AE。EB。

4. どちらの弦も中心を通らないようにします。弦が交わる点Eを通って直径FGを描きます。次に、3 に従って長方形FE を描きます。。EGは長方形AEと等しい。EB、および長方形CEにも。ED。したがって、長方形AE。EBは 長方形CEに等しい。ED 。

コリント1章—円の弦を円内の任意の点で分割すると、その弦の線分によって囲まれた長方形は、半径の2乗と、中心から分割点まで引いた線の2乗との差に等しくなります。

コリント2章—交差する2本の直線のうち、一方の直線の線分によって囲まれた長方形が、もう一方の直線の線分によって囲まれた長方形と等しい場合、4つの端点は同一円周上にある。

コリント3章—2つの三角形が等角三角形であれば、対応する辺以外の辺と、等しい2つの角を囲む長方形は等しい。

ABO、DCOを等角三角形とし、点Oにおける等しい角が対頂角となり、非対応辺AO、COが一直線上に並ぶように配置します 。すると、 非対応辺BO 、 ODも一直線上に並びます。ここで、角ABDは角ACDに等しいので、点A、B、C、Dは円周上にあります[ x x i .、Cor. 1]。したがって、長方形AOは。OCは長方形BOに等しい。OD [ x x x v .]。

演習。

1.任意の三角形において、2辺で囲まれた長方形は、3辺目に垂線を引いた線と外接円の直径で囲まれた長方形に等しい 。

定義—弧の補角とは、その弧と半円との差のことである。

2.弧の弦とその補弦で囲まれた長方形は、 半径とその補弦の2倍の弦で囲まれた長方形と等しい。

3.三角形の底辺と辺の和が与えられている場合、 底辺の両端から垂直角の外二等分線に下ろした垂線で囲まれた長方形が 与えられます。

4.底辺と辺の差が与えられている場合、 底辺の両端から内側の二等分線に下ろした垂線によって囲まれた長方形が与えられます。

5. 2 つの円の交点の 1 つを通って割線を引いて、 その弦で囲まれた長方形の大きさ、または最大値を求めます。

6.円の2つの弧AC 、CBの合計が半円より小さい場合、長方形ACは 。それらの弦で囲まれたCB は 、半径で囲まれた長方形に等しく、それら の差の補弦の弦からそれらの和の補弦の弦を差し引いた余りに 等しい。—カタラン。

証明— ABに垂直な直径DEを描き、 DEに平行な弦CFとBGを描きます。弧ACとCBの差は2CDに等しく、したがって = CD + EFであることが明らかです。したがって、弧CBFは差の補角であり、CF はその補角の弦です。また、角ABGは直角なので、弧ABGは半円です。したがって、BG は弧ACとCBの和の補角であり、したがって、線分BGはその和の補角の弦です。さて (例1)、長方形AC 。CBは直径とCIで囲まれた長方形に等しく、したがって半径と 2CIで囲まれた長方形にも等しい。しかし、CFとBGの差は明らかに2CIに等しい。したがって、長方形ACは 。CBは、半径と弦CF 、BGの差によって囲まれた長方形に等しい 。

7. AFとBFを結ぶと、前述と同様に長方形AFが得られます。。FB は半径と 2 FIで囲まれた長方形に等しい 。つまり、半径とCFとBGの和で囲まれた長方形に等しい。したがって、円の 2 つの弧の和が半円より大きい場合、それらの弦で囲まれた長方形は、半径と、それらの和の補弦とそれらの差の弦の和で囲まれた長方形に等しい。

8.与えられた点を通る横断線を描き、位置が与えられた2本の線を切断して、 その点と線の間に挟まれた線分によって囲まれた長方形が 与えられるようにします。

命題XXXVI.—定理。​​​​​

円のない任意の点（P）から、2本の線分（PT ）を引いたとき、一方の線分が接線（PT ）、もう一方の線分（PA）が割線であるとき、割線の線分によって囲まれた長方形（AP、BP）は接線の2乗に等しい。

証明—1. PA を中心Oを通るものとする。OT を結ぶ。すると、AB はOで二等分され、 Pで外分されるので、長方形AP は。BP + OB 2はOP 2に等しい [II. v i . ]。しかし、PTは接線であり、OT は中心から接点に引かれているため、角度OTPは直角である [ x v i i i . ]。したがって、OT 2 + PT 2はOP 2に等しい 。

したがって AP。BP + OB 2 = OT 2 + PT 2 ;
しかし OB 2 = OT 2。
したがって、長方形 AP。BP = PT 2。

2. ABが中心Oを通らない 場合、 ABに 垂線OCを下ろします。OT 、OB、OPを結びます。中心を通る線 OCは、中心を通らないABを直角に切断するため、ABを二等分します[ iii ]。したがって、ABはCで二等分され、 Pで外側に分割されるため、長方形は

AP。BP + CB 2 = CP 2 [II. v i . ];
そして OC 2 = OC 2。
したがって、CB 2 + OC 2 = OB 2 [I. x l v i i . ]、およびCP 2 + OC 2 = OP 2を加えると、

矩形 AP。BP + OB 2 = OP 2 ;
しかし OT 2 + PT 2 = OP 2 [I. x l v i i . ]。
したがって AP。BP + OB 2 = OT 2 + PT 2 ;
そして等号OB 2とOT 2を拒否すると、長方形が得られます。

        2 AP .BP = PT .

2 つの命題x x x v .、x x x v i .は、次のように 1 つの表現に含めることができます。—長方形 AP。与えられた円の任意の弦の線分によって囲まれた BPは、円の内側または外側の固定点Pを通る場合、一定である。Oを中心とする。OA、OB、OPを結ぶ。するとOABは二等辺三角形となり、OPはその頂点から底辺（または底辺の延長）上の点Pに引かれた線分となる。すると長方形APは 。BPはOBとOPの二乗の差に等しく、したがって定数である。

コリント1章—2つの線分AB、CDを延長して点Pで交わる場合、長方形 APが。BP = CP。DP では、点A、B、C、Dは同一円周上にある ( x x x v .、 Cor. 2 と比較)。

コリント2章—2つの円の共通弦上の任意の点からの接線は等しい（x v i i、出エジプト記6章と比較）。

コリント3章—交差する3つの円の共通弦は一点で交わる（第11章、第2章、第3章を参照）。

エクササイズ。

△ ABCの頂点AからADを引き、CBの延長線とDで交わり、角BAD = ACBをなすとき、DBを証明せよ。 。DC = DA 2。

命題XXXVII.—定理。​​​​​

長方形( AP。円を含まない任意の点( P )から引いた割線の線分によって囲まれた直線( BP )は、同じ点から円に交わるように引いた直線( PT )の二乗に等しい。円に交わる直線は接線である。

デモ. —点Pから円 [ x v i i . ]に接する線分PQを引きます。Oを中心とします。OP 、OQ、OTを結びます。これで長方形AP が。BP はPT (斜辺)の二乗に等しく、 PQ の二乗にも等しい[ x x x v i . ]。したがってPT 2はPQ 2に等しく、したがってPT はPQに等しい。また、三角形OTPとOQPは、辺OT がOQ に等しく、TP がQP に等しく、底辺OP が共通である。したがって [I. v i i i . ] 角OTPはOQPに等しい。しかし、PQ は接線であるため、 OQPは直角である [ x v i i i . ]。したがってOTP は直角であり、したがって[ x v i . ] PTは接線である。

演習。

1.与えられた2点を通り、以下のいずれかの条件を満たす円を記述してください 。1. 与えられた直線に接する。2. 与えられた円に接する。

2.与えられた点を通り、与えられた2つの直線に接する円、または与えられた直線 と与えられた円に接する円を描きます。

3.与えられた点を通り、中心が与えられた直線上にあり、与えられた円に接する円を記述しなさい。

4.与えられた2点を通り、与えられた円弧と交わる円を描きなさい 。

5. A 、B 、C 、Dは4つの同一直線上の点であり、EFはAB 、CDを直径とする円の共通接線である。三角形AEB 、CFDが等角三角形であることを証明せよ。

6.直角三角形に内接する円の直径は 、斜辺に接する円、斜辺の直角から下ろした垂線 、および直角三角形を中心として描かれた円の直径の合計の半分に等しい。

第3巻に関する試験問題。

1.第3巻の主題は何ですか？

2.等しい円を定義する。

3.和音と正割の違いは何ですか？

4.割線はいつ接線になるのか？

5.円のセグメントと扇形の違いは何ですか？

6.線分における角度とは何ですか？

7.円弧が円周全体の6分の1である場合、 その円弧内の角度の大きさはいくらですか？

8.線分とは何ですか？

9.線分の上に立つ角とはどういう意味ですか？

10.共円点とは何ですか？

11.円に内接する四角形とは何ですか？

12.直線と円はいくつの交点を持つことができますか？

13.交点が連続する場合、直線はどうなりますか？

14. 2つの円はいくつの交点を持つことができますか？
15. 2つの円が接する場合、他の共通点を持つことができないのはなぜですか ？

16.第3巻の命題x i .、x i i .を含む表現を1つ挙げてください。

17.これはどの命題の極限ケースですか？

18. angleという単語の拡張された意味を説明してください。

19.ユークリッドの角度の極限とは何ですか？

20.命題x v i .、x v i i i .、x i xの間の関係を述べなさい。

21.これらの極限的な場合とは、どのような命題のことでしょうか？

22. 2つの円はいくつの共通接線を持つことができますか？

23.半径が4.25メートルの円の中心から3.65メートル離れた点を通る弦の線分で作られる長方形の大きさはどれくらいですか？

24. 2つの円の半径はそれぞれ4.25フィートと1.75フィートで、 中心間の距離は6.5フィートです。これらの円の直接接線と横断共通接線の長さを求めなさい。

25.直径が 7920 マイルの円の円周からhフィート外側にある点について、その点から円に引いた接線の長さがマイルであることを証明せよ。 ∘ — 3時間2分

26.円の2つの平行な弦の長さはそれぞれ12パーチと16パーチで、それらの 間の距離は2パーチです。直径の長さを求めなさい。

27.ある円に接するすべての円の中心の軌跡は、ある特定の 点でどのようなものですか？

28. 4つの点が同一円周上にあるためには、どのような条件を満たす必要がありますか？

29.円弧内の角度が直角と1.5度である場合、 それは円周全体の何分の1ですか？

30.直接証明された第3巻の逆命題を挙げてください。

31. 円における等しい長さの弦の中点の軌跡は何ですか？
32. 2つの円の半径は6と8で、中心間の距離は10です。 これらの円の共通弦の長さを求めなさい。

33.偶数個の辺を持つ図形が円に内接する場合、 錯角の1組の和が残りの角の和に等しいことを証明せよ。

第3巻の練習問題。

1.円の2つの弦が直角に交わる場合、それらの弦の辺の二乗の和は 直径の二乗に等しい。

2.ある円の弦が固定点において直角をなす場合、 その固定点および円の中心から弦に下ろした垂線の長さの直角は一定である。また、 他の2つの固定点（特定できる場合もある）から弦に下ろした垂線の二乗の和も 一定である。

3. 2つの等しい円の交点のいずれか一方を通る直線を引いて、 その直線が再び2点で交わる場合、これらの2点は円のもう一方の交点から等距離にある 。

4.与えられた円に接線を引いて、その接線と 円の2つの固定された接線によって形成される三角形が、1、最大、2、最小となるようにします。

5. 2 つの円の交点A 、Bを通る任意の 2 つの直線ACD 、BEF が互いに平行に引かれ、円と再び交わる点がC 、D 、E 、Fであるならば、CD = EFである。

6.すべての三角形において、最大の角の二等分線は、3 つの 角の二等分線のうち最小のものである。

7.直径が任意の円に内接する四角形の4辺である円は、再び 4つの円周上の点で交わる。

8.円に内接する四角形の4つの角点は、垂心 （垂線の交点）が等しい四角形を形成する4つの三角形を決定します。

9. 2 つの円の交点の 1 つを通って 2 つの共通 弦を引くと、これらの弦の端点を結ぶ線は互いに一定の角度をなす 。

10.円周上の任意の点から2本の接線の接点となる弦に下ろした垂線上の正方形は、同じ 接線上の点から下ろした垂線でできた長方形に等しい。

11.与えられた円の円周上の点を見つけ、その点から与えられた2点までの距離の二乗和が 最大値または最小値になるようにします。

12.四角形の辺上に直径として4つの円が描かれている。 隣接する辺上の任意の2つの円の共通弦は、残りの2つの円の共通弦と平行である 。

13.円内の任意の点から内接四角形の対角線上に下ろした垂線によって囲まれた長方形は、同じ 点から対辺のいずれかの組上に下ろした垂線によって囲まれた長方形と等しい。

14.三角形の辺によって囲まれた長方形は、対頂角の内角の二等分線上の正方形よりも、底辺の線分によって囲まれた長方形だけ大きい 。

15. 2 つの円の交点の 1 つであるAを通って任意の直線ABC を引いて、円をBとCで再び切断すると、 BとCにおける接線は特定の角度で交わります。

16.ある円の弦がある点を通る場合、 その弦の両端における接線の交点の軌跡は直角である。

17.垂直角の内角二等分線が 底辺と交わる点と、頂点から底辺 の中点から垂直角に下ろした垂線が交わる点との距離で囲まれた長方形は、辺の差の半分の正方形に等しい 。

18. 17 と同様の命題を、垂直 角の外二等分線について述べ、証明せよ。

19.円に内接する四角形の外側の対角線の二乗は、その四角形の両端から外接円に引いた接線の二乗の和に等しい。

20.可変円が与えられた円と与えられた直線に接する場合、接触弦は 与えられた点を通る。

21. A 、B 、C が円周上の 3 点であり、D 、Eが弧AB 、ACの中点である場合、直線DE が弦AB 、ACと点F 、G 、AFで交わるとき、その長さはAGに等しい。
22. 2 つの円O 、O ′が与えられたとき、任意の割線がO を点B 、Cで切り、O ′を点 B ′ 、C ′で切り、別の割線がそれぞれ点D 、E 、D ′ 、E ′で切り、4 つの弦BD 、 CE 、B ′ D ′ 、C ′ E ′が円に内接する四角形を形成する。

23.円に内接する四角形の場合、接点を結ぶ線は 互いに垂直である。

24.円に内接する四角形の対角線の交点を通る最小 弦を引くと、その点は四角形の対辺間の弦の部分を二等分する 。

25.三角形の底辺、対頂角、および対頂角 の内二等分線または外二等分線が与えられたとき、三角形を作図する。

26.与えられた弧BACの中点Aを通る任意の弦ADを描き、BC をEで切断すると、長方形ADは 。AEは一定である。

27.任意の4本の直線によって形成される4つの三角形を外接する4つの円は、 共通の点を通る。

28. X 、Y 、Zが三角形ABCの​​3辺上の任意の3点である場合、三角形YAZ 、ZBX 、XCYを中心とする3つの円は共通の点を通る。

29.最後の問題で共通点の位置が与えられれば、 三角形XY Zの 3 つの角が与えられ、その逆もまた然りです。

30.与えられた三角形を、その​​3辺が3つの与えられた点を通るように配置します。

31.与えられた三角形を、その​​3つの頂点が3つの与えられた直線上に位置するように配置します。

32.与えられた三角形と等角で、辺が与えられた3つの点を通る最大の三角形を作図せよ 。

33.与えられた三角形と等角で、頂点が与えられた3つの直線上にある最小の三角形を作図する 。

34.与えられた三角形と等角で、辺が与えられた3つの円に接する最大の三角形を作図せよ 。

35.与えられた三角形の2辺が固定点を通る場合、3辺目は固定 円に接する。

36.与えられた三角形の2辺が固定された円に接する場合、3辺目は固定された円に接する。

37.頂点が与えられた点にあり、底辺の両端が与えられた円上にある正三角形を作図する。

38.頂点が与えられた点にあり、底辺の両端が与えられた2つの円上にある正三角形を作図する。

39.与えられた三角形を、その​​3辺が与えられた3つの円に接するように配置します。

40.与えられた四角形に外接する正方形を描きなさい。

41.与えられた四角形に正方形を内接させなさい。

42.円について説明せよ—(1)直交円 （与えられた円に対して直角に交わり、 与えられた2点を通る）；（2）他の2点に直交し、与えられた点を通る；（3） 他の3点に直交する。

43.半円の直径ABの両端から2本の弦AD 、BEを引いて、それらがC 、ACで交わる場合 。西暦+紀元前。BE = AB 2。

44. ABCD が円に内接する四角形であるとし、点AとBを通る円、点BとCを通る円、点CとDを通る円、点DとAを通る円を描くと、これらの円は他の 4 つの点E 、F 、G 、Hで順に交わり、別の円に内接する四角形を形成します。
45. ABCが正三角形である場合、 MA = MB + MCのときの点Mの軌跡は何ですか？

46.三角形において、2辺の和または差と、それらの 辺によって形成される角度の大きさと位置が与えられたとき、外接円の中心の軌跡は直角である 。

47.円を記述する—(1) 与えられた円の円周を二等分する 2 つの与えられた点を通る円。(2) 与えられた 2 つの円の円周を二等分する 1 つの与えられた点を通る円 。

48.与えられた2つの円の円周を二等分する円の中心の軌跡を求めなさい 。

49.与えられた3つの円の円周を二等分する円を記述しなさい。

50. ABは円の直径であり、AC 、ADはそれぞれ点Bで接線と交わる2つの弦で、点E 、Fである。点C 、D 、E 、Fが同一円周上にあることを証明せよ。
51. CD は、直径AB上の半円内の任意の点Cから下ろした垂線です。EFGは、 DBにEで接し、CDにFで接し、半円にGで接する円です。次のことを証明してください。(1) 点A 、F 、Gは共線であること。(2) AC = AEであること。

52.鈍角三角形が与えられたとき、鈍角から対辺に向かって線を引いて、その線が 対辺を分割する線分によって囲まれた長方形の大きさに等しい長さの線を引く。

53. Oは中心がEである円の外側の点です。O を通る 2 つの垂直な直線が円上の弦 AB 、CD と交わります。するとAB 2 + CD 2 + 4 OE 2 = 8 R 2となります。

54.三角形の各辺の二乗の合計は、各垂線によって囲まれた長方形の合計と、対応する頂点 と垂心の間にある部分の合計の2倍に等しい。また、12 R 2から垂心から頂点までの距離の二乗の合計を引いた値にも等しい。

55. 2つの円がCで接し、Dが円の外側の任意の点で、 Cを通る半径が等しい角度をなすとき、DE 、DFがD 、DEから接するならば 。DF = DC 2。

第4巻
　三角形および正多角形の円への内接および外接

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定義。

i．2つの直線図形が、一方の角点が他方の辺上にあるような関係にある場合、前者は内接していると言われる。後者において、2、後者は前者について説明されていると言われている。

i i .直線図形は、その角の点が円周上にあるときに円に内接していると言われます。逆に、直線図形は円に外接していると言われます。各辺が円に接すると、円になります。

円が直線図形の各辺に接しているとき、その円は直線図形に内接していると言われます。逆に、円が直線図形の各角点を通るとき、その円は直線図形に外接していると言われます。

i v .正三角形かつ正角の直線図形は正多角形であると言われる。

考察。―第四巻の内容を以下に要約すると、学生が その内容を記憶するのに役立つだろう。―

1.本書には16の命題が含まれており、そのうち4つは三角形、4つは正方形、4つは 五角形、そして4つはその他の命題に関するものである。

2.三角形に関する4つの命題のうち—

（α ）1つは円の中に三角形を内接させることです。

（β ）円を中心とする三角形を表すための、その逆数。

（γ ）三角形に円を内接させる。

（δ ）三角形を中心とする円を表す、その逆数。

3.三角形の代わりに ( α )、( β )、( γ )、( δ ) の正方形を、三角形の代わりに五角形を代入すると、 それぞれ正方形と五角形の問題が得られます。

4.第四巻のすべての命題は問題である。

命題I.—問題与えられた円( ABC )
において、直径を超えない与えられた線( D )と等しい弦を配置する。

解答：円の任意の直径ACを描きます。ACがDと等しい場合、必要なことは完了です。そうでない場合は、ACからDと等しい部分AEを切り取ります [I. i i i . ]。A を中心、AEを半径として円EBFを描き、円ABCを点B、Fで切り取ります。AB を結びます。するとABが求める弦になります。

証明 — Aは円EBFの中心であるため、ABはAEに等しい [I. 定義x x x i i。 ]。しかし、AEはDに等しい(定数)。したがって、ABはDに等しい 。

命題II.—問題与えられた
円( ABC )に、与えられた三角形( DEF )と等角の三角形を内接 させる。

解答：円周上の任意の点Aを取り、その点に接線GHを引きます。次に、角HAC をEに等しく、角 GAB をFに等しくします。 [I. x x i i i . ] BCを結びます。ABC は必要な条件を満たす三角形です。

証明— 角EはHAC (定数)に等しく、 HAC は交点の角ABCに等しい [III. x x x i i . ]。したがって、角EはABCに等しい。同様に、角FはACBに等しい。したがって [I. x x x i i . ]、残りの角 DはBACに等しい。したがって、与えられた円に内接する三角形ABCはDEFと等角である。

命題III.—問題与えられた円
(ABC) に関して、与えられた三角形( DEF )と等角な三角形を記述する 。

解答：与えられた三角形の任意の辺DE をGとHに両方向に延長し、円の中心Oから任意の半径OAを引きます。角AOB をGEF [I. x x i i i . ]に 等しく、角AOC をHDFに等しくします。点A、B、Cで、与えられた円に接線LM、MN、NLを引きます。LMNは、必要な条件を満たす三角形です 。

証明 — AMが円にAで接しているので、角OAM は直角です。同様に、角MBO も直角ですが、四角形OAMBの 4 つの角の合計は 4 つの直角に等しくなります。したがって、残りの 2 つの角AOB、AMB の合計は 2 つの直角であり、[I. x i i i . ] 2 つの角GEF、FED の合計 は 2 つの直角です。したがって、AOB、AMBの合計はGEF、 FEDの合計に等しくなりますが、AOBはGEF (定数)に等しくなります。したがって、 AMB はFEDに等しくなります。同様に、ALCはEDFに等しくなります。したがって、[I. x x x i i . ] 残りの角BNCはDFEに等しくなります。したがって、三角形LMNはDEFと等角です 。

命題IV.—問題与えられた三角形( ABC )
に円を内接させる。

解答：与えられた三角形の任意の2つの角A、Bを直線AO、BOで二等分します。すると 、それらの交点Oが求める円の中心になります。

証明— 点Oから三角形の各辺に垂線OD、OE、OFを引きます。三角形OAE、OAFでは、それぞれ直角で辺OAが共通であるため、角OAEはOAFに等しく(一定)、角AEO はAFOに等しくなります。したがって [I. x x v i . ] 辺OEはOFに等しくなります。同様にODはOFに等しくなります。したがって、3 つの直線OD、OE、OF はすべて等しくなります。また、 Oを 中心としODを半径とする円は点E、Fを通ります。角D、E、F は直角であるため、三角形ABCの 3 辺に接します。したがって、円DEFは三角形ABCに内接します。

演習。

1.点OとCを結ぶと、角Cは二等分される。したがって、「三角形の角の二等分線は 一点で交わる」（I. x x v i、例7 を参照）。

2.三角形ABCの辺BC 、CA 、ABをそれぞれa 、b 、cとし、それらの和の半分をsとすると、三角形の頂点A 、B 、Cから内接円の接点までの距離はそれぞれs − a 、s − b 、s − cとなります。

3.三角形ABCの​​外角を添付図のように二等分すると、3つの二等分線によって形成される三角形の3つの角点O ′ 、O ′′ 、O ′′′は、それぞれ1辺に外接し、残りの2辺を延長した3つの円の中心となる。これらの3つの円は内接円と呼ばれる。 三角形ABCの​​円。

4. ABに外接する内接円の接点から頂点A 、B 、Cまでの距離はs − b 、s − a 、sです。

5.内接円の中心、各外接円の中心、および三角形の2つの角の頂点は同一円周上にある。また、任意の2つの外接円の中心は 、対応する三角形の2つの角の頂点と同一円周上にある。

6. 4つの点O 、O ′ 、O ′′ 、O ′′′のうち、いずれか1つが残りの3つの点によって形成される三角形の垂心である 。
7. 3つの三角形BCO ′ 、CAO ′′ 、ABO ′′′ は等角三角形である。

8.長方形CO。CO ′′′ = ab ; AO。AO ′ = bc ; BO。BO ” = ca 。

9.三角形ABC全体は 3 つの三角形AOB 、BOC 、COAから構成されているので、3 辺の合計と内接円の半径で囲まれた長方形は、三角形の面積の 2 倍に等しいことがわかります。したがって、 r を内接円の半径とすると、rs は三角形の面積に等しくなります。

10. r ′ を辺aに外接する内接円の半径とすると、同様にr ′ ( s − a ) = 三角形の面積であることが示せる。
11. rr ′ = s − b 。s − c 。

12.面積の二乗 = s。s − a。s − b。s − c 。

13.面積の二乗 = r。r ′。r ′′。r ′′′ 。

14.三角形ABC が直角三角形で、角C が直角である場合、

r= s− c; r′ = s− b; r′′= s− a; r′′′ =s。

15.三角形の底辺、対頂角、内接円または 内接円の半径が与えられた場合、三角形を作図します。

命題V.—問題与えられた三角形( ABC )を中心とする円
を記述する。

解答：任意の2辺BC、ACを点D、Eで二等分します。BC 、CAに直角にDO、EOを立てます。すると、垂線の交点Oが求める円の中心になります。

証明— OA、OB、OCを結びます。三角形BDOとCDO は、辺 BD がCD と等しく(一定)、DO が共通であり、角BDO が角CDOと等しくなります。なぜなら、どちらも直角だからです。したがって、BOはOCと等しくなります。同様に、 AO もOCと等しくなります。したがって、3 つの直線AO、BO、CO は 等しく、O を中心とし、OA を半径とする円は、点A、B、Cを通り、三角形 ABCの周りに描かれます。

コリント1章—OからABに下ろした垂線はABを二等分するので[III. iii i . ]、三角形の辺の中点における垂線は一点で交わることがわかります 。

定義—円ABCは外接円と呼ばれます。、その半径を外接半径、 その中心を外接中心とする。 三角形の。

演習。

1.三角形（ABC ）の3つの垂線は一点で交わる。

証明—三角形を中心とする円を描きます。垂線CFを下ろします。CFを延長して円と点Gで交わるようにします 。FO = FGとします。AGとAOを結びます。AOを延長してBCと点Dで交わるようにします。すると、三角形GFAとOFAは、一方の辺GFとFAが他方の辺OFとFAに等しく、挟角も等しくなります。したがって[I. i v .]角GAFはOAFに等しくなります。しかしGAF = GCB [III. x x i .]なので、 OAF = OCD 、FOA = DOCとなり、OFA = ODCとなります。しかしOFAは直角なので、ODCも直角です。同様に、BOを結んでACと点Eで交わるようにすると、BEはACに垂直になります。したがって、 3本の垂線はOを通り、一点で交わります。この命題は次のように簡単に証明できます。

元の三角形ABCの頂点を通って辺に平行線を引くと、 ABCを中心とする新しい三角形A ′ B ′ C ′が形成されます。すると、 A ′ B ′ C ′の辺の中点における 3 つの垂線は一点で交わります [コリント1 章参照]。これらは明らかに三角形ABCの反対側の辺の頂点からの垂線です(出エジプト記16 章、第 1巻参照)。

定義—点Oは垂心と呼ばれる。 三角形ABCの​​。

2. 3つの長方形OA。OP 、OB。OQ 、OC。またはは等しい。

定義—中心Oを中心とする円で、半径の2乗がOAに等しいもの。。OP = OB。OQ = OC。または、 極圏と呼ばれる。 三角形ABCの​​。

観察。—三角形ABCの​​垂心は三角形内にあるので、長方形 OAは。OP 、OB。OQ 、OC。ORは負の値です。なぜなら線OA は。OPなどは 反対方向に測定され、符号も反対であるため、極円は仮想的なものです。しかし、 点Oが三角形の外にある場合、つまり三角形が鈍角である場合は、極円は実在します 。

3.三角形の垂線を延長して外接円に交わらせると、 垂心と円との交点は三角形の辺によって二等分される 。

4.垂心( O )と任意の三角形の円周 ( P )を結ぶ線分 (OP)の二等分点 ( I ) は、垂線の足、辺の中点、および垂心から頂点までの距離の中点から等距離にある。

証明—垂線PHを描きます。OFとPHはAB上の垂線であり、OPはIで二等分されているので、 IH = IFであることが容易にわかります。また、OPとOGはIとFで二等分されているので、IF = PG 、つまりIF =半径です。したがって、Iから各垂線の足、および各辺の中点までの距離は半径に等しくなります。同様に、OCがKで二等分されている場合、IK =半径になります。したがって、次の定理が得られます。垂線の足、辺の中点、および頂点から垂心への線の中点からなる9つの点は同一円周です。 1 2 1 2 1 2 1 2

定義—これら9つの点を通る円を「九点円」と呼ぶ。 三角形の 。

5.三角形の外接円は、 内接円と外接円の中心を結んで形成される4つの三角形それぞれの「9点円」です。

6.三角形の頂点と垂心との間の距離は、それぞれ 外心から辺に下ろした垂線の2倍である。

7.三角形の「9点円」の半径は、その三角形の外接円の半径の半分に等しい。

命題VI.—問題与えられた
円( ABCD )に正方形を内接させる。

解答：互いに直角となる2つの直径AC、BDを描きます。AB 、 BC、CD、DAを結びます。ABCDは正方形です。

証明— Oを中心とする。すると、Oにおける 4 つの角は直角なので等しい。したがって、それらが立つ弧は等しく [ III. x x v i . ]、したがって 4 つの弦は等しい [ III. x x i x . ]。したがって、図形ABCDは正三角形である。

また、ACは直径であるため、角ABCは直角です[ III. x x x i . ]。同様に、残りの角も直角です。したがって、ABCDは正方形です。

命題VII.—問題与えられた
円( ABCD )から正方形を記述する。

解答：中心Oを通って互いに直角な2本の直径を描き、点A、B、C、Dで円に接する直線HE、EF、FG、GHを描く。EFGHは正方形である。

証明 — AEは円に点Aで接しているので、角EAOは直角 [ III. x v i i i . ] であり、したがって直角 (定数) であるBOCと等しくなります。したがって、 AEはOBと平行です。同様に、EBはAOと平行です。AOはOBと等しいので、図形AOBEは菱形であり、角AOBは直角です。したがって、AOBEは正方形です。同様に、図形BC、CD、DAはそれぞれ正方形です。したがって、図形全体が正方形です。

Cor. —外接正方形は内接正方形の2倍である。

命題VIII.—問題。与え
られた正方形（ABCD）に円を内接させる。

解答：隣接する2辺EH、EFを点A、Bで二等分し（最後の図を参照）、 A、Bを通って、それぞれEF、EHに平行な直線AC、BDを引きます。すると、これらの平行線の交点Oが求める円の中心となります。

証明： AOBEは平行四辺形なので、その対辺は等しい。したがって 、 AOはEBに等しい。しかし、EBは与えられた正方形の一辺の半分なので、AOは与えられた正方形の一辺の半分に等しい。同様に、線分OB、OC、ODもそれぞれ等しい。したがって、4つの線分OA、OB、OC、ODはすべて等しい。そして、それらは与えられた正方形の一辺に垂直なので、Oを中心とし、OAを半径とする円は正方形 に内接する。

命題IX.—問題与えられた正方形( ABCD )で円を描くことについて
。

解答：対角線AC、BDを描き、点Oで交わるようにします（命題 viの図を参照）。Oは求める円の中心です。

証明— ABCは二等辺三角形であり、角Bは直角なので、他の各角は直角の半分です。したがって、BAO は直角の半分です。同様に、ABO も直角の半分です。したがって、角BAO はABOに等しくなります。したがって、AOはOBに等しくなります。同様に、 OBはOCに等しく、OC はODに等しくなります。したがって、 Oを中心とし、OAを半径とする円は、点B 、C 、Dを通り、正方形の周りに描かれます。

命題X.—問題底
角が対頂角の 2 倍 である二等辺三角形を作図する。

解答：任意の線分ABを取り、それをCで分割して、長方形ABを作る。。BC はAC 2に等しいものとする[ II. x i . ]。A を中心とし、ABを半径として円 BDEを描き、その中にACに等しい弦BDを配置する[ i . ] 。ADを結ぶ。ADBは必要な条件を満たす三角形である。

デモ. —CDを結合します。三角形ACDについて円CDE [ v . ] を説明します。次に、長方形ABなので。BCはAC 2（定数）に等しく、 ACはBD （定数）に等しい。したがって、長方形ABは。BCはBD 2に等しい。したがって [ III. x x x v i i . ] BD は 円ACDに接する。したがって、角BDC は、交代線上の角Aに等しい [ III. x x x i i . ]。それぞれにCDAを加えると、角BDAは角CDAとA の和に等しくなります。しかし、三角形ACDの外角BCD は、角CDAとAの和に等しい。したがって、角BDAはBCDに等しい。しかし、ABはADに等しいので、角BDAはABDに等しい 。したがって、角CBDはBCDに等しい。したがって [ I. v i . ] BDはCDに等しい。しかし、BDはAC (定数)に等しい。したがって、 ACはCDに等しく 、したがって [ I. v . ] 角CDAはAに等しい。しかし、BDA はCDAとAの和に等しいことが証明されている。したがって、BDAはAの2倍である。 ゆえに、三角形ABDの各底角は対頂角の2倍である。

演習。

1. ACDは、対頂角が底角の3倍に等しい二等辺三角形であることを証明せよ。
2. BD が円BDEに内接する正十角形の辺であることを証明せよ。
3. DB 、DE 、EFが円に内接する正十角形の連続する辺であるとき、 BF − BD = 円の半径であることを証明せよ。

4.円ACDとBDEの 2 番目の交点をEとすると、DEはDBと等しくなり、AE 、BE 、CE 、DEを結ぶと、三角形ACE 、ADEはそれぞれABDと合同になります。

5. ACは円ACDに内接する正五角形の辺であり、EBは円BDEに内接する正五角形の辺である。
6. ACEは二等辺三角形なので、EB² − EA² = AB 。BC ―つまりBD 2です。したがって EB 2 − BD 2 = EA 2 ―つまり円に内接する五角形の辺の二乗は、 同じ円に内接する十角形の辺の二乗より半径の二乗だけ大きくなります 。

命題XI.—問題.与えられた
円( ABCDE )に正五角形を内接させる。

解答：底角が対頂角の2倍である二等辺三角形[ x . ]を作図し、与えられた円にそれと等角の三角形ABDを内接させる。角DAB、ABDを線分AC、BEで二等分する。EA 、ED、DC、CBを結ぶと、図形ABCDEは正五角形になる。

証明：底角BAD、ABDはそれぞれ角ADBの2倍であり、線分AC、BEはそれらを二等分しているため、5つの角BAC、CAD、ADB、DBE、EBA はすべて等しい。したがって、それらが立つ弧はすべて等しく、したがって5つの弦AB、BC、CD、DE、EAはすべて等しい。ゆえに、図形ABCDEは正三角形である。

また、弧ABとDE は等しいので、両方に弧BCDを加えると、弧 ABCD は弧BCDEと等しくなり、したがって、それらの上にある角AEDと BAEも等しくなります。同様にして、すべての角が等しいことが証明できます。したがって、図形ABCDEは等角です。したがって、これは正五角形です。

演習。

1.正五角形の5本の対角線で囲まれた図形は、別の正五角形である 。

2.正五角形の交互の辺を延長して合わせると、その5つの交点によって 別の正五角形が形成される。

3.正五角形の連続する2本の対角線は、外比と中 比で互いに割り切れる。

4.正五角形の一辺が与えられたら、それを作図しなさい。

5.直角を5等分する。

命題XII.—問題.与えられた円( ABCDE )の周りに正五角形を
記述する。

解答：円上の5点A、B、C、D、Eを任意の内接正五角形の頂点とする。これらの点に接線FG、GH、HI、IJ、JFを引くと、図形 FGHIJは外接正五角形となる。

証明— O を円の中心とする。OE 、OA 、OBを結ぶ。四角形AOEFの角A、Eは直角である [III. x v i i i . ] ので、残りの 2 つの角AOE、AFE の和は2 つの直角である。同様に、角AOB、AGB の和も 2 つの直角である。したがって、 AOE、AFEの和はAOB、AGBの和に等しい。しかし、角AOE、AOBは等しい弧AE、AB上にあるため等しい[III. x x v i i . ]。したがって、角AFEはAGBに等しい。同様に、図形FGHIJの残りの角は等しい。したがって、これは等角である。

再びOF、OGを結びます。これで三角形EOF、AOFは辺AF、FEが等しく [III. x v i i .、例 1]、FOが共通で、底辺AOが底辺EOと等しくなります。したがって、角AFOはEFOと等しくなります[I. v i i i . ]。したがって、角AFOは角AFEの半分です。同様に、AGOは角AGB の半分ですが、AFE はAGBと等しいことが証明されています。したがって、AFO はAGOと等しく、FAO はGAOと等しく 、それぞれが直角で、AO は2 つの三角形FAO、GAOに共通です。したがって [I. x x v i . ]、辺AFはAGと等しくなります。したがって、GFはAF の2 倍です。同様に、JFはEFの2 倍ですが、AFはEFと等しいので、GF はJFと等しくなります。同様に、残りの辺は等しくなります。したがって、図形 FGHIJは正三角形であり、等角であることが証明されている。ゆえに、正五角形である 。

この命題は、以下の一般定理の特殊な場合であり、その証明は 前述の定理と同じである。

「円に接する任意の辺数の多角形の頂点に接線を引くと、それらの接線によって、円 に外接する同じ辺数の正多角形が形成される 。」

命題XIII.—問題正五角形( ABCDE )に
円を内接させる。

解答：隣接する2つの角A、Bを直線AO、BOで二等分します。すると、二等分線の交点Oが求める円の中心になります。

証明— COを結び、五角形の 5 辺にOから垂線を下ろします。三角形ABOとCBOは、辺ABがBCと等しく (斜辺)、BO が共通であり、角ABOがCBOと等しい(一定) です。したがって、角BAOはBCOと等しくなります[I. i v . ]。しかし、BAOはBAEの半分(一定) です。したがって、BCOはBCD の半分であり、したがってCO は角BCD を二等分します。同様に、DO が角D を二等分し、EO が角 Eを二等分することも証明できます。

また、三角形BOFとBOG は、それぞれ直角であり、角FはGと等しく、 OBF はOBGと等しくなります。これは、 OB が角ABC (定数) を二等分し、OB が共通であるためです 。したがって、[ I. x x v i . ] OF はOGと等しくなります。同様に、五角形の辺上のOからの垂線はすべて等しくなります。したがって、中心がOで半径がOF の円は五角形のすべての辺に接し、五角形に内接します。

同様に、円は任意の正多角形に内接させることができる。

命題XIV.—問題.正五角形( ABCDE )を囲む
円を描く。

解答：隣接する2つの角A、Bを直線AO、BOで二等分します。すると、二等分線の交点Oが求める円の中心となります。

証明— OC、OD、OEを結びます。すると、三角形ABO、CBOは辺ABがBC (斜辺) と等しく、 BO は共通で、角ABOがCBO (一定)と等しくなります。したがって、角BAOはBCOと等しくなります[ I. i v . ]。しかし、角BAEはBCD (斜辺)と等しく、 BAO はBAE (一定)の半分なので、 BCOはBCD の半分です。したがって、CO は角BCD を二等分します。同様に、DO がCDE を二等分し、 EO が角DEA を二等分することも証明できます。また、角EAB はABCと等しいので、それらの半分は等しくなります。したがって、OAB はOBAと等しくなります。したがって [ I. v i . ] OAはOBと等しくなります。同様に、線OC、OD、OE は互いに等しく、OAとも等しくなります。したがって、中心をO、半径をOAとする円は、点B、C、D、Eを通り、五角形を囲むように描かれる。

同様に、任意の正多角形の周りに円を描くことができる。

命題x i i i . 、x i v .は、次の定理の特殊な場合である。

「任意の辺数の正多角形には、内接する円が1つあり、 その周囲に別の円が描かれる。そして、これらの円はどちらも同心円である。」

命題XV.—問題与えられた
円( ABCDEF )に正六角形を内接させる。

解答：円周上の任意の点Aを取り、与えられた円の中心Oに結びます。次に、 Aを中心、AO を半径として円OBFを描き、与えられた円と点B、Fで交わるようにします。OB 、OFを結び、AO、BO、FO を延長して、再び与えられ た円と点D、E、Cで交わるようにします。AB 、BC、CD、DE、 EF、FAを結びます。ABCDEFが求める六角形です。

証明 —三角形AOB、AOFはそれぞれ正三角形です (証明I. iを参照)。したがって、角AOB、AOFはそれぞれ 2 つの直角の 3 分の 1 です。したがって、 EOF は 2 つの直角の 3 分の 1 です。また、角BOC、COD、DOEはそれぞれ角EOF、FOA、AOBに等しくなります [ I. x v ]。したがって、中心の 6 つの角はそれぞれ 2 つの直角の 3 分の 1 なので、等しくなります。したがって、6 つの弦は等しくなります [ III. x x i x ]。したがって、六角形は正三角形です。

また、弧AF はEDと等しいので、それぞれに弧ABCDを加えると、弧FABCD全体はABCDEと等しくなります。したがって、これらの弧上にある角DEFとEFA は等しくなります [ III. x x v i i . ]。同様の方法で、六角形の他の角も等しいことが示せます。したがって、この六角形は等角であり、円に内接する正六角形です。

コリント人への手紙1章—正六角形の円に内接する辺の長さは半径に等しい。

コリント人への手紙2章—六角形の3つの交点を結ぶと、内接する正三角形ができます。

演習。

1.円に内接する正六角形の面積は、 円に内接する正三角形の面積の2倍に等しく、三角形の一辺の2乗は、 正六角形の一辺の2乗の3倍である。

2.円の直径を点Cまで延長し、延長部分が半径と等しくなるまで延長すると、 点Cから引いた2つの接線とそれらの接点の弦は正三角形を形成する。

3.円に内接する正六角形の面積は、正三角形の面積の半分であり、 円に外接する正六角形の面積の4分の3である。

命題XVI.—問題与えられた円に 15 辺の正多角形を内接させる。

解答：円 [ x i . ]に正五角形ABCDEと正三角形AGH [ i i . ] を内接させる。CG を結ぶ。CGは求める多角形の辺である。

証明：ABCDEは正五角形なので、弧ABC2 5は円周の1/3です。また、 AGHは正三角形なので、弧ABG1 3は円周の1/3です。したがって、これら2つの弧の差である弧GC2 5は、 1/ 3 -1 3 1/3、つまり-1 15円周の1/3に等しくなります。したがって、 GC [ i . ]に等しい弦を円周上に配置すれば、円周内に内接する15辺の正多角形、すなわち15十角形が得られます。

注釈― 1801年までは 、本書で論じられているもの、および それらの辺が弦となる弧を連続的に二等分することによって得られるものを除いて、直線と円のみを用いた作図で正多角形を記述することは不可能でした。しかし、その年に著名なガウスは、 2n + 1 が素数であれば、2n + 1 辺の正多角形は初等幾何学によって内接可能であることを証明しました。n = 4 の場合（五角形を除いて、この種類の図形で作図法が示されているのはこれだけです）については、本書末尾の注記を参照してください。

第4巻に関する試験問題。

1.第4巻の主題は何ですか？

2.ある直線図形が別の直線図形に内接していると言われるのはどのような場合ですか？

3.囲まれた場合？

4.円が直線図形に内接していると言われるのはどのような場合ですか？

5.それに関して制限がある場合？

6.相互命題とは何ですか？答え：相互命題では、 一方のすべての線に対して他方のすべての点が対応し、逆に、一方のすべての点に対して 他方のすべての線が対応します。

7.第4巻における相互命題の例を挙げなさい。

8.正多角形とは何ですか？

9.第4巻を用いて、円の中にどのような図形を内接させ、また円の外接させることができるか 。

10.ガウスは、どのような正多角形が直線と円によって内接可能であることを証明しましたか？

11.内接円とは何ですか？

12.三角形を形成する3本の線に接するように円をいくつ描くことができるか？

13.三角形の重心とは何ですか？

14.正心とは何ですか？

15.外心とは何ですか？

16.極圏とは何ですか？

17.極圏はどのような場合に仮想的なものとなるか？

18. 「九点円」とは何ですか？

19.なぜそう呼ばれるのですか？

20.それが通過する特別な9つの地点の名前を挙げてください。

21.点の周りの空間を埋めるのに使える正多角形はどれですか？答え： 正三角形、正正方形、正六角形。

22.三角形の辺の長さが13、14、15である場合、その三角形の内接円と 外接円の半径の値はそれぞれいくらですか？

23.外接円の半径はいくらですか？

24.その9点円の半径はいくらですか？

25.その内接円と外接円の中心間の距離はどれくらいですか？

26.円の半径をrとすると、その円に内接する正三角形の面積はいくらですか?—内接する正方形の面積はいくらですか?—内接する五角形の面積はいくらですか?—内接する六角形の面積はいくらですか?—内接する八角形の面積はいくらですか?—内接する十角形の面積はいくらですか?

27.同じ仮説を用いて、同じ正多角形の辺の長さを求めなさい。

第4巻の練習問題。

1.外接多角形が正多角形であれば、対応する内接多角形も正多角形であり、 その逆もまた然りである。

2.外接三角形が二等辺三角形であれば、対応する内接三角形も二等辺三角形であり、その 逆もまた然りである。

3.例2の2つの二等辺三角形の対頂角が等しい場合、それらは両方とも 正三角形です。

4.正三角形の1つの角を5等分する。

5.与えられた円の扇形の中に円を内接させる。

6.直線DEは三角形ABCの底辺BCに平行です。三角形ABCとADEについて描かれた円が点 Aで接することを証明してください。

7.円に内接する四角形の対角線が点Eで交わる。三角形ABEを中心とする円に対する点Eでの接線がCDに平行であることを証明せよ。

8.与えられた正方形の中に正八角形を内接させる。

9.与えられた長さの線が、与えられた2つの線の間を滑ります。その線の両端から与えられた2つの線に下ろした垂線の交点の軌跡を求めなさい 。

10.三角形の任意の辺の中点に垂線を引いた線が、その 対角の内角二等分線と外角二等分線と交わる点がそれぞれDとEであるならば、DとEは外接円上の点であることを証明せよ。

11.与えられた点Pを通る円の弦を描き、切片EF が与えられた角度Xをなすようにします 。

12.与えられた円の中に、与えられた2点を通る2辺と、与えられた直線に平行な3辺を持つ三角形を内接する。

13. 4つの点が与えられ、そのうちどの3点も同一直線上にないとき、それらから等距離にある円を描きなさい。

14.与えられた円の中に、3つの辺が与えられた3つの点を通る三角形を内接させなさい 。

15.与えられた条件に基づいて三角形を作図せよ。

内接円の半径、頂角、および 頂角から底辺に下ろした垂線。
内接円、または内接円のうちの1つの底辺、他の辺の和または差、および半径。
内接円の中心。

16. F を三角形の底辺の中点、DE をFを通る外接円の直径、Lを頂点を通る底辺に平行な線とDE の交点とするとき、 DLを証明せよ。 。FEは合計の半分の二乗に等しく、DFは。LEは、残りの2辺の差の半分の2乗に等しい。
17. n辺の正多角形の任意の点から辺に垂線を引くと、それらの垂線の合計は内接円の半径のn倍に等しい。
18. n辺の正多角形の各角点から任意の直線上に下ろした垂線の合計は、同じ直線上に多角形の中心から下ろした垂線のn倍に等しい。
19. Rを三角形ABCに外接する円の半径、r 、r ′ 、r ′′ 、r ′′′ をその内接円と外接円の半径、δ 、δ ′ 、δ ′ ′ をその外心から辺に下ろした垂線、 μ 、μ ′ 、μ ′′ をこれらの垂線と外接円の辺と円周との間の線分とすると、次の関係が成り立つ。

r ′ + r ′′ + r ′′′ = 4 R + r、 （１）
μ + μ ′ + μ ′′ = 2 R − r、 （２）
δ + δ ′ + δ ′′ = R + r。 （３）
関係式（3）は、外心が三角形の内部にあることを前提としている。

20.三角形ABCの辺BC上の点Dを通る横断線EDFが引かれ、三角形DBFとECDを囲む円が描かれる。これらの円の 2 番目の交点の軌跡は円である。

21.円に外接するすべての四角形において、その対角線の中点と 円の中心は同一直線上にある。

22.与えられた直線上に点Pを見つけ、その点から与えられた 2 つの点までの距離の和または差を 求めます。

23.与えられた4つの直線上に垂線を下ろしたとき、それらの垂線の足が同一直線上にあるような点を見つけなさい 。

24.三角形の垂心と、その外接円の円周上の任意の点Pを結ぶ線は、点Pから三角形の辺に下ろした垂線の共線によって二等分される。

25.任意の4本の直線によって形成される4つの三角形の垂心は同一直線上にある。

26.半円とその直径が、内側または外側のいずれかの円によって接する場合、 半円の半径と接円の半径によって囲まれた長方形の2倍は、 直径と接円の接点を通る半円への任意の割線の線分によって囲まれた長方形に等しい。

27. ρ 、ρ ′ が三角形の内接円の中心で互いに接し、それぞれが外接円に接する 2 つの円の半径である場合、証明せよ。

1 1- 2 ρ + ρ′ = r、

そして、内接円に対応する定理を述べ、証明する。

28. n辺の正多角形に外接する円周上の任意の点から、その角の点に線を引くと、それらの二乗の和は 半径の二乗の2 n倍に等しい。

29.同様に、内接円の円周上の任意の点から線を引くと、それらの二乗の和は 、内接円と外接円の半径の二乗の和のn倍に等しいことを証明せよ。

30.同心円の円周上の任意の点から引いた直線の二乗の和に関する対応する定理を述べなさい。

31.同心円の円周上の任意の点から正多角形のすべての辺に垂線を引くと、それらの二乗の和は一定である。

32.内接円の場合、定数は 3n 2 半径の2乗に等しい。

33.外接円の場合、定数は内接円の半径の2乗のn倍と外接円の半径の2乗のn倍に等しい。 1 2

34.半径がRの円周を17 等分し 、分割点 ( A )から引いた直径をAOとし、OからAOの片側の分割点A 1、A 2 … … A 8への弦をρ 1、ρ 2 … … ρ 8とすると、

ρ1ρ2ρ4ρ8 = R4;および ρ3ρ5ρ6ρ7 = R4。—カタルーニャ語。

デモ. — ρ 1、ρ 2などに対応する補和音をr 1、r 2などで表すと、[III. x x x v . Ex. 2]、次のようになる。

ρ 1 r 1 = Rr 2、
ρ 2 r 2 = Rr 4、
ρ 4 r 4 = Rr 8、
ρ 8 r 8 = Rr 1、
したがって ρ 1 ρ 2 ρ 4 ρ 8 = R 4。
そして、同じ方法で証明できるかもしれない。

ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 ρ 6 ρ 7 ρ 8 = R 8。
したがって ρ 3 ρ 5 ρ 6 ρ 7 = R 4。

35. 4 つの同心円上の点のうち任意の 2 つを結ぶ線の中点から、 残りの 2 つを結ぶ線に垂線を引くと、得られる 6 つの垂線は 一点で交わる。

36.与えられた円に外接する正多角形の辺の数が多いほど、 その周長は小さくなる。

37.円に外接する4辺以上の正多角形の面積は、 直径の2乗より小さい。

38. 3×3の4つの同円点によって4つの三角形が決定され、それらの9点円の中心は同円である。

39.三角形の2辺の位置が与えられ、それらの間の角が正三角形の角に等しい場合、その9点円の中心の軌跡は直線である 。

40.例34の仮説と表記法において、 α 、βは合計が8未満で、αが大きい方の任意の2つの接尾辞を表すとします。

ραρβ = R(ρα−β + ρα+β)。

たとえば、 ρ 1 ρ 4 = R ( ρ 3 + ρ 5 ) [ III. x x x v。、 元。7]。

同様に、接尾辞が 8 より大きい場合、

ρα.ρβ = R(ρα−β − ρ17−α−β)。

たとえば、 ρ 8 ρ 2 = R ( ρ 6 − ρ 7 ) [ III. x x x v。、 元。6]。

41. 2本の線が位置付けられています。与えられた点を通る横断線を引いて、 与えられた線で指定された周長の三角形を作りなさい。

42.三角形の頂角と周長が与えられたとき、次のいずれかの データを使用して三角形を作図します。1.頂角の二等分線。2.頂角から底辺に下ろした垂線。3 .内接円の半径。

43.与えられた円の中に、2辺が与えられた2点を通り、 3辺目が最大または最小となるような三角形を内接させなさい。

44.三角形の半周長をsとし、その内接円の半径をr ′ 、r ′′ 、r ′′′とすると、

′′′ ′′′′′ ′′′′ 2 rr +rr +rr = s。

45.底辺の両端から 垂直角のいずれかの二等分線に下ろした垂線の足、底辺の中点、および 底辺上の垂直角から下ろした垂線の足は同一円周上にある。

46.三角形の底辺と頂角が与えられたとき、 内接円の中心を通る円の中心の軌跡を求めなさい。

47.三角形の内接円の中心から 対応する辺に下ろした垂線は一点で交わる。

48. AB を円の直径とし、PQをAB を点 Oで切る任意の弦とし、直線APとAQ がABに垂線を引いた直線とそれぞれ点O 、点D 、点Eで交わるならば、点A 、B 、D 、Eは同一円周上にある。

49.三角形の辺が等差数列であり、Rとr が外接円と内接円の半径である場合 、6 Rr は最も長い辺と最も短い辺で囲まれた長方形に等しくなります 。

50.与えられた円の中に、3つの辺が3つの与えられた直線に平行な三角形を内接させなさい 。

51.正五角形の辺AB 、BCなどが点A ′ 、B ′ 、C ′ 、D ′ 、E ′で二等分され、交互の辺BC 、AE 、AB 、DEの 2 組がそれぞれ点A ′′ 、E ′′で交わるならば、次のことを証明せよ。

「」「」「」「」 △A AE − △A AE = 五角形 AB CD E 。

52.円において、辺の数が奇数の場合、内接する正多角形は正多角形であり、外接する正多角形も正多角形であることを証明せよ。

53.辺の数が奇数の場合、等角の外接多角形は正多角形であり、等角の内接多角形も正多角形であることを証明せよ。

54.正多角形の任意の内部点からその辺に引いた垂線の合計は 一定である。

55.三角形の辺の長さを、その三角形に内接する円の半径を用いて表しなさい。

第5巻
　比例理論

---

定義。

序論。―比と比例の理論におけるすべての命題は、あらゆる大きさの記述に対して真である。したがって、適切な扱いは代数的方法である。いずれにせよ、それは最も容易で満足のいく方法である。ユークリッドの『比例論』における命題の証明は、現在では歴史的な興味しか持たず、どの学生もそれを読むことはない。しかし、彼の証明は放棄されているものの、彼の命題はあらゆる著述家によって引用され、彼の用語は普遍的に採用されている。これらの理由から、最良の方法は、ユークリッドの定義を述べ、必要に応じて説明し、あるいは証明することであると思われる。なぜなら、定義のふりをした定理もあるからである。そして、彼の命題の簡単な代数的証明を提供する。

i．より小さい大きさは部分または部分倍数と呼ばれる。より大きな規模の場合、小さいものが大きいものを測る場合、つまり、小さいものが大きいものの中にちょうど一定回数含まれている場合。

i i。より大きな大きさは倍数であると言われます。大きい方が小さい方によって測られる場合、つまり、大きい方が小さい方をちょうどある回数だけ含む場合、小さい方について。

iii 。比率​​量に関する同種の2つの量の相互関係。

i v .大きさは、小さい方を掛け合わせると大きい方を超える場合、互いに 比を持つと言われます

これらの定義には説明が必要であり、特に定義i i iは正確な意味を伝えていないという欠点があり、実際には理解不能である。

以下の注釈によって、それらが明確になります。

1.整数を任意の数の等しい部分に分割する場合、1、またはこれらの部分の任意の数の合計を 分数と呼びます。したがって、直線AB が整数を表し、それが点C 、D 、Eで 4 つの等しい部分に分割される場合、ACは、AD は、AEはとなります。したがって、分数は水平線で区切られた 2 つの数で表されます。下側の数は分母と呼ばれ、整数が分割される等しい部分の数を表します。上側の数は分子と呼ばれ、これらの等しい部分の数を表します。したがって、分子が分母より小さい場合、分数は1 より小さくなります。分子が分母と等しい場合、分数は 1 に等しくなります。分母より大きい場合、分数は 1 より大きくなります。分数は抽象的な量、つまり、その値は分割される整数の性質に依存しないことは明らかです。 14 24 34

2.等しい部分AC 、CD 、DE 、EBをそれぞれ2 等分すると、全体ABは 8 等分されます。そして、AC = 2 8; AD = 4 8; AE = 6 8; AB = 8 8; となります。ここで、 1 でAE =は 3 4 整数の であることを確認し、それが に等しいことを示したばかりです 6 8。したがって、 3 4 = 6 8; ですが、 は の項 (分子と分母) に 2 を掛けることで6 8 得られます。したがって 、一般的に、任意の分数の項に 2 を掛けてもその値は変わりません。同様に、分数の項に任意の整数を掛けてもその値は変わりません。したがって、逆に、分数の項を整数で割っても値は変わりません。したがって、次の重要かつ基本的な定理が得られます。任意の分数に対して、その値を変えずに 2 つの変換を行うことができます。すなわち、その項は任意の整数で乗算または除算することができ、いずれの場合も新しい分数の値は元の分数の値と等しくなります。3 4

3. 3などの任意の数を任意の整数で掛け合わせた積を3の倍数と呼びます。したがって、6、9、12、15などは3の 倍数ですが、10、13、17などは3の倍数ではありません。なぜなら、3に任意の整数を掛けても、これらの数は得られないからです。逆に、3は6、9、12、15などの部分数、または部分です。なぜなら、これらの数には3が余りなく含まれているからです。しかし、10、13、17などには部分数ではありません。なぜなら、いずれの場合も3は余りを残すからです。

4.同じ種類の2つの量、例えば2つの線分ABとCDを考え、ABがCDの1/4に等しいと仮定すると、 ABを3等分し、CDを4等分した場合、ABを分割した部分のうちの1つがCDを分割した部分のうちの1つに等しいことは明らかです。ABには3つの部分があり、CDには4つの部分があるので、この関係はABとCDの比が3対4であると表され、3:4と表記されます。したがって、比3:4は分数と同じ考え方を表しています。実際、どちらも同じことを表現し、書くための異なる方法です。3:4と書くと、比と呼ばれます。 3 4 34 、そして 3 4 分数の場合も同様です。 同様に、項が可換なすべての比は 分数に変換でき、逆にすべての分数は 比に変換できることが示されます。

この説明から、任意の2つの可換な量の比は、 これらの量を表す数値の比と同じであることがわかります。したがって、 2つの可換な線の比は、同じ単位で測定されたそれらの長さを表す数値の比です。そして、これは線が 可換でない場合にも拡張できます。 したがって、正方形の一辺をa 、対角線をbとすると、 a : bの比は

a、または 1√-。b 2

正方形の対角線と辺のように、2つの量が互いに比較不可能な場合、 それらの比は、比較可能な2つの数の比とは等しくありませんが、 その差が絶えず小さくなり、最終的には 無限に小さくなる一連の分数の組を見つけることができます。つまり、比較不可能な量の比は 、各組のもう一方の分数よりも大きく、小さくなります。これらの分数は収束分数と呼ばれます。 これらを用いることで、比の正確な値にいくらでも近似することができます 。正方形の対角線と辺の場合、 収束分数の組は次のとおりです。

14、15; 141、142; 1414、1415; など、10 10 100 100 1000 1000

そして、その比率は各ペアの中間値です。明らかに、この数列は 好きなだけ続けることができます。ここで、前述の分数のペアのいずれかの最初のものを とすると m-n、2番目は になります m + 1 –n–。一般に、2つの比較不可能な量の場合、 n を好きなだけ大きくできる2つの分数m -n と が m +1 -n— 常に見つかり、そのうちの1つは比率の真の値より小さく、もう1つは真の値より大きくなります。 の場合、 aとbを比較不可能な量とします。すると、明らかに、 na = mbとなるような2 つの倍数na 、mbを見つけることはできません。この場合、 naのようなaの任意の倍数を取ると、この量は、 mbや ( m + 1) bのようなbの連続する2 つの倍数の間になければなりません。したがって、は 1 より大きく、1 より小さくなります。したがって、 はとの間にあります。さて、 nが増加するにつれて、と、すなわちとの差が小さくなることから、互いに比較できない2つの量の比と、比較可能な2つの数mとnの比との差は、いくらでも小さくできることがわかります。したがって、究極的には、互いに比較できない量の比は、比較可能な量の比の極限とみなすことができます。 -na- mb —na– (m + 1)b アブ m-n m-+-1 n m-n m-+-1 n 1 n

5.比の2つの項は前件と呼ばれます。 そしてその結果これらは 分数の分子と分母に相当します。したがって、次のような定義が得られます。「比 とは、前件を分子、後件を 分母として得られる分数のことである。」

6.逆数​ 比の逆数は、前項と 後項を入れ替えて得られる比です。したがって、4 : 3 は 3 : 4 の逆数です。よって、次の 定理が成り立ちます。「比とその逆数の積は 1 である。」

7. 5と7のような任意の2つの数を4のような任意の数で掛けると、積20、28は5と7の 等倍数と呼ばれます。同様に、10と15は2と3の等倍数であり、18と30は3と5の等倍数です。

v . 4 つの量のうち最初の量は、2 番目の量に対して、3 番目の量と 4 番目の量の比と同じ比率を持つ。ただし、最初の量と 3 番目の量の任意の等倍数、および 2 番目の量と 4 番目の量の任意の等倍数を取る場合、最初の量の倍数が 2 番目の量の倍数より大きいか、等しいか、小さいかに応じて、3 番目の量の倍数が 4 番目の量の倍数より大きいか、等しいか、小さいかによって決まる。

v i .同じ比率を持つ量を比例量と呼びます。4つの量が比例量である場合、通常は「1は2に対して、3は4に対してである」と表現されます。

vi i i 。類推または比例とは、比率の類似性です。

上記の定義は、シムソン、ラードナーらが示したユークリッドの順序で示した。2 2ただし、v i i .はv .およびv i .と同様に比率の等価性に関係するため、v i i .は比率の不等性の判定法であるため、 v i i .しかし、これは明らかに順序が逆です。なぜなら、 v i . v i i i .は比例の定義であり、 v .は比例の判定法にすぎず、定義ではなく定理であり、当然のこととして受け入れられるのではなく、証明を必要とするからです。以下の説明は、学生にこれらの意味を明確に理解させるでしょう。

1. 6 : 9 と 10 : 15 のように、それぞれが同じものに等しい（この 例ではそれぞれが に等しい 2 3）2 つの比を取ると、それらは互いに等しくなります（I.公理i . ）。すると、次のように書くことができます。

6:9=10:15。

これが最も分かりやすい方法だが、通常の方法ではない。通常の方法は 次の通りである：6 : 9 :: 10 : 15。この形式は比例式と呼ばれる。したがって、比例式は、 等しいとされる2つの比から構成されます。その4つの項は、2つの前件と 2つの後件からなります。第1項と第3項は前件であり、第2項と第4項は 後件です。また、第1項と第最後の項は極値と呼ばれます。、そして中央の2つの項は 、。

2.比例式は 2 つの等しい比率から成り、各比率は分数で表すことができるので、 次のような比例式がある場合、

a:b::c:d、

これを2つの等しい分数の形で表すことができます。したがって、次のようになります。

acb = d。

逆に、2つの分数の等式は比例式に変換できる。これらの 単純な原理を用いることで、比例の様々な性質を最も直接的かつ容易な 方法で証明することができる。

3.比例式a : b :: c : dを取り、第 1 項と第 3 項をそれぞれmで、第 2 項と第 4 項をそれぞれnで掛けると、4 つの倍数ma 、nb 、mc 、ndが得られます。そして、 maがnbより大きい場合、mc はndより大きいこと、等しい場合、等しいこと、小さい場合、小さいことを証明したいのです。

民主党—以来 a : b ：：CD 、​
我々は持っています アブ = CD。
したがって、それぞれにを掛けると m n- 、
マンブ- = マクンド-。
マン・ンブ さて、が 1 より大きい場合、 mc-nd も 1 より大きいこと は明らかです。しかし、ママ-nb が 1 より大きい場合、maはnbより大きくなります。また、が 1 より大きい場合、mc はndより大きくなります。同様に、ma がnbと等しい場合、mcはndと等しくなります。また、 が より小さい場合、 はより小さくなります。 mc-nd

上記は、ユークリッドの有名な第5定義に含まれる定理の逆の簡単な証明である 。

次に、ユークリッドの定理を証明する。すなわち、4つの 量のうち最初の量の倍数が2番目の量の倍数より大きいか等しいか小さいかに応じて、 3番目の量の倍数は4番目の量の倍数より大きいか等しいか小さいかが決まるならば、最初の量と 2番目の量の比は3番目の量と4番目の量の比に等しい。

証明— a 、b 、c 、d を4 つの量とする。まず、aとbが可換であると仮定すると、 na = mbとなるような倍数na 、mbを取ることができることは明らかである。したがって、仮定により、nc = mdである。したがって、

na-= 1、nc-= 1; mb md

したがって アブ = CD。
次に、aとbが互いに比較不可能であると仮定します。すると、最近のノートにあるように、1より大きく1より小さい2つの数m とnを見つけることができます 。したがって、はとの間にあります。さて、仮定により、が1より大きいとき、は1より大きく、が1より小さいとき、は1より小さくなります。したがって、はとの間にあるので、も同じ量の間にあります。したがって、ととの差はより小さく、nは任意の大きさにすることができるので、差はゼロになります。したがって、na mb- na (m+-1)b アブ m n- m+-1- n ナ-mb -nc md na (m-+-1)b- nc (m-+-1)d- アブ m n- m+-1- n CD アブ CD 1 n

a = c. bd

vi i . 4 つの大きさの倍数 (定義vで取ったもの)のうち、最初の倍数が 2 番目の倍数より大きいが、3 番目の倍数が 4 番目の倍数より大きくない場合、最初の倍数と 2 番目の倍数は、3 番目の倍数と 4 番目の倍数よりも大きい。

これは定義ではなく定理です。最後の節は、 シムソンのユークリッドの定理にある「第１の比は第２の比よりも、第３の比は第４の比よりも大きい」という記述から変更しました。これは誤解を招く表現です。なぜなら、 慣習的に第１の 比が第２の比よりも大きいことを示唆しているからです。実際にはそうではありません。なぜなら、 第１の比が第２の比よりも大きいという仮定から導かれるものであり、そうでなければ定義によってそうすることは不可能だからです 。第５の定義の記述にも同様の変更を加えました 。

a 、b 、c 、d を4 つの大きさとし、mとn をその倍数とする。ma がnbより大きいがmc がndより大きくない場合、 a : bの比がc : dの比より大きいことを証明する必要がある。

デモ. — maはnbより大きいが、mc はndより大きくないので、

ママ-nb より大きい; mc-nd
したがって アブ より大きい; CD
つまり、a : bの比率はc : d の比率よりも大きい。

i x。比例式は少なくとも 3 つの項から構成されます。

これは他のものと同じ欠点があります。定義ではなく推論です。これは 比例式の平均値が等しい場合に発生し、実際には4つの項があります。例として、 4、6、9という数字を考えてみましょう。ここで、4 : 6 の比は 23、6 : 9 の比は なので、4、6、9 は 23連続 比例式ですが、実際には、完全な比例式は 4 : 6 :: 6 : 9 なので、4つの項があります 。

x。3 つの量が連続的に比例する場合、最初の量は 3 番目の量に対して 2倍であると言われます。それが持つものと2番目のものの比率。

x i。4 つの量が連続比例関係にある場合、最初の量は、2 番目の量に対する比率の 3 倍の比率を 4 番目の量に対して持つと言われます。

x i i。同じ種類の量が 2 より大きい場合、最初の量は最後の量に対して、第１の比率と第２の比率、第２の比率と第３の比率、第３の比率と第４の比率など。

これらの定義をグループにまとめましたが、順序が逆になっており、後述するように、 定義x i i .は定理であり、x .とx i .はそこからの推論にすぎません。

1. 5 : 7 と 3 : 4 のような 2 つの比があり、それぞれの比を分数に変換して掛け合わせると、 2 つの 比の合成比と呼ばれる結果が得られます。 この例では、15 : 28 となります。2つの前件を掛け合わせて新しい前件を作り、2 つの後件を掛け合わせて新しい後件を作ると、同じ結果が得られることは明らかです。したがって、次の定義が得られます。「合成比 1258 任意の数の比率について言えば、 それはすべての前件の積とすべての後件の積の比である 。」

2.定義x i iに含まれる定理を証明する。

大きさをa 、b 、c 、dとする。すると、

1位：2位 = アブ、
2位：3位 = 紀元前、
3位：4位 = CD。
したがって、1番目：2番目、2番目：3番目、3番目：4番目の比率を合成した比率

abc a = bcd = d = 1番目と4番目の比率。

3. 3つの量が比例関係にある場合、1番目と3番目の量の比は、 1番目と2番目の量の比の2乗に等しくなります。なぜなら、1番目と3番目の量の比は、1番目と2番目の量の比と 2番目と3番目の量の比から成り立っており、これらの比は等しいので、それらから成り立つ比は、 どちらか一方の比の2乗に等しくなります。

あるいは、比例定数をa 、b 、cとすると、つまりa : b :: b : cとすると、次のようになる。

bac = b。

そしてそれぞれにを掛けると アブ、

a a2 c = b2;

またはa : c :: a 2 : b 2 —つまり、1番目 : 3番目 :: 1番目の2乗 : 2番目の2乗。ここで、1番目 : 3番目の比は、 定義xにより、1番目 : 2番目の比の2倍です。したがって、2倍の比は 2 つの大きさの 2 乗とは 、それらの比の 2 乗、または同じことですが、それらの 2 乗の比を意味します ( 第 6巻x xを参照)。

4. 4つの量が連続比例関係にある場合、1番目と4番目の量の比は、 1番目と2番目の量の比の3乗に等しい。これは3と全く同じように証明できる。したがって、ユークリッドが 2つの量の3倍比と呼ぶものは、それらの3乗の比、つまりそれらの比の3乗であることがわかる 。

また、ユークリッドのように、倍数比や三倍数比を定義するために余計な量を導入する必要がないこともわかります 。実際、平方数や立方数による定義の方 がより明確です。

x i i i。比例式では、前項は同類項と呼ばれます。互いに影響し合う。また、結果も互いに影響し合う。

一つの比率が与えられれば、そこから無数の他の比率を推論することができ、 比例理論の大部分は、これらの導出された 比率の正しさを証明することにある。幾何学者は、これらの過程の中で最も重要なものを表すために、特定の専門用語を用いる 。これらの用語は、それらが参照する命題に関連して括弧で囲むことによって示す。これらの用語は、 定理の全体的な記述を一語で示すのに役立つ。

第五巻に記されている命題はすべて定理である。

命題I.—定理。​​​​​

同種の任意の数の大きさ（a、b、c、およびc ）が、他の同数の大きさ（a ′ 、b ′ 、c ′ 、およびc）の等倍数である場合、最初の大きさの合計 （a + b + c、およびc ）は、2番目の大きさの合計と同じ倍数となり、最初のシステムの任意の大きさが、 2番目のシステムの対応する大き​​さの倍数となる。

証明— m を、第 1 系の振幅が第 2 系の振幅の何倍であるかを表すものとする。

次に a = ma ′ (hyp . ) 、
b = mb ′ 、
c = mc ′ 。
などなど
したがって、加算により、

(a+ b+ c+ &c.) = m (a′ + b′+ c′, &c.)。

命題II.—定理。​​​​​

同じ種類の2つの量（a、b）が別の量（c） の同じ倍数であり、対応する2つの量（a ′ 、b ′）が別の量（c ′）の同じ倍数である場合、最初の2つの量の和は、対応する量の和がそれぞれの量の倍数であるのと同じ倍数になります。

デモ. — mとn をaとbがcの倍数とする。

次に

a = mc および a′ = mc ′、b = nc および b′ = nc′。

したがって

(a + b) = (m + n )c、および (a′ + b′) = (m + n)c′。

したがって、a + bはcの倍数であり、a ′ + b ′はc ′の倍数である。

この命題は、任意の数の倍数に対して明らかに真である。

命題III.—定理。​​​​​

2 つの量( a, b )が他の 2 つの量( a ′ , b ′ )の等倍数である場合、最初の量( a, b )の等倍数は、2 番目の量( a ′ , b ′ )の等倍数にもなります。

証明 — m をa、bがa ′、b ′の倍数とすると、次のようになる 。

a = ma ′、b = mb ′。

したがって、各式にnを掛けると、

na = mna ′、nb = mnb ′。

したがって、na、nbはa ′、b ′の等倍数である。

命題IV.—定理。​​​​​

4つの量が比例関係にあり、1番目と3番目の等倍数 、および2番目と4番目の等倍数を取ると、1番目の倍数 ： 2番目の倍数：：3番目の倍数： 4番目の倍数となる 。

a : b :: c : d とすると、ma : nb :: mc : ndとなる。

民主党— 我々は a : b :: c : d (仮説) を持っている。

したがって a– b = CD。
したがって、各分数をで乗算するとミン、
マン・ンブ = MC-ND;
したがって、 ma : nb :: mc : nd。

命題V.—定理。​​​​​

同種の2つの量（a、b）が別の量（c） の同じ倍数であり、対応する2つの量（a ′ 、b ′）が別の量（c ′）の同じ倍数である場合、最初の2つの量の差は、それらの小倍数（c）の同じ倍数であり、対応する量の差は、それらの小倍数（c ′）の同じ倍数である（命題iiを参照）。

デモ. — mとn をaとbがcの倍数とする。

次に a = mc、およびa ′ = mc ′ 、
b = nc、b ′ = nc ′ 。
したがって、( a − b ) = ( m − n ) cであり、( a ′− b ′ ) = ( m − n ) c ′である。ゆえに、a − bはcの倍数であり 、a ′− b ′はc ′の倍数である。

Cor. —a − b = cの場合、 a ′− b ′ = c ′。なぜなら、 a − b = cの場合、m − n = 1 となるからである。

命題VI.—定理。​​​​​

ある量( a )が別の量( b )と同じ倍数であり、最初の量から取った量( a ′ ) が2番目の量から取った量( b ′ )と同じ倍数である場合、余りは全体が全体の倍数であるのと同じ倍数である (命題iを参照) 。

証明 — m を、大きさa、a ′がb、b ′の倍数とするとき、次のようになる 。

1 = mb、
a ′ = mb ′ 。
したがって ( a − a ′ ) = m ( b − b ′ ) 。

命題A.—定理（シムソン）。​​​​​​​​​​​​

2つの比が等しい場合、最初の比の前件が 後件より大きいか、等しいか、小さいかに応じて、2番目の比の前件は 後件より大きいか、等しいか、小さいかが決まる。

証明 — a : b :: c : dとします。
すると a-b= CD;
また、a がbより大きい場合、a b-は 1 より大きいので、CDは 1 より大きく、cはdより大きいです。

同様に、a がbと等しい場合、cはdと等しくなり、それより小さい場合は、それより小さくなります。

命題B.—定理（シムソン）。2つの比が等しい場合、それらの逆数も
等しい（逆数）。。

a : b :: c : d とする と、b : a :: d : c となります。

民主党—以来 a : b ：：CD ;​​
それから a-b = CD;
したがって 1 ÷a-b = 1 ÷ CD、
または b-a =DC
したがって b : a :: d : c.

命題C.—定理（シムソン）。4つの量のうち
最初の量が、2 番目の量の倍数であり、3 番目の量が 4 番目の量の倍数であるならば、最初の量と 2 番目の量の比 は、3番目の量と4番目の量の比と同じである。

a = mb、c = md とする と、a : b :: c : dとなる。

デモ. — a = mbなので、a — b= mとなります。

同様に、CD= m ; したがってa-b= -CD。

したがって a : b :: c : d。

命題D.—定理(シムソン)。​​​​​​​​​​​​

もし第一が第二に対して、第三が第四に対して持つ関係と同じであり、かつ第一が第二の倍数または約数であるならば、第三は 第四の同じ倍数または約数である。

1. a : b :: c : dとし、a がbの倍数であるならば、cはdの同じ倍数である 。

デモ. — a = mbとすると、a b-= m ;
しかし a-b= -CD; したがってCD= m、そしてc = md。

2. a =とするb n-と、a b-= 1 n-;

したがって -CD = -1 n、
したがって c = -dn。

命題VII.—定理1.等しい大きさは、
同じ大きさに対して等しい比を持つ。2.同じ大きさは、等しい大きさに対して等しい比を持つ。

aとbは等しい大き さとし、cはそれ以外の任意の大きさとする。

次に1。 a : c :: b : c、

2. c : a :: c : b.
   デモ. — a = bなので、それぞれをcで割ると、次のようになります。

a-= b; cc

したがって 、a : c :: b : c。

また、a = bなので、c をそれぞれで割ると、次のようになります。

c-= c; ab

したがって c : a :: c : b。

観察。 —2は命題Bにより1から直ちに導かれる。

命題VIII.—定理。​​​​​

1. 2つの異なる大きさのうち、大きい方の大きさと他の大きさとの比は、 小さい方の大きさとの比よりも大きい。2 .他の大きさは、2つの異なる大きさのうち小さい方の大きさとの比が、 大きい方の大きさとの比よりも大きい。
2. aがbより大きいとし、c を同じ種類の任意の他の量とすると、比a : cは比b : cより大きい。

デモ. — aはbより大きいので、それぞれをcで割ると、

aはbより大きい。cc

したがって、 a : cの比率はb : c の比率よりも大きい。

2. 比c : bが比c : aより大きいことを証明する。

証明： bはaより小さいので、任意の大きさをbで割った商は、同じ大きさをaで割った商よりも大きい。

したがって cbは より大きいc a-。
したがって、 c : bの比率はc : a の比率よりも大きい。

命題IX.—定理。​​​​​

1.同じ大きさに対する比率が等しい大きさは互いに等しい。2 . 同じ大きさに対する比率が等しい大きさは互いに等しい 。

1. a : c :: b : cの場合、 a = bを証明する。

民主党—以来 a : c :: b : c、
a-c = 紀元前。
したがって、それぞれにcを掛けると、a = bとなります。

2. c : a :: c : bの場合、 a = bを証明する。

民主党—以来 c : a :: c : b、
反転により、 a : c :: b : c ;
したがって 1 = b. [1].

命題X.—定理。​​​​​

大きさが異なる2つの量のうち、いずれかの3分の1との比率が大きい方が 、2つのうち大きい方であり、いずれかの3分の1との比率が大きい方が、2つのうち小さい方である 。

1. 比a : cが比b : cより大きい場合、a がbより大きいこと を証明します。

デモ. — 比率a : cは比率b : cより大きいので、

ab – c は c より大きい。

したがって、それぞれにcを掛けると、a はbより大きいことがわかります。

2. 比c : bが比c : aより大きい場合、bがaより小さいこと を証明します。

デモ. — 比率c : bは比率c : aより大きいので、

cc -b は a より大きい。

したがって 1 ÷cb 1 ÷より小さいc-a、
つまり、 紀元前 より小さいa-c。
したがって、それぞれにcを掛けると、

bはaより小さい。

命題XI.—定理。同じ比に等しい比は互いに等しい。

a : b :: e : fおよびc : d :: e : f とすると、 a : b :: c : dを証明する。

民主党— a : b :: e : f以来 、

アブ = ef。
同様に、 CD = ef。
したがって アブ = CD[I., 公理i .],
そして a : b :: c : d。

命題XII.—定理。​​​​​

複数の比率が互いに等しい場合、これらの等しい比率のいずれか1つは、 すべての前件の合計とすべての後件の合計の比率に等しくなります 。

比a : b、c : d、e : fがすべて互いに等しいとする。これらの比のいずれかが比a + c + e : b + d + fに等しいことを証明する必要がある。

民主党—仮説によれば、

a-= c = e. bdf

これらの分数はすべて等しいので、それらの共通値をrとすると、次のようになります。

a-b= r、 CD = r、 e-f = r ;
したがって 1 = br、
c = dr、
e = fr;
したがって a + c + e = ( b + d + f ) r。
したがって a +c + e b+-d-+f-= r;
したがって a b-= a +c + e b+-d-+f-、
そして a : b :: a + c + e : b + d + f。
Cor. —同じ仮定の下で、l、m、n が任意の 3 つの乗数である場合、 a : b :: la + mc + ne : lb + md + nf。

命題XIII.—定理。2つの比が等しく、そのうちの 1 つが他の3 つの比よりも
大きい場合、もう1 つの比もその 3 番目の比よりも 大きい。

a : b :: c : d であり、 c : dの比率がe : fの比率より大きい場合、 a : bの比率 はe : fの比率より大きい。

デモ. — c : dの比率はe : fの比率よりも大きいので、

cはe-より大きい。df

また、 1 : b :: c : d、
a-b= CD;
したがって a -bは より大きいe f-。
または、 a : bの比率がe : fの比率よりも大きい。

命題XIV.—定理。​​​​​

2つの比が等しい場合、最初の比の前件が 2番目の比の前件より大きいか、等しいか、小さいかに応じて、最初の比の後件は 2番目の比の後件より大きいか、等しいか、小さいかが決まる。

a : b :: c : d とします。このとき、a がcより大きい場合、bはdより大きい。等しい場合は等しい。小さい場合は小さい。

民主党—以来 a : b ：：CD 。​
我々は持っています a b- = CD、
それぞれにを掛けると紀元前、

a-b ×紀元前 = CD × 紀元前、
または a-c= ベッド;
したがって a : c :: b : d。
したがって、命題[A]によれば、aがcより大きい場合、bはdより大きい。等しい場合は等しい。小さい場合は小さい。

命題XV.—定理。大きさは、それらのすべての等倍数と
同じ比率を持つ。

a、b を2 つの大きさと すると、比a : bは比 ma : mbに等しくなります。

証明— 比a : b = a-b、比ma : mb = ma- mb; ただし、分数の値は分子と分母に同じ数を掛けても変わらないので、

a-b = ma- mb;
したがって a : b :: ma : mb。

命題XVI—定理。同じ種類の 4 つの量が
比例量である場合、それらは 交替( alternando )によっても比例量である。。

a : b :: c : d とする と、a : c :: b : dとなります。

民主党— a : b :: c : d以来 、

a-= c、bd

それぞれにを掛けると紀元前、

a — b。b – c =CD。b – c、
または a-c = -bd;
したがって a : c :: b : d。

命題XVII.—定理。​​​​​

4つの量が比例関係にある場合、1番目と2番目の量の差：2番目:: 3番目と4番目の量の差：4番目 (配当)。

a : b :: c : d : ならばa − b : b :: c − d : d ;

民主党—以来 a : b ：：CD 、​
a-b = -CD;
したがって a-b − 1 = -CD − 1 、
または a—bb = c—dd;
したがって a − b : b :: c − d : d。

命題XVIII.—定理4つの量が比例関係にある場合、第 1量
と第 2 量の和:第 2 量::第 3 量と第 4 量の和:第 4 量(合成)が成り立つ。

a : b :: c : d とする と、a + b : b :: c + d : dとなる。

民主党—以来 a : b :: CD、​
a-b= CD;
したがって a b-+ 1 = CD+ 1 、
または a + b —– b= c+ d —– d;
したがって a + b : b :: c + d : d。

命題XIX.—定理。​​​​​

ある整数を別の整数に、最初の整数から取った整数を2番目の整数に、 最初の整数から取った整数に、最初の整数の余り: 2番目の整数の余り::最初 の整数: 2番目の整数とする。

a : b :: c : d とし、cとd はaとbより小さいとする。
このとき、 a − c : b − d :: a : bと なる。

民主党—以来 a : b ：：CD 、​
それから a : c :: b : d [ alternando ]、
そして c : a :: d : b [ invertendo ];
したがって c a- = db、
そして 1 −c a- = 1 − db、
または a − c —– a = b− d —– b。
したがって a − c : b − d :: a : b。

命題E.—定理(シムソン) 4つの量が比例関係にある場合、
第 1 :第 2 に対するその超過分::第3 :第4に対するその超過分(変換)。

a : b :: c : d とする と、a : a − b :: c : c − dとなる。

民主党—以来 a : b ：：CD 、​
a-b = CD;
したがって a—bb = [ x vi iのc-− dd デモ。 ]、
したがって a-b ÷a-− bb = CD ÷ c−-d- d、
または a —– a − b = c —– c − d、
したがって a : a − b :: c : c − d。

命題XX.—定理。​​​​​

3つの大きさからなる2つの組があり、それらを2つずつ順に並べると 比が等しくなる場合、一方の組の最初の大きさが3番目の大きさより大きいならば、 もう一方の組の最初の大きさは3番目の大きさより大きくなり、等しいならば等しく、小さいならば 小さくなる。

a、b、c、a ′、b ′、c ′を2組の大きさとし、比をa : b = a ′ : b ′、b : c = b ′ : c ′と します。このとき、aがcより大きい、等しい、または小さい場合、a ′はc ′より大きい、等しい、または小さいことになります。

民主党—以来 1 : b :: a ′ : b ′ 、
我々は持っています a-b= ′ a- b′、
同様に、 紀元前= b′ c′、
したがって a-b × 紀元前= a′ b′× b′ c′、
または a-c= a′ c′。
したがって、aがcより大きい場合、a ′はc ′より大きい。等しい場合は等しい。小さい場合は小さい。

命題XXI.—定理。​​​​​

3つの大きさからなる2つの組があり、それらを2つずつ横方向に並べると 比率が等しくなる場合、一方の組の最初の大きさが3番目の大きさより大きいならば、 もう一方の組の最初の大きさは3番目の大きさより大きい。等しいならば等しい。小さいならば 小さい。

a、b、c、a ′、b ′、c ′を2組の大きさとし、比を a ： b = b ′ ： c ′ ​​、 b ： c = a ′ ： b ′とする。このとき、aがcより大きい、等しい、または小さい場合、a ′はc ′より大きい、等しい、または小さい。

民主党—以来 a : b :: b ′ : c ′ 、
我々は持っています a-b= ′ b- c′。
同様に、 紀元前= a′ b′。
したがって、乗算すると a-c= a′ c′。
したがって、aがcより大きい場合、a ′はc ′より大きい。等しい場合は等しい。小さい場合は小さい。

命題XXII.—定理。​​​​​

2 つの大きさのセットがあり、それらを直接の順序で 2 つずつ取ったとき の比率が等しい場合、最初のセットの最初の:最初のセットの最後の:: 2 番目のセットの最初の: 2 番目のセットの最後の ( 「ex aequali, または「ex aequo」）。

a、b、c ; a ′、b ′、c ′ を2 つの大きさの集合とし、 a : b :: a ′ : b ′ 、および b : c :: b ′ : c ′の場合、a : c :: a ′ : c ′となります。

民主党—以来 a : b :: a ′ : b ′ 、
我々は持っています a-b= ′ a- b′
同様に、 紀元前= b′ c′。
したがって、乗算すると、 a-c= a′ c′。
したがって a : c :: a ′ : c ′ 、
そして、各セットに含まれる任意の数の大きさについても同様である。

コリント1.—比b : cが比a : bに等しい場合、a、b、cは連続比例となり、a ′、b ′、c ′も同様となる。したがって[定義xii .注釈3]、

a- a2 a′ a′2- c = b2 および c′ = b′2;

しかし a-c = ′ a- c′。 [ x x i i . ]
したがって a2 b2 = a′2 b′2。
したがって、もし 1 : b :: a ′ : b ′ 、
2​ : b 2 :: a ′ 2 : b ′ 2
あるいは、4つの量が比例関係にあるならば、それらの2乗も比例関係にある。

コリント2章—もし4つの量が比例するならば、それらの3乗も比例する。

命題XXIII.—定理。​​​​​

2 つの大きさのセットがあり、それらを横断的に 2 つずつ取ったとき の比率が等しい場合、最初のセットの最初の:最後の:: 2 番目のセットの最初の:最後の ( 「ex aequo perturbato」 )が成り立つ。。

a、b、c ; a ′、b ′、c ′を 2 つの大きさのセットとし、比を a : b = b ′ : c ′ 、およびb : c = a ′ : b ′とすると、a : c :: a ′ : c ′となります。

民主党—以来 a : b :: b ′ : c ′ 、
我々は持っています a-b= ′ b- c′。
同様に、 紀元前= a′ b′。
したがって、乗算すると、 a-c= a′ c′;
したがって a : c :: a ′ : c ′ 、
そして、各セットに含まれる任意の数の大きさについても同様である。

この命題と前の命題は、次のように一つの命題にまとめることができる。「等しい比から構成される比は等しい。」

命題XXIV.—定理。​​​​​

同じ種類の 2 つの量( a、b )が、3 番目の量( c ) に対して持つ比が、他の 2 つの量( a ′ 、b ′ )が3 番目の量 ( c ′ )に対して持つ比と同じである場合、最初の 2 つの量の和( a + b )は、他の 2 つの量の和( a ′ + b ′ )が3 番目の量 ( c ′ )に対して持つ比と同じ比を、3 番目の量 ( c )に対して持つ。

民主党—以来 a : c :: a ′ : c ′ 、
我々は持っています a-c = ′ a- c′。
同様に、 紀元前 = b′ c′;
したがって、 a-+-bc = a′ +-b′ c′。
したがって a + b : c :: a ′ + b ′ : c ′ 。

命題XXV.—定理。同じ種類の4 つの量が比例関係にある場合、最大値と最小値の
和は他の 2 つの和よりも大きい。

a : b :: c : d とします。このとき、a が最大であれば、d は最小になります [ x i v . およびa ]。a + dがb + cより大きいことを証明する必要があります。

民主党—以来 a : b :: c : d、
a : c :: b : d [オルタナンド];
したがって a : a − c :: b : b − d [ E ] . ;
しかし aはb より大きい（仮説）
したがって a − cはb − d より大きい [ x i v .] 。
したがって a + dはb + c より大きい。

第5巻に関する試験問題

1.この本の主題は何ですか？

2.ある大きさが別の大きさの倍数であると言われるのはどのような場合ですか？

3.部分倍数または部分尺度とは何ですか？

4.等倍数とは何ですか？

5.互いに比較可能な2つの量の比は何ですか？

6.比較不可能な量の比とは何を意味しますか？

7.不可換比の例を挙げてください。

8.比の項は何と呼ばれますか？

9.より大きな不平等の比率とは何ですか？

10.より小さな不平等の比率とは何ですか？

11. 2 つの比率の積は何と呼ばれますか?答え: これらの比率を合成した比率です 。

12.重複率とは何ですか？

13.ユークリッドにおける倍数比の定義は何ですか？

14．別の定義を挙げてください。

15.三重比を定義しなさい。

16.比例とは何か？答え：比の等しさ。

17.ユークリッドによる比例の定義を述べなさい。

18.比例式にはいくつの比率がありますか？

19.第5巻の命題の一部を表すために使用されているラテン語の用語は何ですか？

20.線が調和的に分割されるのはどのような場合ですか？？

21.直線が調和的に分割されたとき、対応する点のペアは何と呼ばれますか？ 答え：調和共役点。

22.逆比とは何ですか？

23.第V巻の命題x x i i . 、x x i i i .を含む表現を 1 つ挙げてください。

第5巻の練習問題

定義1. —前件が後件よりも大きい比を、より大きな不平等比と呼ぶ。 そして、前件が後件より小さい比率、つまり不等号の小さい比率 。

定義II. —直角線は、内部と外部で等しい大きさの比率で分割されたときに調和的に切断されたと言われます。

1.不平等の度合いが大きいほど、その項を同じ量だけ減らすことで大きくなり、 その項を同じ量だけ増やすことで小さくなる。

2.不等式の小さい比は、その項を同じ量だけ減らすことで小さくなり、 その項を同じ量だけ増やすことで大きくなります。

3. 4つの量が比例関係にある場合、最初の量と2番目の量の和は、 3番目の量と4番目の量の和と同じ割合になります（componendo et dividendo ）。
4. 2つの4つの量のセットが比例関係にある場合、対応する項を掛け合わせると 、その積も比例関係になります。
5. 2つの4つの量のセットが比例関係にある場合、対応する項を割ると、 商は比例関係になります。
6. 4つの量が比例関係にある場合、それらの2乗、3乗なども比例関係にある。
7. 2つの比例式において、一方の3つの項が他方の対応する3つの項と等しい場合 、最初の比例式の残りの項は、2番目の比例式の残りの項と等しい 。
8. 3つの量が連続的に比例する場合、最初の量と3番目の量の比は、 最初の量と2番目の量の差の2乗と2番目の量と3番目の量の差の2乗に等しい 。

9.直線ABが点CとDで調和的に切断され、点Oで二等分される場合、OC 、OB 、ODが連続比例関係であることを証明せよ。

10.同様に、O ′がCDの中点である場合、OO′2 = OB2 + O′D2であることを証明せよ。

11.そして AB ( AC + AD ) = 2 AC。AD 、または 1 AC- + 西暦1年- = 2 AB-。

12.そしてCD ( AD + BD ) = 2 AD。BD 、または -1- BD + -1- AD = -2- CD。

13.そしてAB。CD = 2 AD。CB 。

第6巻
　比例理論の応用

---

定義。

i．類似した直線図形それらは、それぞれの角が等しく、かつ、それらの等しい角を囲む辺の比が等しいものである。

相似な図形は形が一致しており、大きさも一致していれば合同である。

1.図形の形状が与えられる場合、それは種で与えられると言われます。したがって、角度が与えられた三角形は、 種に分類される。ゆえに、相似な図形は同じ種である。

2.図形の大きさが示される場合、それは大きさで示されていると言われます。例えば、 辺の長さが一定の正方形など。

3.図形が占める位置がわかっている場合、その位置は与えられていると言われます。。

i i。直線は、全体と大きい方のセグメントの比が、大きい方のセグメントと小さい方のセグメントの比と同じであるとき、極値と中値の比で一点で切断されていると言われます。

i i i。同じ種類の 3 つの量が連続比例関係にある場合、中間項は比例平均と呼ばれます。他の2つの間に。

連続的に比例する大きさは、幾何級数 であるとも言われる。

i v . 同種の4つの量が連続比例関係にある場合、中間の2つの項は2つの平均比例項と呼ばれます。他の2つの間に。

v .高度​任意の図形の垂線の長さは、その図形の最高点から底辺までの垂線の長さである。

vi . 2 つの図形の対応する 2 つの角の周囲の辺は、一方の図形の 1 辺と他方の図形の 1 辺の比が、他方の図形の残りの辺と一方の図形の残りの辺の比に等しいとき、互いに比例関係にある。

これは明らかに、第１の辺の長さと第２の辺の長さの比が、 第１の残りの辺の長さと第２の残りの辺の長さの比の逆数に等しいと言っているのと同等である。

定理I.—定理。高さ
が同じ三角形( ABC 、ACD )と平行四辺形( EC 、CF )は、底辺( BC、CD )に等しい。

デモ. — BD を両方向に生成し、CBに等しい任意の数の部分BG、GHなどを切り取り、 CDに等しい任意の数のDK、KLを切り取ります。AG 、AH、AK、 A​​Lを結合します。

さて、底辺CB、BG、GHはすべて等しいので、三角形ACB、 ABG、AGHもすべて等しい [I. x x x v i i i . ]。したがって、三角形ACHは、底辺CHが底辺CBの倍数であるのと同じACBの倍数です。同様に、三角形ACLは、底辺CLが底辺 CDの倍数であるのと同じACDの倍数です。そして、底辺HC がCLより大きい場合、三角形HACはCALより大きいことは明らかです。等しい場合は等しく、小さい場合は小さいです。これで、 4 つの大きさがあります。底辺BCが第 1 番目、底辺CD が第 2 番目、三角形ABC が第 3 番目、三角形ACD が第 4 番目です。第 1 番目と第 3 番目の等倍数、つまり底辺CHと三角形ACHを取りました。また、2番目と4番目の等倍数、すなわち底辺CLと三角形ACLも存在します。そして、1番目の倍数が2番目の倍数より大きいか等しいか小さいかに応じて、3番目の倍数が4番目の倍数より大きいか等しいか小さいかが証明されています。したがって[V. Def. v . ]底辺BC : CD ::三角形ABC : ACD となります。

2. 平行四辺形ECは三角形ABCの 2 倍であり[I. x x x i v . ]、平行四辺形CFは三角形ACDの 2 倍である。したがって [V. x v . ] EC : CF :: 三角形ABC : ACD ; ただしABC : ACD :: BC : CD (パート I.)。したがって[V. x i . ] EC : CF ::底辺BC : CD 。

あるいは、A 、A ′ をそれぞれ三角形ABC 、ACDの面積とし、Pをそれらの共通の高さとすると、[II. i、Cor. 1]、

A = 1 2P。BC、A ′ = 1 2P。CD。
したがって AA′ = BCCD-、または A : A ′ :: BC : CD。
この証明を平行四辺形に拡張するには、 Pの代わりにP を使用するだけでよい。 12

命題II.—定理。​​​​​

三角形( ABC )の辺( BC )に平行な直線( DE )がある場合、その直線は、対角( A )から測った残りの辺を比例的に分割します。逆に、三角形の 2 辺をある角から測って比例的に切断した場合、切断点を結ぶ直線は 3 番目の辺に平行になります。

1. AD : DB :: AE : EC を証明する必要がある。

デモ. — BEとCDを結びます。三角形BDEとCED は同じ底辺DE上にあり、同じ平行線BCとDEの間にあります。したがって [I. x x x v i i . ] それらは等しく、したがって [V. v i i . ] 三角形ADE : BDE :: ADE : CDEです。

しかし ADE : BDE :: AD : DB [ i . ] 、
そして ADE CDE :: AE : EC​ [私。 ] 。
したがって 広告 : DB :: AE : EC。

2. AD : DB :: AE : ECの場合、 DE がBCと平行である ことを証明する必要があります。

民主党： ―同じ構成にしよう。

それから AD : DB :: 三角形ADE : BDE [ i . ]。
そして AE : EC :: 三角形ADE : CDE [私。 ];
しかし AD : DB :: AE : EC (hyp.) 。
したがって ADE : BDE :: ADE : CDE。
したがって[V. i x . ]三角形BDEはCDEと等しく、同じ底辺 DE上にあり、同じ側にある。したがって、それらは同じ平行線の間にある[I. x x x i x . ]。したがって、DEはBCに平行である。

観察。線分DEは、辺AB 、ACをB 、Cを通るように延長したもの、または角Aを通るもののいずれかと交わる可能性があるが、これらの場合ごとに別々の図を描く必要はないことは明らかである。

エクササイズ。

2本の直線が3本以上の平行線によって切断された場合、一方の直線上の切片は、 もう一方の直線上の対応する切片に比例する。

命題III.—定理。​​​​​

三角形( ABC )の任意の角( A )を直線( AD )が二等分する場合、その直線は対辺 ( BC )を隣接する辺に比例する線分に分割します。逆に、三角形の任意の角( A )から引いた直線( AD )が対辺を分割する線分 ( BD、DC )が隣接する辺に比例する場合、その直線は角 ( A )を二等分します。

証明—1. Cを通ってCE をADに平行に引き、BA を延長してEに交わらせる。BAは平行線AD、ECと交わるので、角BAD [I. x x i x .] はAECに等しい。また、AC は平行線AD、ECと交わるので、角DACはACEに等しい。しかし、角BADはDAC (斜角)に等しいので、角ACEはAECに等しい。したがって、AE はACに等しい[I. v i .]。また、AD はECに平行なので、三角形BECの辺の 1 つ、BD : DC :: BA : AE [ i i . ]。しかし、AE はACに等しいことが証明されている。したがって、BD : DC :: BA : AC 。

2. BD : DC :: BA : ACの場合、角BACは二等分されます。

民主党： ―同じ構造物を作るべきだ。

AD はECと平行な ので、BA : AE :: BD : DC [ i i .]ですが、BD : DC :: BA : AC (斜辺) です。したがって [V. x i .] BA : AE :: BA : ACとなり、したがって [V. i x .] AE はACと等しくなります 。したがって、角AECはACEと等しくなります。しかし、AEC はBAD [I. x x i x .]と等しく、ACE はDACと等しくなります。したがって、BADはDACと等しくなり、線AD は角 BACを二等分します。

演習。

1.線分AD が外角CAE を二等分する場合、BA : AC :: BD : DCとなり、その 逆もまた同様です。

証明— AE = ACを切り取ります。ED を結びます。すると、三角形ACDとAED は明らかに合同です。したがって、角EDBは二等分されます。したがって [ i i i .] BA : AE :: BD : DE ; またはBA : AC :: BD : DC 。

2.演習 1 は命題i i iを引用して証明されています。それを独立して証明し、i i i をそこからの推論として証明してください。

3.三角形の頂角の内二等分線と外二等分線は底辺を 調和的に分割する（定義、191ページ参照）。

4.任意の角の2辺と交わる任意の直線は、 その角の内二等分線と外二等分線によって調和的に切断される。

5.直角の2辺と交わる任意の直線は、その 頂点を通る2本の直線によって調和的に切断され、その2本の直線は直角のいずれかの辺と等しい角度をなす。

6.三角形の底辺の大きさと位置、および辺の比が与えられている場合、 頂点の軌跡は、底辺を 辺の比で調和的に分割する円である。

7. a 、b 、c を三角形ABCの辺とし、D 、D ′ をAの内二等分線と外二等分線がBC と交わる点とするとき、次のことを証明せよ。

DD ′ =-2abc-. b2− c2

8.同様に、E 、E ′ 、F 、F ′がそれぞれ辺CA 、AB上に同様に決定された点である場合、 証明せよ。

-1– DD ′ + -1– EE′ + -1– FF′ = 0 、
そして 2 -a– DD ′ + 2 -b– EE′ + 2 -c– FF′ = 0 。

命題IV.—定理。​​​​​

正三角形（BAC、CDE）の等しい角を囲む辺は比例し 、等しい角の対辺は相似である。

証明：等しい角AとD の対辺である辺BCとCEが、三角形が同じ側にあるように、また等しい角BCAとCED が共通の頂点を持たないように、1 つの連続した線を形成するように配置されていると考える。

さて、角ABCとBCA の和は2 直角より小さいですが、BCAはBED (斜辺)に等しいです。したがって、角ABEとBEDの和は 2 直角より小さいです。したがって [I., 公理x i i . ] 直線ABとEDは延長すると交わります。それらがFで交わるとします。再び、角BCAはBEFに等しいので、直線CA [I. x x v i i i . ] はEFに平行です。同様に、BFはCDに平行です。したがって、図形ACDF は平行四辺形です。したがって、ACはDFに等しく、CD はAFに等しくなります。さて、 AC はFEに平行なので、BA : AF :: BC : CE [ i i .]ですが、AFはCDに等しいので、 BA : CD :: BC : CEです。したがって [V. x v i . ]; AB : BC :: DC : CE。また、CD はBFと平行なので、BC : CE :: FD : DE。しかし、FD はACと等しいので、 BC : CE :: AC : DE。したがって [V. x v i . ] BC : AC :: CE : DE 。したがって、 AB : BC :: DC : CEおよびBC : CA :: CE : EDが証明されました。したがって ( ex aequali ) AB : AC :: DC : DE。したがって、等しい角を囲む辺は 比例する。

この命題は重ね合わせによって非常に簡単に証明することもできます。したがって（図、命題iiを参照）：2 つの三角形をABC 、ADEとします。2 番目の三角形ADE がABC上に置かれ、その 2 つの辺AD 、AE が辺AB 、ACに重なるようにします。すると、角ADEはABCに等しいので、辺DEはBCに平行です。したがって[ ii . ] AD : DB :: AE : ECです。したがって、AD : AB :: AE : ACであり、[V. x v i . ] AD : AE :: AB : ACです。したがって、等しい角BAC 、DAE の周りの辺は比例しており、他の角についても同様です。

この命題により、無限遠で交わる 2 つの直線は平行であることが証明できます。なぜなら、与えられた 2 つの直線が通過する無限遠の点をIとし、 それらと交わる任意の 2 つの平行線を点A 、B 、A ′ 、B ′で引くと、三角形AIB 、A ′ IB ′ は等角三角形となるため、 AI : AB :: A ′ I : A ′ B ′となります。しかし、比例式の第1 項は第 3 項に等しいので、第2項ABは第 4 項A ′ B ′に等しくなり、それに平行であるため、直線AA ′ 、BB ′ は平行になります。

演習。

1. 2 つの円が任意の割線上で等しい弦AB 、A′B ′を交わる場合、交点における円への接線AT 、A′Tは、円の半径に等しくなります。
2. 2つの円が、与えられた比率を持つ任意の割線で交わる場合、 交点における円の接線の比率は、 半径の正比と弦の反比の合成比である。

3.円と直線が与えられたとき、 円と任意の弦の交点から直線上に垂線を下ろしてできる長方形が与えられるような点が存在することを証明せよ 。

4. ABは半円ADBの直径であり、CDはABに垂直である。Aを通る半円の弦AFを描き、CDとの交点をEとする。これにより、 CE ：EFの比が得られる。

命題V.–定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、DEF )の辺の比が等しい場合 ( BA : AC :: ED : DF ; AC : CB :: DF : FE ) 、それらは等角三角形であり、 相似な辺によって挟まれた角は等しくなります。

証明 —点DとEにおいて、三角形ABCの角 AとBに等しい角EDGとDEGを作る。すると [I. x x x i i . ] 三角形ABCとDEGは等角三角形である。

したがって BA：AC :: ED : DG [ i v . ];
しかし BA：AC :: ED : DF (hyp.) 。
したがって、DGはDFと等しい。同様に、 EGはEFと等しい ことが証明できる。したがって、三角形EDFとEDGは、一方の辺EDとDF が他方の辺EDとDGと等しく、底辺EF が底辺EGと等しい。したがって [I. v i i i . ] それらは等角である。しかし、三角形DEGはABCと等角である。したがって、 三角形DEFはABCと等角である。

考察。—第 VI定義iでは、直線図形の相似性に必要な条件として 2 つの条件が定められています。1.角の等しさ。2.辺の比例。さて、命題i vおよびvから、2 つの三角形がいずれかの条件を満たせば、もう 1 つの条件も満たすことがわかります。この点で三角形は独特です。他のすべての直線図形では、一方の条件は存在しても他方の条件は存在しない場合があります。したがって、2 つの四角形は、角が等しくなくても辺の比例関係を持つ場合があり、その逆もあります。

命題VI.—定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、DEF )において、一方の三角形の1 つの角( A )が他方の三角形の 1 つの角( D )と等しく、これらの角を囲む辺の比が等しい( BA : AC :: ED : DF )場合、これらの三角形は等角三角形であり、対応する辺の対角が等しい。

証明― 最後の命題と同じ構成を行うと、三角形 ABCとDEGは等角三角形である。

したがって BA：AC :: ED : DG [ i v . ];
しかし BA：AC :: ED : DF (hyp.) 。
したがって、DGはDFと等しい。また、角EDGはBACと等しく (定数)、BAC はEDFと等しい(斜辺) ので、角EDGはEDFと等しい。また、 DG はDFと等しく、DE は共通であることが証明されている。したがって、三角形 EDGとEDFは等角である。しかし、EDGはBACと等角である。したがって、 EDFは BACと等角である。

[命題i vの場合と同様に、この命題の直接的な証明 も命題i iから得られることは容易にわかる。]

コリント1章—三角形の2辺の比とそれらの間の角度が与えられれば、三角形は種類別に与えられます。

命題VII.—定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、DEF )において、一方の角( A )がもう一方の角( D )と等しく、他の 2 つの角( B、E )を囲む辺の比が等しく( AB : BC :: DE : EF ) 、残りの角( C、F )が同じ種類 (つまり、両方とも鋭角であるか、両方とも鋭角でないか) である場合、これらの三角形は相似です。

証明 —角Bと角Eが等しくない場合、一方が他方より大きい必要があります。ABCが大きい方であり、部分ABGがDEFに等しいとすると、三角形ABGとDEF は、一方の 2 つの角が他方の 2 つの角に等しく、等角三角形です 。

したがって AB : BG :: DE : EF [ i v . ];
しかし AB : BC :: DE : EF (hyp.) 。
したがって、BGはBCと等しい。ゆえに、角BCGと角BGC はそれぞれ鋭角でなければならない [I. x v i i . ]。したがって、AGB は鈍角でなければならない。したがって、それに等しいDFEは鈍角である。そして、 ACBは鋭角であることが証明されている。したがって、角ACBと角DFEは異なる種類の角である。しかし (仮説) それらは同じ種類の角であり、これは不合理である。したがって、角Bと角Eは不等ではなく、等しい。したがって、三角形は 等角である。

コリント1.—2つの三角形ABC、DEFにおいて、一方の三角形の2辺が他方の三角形の2辺に比例し、AB : BC :: DE : EFであり、相似な辺の1組に対する角A、Dが等しい場合、もう一方の角C、Fは等しいか補角である。この命題はv i iとほぼ同じである。

コリント2章—角Cと角Fのいずれかが直角であれば、もう一方の角も直角でなければならない。

命題VIII.—定理。​​​​​

直角三角形( ACB )を、斜辺上の直角( C )から下ろした垂線( CD )によって分割した三角形( ACD、BCD )は、全体と互いに相似である。

証明 — 2 つの三角形ADCとACB は角Aを共通に持ち、角ADCとACB は等しく、それぞれ直角であるため、これらは [I. x x x i i . ] 等角です。したがって [ i v .] 相似です。同様にして、BDCがABCと相似であることが証明できます。したがって、ADCとCDBはそれぞれACDと相似であり、したがって互いに相似です 。

コリント1章—垂線CDは斜辺の 線分AD、DBの比例平均である 。

なぜなら、三角形ADCとCDB は等角三角形であるため、 AD : DC :: DC : DBが成り立ち、したがってDCはADとDBの間の比例平均となる(定義iii )。

コリント2章—BCはABとBDの間の比例平均であり、ACはABと ADの間の比例平均である。

コリント3章—セグメントAD、DBはAC : CBの複製である、言い換えればAD : DB :: AC2 : CB2である。

コリント4章—BA : ADはBA : ACの2倍の比率であり、AB : BDはAB : BCの2倍の比率である。

命題IX.—問題与えられた
直線 (AB) から必要な部分(つまり必要な 小数) を切り取る

。

解答：例えば、4分の1を切り取る必要があるとします。ABと任意の角度をなすようにAFを描き、 AF上の任意の点Cを取り、(I. i i i . )それぞれACに等しいCD、DE、EFを切り取ります。BFを結び、 BFに平行なCGを引きます。AGはABの4分の1です。

証明：CGは三角形ABFの辺BFに平行なので、 AC : AF :: AG : AB [ i i . ]。ただし、ACはAFの4分の1である（定数）。したがって、AGはABの4分の1である[V., d . ]。同様に、他の必要な小倍数も切り捨てることができる。

第1巻の命題xは、この命題の特殊なケースである。

命題X.—問題.与えられた分割されていない
線( AB )を、与えられた分割された線( CD )と同様に分割する。

解答：線分AG をABと任意の角度で結び、与えられた分割線分CDのCE、EF、FD とそれぞれ等しい部分AH、HI、IGを切り取ります。BGを結び、BGに平行なHK、ILを引きます。ABはCDと同様に分割されます 。

証明— Hを通ってHN をABに平行に引き、IL をMで切断します。三角形ALIでは、HK はILに平行です。したがって [ i i . ] AK : KL :: AH : HI、つまり :: CE : EF (定数) です。また、三角形HNGでは、MI はNGに平行です。したがって [ i i . ] HM : MN :: HI : IGですが、[I. x x x i v . ] HMはKLに等しく、MNはLBに等しく、HIはEFに等しく、IG はFD (定数) に等しくなります。したがってKL : LB :: EF : FDです。したがって、線ABは線 CDと同様に分割されます。

演習。

1.与えられた線分AB を、与えられた 2 つの線分m 、nの比率で内分割または外分割します。

解答：AとBを通って反対方向に任意の2本の平行線ACとBDを引きます。AC = m 、BD = nとなるように切り取り、CDを結びます。この結び目は、ABをEでm ：nの比に分割します。

2. BD ′ を点線で示すようにACと同じ方向に引くと、CD ′ はAB を外接してE ′でm : nの比率で切断します。

Cor. — 2 つの点E 、E ′ はAB を調和的に分割します。

この問題は明らかに次の問題と同等です。2 つの直線の和または差 とそれらの比が与えられたときに、直線を求めます。

3.三角形DCD ′の底辺DD ′の中点Bを通る任意の直線AE ′ は、三角形の辺と頂点を通る底辺に平行な直線によって調和的に切断されます。

4. 2 つの直線の平方和とその比が与えられている場合、直線を求めます。
5. 2 つの直線上の正方形の差とその比が与えられている場合、直線を求めます。

6.三角形の底辺と辺の比が与えられている場合、次のいずれかのデータ が与えられたときに三角形を作図します。1、面積。2、辺の二乗の差。3、辺の二乗の和 。4、対頂角。5、底角の差。

命題XI.—問題3次比例定数を求める​
与えられた 2 つの線( X, Y )に対して。

解答：任意の2つの線AC、AEを角度をなすように描きます。ABをX 、BCを Y 、 ADをYとなるように切り取ります。BDを結び、 BDに平行なCEを描くと、 DEが求める3番目の比例線になります。

証明 —三角形CAEにおいて、BDはCEに平行である。したがって、AB : BC :: AD : DE [ i i . ]。しかし、ABはXに等しく、BCとAD はそれぞれYに等しい。したがって、X : Y :: Y : DEである。 ゆえに、DEはXとYに比例する 3 乗である。

別の解決策は命題v i i iから推測できます。命題においてADとDC がそれぞれXとYに等しい場合、DB は第 3 項の比例式になります。あるいは、図において命題v i i i、AD = X 、AC = Yの場合、AB は第 3 項の比例式になります。したがって、比例式を任意の項数まで延長する方法を推測できます。

演習。

1. AO Ω が三角形で、辺A Ω がAOより大きい場合、 AB = AOを切り取り、AB ′ をAOに平行に引き、 BC = BB ′を切り取るなどすると、線分AB 、BC 、CDなどは連続的に比例します。
2. AB − BC : AB :: AB : A Ω。これは、B ′を通ってA Ωに平行な線を描くことで明らかになります。

命題XII.—問題4乗比例式を見つける
​ 与えられた3つの線（X、Y、Z）に対して。

解答：任意の2つの線分AC、AEを角度をなすように描き、ABをX 、 BCをY 、 ADをZとなるように切り取ります。BDを結び、 BDに平行な線分CEを引きます。DEが求める4番目の比例線分になります。

証明—BD はCEと平行なので、[ i i . ] AB : BC :: AD : DEとなります。したがって、X : Y :: Z : DEとなります。ゆえに、DEはX 、Y 、Zに比例する第 4 乗です。

または次のようにします。点Oで交わる2 つの直線AD、BCを取ります。OA = X、OB = Y、 OC = Zとし、点A、B、Cを通る円を描き、 ADと の交点をDとします。ODは必要な 4 番目の比例線になります。

このことは、三角形AOBと 三角形CODの相似性から明らかである。

命題XIII.—問題比例平均を求める​​
​ 2 つの指定された線の間。 ( X, Y ) 。

解答：任意の線分AC上に、それぞれX、Yに等しいAB、BC の部分をとります。AC 上に半円 ADC を描きます。ACに直角に BD を立て、半円との交点をDとします。BDは求める比例平均となります。

デモ. — ADとDCを結びます。ADC は半円なので、角ADC は直角です [III. x x x i . ]。したがって、ADC は直角三角形であり、BD は直角から斜辺に下ろした垂線なので、BD はABとBCの間の比例中項です [ v i i i . Cor. 1] 。つまり、BDはXとYの間の比例中項です。

演習。

1.別の解決策は命題vi i i .、Cor. 2から推測できます。

2.円内の任意の点を通る弦を描き、その弦がその点で二等分される場合、その弦の 半分の長さは、同じ点を通る他の任意の弦の線分の平均比となる 。

3.円の任意の外部点からの接線は、 同じ点を通る任意の割線の線分の平均比例である。

4.円弧の中点Cを通る割線が円弧の弦をDで、円をEで切断する場合、円弧の半分の弦はCDとCEの比例中線となる。

5.円が別の円に内接し、2本の平行な弦を持つ場合、 前者の中心から後者の直径に下ろした垂線は、弦によって 直径が分割される3つのセグメントの両端の平均値に比例する 。

6.半円とその直径に接する円が記述されている場合、円の直径は、半円の直径が 接点で分割されるセグメント間の調和平均である。

7.例5に対応する命題を、円の外部接触について述べ、証明せよ 。

命題XIV.—定理。​​​​​

1.面積が等しい等角平行四辺形( AB、CD )は、等しい角を囲む辺の比が反比例する — AC : CE :: GC : CB 。 2.等しい角を囲む辺の比が反比例する等角平行四辺形は、面積が等しい。

証明— ACとCEが直角をなすように配置され、等しい角ACBとECG が対頂角となるようにします。さて、角ACBはECGと等しい ので、それぞれにBCEを加えると、角ACBとBCEの和は 角ECGとBCEの和に等しくなります。しかし、 ACBとBCEの和は [I. x i i i . ] 2 つの直角です。したがって、ECGとBCEの和は2 つの直角です。したがって [I. x i v . ] BCとCGは直角をなします。平行四辺形 BEを完成させます。

また、平行四辺形ABとCDは等しい (斜辺) ので、

AB : CF :: CD : CF [V. vi i . ] ;
しかし AB : CF :: AC : CE [ i . ];
そして CD : CF :: GC : CB [ i . ];
したがって AC : CE :: GC : CB ;
つまり、等しい角を囲む辺の比は反比例の関係にある。

2. AC : CE :: GC : CBとすることで、平行四辺形ABとCDが等しいことを証明します。

民主党員—同じ構造が作られると、

AB : CF :: AC : CE [ i . ];
そして CD : CF :: GC : CB [ i . ];
しかし AC : CE :: GC : CB (hyp.) 。
したがって AB : CF :: CD : CF。
したがって AB = CD [V. i x . ];
つまり、平行四辺形は等しい。

あるいは、HE 、BE 、HD 、BDを結びます。HCは△ HBEの 2 倍、CD は△ BDEの 2 倍です。したがって、△ HBE = BDEであり、[I. x x x i x . ] HD はBEと平行です。したがって 写真 写真

HB :BF ::DE :EF ; つまり、AC :CE ::GC :CB。

2.この証明を逆に行うことで証明できる。

この命題の別の証明は、直線HAとDG を Iで交わるように延長することによって得られます。すると [I. x l i i i . ] 点I 、C 、Fは同一直線上にあり、命題は明らかになります。

命題XV.—定理。​​​​​

1.面積が等しい2つの三角形（ACB、DCE）は、一方の三角形の1つの角（C）がもう一方の三角形の1つの角（C）と等しい場合、これらの角を囲む辺は互いに比例する。 2.一方の三角形の1つの角がもう一方の三角形の1つの角と等しく、これらの角を囲む辺が互いに比例する2つの三角形は、面積が等しい。

証明—1. 等しい角が互いに垂直に向かい合うように配置され、 AC、CD が1 つの直角を形成するとします。すると、前の命題と同様に、 BC、CE が1 つの直角を形成することが証明できます。BD を結びます。

さて、三角形ACBとDCEは等しいので、

ACB : BCD :: DCE : BCD [V. vi i . ] ;
しかし ACB : BCD :: AC : CD [ i . ] 、
そして DCE : BCD :: EC : CB [ i . ]。
したがって AC : CD :: EC : CB ;
つまり、等しい角を囲む辺の比は反比例の関係にある。

2. AC : CD :: EC : CBの場合、三角形ACB がDCEに等しいことを証明します。

デモクラット—同じ構造を作れば、

AC : CD :: 三角形ACB : BCD [ i . ] 、
そして EC : CB :: 三角形DCE : BCD [ i . ];
しかし AC : CD :: EC : CB (hyp.) 。
したがって三角形

ACB : BCD :: DCE : BCD。

したがって、三角形ACB = DCE [V. i x . ]、つまり、三角形は等しい。

この命題は、三角形が等角平行四辺形の半分であることから、前の命題の補題として付け加えられたか、またはAEを結び、それがBDに平行であることを示すことによって証明される。

命題XVI.—定理。​​​​​

1. 4つの直角線（AB、CD、E、F）が比例している場合、長方形（AB。F ) は 、両端に囲まれた長方形( CD)に等しい。。E )手段によって囲まれた 長方形。2
   . 4 つの直角の両端によって囲まれた長方形が、 手段によって囲まれた長方形と等しい場合、4 つの直角は比例関係にある。

証明—1. ABとCDに直角にAHとCIを立て、それぞれFとEに等しくして 長方形を完成させる。すると、 AB : CD :: E : F (斜辺)であり、EはCIに等しく、FはAHに等しい(定数)ので、AB : CD :: CI : AHとなる。したがって、平行四辺形AGとCKは等角であり、等しい角を囲む辺は互いに比例する。したがって、それらは等しい。しかし、 AHはFに等しいので、AGは長方形ABに等しい。。F．同様に、 CKは長方形CDに等しい。。E。したがってAB。F = CD。E ; つまり、両端によって囲まれた長方形は、中央値 によって囲まれた長方形と等しい 。

2. ABの場合。F = CD。E 、 AB : CD :: E : Fを証明する。

同じ構造が作られているのは、AB。F = CD。EとF がAHに等しく、EがCIに等しいとすると、平行四辺形AG = CKが得られます。これらの平行四辺形は等角であるため、等しい角を囲む辺は反比例します。したがって

AB : CD :: CI : AH、つまり、AB : CD :: E : F。

あるいは、4本の線を一点で交わる位置に配置し、両端が1本の 連続線となり、中間線が別の連続線となるようにします。このように配置した4本の線をAO 、BO 、OD 、OCとします。ABとCDを結びます。すると、 AO : OB :: OD : OCであり、角AOB = DOCであるため、三角形AOBとCODは正三角形です。したがって、4点A 、B 、C 、Dは同一円周上にあります。したがって[III. x x x v . ] AO 。OC = BO。OD 。

命題XVII.—定理​​​​​

1. 3 つの直角直線( A、B、C )が比例している場合、長方形( A。C )両端で囲まれた長方形は、 平均値の二乗( B 2 )に等しい。 2. 3 つの直角直線の両端で囲まれた長方形が平均値の二乗に等しい場合、3 つの直線は比例関係にある。

証明—1. 直線D = Bを仮定します。するとA : B :: B : Cなので、 A : B :: D : Cとなります 。したがって [ x v i . ] AC = BDですが、BD = B 2です。したがってAC = B 2です。つまり、両端で囲まれた長方形は、平均の二乗に等しくなります 。

2. 同様の構成を行うと、AC = B 2なので、Aが得られます。。C = B。D ; したがってA : B :: D : C ; しかしD = B。ゆえにA : B :: B : C ; つまり、3 つの直線は 比例関係にある。

この命題は、数学における基本命題の1つである最後の命題への相関として推論することができる。

演習。

1.線分CD が三角形ACBの頂角Cを二等分する場合、その二乗を長方形ADに加えると、 。底面の各セグメントによって囲まれたDBは、側面によって囲まれた長方形と等しい 。

証明：三角形を中心とする円を描き、CDを延長して点Eで交わるようにすると、三角形ACDと三角形ECBが等角三角形であることが容易にわかる。したがって[ iv . ] AC : CD :: CE : CBである。ゆえにAC 。CB = CE。CD = CD 2 + CD。DE = CD 2 + AD。DB [III. x x x v . ]。

2.線分CD ′が三角形ACBの外角を二等分する場合、長方形AD ′からその二乗を引くと、 。D′ BはACに等しい。CB 。

3.任意の三角形の外接円の直径と内接円の半径によって囲まれた長方形は、 内接円の中心を通る外接円の任意の弦の線分によって囲まれた長方形に等しい。

証明— O を内接円の中心とする。OB を結び（前の図を参照）、垂線OGを下ろし 、外接円の直径EFを描く。ここで、角ABE = ECB [III. x x v i i . ]、角ABO = OBCである。したがって、EBO = OCBの和、OBC = EOB である。ゆえにEB = EOである。また、三角形EBFとOGCは等角である。なぜなら、EFBとECBは等しく、EBFとOGCはそれぞれ直角三角形だからである。したがって、EF : EB :: OC : OGである。したがってEF 。OG = EB。OC = EO。OC 。

4.例3は三角形ACBの内接円のそれぞれに拡張できます。

5.三角形の2辺で囲まれた長方形は、垂線と外接円の直径で囲まれた長方形に等しい。なぜなら、 直径をCEとするからである。AEを結ぶ。すると三角形ACEとDCBは正三角形となる。したがってAC : CE :: CD : CBとなる。ゆえにAC 。CB = CD。CE 。

6.平行四辺形ABCDの角Aのいずれかを通る円が、 2 辺AB 、ADと点E 、Gで交わり、対角線ACと点Fで交わるならば、ABは 。AE + AD。AG = AC。AF 。

証明：EFとFGを結び、角ABH = AFEとする。すると三角形ABHと三角形AFEは正三角形となる。したがってAB : AH :: AF : AEとなる。ゆえにAB 。AE = AF。AH 。ここでも、三角形BCHとFAG が等角三角形であることは容易にわかります 。したがって、BC : CH :: AF : AGとなります。したがって、BC 。AG = AF。CH 、またはAD。AG = AF。CH ; しかし、我々はABを証明した。AE = AF。AH 。したがって AD。AG + AB。AE = AF。AC 。

7.底辺上の任意の点Dから三角形ABCの辺にDEとDF が平行である場合、 AB は 。AE + AC。AF = AD 2 + BD。DC 。これは6から簡単に導き出せます。

8.三角形ABC内の点Oを通ってEF 、GH 、IKに平行な線が引かれる場合、それらの線分の長方形の合計は、 Oを通る外接円の任意の弦の線分によって囲まれた長方形に等しい。

民主党— AO。AL = AB。AK + AC。AE。 （６）
しかし AO 2 = AG。AK + AH。AE − GO。おお。 （７）
したがって AO。OL = BG。AK + CH。AE + GO。おお、
または AO。OL = EO。OF + IO。OK + GO。おお。
9.三角形の底辺上に立つ内接正方形の一辺 と、底辺と高さの和で囲まれた長方形は、三角形の面積の2倍に等しい 。

10.三角形の底辺上に置かれた正方形の内接辺 と、底辺と高さの差によって囲まれた長方形は、三角形の面積の2倍に等しい 。

11.円周上の任意の点Pから任意の弦に垂線を引くと、その弦の二乗は、弦の両端から点Pにおける接線に引いた垂線によって囲まれた長方形に等しい。

12. O を円に内接する四角形ABCDの対角線の交点とすると、4 つの長方形AB は 。BC 、BD。CD 、CD。DA 、DA。ABは 4 つの線BO 、CO 、DO 、 AOに比例します。

13.円に内接する四角形ABCDの対辺の長方形の合計は、その対角線で囲まれた長方形に等しい。

証明：角DAO = CABとする。すると三角形DAOと三角形CABは正三角形となる。 したがってAD : DO :: AC : CBとなる。したがってAD。BC = AC。DO 。繰り返しますが、三角形DACと OABは等角三角形であり、CD : AC :: BO : ABです。したがって、AC。CD = AC。BO 。したがって AD。BC + AB。CD = AC。BD . 3 3この命題はプトレマイオスの定理として知られている。。

14.四角形ABCD が円に内接しない場合、3 つの長方形AB が円に内接することを証明せよ。。CD 、BC。AD 、 AC。BDは、四角形の対角の和に等しい角度を持つ三角形の3辺に比例する。

15.定理11を用いて、円に内接する四角形の辺と対角線に 、外接円の円周上の任意の点から垂線を引くと、 対角線上の垂線によって囲まれた長方形は、対向する辺のいずれかの組上の垂線によって囲まれた長方形と等しいことを証明せよ 。

16. AB を半円の直径とし、PA 、PBを円周上の任意の点Pからの弦とし、任意の点Cから AB に下ろした垂線がPA 、PBと点 DおよびEで交わり、半円と点Fで交わる場合、CF はCDとCEの間の比例平均である。

プロップ。XVIII.—問題。​​​​​

与えられた直線（AB）上に、与えられた直線図形（CDEFG）と相似で、かつ後者の任意の辺（CD）に関して同様に配置される直線図形を構成する 。

定義―相似な図形は、与えられた直線が図形の相同な辺である場合、その 直線上に同様に描かれていると言われる。

解答：CEとCFを結び、 AB上に三角形ABHを作図します。この三角形はCDEと等角で、 CDに関しても同様に配置されます。つまり、角ABHはCDEに等しく、角BAHはDCEに等しくなります。同様に、三角形 HAIをECFと等角で同様の配置で作図し、最後に三角形IAJをFCG と等角で同様の配置で作図します。すると、ABHIJが求める図形となります。

証明— 作図から、図形が等角であることは明らかであり、等しい角を囲む辺が比例していることを証明するだけでよい。三角形ABH はCDEと等角であるため、AB : BH :: CD : DE [ i v . ] であり、したがって等しい角BとDを囲む辺は比例している。また、同じ三角形から、 BH : HA :: DE : ECが得られ、三角形IHAとFECから、 HA : HI :: EC : EFが得られる。したがって、( ex æquali ) BH : HI :: DE : EFとなり、すなわち、等しい角BHIとDEFを囲む辺は比例しており、同様に他の等しい角を囲む辺も比例している。したがって、 (定義i . )図形は 相似である。

考察。―前述の構成において、線分ABはCDと相似であり、AB は与えられた図形CDEFGの他のどの辺とも相似であると考えることができることは明らかである。また、いずれの場合も、図形ABHIJ を線分ABを中心に回転させて反対側に置いたとしても、図形CDEFGと相似である。したがって、与えられた線分AB上には、それぞれ与えられた図形CDEFGと相似であり、かつ線分ABが与えられた図形の任意の辺CDと相似であるような2 つの図形を構成することができる。

このようにして構築された図形のうち最初のものは、直接相似であると言われている。、そして2番目は逆 相似 与えられた図に。これらの専門用語はハミルトンによるものです。: 「四元数の要素」112ページを参照。

コリント1章—与えられた多角形CDEFGに相似な多角形は、その多角形の辺の 数の2倍の数だけAB上に作図できる。

コリント2章—図形ABHIJをCDEFGに適用して、点AがCと一致し、線分ABがCDに沿って配置されると、点H、 I、Jはそれぞれ線分CE、CF、CG上に位置し、一方の多角形の辺BH、HI、IJは、他方の多角形の対応する辺DE、EF、FGとそれぞれ平行になります。

コリント3章—図形の平面上の任意の点Oからそのすべての角点に引いた線を同じ比率で分割すると、分割点を結ぶ線は、元の図形の相似な辺と相似で、かつすべての辺が平行な新しい図形を形成します。

命題XIX.—定理。相似
な三角形( ABC、DEF ) の面積の比は、 相似な辺の比の 2 倍である。

証明— BG をBC、EFに比例する 3 分の 1とします[ x i . ]。AGを結びます。すると、三角形ABC、DEFは相似なので、AB : BC :: DE : EFです。したがって、（または） AB : DE :: BC : EFです。しかし、BC : EF :: EF : BG (定数) です。したがって [V. x i . ] AB : DE :: EF : BGです。したがって、等しい角B、Eに関する三角形ABG、DEFの辺は互いに比例します。したがって、三角形は等しいです。また、直線BC、EF、BG は連続比例なので、BC : BGはBC : EFの 2 倍の比率です[V. Def. x . ]。しかし、 BC : BG :: 三角形ABC : ABG です。したがって、 ABC : ABG はBC : EFの 2 倍比である。しかし、三角形ABG はDEFと等しいことが証明されている。したがって、三角形ABCは三角形DEFとBC : EFの 2 倍比である。

これは、ユークリッドの定理の中で「倍数比」という専門用語が初めて登場する命題です。私の経験では、生徒たちはユークリッドの証明も定義も理解するのが非常に難しいようです。そのため、私は以下の別の証明を提示します。ただし、この証明では、2本の直線の倍数比の新しい定義、すなわち、これらの直線上に描かれる正方形の比（V. 定義xの注釈を参照）を使用します。

ABとDE 上に正方形を描き、CとFを通ってAB とDEに平行な線を引いて、長方形AI、DNを完成させます。

さて、三角形JACとODFは明らかに等角三角形です。

したがって JA : AC :: OD : DF [ i v . ];
しかし AC : AB :: DF : DE [ i v . ] .
したがって JA : AB :: OD : DE ( ex æquali );
しかし AB = AG 、DE = DL ;
したがって JA : AG :: OD : DL。
また、 JA : AG :: 写真AI : 正方形AH [ i . ] 、
そして OD : DL :: 写真DN : 平方DM [ i . ] .
したがって AI : AH :: DN : DM ;
したがって AI : DN :: AH : DM [V. x vi . ] ;
したがって △ ABC : △ DEF :: AB 2 : DE 2。

演習。

1. 2つの相似な三角形のうち、一方の辺の長さがもう一方の三角形の対応する辺の長さより50パーセント長い場合、それらの面積の比はいくらですか？

2.円に内接する正多角形と外接する正多角形が、任意の共通の辺の数を 持ち、かつ辺の数が4より大きい場合、それらの面積の差は 内接する多角形の辺の2乗よりも小さい。

命題XX.—定理。​​​​​

相似な多角形は、 (1)同じ数の相似な三角形に分割され、 (2) 対応する三角形同士の比は多角形と同じであり 、 (3)多角形同士の比は相似な辺の比の 2 倍である 。

デモ. —多角形をABHIJ、CDEFGとし、辺AB、CD を相同とする。AH 、AI、CE、CFを結ぶ。

1. 多角形が分割される三角形は相似である。なぜなら、多角形は相似であるため、等角であり、等しい角の周りの辺の比は等しいからである[定義i . ]。したがって、角BはDに等しく、 AB : BH :: CD : DEである。したがって[ v i . ]、三角形ABHはCDEに等角である。したがって、角BHAはDECに等しい。しかし、BHIはDEF (斜辺)に等しい。したがって、角AHIはCEFに等しい。また、多角形は相似であるため、IH : HB :: FE : EDである。また、三角形ABH、CDE は相似であるため、 HB : HA :: ED : ECである。したがって、(等式により) IH : HA :: FE : ECであり、角IHA は角FEC に等しいことが証明されている。したがって、三角形IHAとFEC は等角三角形である。同様の方法で、残りの三角形も 等角三角形であることが証明できる。
2. 三角形ABHはCDEと相似なので、[ x i x . ] となります。

ABH : CDE は AH : CE の重複比率です。

同様に、

AHI : CEF はAH : CEの重複比率です。
したがって ABH : CDE = AHI : CEF [V. x i . ] .
同様に、 AHI : CEF = AIJ : CFG。
これらの等しい比率において、三角形ABH、AHI、AIJは前件であり、三角形CDE、CEF、CFG は後件であり、[V. x i i . ] これらの等しい比率のいずれも、すべての前件の合計とすべての後件の合計の比率に等しい。したがって、三角形ABH :三角形CDE ::多角形ABHIJ : 多角形CDEFG となる。

3. 三角形ABH : CDEはAB : CDの 2 倍比である[ x i x . ]。したがって (2)多角形ABHIJ :多角形CDEFGはAB : CDの 2 倍比である 。

コリント人への手紙第一 ― 相似な多角形の周長は、相似な辺の比に等しい。

コリント2.—正方形は相似な多角形であるため、2つの直線の複製比は、それらの直線上に描かれる正方形の比に等しい（注釈、V.定義xを参照）。

コリント3章—似たような図形の似たような部分は、図形全体と同じ比率で互いに接しています。

コリント4章—相似な図形の周長の相似な部分は、周長の比で互いに比例している。

演習。

定義i . —同族点​​ 2つの相似な図形の平面上には、それらの平面から2つの図形の角点に引かれた線が、2つの図形の相似な辺の長さに比例するような平面が存在する。

1. 2つの図形が相似である場合、一方の平面上の各点には、もう一方の平面上に対応する点が存在する。

証明— ABCDとA ′ B ′ C ′ D ′ を2 つの図形とし、P をABCD の平面上の点とする。AP とBPを結び、A ′ B ′上にAPBと相似な三角形A ′ P ′ B ′を作図する。すると、 P ′からA ′ B ′ C ′ D ′の角点への線分は、 PからABCDの角点への線分に比例することが容易にわかる。

2. 2 つの図形が直接相似で、かつ同一平面上にある場合、その平面上には、 いずれかの図形に属するとみなした場合、他方の図形に対してその図形自身の相同点となる特別な点が存在する。 なぜなら、ABとA ′ B ′ を図形の 2 つの相同な辺とし、Cをそれらの交点とする。2 つの点の三つ組A 、A ′ 、CおよびB 、B ′ 、Cを通って、点Oで再び交わる 2 つの円を描く。Oが求める点となる 。なぜなら、三角形OABとOA ′ B ′ は相似であり、どちらも点 Oを中心に回転させて、2 つの底辺ABとA ′ B ′が平行になることが明らかだからである。

定義ii . —点Oは相似中心と呼ばれる。 図形の。また、 その倍点とも呼ばれる。。

3. n辺の正多角形2つは、それぞれn個の相似中心を持つ。

4.相似な三角形が複数あり、それらの対応する頂点が3つの与えられた直線上にある場合、 それらは共通の相似中心を持つ。

5. 2つの図形が直接相似であり、かつ相似な辺の組が平行である場合、すべての 相似な辺の組は平行になります。

定義iii . — 5 のような 2 つの図形は相似であると言われます。 。

6. 2つの図形が相似である場合、対応する角点を結ぶ線は一点で交わり、 その交点は図形の相似中心となる。
7. 2 つの多角形が直接相似である場合、どちらの多角形も相似の中心を中心に回転させて 相似にすることができ、これには 2 つの異なる方法があります。
8. 2つの円は相似な図形である。

証明— OとO ′ をそれらの中心とし、弧AB を直角とみなせるように角AOBを無限に小さくし、角A ′ O ′ B ′ をAOBに等しくすると、三角形AOBとA ′ O ′ B ′は相似である。

ここでも、角BOC を無限に小さくし、B′O′C′ をその角 BOC に等しくすると、三角形BOCとB′O′C ′は相似になります。このようにして、円は同じ数の相似な基本三角形に分割できることがわかります。したがって、円は相似な図形です。

9.中心角が等しい扇形は相似である。

10. 2 つの円の任意の 2 つの点は相似であるとみなせるので、 結果として 2 つの円は無限個の相似中心を持ちます。それらの軌跡は円であり、その直径は 2 つの円が相似である 2 つの点を結ぶ線です。

11.その地域 円の直径の二乗は、円同士の比に等しい。なぜなら、円は 、それらが分割される相似な基本三角形の比に等しく、これらの三角形の比は 半径の二乗に等しいからである。

12.円周は直径と同じである（コリント1章）。

13.中心角が等しい扇形の円周は、その半径に比例します。 したがって、 a 、a ′ が中心角が等しい 2 つの扇形の弧を表し、r 、r ′ がそれらの半径である場合、 = となります 。ar a′ r′

14.円の面積は、円周と半径で囲まれた長方形の半分に等しい。これは、 例8のように円を基本三角形に分割することで明らかになる。

15.円の扇形の面積は、その 扇形の弧と円の半径によって囲まれた長方形の面積の半分に等しい。

命題XXI.—定理。直線
図形（A、B ）は、同じ図形（C）と相似であり、互いに相似である。

証明：図形AとCは相似なので、等角であり、等しい角を囲む辺の比は等しい。同様に、図形BとCも等角であり、等しい角を囲む辺の比は等しい。したがって、図形AとBは等角であり、等しい角を囲む辺の比は等しい。ゆえに、図形AとBは 相似である。

Cor. — 相似な2つの直線図形が3つ目の図形と相似である場合、それらは互いに相似である。

エクササイズ。

3つの相似な直線図形が2つずつ相似である場合、それらの3つの相似中心は 同一直線上にある。

命題XXII—定理。​​​​​

4本の直線（AB、CD、EF、GH）が比例関係にあり、相似な直線図形のペア （ABK、CDL）が最初の直線と2番目の直線上に同様に描かれ、さらに相似な直線図形のペア（EI、GJ）が3番目の直線と4番目の直線上に同様に描かれる場合、これらの図形は比例関係にある。 逆に、4本の直線のうち最初の直線上に描かれた直線図形と、2番目の直線上に描かれた相似で同様に描かれた図形、3番目の直線上に描かれた直線図形と、4番目の直線上に描かれた相似で同様に描かれた図形が一致する場合、4本の直線は比例関係にある。

民主党1. — ABK : CDL :: AB 2 : CD 2 . [ x x . ];

そして EI : GJ :: EF 2 : GH 2 [ x x . ] .
しかし、 AB : CD :: EF : GH、
AB 2 : CD 2 :: EF 2 : GH 2 [V. x x i i . , Cor. 1];
したがって ABK : CDL :: EI : GJ。
ABK : CDL :: EI : GJ、AB : CD :: EF : GH の場合。

3 デモ. 2.— ABK : CDL :: AB 2 : CD 2 [ x x . ] 、 および EI : GJ :: EF 2 : GH 2 [ x x . ]。したがって、 AB 2 : CD 2 :: EF 2 : GH 2。 ゆえに、 AB : CD :: EF : GH。
シムソンの『ユークリッド』およびそれを模倣した他の著作では、 この命題の記述が誤っている。それらの著作に記されているように、4つの図形は相似であるべきである。

命題XXIII.—定理。
等角平行四辺形( AD、CG )は、互いに、 等しい角の組を囲む辺によって囲まれた長方形に等しい。

証明 —等しい角ABDとCBG を中心とする2 辺ABとBC を、1 つの直角を形成するように配置します。すると、命題x i vと同様に、GBとBD が1 つの直角を形成することは明らかです。平行四辺形BFを完成させます。ここで、平行四辺形AB、BF、CG をそれぞれX、Y、Zとすると、次のようになります。

X : Y :: AB : BC [ i . ] 、
Y : Z :: BD : BG [ i . ] .
したがって XY : YZ :: AB。BD : BC。BG ;
または X : Z :: AB。BD : BC。BG。
観察。— AB以来。BD : BC。BGはAB : BCとBD : BGの 2 つの比から構成されている[複合比の定義] という表現は、「辺の比から構成される比」と言うのと同じで、これはユークリッドの定義ですが、私たちがこのように表現した方が理解しやすいです。

演習。

1.一方の三角形の1つの角が他方の三角形の1つの角と等しいか補角である三角形は、 それらの角を中心とする辺の長方形の比に比例する。

2.対角線が等しい角度で交わる2つの四角形は、対角線の長さの比に比例する。

命題XXIV.—定理。任意の
平行四辺形( AC )において、対角線に関して相似な2つの平行四辺形( AF 、FC )は、全体および互いに相似である。

証明 —平行四辺形ACとAF は共通の角を持つので、それらは等角です [I. x x x i v . ]。証明する必要があるのは、等しい角の周りの辺が比例することだけです。さて、直線EFとBCは平行なので、三角形AEFとABCは等角です。したがって [ i v . ] AE : EF :: AB : BCであり、平行四辺形の他の辺はAEとEF ; ABとBCに等しいので、等しい角の周りの辺は比例します。したがって、平行四辺形 AFとACは相似です。同様に、平行四辺形AFとFC も相似です 。

Cor. —平行四辺形AF、FC、ACは、2 つずつ相似です。

命題XXV.—問題 与えられた図形( A )と等しく、別の与えられた図形( BCD )と相似な直線
図形を記述する。

解答：図形BCDの任意の辺BC上に、 BCDに等しい 長方形BE [I. x l v . ] を描き、CE上にAに等しい長方形EFを描く。BCとCFの間に 比例する平均辺GHを見つけ、その上にBCDに相似な図形GHI [ x v i i i . ] を描く。これにより、BCとGH は相似な辺となる。GHIが求める図形である。

証明— 3 つの線BC、GH、CF は連続比例の関係にある。したがって、 BC : CF はBC : GHの 2 倍比である[V. Def. x . ]。また、図形BCD、 GHI は相似であるため、BCD : GHI はBC : GHの 2 倍比である[ x x . ]。さらに、 BC : CF :: 長方形BE : 長方形EFである。したがって、長方形BE : EF :: 図形 BCD : GHIである。しかし、長方形BEは図形BCDと等しい。したがって、長方形EFは図形GHIと等しい。しかし、EF はA (定数)と等しい。したがって、 図形GHIはAと等しく、BCDと相似である。したがって、これが求める図形である。

あるいは次のようにします。正方形EFJK 、LMNO をそれぞれ図形BCDとAに等しいと記述します[II. x i v . ]。次に、EF 、LM 、BCに比例する第 4 の辺GH を見つけます[ x i i . ]。GH 上に、図形BCD と相似な直線図形GHIを記述します[ x v i i i . ]。これにより、BCとGH は相似な辺となります。GHIが求める図形です。

デモ. — EF : LM :: BC : GH (定数) なので、図形EFJK : LMNO :: BCD : GHI [ x x i i . ] となります。ただし、EFJK はBCD (定数)と等しいので、 LMNOはGHIと等しくなります。ただし、LMNOはA (定数)と等しいので、GHI はAと等しく、 BCDと相似です。

命題XXVI.—定理。
相似で位置も似ている 2 つの平行四辺形( AEFG 、ABCD )が共通の角を持つ場合、 それらは同じ対角線についている。

証明 —対角線AFとACを引きます (図、命題x x i vを参照)。平行四辺形AEFGとABCD は相似な図形なので、同じ数の相似な三角形に分割できます [ x x。 ]。 したがって、三角形FAGはCADと相似であり、したがって角FAGは角CADと等しくなります。 したがって、直線AC は点Fを通らなければならず、したがって平行四辺形は同じ対角線を中心としています。

考察。―命題x x v i .はx x i v .の逆であるため、明らかに誤って配置されている。次の表現の方がより簡潔であろう。「2 つの相似平行四辺形が共通の角を持つ場合、それらは同じ対角線を中心とする。」

命題XXVII—問題与えられた三角形( ABC )に、三角形と共通の角( B )を持つ最大の平行四辺形
を内接させる。

解答：角Bの対辺ACを点Pで二等分します。点Pを通って、三角形の他の辺に平行な線分PEとPFを引きます 。BPが求める平行四辺形です。

証明 — AC内の任意の点Dを取り、辺に平行な DG、DHとABに平行なCK を引きます。EP 、GDを延長してCKとKおよびJで交わり、HDを延長してPKとIで交わります。

さて、ACはPで二等分されているので、EKもPで二等分されています。したがって [I. x x x v i . ] 平行四辺形EOはOKと等しくなります。したがってEOはDKより大きいですが、DKはFDと等しいので[I. x l i i i . ]、EOはFDより大きいです。それぞれにBOを加えると、平行四辺形BP はBDより大きいことがわかります。したがってBP は、与えられた三角形に内接できる最大の平行四辺形です 。

コリント1章—最大の平行四辺形は、三角形内の同じ角度に関する他のどの平行四辺形よりも、対角線が反対側の辺の中点Pと、もう一方の内接平行四辺形の頂点である点Dを結ぶ線である相似平行四辺形の面積だけ大きい。

コリント人への手紙2章—三角形に内接し、三角形と1つの角を共有する平行四辺形は、平行四辺形の対角によって作られる三角形の辺の線分によって囲まれた長方形に比例する。

コリント3章—平行四辺形AC : GH :: AC 2 : AD。DC。

提案XXVIII.—問題。​​​​​

与えられた三角形（ABC）に、与えられた直線図形（X）に等しく、かつ最大の内接平行四辺形を超えず、三角形と共通の角（B）を持つ平行四辺形を内接させる。

解.— Bの反対側の辺ACをPで二等分します。辺AB、BCに平行なPF、PEを引きます。すると [ x x v i i .] BPは三角形ABCに内接できる最大の平行四辺形です。Xがこれに等しい場合、問題は解決します。そうでない場合は、EPを延長し、PFに平行なCJを引きます。次に、図形PJCFとX の差に等しく 、PJCFと相似で、辺PJとKLが相似となる平行四辺形KLMN [ x x v . ] を記述します。次に、 KLに等しいPI を切り取ります。ACをDで切断するIH をABに平行に引き、BCに平行なDGを引きます。BDが求める平行四辺形です。

証明 —平行四辺形PCとPD は対角線がほぼ同じなので相似です [ x x i v . ]。しかし、PC はKPTと相似です(定数)。したがって、PDはKNと相似で、(定数) それらの相似な辺PIとKLは等しいです。したがって [ x x . ] PDはKNと等しいです。さて、PD はEFとGHの差です[ x x v i i . Cor . 1]、KNは (定数) PCとXの差です。したがって、 PCと Xの差はEFとGHの差に等しくなります。しかし、EF はPCと等しいです。したがって、 GHはXと等しいです。

提案XXIX.—問題。​​​​​

与えられた三角形（ABC）に、与えられた直線図形（X）と等しく、三角形の外角（B）と共通の角を持つ平行四辺形を 記述する。

解答：作図は前回と同じですが、平行四辺形KN を平行四辺形PCから直線図形Xを除いた余りに等しくする代わりに、それらの和に等しくします。次に、PI をKL に等しくし、 IH をABに平行に引き、残りの作図は前回と同じです。

証明 ―ここで、II. viで述べ​​たように、平行四辺形BD は グノモンOHJに等しいことが証明できます。つまり、平行四辺形PDとPCの差、またはKNとPCの差 (定数)に等しく、つまり (定数) Xに等しく、BD は三角形ABCに内接し、外角Bと共通の角を持ちます。したがって、要求されたことは 完了です。

注記 ―上記の３つの命題の記述は、現代の専門用語を用いて表現するために変更されています 。一部の著者は学生に これらの命題を省略することを勧めていますが、私たちはそうは考えません。私たちが示した形式であれば、それらは通常見られるような 難解な表現から解放されます。構成と証明はユークリッドのものですが、若干 修正されています。

命題XXX.—定理。与えられた
線分( AB )を「外径比と中径比」で分割する。

解答— AB をCで分割して、長方形AB を。BCはAC上の正方形に等しい可能性がある[II. x i .]。するとCは求める点である。

民主党員—長方形ABは。BCはACの二乗に等しいので 、AB : AC :: AC : BC [ x v i i .]となります。したがって、ABはCにおいて外径比と中径比で切断されます [定義i i .]。

演習。

1.直角三角形の3辺が連続比である場合、斜辺は 直角から 斜辺に下ろした垂線によって外径比と中径比で分割されます。

2.同様に、斜辺の長い方の辺は 三角形の短い方の辺と等しくなります。

3.点F 、H 、Dによって形成される三角形を中心とする円の直径上の正方形(図II. x iを参照) は、直線FD上の正方形の 6 倍に等しい。

命題XXXI.—定理。​​​​​

直角三角形（ABC）の3辺に同様の直線図形を描くと、斜辺上の図形は他の2辺上の図形の合計に等しくなります。

証明— 垂線CDを引きます[I. x i i .]。ABC は直角三角形であり、CD は直角から斜辺に垂直に引かれているため、BD : AD はBA : ACの 2 倍の比になります[ v i i i . Cor . 4]。 また、 BAとAC上に描かれる図形は相似であるため、 BA : ACの 2 倍の比になります[ x x .]。 したがって [V. x i .] BA : AD :: BA上に描かれる図形: AC 上に描かれる図形。 同様に、AB : BD :: AB上に描かれる図形: BC上に描かれる図形。 したがって [V. x x i v .] AB : ADとBDの和:: 直線AB上に描かれる図形: 直線ACとBC上に描かれる図形の和。 しかし、AB はADとBDの和に等しい。したがって[V. a .]線 AB上に描かれた図形は、線ACとBC上に描かれた相似な図形の合計に等しい。

あるいは、辺をa、b、c、図形をα、β、γとすると、図形は相似なので、[ x x。]

α : γ :: a 2 : c 2
したがって α-γ = a2 c2。
同様に、 β-γ = b2c2;
したがって α+ β—– γ = a2 + b2—2– c;
しかし、a 2 + b 2 = c 2 [I. x l v i i .]。したがって、 α + β = γ。つまり、辺の数字の合計 は斜辺の数字に等しい。

エクササイズ。

半円の補弦上に半円を描くと、このようにして形成される2つの三日月形の面積の合計は、 補弦と直径を辺とする三角形の面積に等しくなります。

命題XXXII.—定理。​​​​​

2 つの三角形( ABC、CDE )において、一方の三角形の 2 辺が 他方の三角形の 2 辺に比例し( AB : BC :: CD : DE ) 、かつそれらの間の角( B、D )が等しい場合、それら を角( C )で結び、それらの相似な辺が平行になるようにすると、残りの 辺は同一の直線上にあります。

証明 —三角形ABCとCDE は角BとDが等しく、これらの角の周りの辺の比がAB : BC :: CD : DEであるため、これらは等角三角形です [ v i .]。したがって、角BACはDCEに等しくなります。それぞれにACDを加えると、角BACとACDの和はDCEとACDの和に等しくなります。しかし、 BACとACDの和は[I. x x i x .] 2 つの直角です。したがって、DCEと ACDの和は 2 つの直角です。したがって[I. x i v .] ACとCEは同一の直角 線上にあります。

命題XXXIII.–定理。​​​​​

正円では、中心の角（BOC、EPF）または円周上の角（BAC、EDF）は、それらが位置する弧（BC、EF）と同じ比率を持ち、扇形（BOC、EPF）も同様です。

証明—1.最初の円で任意の数の弧CG、GHを取り、それぞれをBCに等しくする。OG 、OHを結び、2 番目の円で任意の数の弧FI、IJを取り、それぞれを EFに等しくする。IP 、JPを結びます。すると、弧BC、CG、GHはすべて等しいので、角 BOC、COG、GOHはすべて等しくなります [III. x x v i i . ]。したがって、弧BHと角 BOHは、弧BCと角BOCの等倍数です。同様に、弧EJと角EPJが弧EFと角EPFの等倍数であることも証明できます。また、円は等しいので、弧BHが弧 EJ より大きいか、等しいか、小さいかに応じて、 角BOHが角EPJより大きいか、等しいか、小さいかは明らかです。ここで、弧BC、弧EF、角BOC、角 EPFの 4 つの大きさがあり、最初の大きさと 3 番目の大きさの等倍数である弧 BH、角BOH、および 2 番目の大きさと 4 番目の大きさの等倍数である弧EJ、角EPJを取り、最初の大きさの倍数が 2 番目の大きさの倍数より大きいか等しいか小さいかに応じて、3 番目の大きさの倍数が 4 番目の大きさの倍数より大きいか等しいか小さいかが証明されました。したがって[V. Def. v . ] BC : EF ::角BOC : EPF 。

また、角BAC は角BOC の半分であり[III. x x . ]、EDF は角EPF の半分であるため、

BAC : EDF :: BOC : EPF [V. x v .];
しかし BOC : EPF :: BC : EF。
したがって BAC : EDF :: BC : EF [V. x i .] .

2. セクターBOC : セクターEPF :: BC : EF。

証明— 同じ構成を行うと、弧BC はCGに等しいので、角BOCはCOGに等しくなります。したがって、扇形BOCとCOGは合同です ( 観察、命題x x i x .、第 III 巻を参照)。したがって、それらは等しくなります。同様に、扇形COGとGOHも等しくなります。したがって、等しい扇形は等しい弧の数だけ存在します。したがって、弧BHと扇形BOH は、弧 BCと扇形BOCの等倍数です。同様に、弧EJと扇形EPJは、弧EFと扇形EPFの等倍数であることが証明できます。また、重ね合わせにより、弧BH が弧EJより大きいか、等しいか、小さいかに関わらず、扇形BOH は扇形EPJより大きいか、等しいか、小さいかが明らかです。したがって[V. 定義。v .]弧BC : EF ::セクターBOC :セクターEPF 。

第二の部分は次のように証明できる。

扇形BOC = 1 2 弧BCと円ABCの半径で囲まれた長方形 [ x x .例14]、扇形EPF = 1 2 弧EFと円 EDFの半径で囲まれた長方形。円は等しいので、半径も等しい。したがって、扇形BOC : 扇形EPF :: 弧 BC : 弧EF 。

第6巻に関する試験問題。

1.第6巻の主題は何ですか？答え：比例理論の応用。

2.類似した直線図形にはどのようなものがありますか？

3.類似した数値にはどのような共通点が見られるか？

4.相似な三角形を定義するには、いくつの条件が必要ですか？

5. 3辺以上の相似な直線図形を定義するには、いくつの図形が必要ですか？

6.数値が種数で示されていると言われるのはどのような場合ですか？

7.大きさはいつですか？

8.配置についたとき？

9. 2つの直線の間の比例平均とは何ですか？
10. 2つの平均比例式を定義する。

11.直線図形の高さはどれくらいですか？

12. 2つの三角形の高さが等しい場合、それらの面積はどのように異なりますか？

13.底辺が同じでも高さが異なる場合、これらの面積はどのように変化しますか？

14.底辺と高度の両方が異なる場合、面積はどのように変化しますか？

15. 2つの線が比例的に分割されるのはどのような場合ですか？

16.比例的に分割された2つの直線において、相同な点のペアがそれらの交点と一致する場合 、他の相同な点のペアを結ぶ直線にはどのような性質が成り立ちます か？

17.逆比例を定義しなさい。

18. 2つの三角形の面積が等しい場合、それらの垂線の長さは 底辺の長さに反比例することを証明せよ。

19.反相似図形とは何を意味しますか？

20. 2つの図形が反相似である場合、それらを正 相似な図形に変換するにはどうすればよいでしょうか？

21.反相似な2つの三角形の例を挙げてください。答え：円の外側の任意の点Oを通る2つの直線が、それぞれ点 A 、A ′ 、B 、B ′で円と交わる場合、三角形OAB 、OA′B ′は反相似です。

22.図形を回転させたときに、その辺が 相似な直線図形の辺と平行になるようにするには、どの点を中心に回転させればよいか。答え： 2つの図形の相似中心。

23.与えられた直線上に、与えられた辺の長さを持つ直線図形と相似な図形はいくつありますか ？

24.それぞれn辺を持つ 2 つの正多角形は、いくつの相似中心を持つことができますか?答え: n 個の中心があり、それらは円上にあります。

25.相似図形とは何ですか？

26.類似した直線図形の面積はどのように異なりますか？

27. x i x .は、どのような命題の特殊な場合ですか?

28.フィロンの線を定義しなさい。

29. 2つの円を持つ相似中心はいくつありますか？

第6巻の練習問題。

1.固定された三角形において、底辺に平行な変数を引くと、 三角形から切り取られた台形の対角線の交点の軌跡は 、底辺を二等分する中線となる。

2.与えられた点から引いた複数の直線を、与えられた円の円周に対して所定の比率で分割する点の軌跡を求めます。

3. 2つの直線AB 、XYが与えられている。ABは点Cでm ：nの比に分割され、平行線AA ′ 、BB ′ 、CC ′が任意の方向に引かれ、XYと点A ′ 、B ′ 、C ′で交わる。証明せよ。

(m + n)CC ‘ = nAA’+mBB ‘。

4.三角形ABCの​​頂点から引いた3本の直線が、対辺とそれぞれA ′ 、B ′ 、C ′で交わることを証明せよ。

′ ′ ′ ′ ′ ′ AB .BC .CA =A BB CC A.

5.横断線が三角形ABCの辺を点A ′ 、B ′ 、C ′で交わる場合、証明せよ。

′ ′ ′ ′ ′ ′ AB .BC .CA = −A B.BC.C A.

6.与えられた円の円周上の固定点Aから任意の点Bに引かれた可変線AC上に、長方形ABが 。ACは一定であり、点Cの軌跡は円である。

7. D を三角形ABCの底辺BCの中点、Eを垂線の足、L を角Aの二等分線がBCと交わる点、H を内接円とBCの接点とするとき、 DEを証明せよ。 。HL = HE。HD 。

8.同様に、K を内接円のBCとの接点とし、他の辺を延長したものに接すると、LH 。BK = BD。LE 。

9.平面三角形の外接円、内接円、外接円の半径をR 、r 、r ′ 、r ′′ 、r ′′′とし、外接円の中心から他の円の中心までの距離をd 、d ′ 、d ′′ 、d ′′′とすると、R 2 = d 2 + 2 Rr = d ′ 2 − 2 Rr ′などとなります。

10.同じ場合、12 R 2 = d 2 + d ′ 2 + d ′′ 2 + d ′′′ 2。

11. p ′ 、p ′′ 、p ′′′が三角形の垂線を表す場合、

（１） 1- p′ + 1- p′′ + -1- p′′′ = 1 r;
（２） 1′′ p + -1′′′ p− 1′ p = 1′-rなど。
（３） 2 p′ = 1 r −1 r′など;
（４） 2 p′ = 1 r′′ + 1 r′′′など。
12.与えられた三角形の中に、与えられた形状の別の三角形を内接させ、その三角形の1つの角が 元の三角形の1辺上の与えられた点にあるようにする。

13.与えられた形状の三角形が、その3辺が3つの固定点を通るように移動すると、 その平面上の任意の点の軌跡は円になります。

14.三角形ABCの角Aと面積が大きさで与えられている場合、点Aが固定された位置にあり、点B が固定された直線または円に沿って移動する場合、点Cの軌跡は円になります。

15.与えられた形状の三角形の頂点の 1 つは固定されています。別の頂点の軌跡は直角 または円です。3 番目の頂点の軌跡を求めなさい。

16.三角形の面積を求めなさい。(1) 中線を用いて表す。(2) 垂線を用いて表す。

17. 2つの円が外接している場合、それらの共通接線は、それらの直径の比の平均となる 。
18. 3本の平行線と2つの固定点A 、Bが与えられたとき、 AとBをいずれかの平行線上の任意の可変点に接続する線が、他の平行線とそれぞれ点CとD 、EとFで交わるならば、CFとDEはそれぞれ固定点を通る。

19.円の系が2つの固定点を通る場合、 その点のいずれかを通る任意の2つの割線は、円によって比例的に切断される。

20.三角形ABCの平面上に点Oを見つけ、三角形OAB 、OBC 、OCA を中心とする 3 つの円の直径が、与えられた 3 つの直線の比になるようにします。

21. ABCDは円に内接する四角形です。線分AB 、AD 、および点Cの位置が与えられています。BDを所定の比率で分割する点の軌跡を求めなさい。
22. CA 、CBは円の 2 つの接線です。BEは点Aを通る直径ADに垂直です。CDがBEを二等分することを証明してください。

23.三角形ABCの​​頂点から任意の内部点Oに引いた3本の直線が、対辺と点A ′ 、B ′ 、C ′で交わるならば、次のことを証明せよ。

OA’ OB ‘ OC’ AA’ + BB-‘ + CC’-=1。

24. 3本の共線OA 、OB 、OCが、それぞれ2つの 点系A 、B 、C 、A ′ 、B ′ 、C ′において2本の横断線によって切断される場合、次のことを証明せよ。

-AB-.OC–=-BC-.OA- = CA-cOB–. A ′B′ OC′ B ′C ′OA′ C′A ′OB ′

25.円に外接する四角形の対角線の中点を結ぶ線—

対向する各辺のペアを反比例する長さのセグメントに分割する。
対向する各線によって、 中心から測った辺の長さに比例する線分に分割される。
対角線上の2組の辺によって分割され、それぞれ の対角線から測ったときの比率が等しい区間に分割される。

26. CD 、CD ′ を三角形ACBの角Cの内部二等分線および外部二等分線とすると、3 つの長方形AD は 。DB 、AC。CB 、AD。BD ′ はAD 、AC 、AD ′の二乗に比例し、(1) 基角の差が直角に等しい場合は等差数列、(2)基角の 1 つが直角の場合は等比数列、(3) 基角の合計が直角に等しい場合は調和数列となる。

27.可変円が2つの固定円に接する場合、接触弦は 固定円の中心を結ぶ線上の固定点を通る。

証明— O 、O ′ を2 つの固定円の中心とし、O ′′ を 可変円の中心とし、A 、 Bを接点とする。ABとOO ′ がCで交わるとし、固定円をそれぞれ点A ′ 、B ′で再び切断する。A ′ O 、AO 、BO ′を結ぶ。するとAO 、BO ′ はO ′′で交わる[III. x i . ]。 ここで、三角形OAA ′ 、O ′′ ABは二等辺三角形であるため、角O ′′ BA = O ′′ AB = OA ′ Aである。したがって、OA ′ はO ′ Bに平行である。したがって、OC : O ′ C :: OA ′ : O ′ Bである。つまり、与えられた比率である。したがって、Cは与えられた点である。

28. DD ′が2つの円の共通接線である場合、DD′2 = AB ′ 。A′B 。​​
29. R をO ′′の半径、 ρ 、ρ ′をO 、O ′ 、DD ′の半径とすると、 2 : AB 2 :: ( R ± ρ )( R ± ρ ′ ) : R 2となり、符号の選択は接触の性質によって決まります。これは 28 から導かれます。
30. 4つの円が5番目の円に接し、12 を最初の円と2番目の円に共通する接線とすると 、

12.34 + 23.14 = 13.24。

31.任意の三角形の内接円と外接円はすべて、その三角形の9点円に接する 。

32. 4 つの点によって決定される 4 つの三角形は、3 対 3 で表すと、 それらの 9 つの頂点からなる円が 1 つの共通点を持つような三角形である。
33. a 、b 、c 、dが四角形の4 辺、D 、D ′ が対角線である場合、残りの 3 つの点によって形成される三角形の辺上の任意の角点からの垂線の足を結んで形成される三角形の辺は、3 つの長方形ac 、bd 、DD ′に比例することを証明します。

34．プトレマイオスの定理の逆を証明せよ （第13章、第17章を参照）。

35.次のような円を記述しなさい。(1) 与えられた点を通り、与えられた 2 つの円に接する。 (2)与えられた 3 つの円に接する。

36.可変円が2つの固定円に接する場合、それらの相似中心から接線（ 接触弦が通る線(27)）の長さは一定である。

37.線分AD 、BD ′ (図、例27を参照) を延長すると、それらはO ′′の円周上の点で交わり、線分O ′′ PはDD ′に垂直である。

38.位置が与えられた2つの直線上の2つの固定点A 、Bと、比AA ′ ：BB ′が一定である2つの可変点A ′ 、B′がある場合、A′B ′を所定の比で分割する点の軌跡は直角である。

39.直線EFが四角形の向かい合う2辺を比例的に分割し、直線GHが残り の辺を分割する場合、それぞれの辺は、それらを決定づける辺と同じ比率で互いに分割される 。

40.与えられた円の中に三角形を内接させ、その三角形の頂点が、 底辺の両端から垂直 角の二等分線に下ろした垂線の足と、底辺から垂直角に下ろした垂線の足であるような三角形が 最大となるようにする。

41.円において、内接する四角形の対角線の交点は、その四角形の 角で円に接する外接四角形の対角線の交点と一致する。

42.与えられた2点を通る円を描き、その円と別の与えられた円との共通弦は、 与えられた直線に平行であるか、または与えられた点を通るものとする。

43.円の中心が与えられたとき、与えられた角の2辺を、与えられた直線に平行な弦に沿って切断するように円の中心を記述する。

44.奇数辺の多角形の角から引かれた共線が、 対向する辺をそれぞれ2つの線分に分割する場合、一方の交互の線分の積は、 もう一方の交互の線分の積に等しい。

45.円を中心とする三角形を描くと、その辺と円との接点から 反対側の角の点に引いた線は一点で交わる。

46.三角形が円に内接する場合、その三角形の3つの角における円の接線は、 3つの対辺と3つの同一直線上の点で交わる。

47.三角形の角の外二等分線は、対辺と3つの同一直線上の 点で交わる。

48.与えられた直線上の特定の点で接し、与えられた円を特定の角度で切断する円について説明しなさい 。

定義―任意の数の点A 、B 、C 、Dなどの平均位置の中心は、次のようにして求めることができる点です。 ― G内の任意の2 点A 、Bを結ぶ線を二等分します。G を3 番目の点Cに結びます。 GC をHで分割し、 GH = GCとします。 H を4 番目の点Dに結び、HD をKで分割し、HK = HDとします。以下同様に続けます。 最後に見つかった点が、与えられた点の平均位置の中心となります。 13 14

49.正多角形の角点の平均位置の中心は、 その多角形の図形の中心である。

50.任意の直線L上の点A 、B 、C 、Dなどn個の点のシステムから垂線の合計は、直線L上の平均位置の中心からの垂線の長さのn倍に等しい。

51.任意の点A 、B 、C 、Dなどから任意の点Pに引いた線の二乗の合計は、同じ点からそれらの平均位置の中心Oに引いた線の二乗の合計をnOP 2だけ上回る。

52.三角形の中に点をとったとき、 その点から三角形の辺に引いた垂線の足の平均位置の中心となるようにすると、 垂線の二乗の和は最小となる。

53. 2つの対向する角、対角線、および 対角線間の角が与えられたときに、四角形を作図します。

54.直径が2倍の円の内側を円が転がる。円周上の固定点の軌跡を求めよ 。

55.与えられた円の円周上の2点C 、Dは、与えられた直径の同じ側にあります。与えられた直径 ABの反対側の円周上の点Pを見つけ、PCとPDが中心から等距離でABと交わるようにします。

56.任意の多角形の辺が横断線によって切断される場合、一方の対角線上の線分の積は、 残りの線分の積に等しい。

57.三角形の辺を横切る横断線が引かれたとき、三角形の角から、 その角によって切り取られる横断線の線分の中点への線は 、対辺と一直線上の点で交わる。

58.任意の点Pから三角形の角に線を引くと、点 Pからこれらの線に下ろした垂線は、三角形の対辺と 3 つの同一直線上の点で交わる。

59.与えられた半円を直径に垂直な線で2つの部分に分割し、 それらの円に内接する円の半径の比が一定の値になるようにする。

60.三角形の内部にある点から各辺に垂線を引くとき、 垂線の足を結ぶ直線の二乗の和が 与えられている場合、その点の軌跡を求めよ。

61.円が2本の固定された直線と特定の交点を持つ場合、その円の中心から直線によって形成される角の二等分線に下ろした垂線によって囲まれた長方形が 与えられます。

62.三角形の底辺と底角の差が与えられている場合、 頂点から底辺の中点を通る2本の線に下ろした垂線で囲まれた長方形は 一定である。

63.三角形の底辺の両端から 垂直角の内角の二等分線に下ろした垂線で囲まれた長方形は、 外角の二等分線と底辺の中点から内角の二等分線に下ろした垂線で囲まれた長方形と等しい 。

64.外二等分線上の垂線に関する対応する定理を述べ、証明せよ 。

65. R 、R ′ を、直角三角形を斜辺上の直角から垂線で分割した三角形に内接する円の半径とすると、c を斜辺、s を半周長とすると、R 2 + R ′ 2 = ( s − c ) 2 となります。
66. A 、B 、C 、Dが 4 つの共線点である場合、 OA が1 点となるような、それらと同じ直線上にある点Oを見つけなさい。 。OD = OB。OC 。

67.円に内接する四角形の4辺が与えられている。それを作図せよ。

68. 2 つの円が与えられたとき、その円から円への接線の 比が与えられたような点の軌跡を求めます。
69. 4点A 、B 、C 、Dが同一直線上にある場合、 ABとCDが等しい角度をなす点Pの軌跡を求めなさい。

70.円が三角形の2辺CA 、CBとその外接円の内部で接する場合、 Cから各辺の接点までの距離は半周長の4分の1に比例し、CA 、CBとなります。

71.外接円に接する円 と、その円の2辺を延長した場合に対応する定理を述べ、証明せよ。

72.パスカルの定理。 円に内接する不規則な六角形ABCDEFの向かい合う辺を 延長して交わると、交点G 、H 、Iは同一直線上にある 。

証明— ADを結びます。三角形ADIを中心とする円を描き、必要に応じて延長した線 AF、CD を K と L で切ります。IK、KL、LI を結びます。ここで、角 KLG 、FCGはそれぞれ角GADと等しくなります。したがって、それらは等しくなります。したがって、KLはCFに平行です。同様に、LIはCHに平行で、KI はFHに平行です。したがって、三角形KLIとFCH は相似です。したがって、対応する頂点を結ぶ線は一点で交わります。したがって、点I 、H 、Gは共線です。

73.与えられた円に外接する三角形の2辺の位置が与えられ、3辺目が 可変である場合、三角形の周りに描かれた円は固定された円に接する。

74.三角形の2辺の位置が与えられ、面積の大きさが与えられている場合、 底辺が一定の角度をなす2つの点を見つけることができます。

75. a 、b 、c 、d が円に内接する四角形の辺を表し、sがその半周長である場合、その面積= であることを証明せよ。 ∘ (s−-a)(s−-b)(s− c)(s−- d)

76.三角形ABCの角から引いた 3 つの共線が対辺と点A ′ 、B ′ 、C ′で交わり、点A ′ 、B ′ 、C ′を結んで 2 番目の三角形A ′ B ′ C ′を形成する場合、

      ′ ′ ′ ′ ′ ′ △ ABC :△ ABC ::AB.BC.CA :2AB .BC .CA .

77.同様に、三角形 ABCに外接する円の直径はAB ′である。。BC ′。CA ′をA′B′C ′の面積で割った値。

78.四角形が1つの円に内接し、別の円に外接する場合、その 面積の2乗は4辺の積に等しい。

79.三角形ABCの辺AB 、AC上に 2 点D 、Eを取り、それらの接続線F上に、

BD-= AE-= DF-; AD CE EF

三角形BFC = 2 ADEであることを証明します。

80.四角形の2本の対角線のそれぞれの中点を通る 平行線を引くと、それらの交点から辺の中点に引いた線は 四角形を4等分する。

81. CE 、DFは半円の直径に垂線であり、CE 、DE 、および半円に接する2つの円が描かれている。1つは内側に接し、もう1つは外側に接している。AB上の中心から垂線を引いた長方形はCEに等しい。 。DF 。

82.円周上の任意の点から、 奇数辺の正多角形の内接する任意の角の点に線を引くと、交互の線の長さの和は 等しくなります。

83.与えられた円内の与えられた点を通る弦の両端に接線 を引くと、その点から接線上に下ろした垂線の逆数の和は 一定である。

84.円に内接する四角形において、3つの辺が3つの固定された同一直線上の 点を通る場合、4番目の辺は、与えられた3つの点と同一直線上の4番目の固定点を通る 。

85.多角形のすべての辺が与えられた直線に平行であり、1つの角を除くすべての角の軌跡が 直角である場合、残りの角の軌跡も直角である。

86.対頂角とその対頂角の二等分線が与えられている場合、 それらを囲む辺の逆数の和は一定である。

87. P 、P ′ が、円に内接および外接する任意の共通の辺数を持つ 2 つの正多角形の面積を表し、Π、 Π ′ が対応する辺数の 2 倍の多角形の面積を表すとき、Π はPとP ′の幾何平均であり、Π ′はΠ とP ′の調和平均であることを証明せよ。

88.任意の三角形の辺上に、(1)外側、(2)内側に作図された正三角形を中心として描かれた円の中心を結んでできる三角形の面積の差は 、その三角形の面積に等しい。

89.同様に、2 つの新しい三角形の辺の二乗の合計は、 元の三角形の辺の二乗の合計に等しい。

90.任意の辺数の正多角形の外接円と内接円の半径をR 、rとし、同じ面積で辺数が 2 倍の正多角形の対応する半径をR ′ 、r ′とするとき、次のことを証明せよ。

√--- ∘------- R′ = Rr、および r′ = r(R-+r)。 2

91.三角形の高さが底辺と等しい場合、 垂心から底辺までの距離と底辺の中点からの距離の合計は 底辺の半分に等しい。

92.任意の三角形において、底辺と辺の比が与えられたとき、外接円の半径は頂点の軌跡である円の半径に等しく、 辺の二乗の差は面積の4倍に等しい。

93.平行四辺形の面積、その角の1つ、および対角線の差が与えられたとき、 平行四辺形を作図しなさい。

94.可変円が2つの等しい円に接し、一方が内側、もう一方が外側に接している場合、 その円の中心からこれらの円の横断接線に垂線を引くと、 これらの垂線の足と接線の交点との間の切片からなる長方形は 一定である。

95.三角形の底辺、対頂角、および 頂点からの距離が辺の和の半分に等しい底辺上の点が与えられたとき、三角形を作図する。

96.二等辺三角形ABCの底辺BCの中点が、等しい辺に接する円の中心である場合、円に接する任意の変数の接線が辺を点D 、Eで切断し、長方形BDが 。CEは一定となる。

97.与えられた円の中に、対向する平行な辺の和と面積が与えられた台形を内接させなさい。

98.与えられた円の中に、すべての辺が与えられた点を通る多角形を内接させる。

99. 2つの円X 、Yが、 Xに内接しYに外接する三角形が作図できるような関係にある場合、そのような三角形は無限に作図できる。

100.同様に、 Y上の接点を結んで形成される三角形に内接する円は、与えられた円に接する。

101.そして、Xに内接する三角形の角の点で接線を引いて形成される三角形の周りに描かれた円は、与えられた円に接する。

102.与えられた3点からの距離の合計が 最小となるような点を見つけなさい。

103.円に対する2つの接線の交点を通る線は、 円と接点弦によって調和的に分割される。

104.与えられた四角形と相似な四角形を作図し、その四辺が 与えられた四点を通るようにする。

105.与えられた四角形と相似な四角形を作図し、その4つの頂点が 与えられた4つの直線上にあるようにする。

106.三角形の底辺、底角の差、 辺の長方形が与えられたとき、三角形を作図しなさい。

107. ABCDは正方形であり、辺CDはEで二等分され、線EFが引かれ、角AEF = EABとなる。EFが辺BCを2：1の比に分割することを証明せよ。

108.円の直径上の固定点を通る弦を引いて、その両端を 直径の両端に結ぶと、その結線は、もう一方の端の接線上で、 長方形が一定の部分を切り取る。

109. 2 つの円が接しており、その接点を通る 2 つの直角割線が それぞれ円をA 、A ′ 、B 、B ′で切断する場合、AA ′ 2 + BB ′ 2 は一定である 。
110. 2 つの円の交点の1 つを通る互いに直角な 2 つの割線が、 2 つの 点系a 、b 、 c 、a ′ 、b ′ 、c ′において、円とそれらの中心を通る直線を それぞれ切断する場合、ab : bc :: a ′ b ′ : b ′ c ′が成り立つ。

111.半円の縦座標に接するように描かれた2つの円、その半円自体、および 直径のセグメント上の半円は互いに等しい。

112.ある円の弦がある点で直角をなす場合、 その弦の両端における接線の交点の軌跡は円である。

113.内接円の接点によって作られる三角形の底辺の線分によって囲まれた長方形は、 底辺の両端から垂直角の二等分線に下ろした垂線によって囲まれた長方形と等しい。

114. O を三角形の内接円の中心とするとき、証明せよ。

OA2-+ OB2-+ OC2-= 1. bc ca ab

115.内接円の中心に関する対応する定理を述べ、証明せよ。

116. 4点A 、B 、C 、Dは同一直線上にある。線分AB 、BC 、CDが等しい角度をなす点Pを求めよ。

117.辺の長さがa 、b 、cで​​ある三角形の 3 つの角の二等分線の積は

—8abc.s.area—- (a+ b)(b+c)(c+ a).

118.同じ場合、 角の二等分線によって作られる辺の交代線分の積は

—–a2b2c2—–. (a+ b)(b+c)(c+ a)

119.円が任意の三角形の辺と交わる6つの点のうち3つが、それらの点 と反対側の頂点を結ぶ線が一点で交わるような場合、残りの3つの点についても同じ性質が成り立つ 。

120.三角形A ′ B ′ C ′ が別の三角形 ABCに内接する場合、証明せよ。

′ ′ ′ ′ ′ ′ AB .BC .CA + AB.B C.CA

は三角形A ′ B ′ C ′ の2 倍に円ABCの直径を掛けたものに等しい。

121.辺の数が奇数の多角形を作図せよ。ただし、辺は順に 固定点によって所定の比率で分割されるものとする。

122.ある円に内接する四角形の外対角線が、別の 円の弦であるならば、その四角形の中点の軌跡は円である。

123.ある円の弦が別の円の接線である場合、その弦が最初の円で切り取る各弧の中点 と、2番目の円との接点を結ぶ線は、ある特定の 点を通る。

124.与えられた多角形の平面上の点Pから、その多角形の辺に垂線を下ろします。垂線の足を結ぶことによって形成される多角形の面積が与えられている場合、点Pの軌跡は円になります。

第11巻
　平面、同一平面上の直線、および立体角の理論

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定義。

i．2つ以上の線が同一平面上にある場合、それらは共面であると言われます。。

i i。ある平面が別の平面となす角度を二面 角。

iii立体角​​​それは、異なる平面上にある2つ以上の平面角が一点で交わることによって作られるものです。

i v。その点は立体角の 頂点と呼ばれます。

v .立体角が3つの平面角から構成されている場合、それは三面 角と呼ばれます。4 個の場合は正四面体角、 4 個を超える場合は多面体 角。

命題I.—定理。直線の
一方の部分( AB )が平面( X )内にある一方で、もう一方の部分 ( BC )が平面内にないということはあり得ない。

証明 — ABは平面X内にあるので、平面 X 内に延長できます [Bk. I. Post. i i . ]。AB をDまで延長します。次に、BC がX内にない場合、 ADを通る他の平面を AD の周りで回転させて、点Cを通るようにします。点BとCはこの第 2 の平面内にあるので、直線BC [I., Def. v i . ] はこの平面内にあります。したがって、1 つの平面内にある 2 つの直角直線ABCとABD は共通の線分ABを持ちますが、これは不可能です。したがって、など。

命題II.—定理。​​​​​

任意の点（E）で交わる2本の直角直線（AB、CD）は同一平面上にあり、同様に三角形を形成する3本の直角直線（EC、CB、BE）も同一平面上にあります。

証明：任意の平面がEBを通り、それを軸として回転してCを通るようにします。すると、点EとCはこの平面上にあるので、直線ECはこの平面上にあります[I.、定義vi ]。同じ理由で、直線BCもこの平面上にあります。したがって、直線EC 、CB 、 BEは同一平面上にあります。しかし、ABとCDはこれらの直線のうちの2つです。したがって、ABとCDは同一平面上にあります 。

命題III.—定理。2
つの平面( AB、BC )が互いに交わる場合、それらの共通断面( BD )は直角である。

証明：BからDまででない場合、平面ABに直角直線BEDを、平面BCに直角直線BFDを描きます。すると、直角直線BEDとBFDは空間を囲みますが、これは[I.、公理x . ]不可能です。したがって、 2つの平面の共通断面BDは直角でなければなりません。

命題IV.—定理。​​​​​

2 つの交差する直線( AB、CD )のそれぞれに垂直な直線 (EF) がある場合、直線 (EF )は、それらと同一平面上にあり、かつ一致する任意の直線GHに垂直になります。

証明：GH内の任意の点Gを通って直線BC を引き、直線AB、CDと交わるようにし、Gで二等分します。また、 EF内の任意の点F をB、G、Cに結びます。すると、EF は 直線EB、ECに垂直なので、次のようになります。

BF 2 = BE 2 + EF 2、およびCF 2 = CE 2 + EF 2 ;
∴ BF 2 + CF 2 = BE 2 + CE 2 + 2 EF 2。
また BF 2 + CF 2 = 2 BG 2 + 2 GF 2 [II. x . 例 2] 、
そして BE 2 + CE 2 = 2 BG 2 + 2 GE 2 ;
∴ 2 BG 2 + 2 GF 2 = 2 BG 2 + 2 GE 2 + 2 EF 2 ;
∴ GF 2 = GE 2 + EF 2。
したがって、角GEFは直角であり、EFはEGに垂直である。

定義. vi . — EFのような直線は、一点で同一平面上にある直線の系に垂直であり、これらの直線の平面に垂直であると言われ、法線と呼ばれます。 それへ。

コリント1章—法線とは、ある点からある平面に引くことができる最短の線であり、法線に引くことができる他のすべての線のうち、法線と等しい角度をなす任意の系の線は互いに等しい。

コリント2章—交わる2つの直線のそれぞれに垂直な線は、それらの平面に垂直である。

命題V.—定理。​​​​​

3つの平行線（BC、BD、BE）が共通の垂線（AB）を持つ場合、 それらは同一平面上にある。

証明— 可能であれば、BC がBD、BEと同一平面上になく、 AB、BCの平面が BD、BEの平面と直線BFで交わるとします。すると [XI. i i i .] BF は直角であり、また、それぞれABに垂直なBD、BEと同一平面上にあるので、[XI. i v .] ABに垂直です。したがって、角ABFは直角であり、角ABCは直角 (斜角) です。したがって、ABCはABFに等しくなりますが、これは不可能です [I.、公理i x .]。したがって、直線BC 、BD 、BE は同一平面上にあります。

命題VI.—定理。2
つの直角直線( AB、CD )が同一平面( X )の法線である場合、それらは互いに平行である。

証明— AB、CD が平面Xと点B、Dで交わるとします。BDを結び、平面X上にBDに直角なDE を引きます。DE上の任意の点Eを取ります。BE 、AE、 ADを結びます。ABはXに垂直なので、角ABEは直角です。したがって、 AE 2 = AB 2 + BE 2 = AB 2 + BD 2 + DE 2となります。これは、角BDE が直角だからです。しかし、 AB 2 + BD 2 = AD 2となります。これは、角ABD が直角だからです。したがって、AE 2 = AD 2 + DE 2となります。したがって、角ADE は直角です。[I. x l v i i i ]。また、CD は平面 Xに垂直なので、DEはCDに垂直です。したがって、DE は3 つの共線CD、AD、BDに共通する垂直線です。したがって、これらの線は同一平面上にあります。[XI. v . ]。しかし、ABはAD、BDと同一平面上にある[XI. i i . ]。したがって、線分AD、BD、CDは同一平面上にある。また、角ABD、BDCは直角であるため、線分ABはCDに平行である [I. x x v i i i . ]。

定義7 項8 項 1 節―与えられた直線上のすべての点から与えられた平面に法線を引くと、それらの足の軌跡を、与えられた直線の平面への投影と呼ぶ。

演習。

1.平面上に投影された任意の直線は直角である。

2.交差する2つの平面のいずれか一方への、もう一方の平面に対する法線の投影は、 それらの平面の交線に垂直である。

命題VII.—定理。2
つの平行線( AB、CD )とそれらと交わる任意の直線( EF )は同一平面上にある。

証明：可能であれば、交差する直線を平面の外、つまりEGFとします。そして、平面内で平行線から直線EHFを引きます。すると、2 つの直線EGFとEHFが空間を囲みますが、これは 不可能です。したがって、 2 つの平行な直線と横断線は同一平面上にあります。

あるいは、点EとFは平行線の平面上にあるので、これらの点を結ぶ線は その平面上にある [I.定義vi ]。

命題VIII.—定理。2つの平行な直角直線(AB、CD)のうち、一方( AB )
が平面(X)に垂直であるならば、もう一方の直線( CD )も同じ平面に垂直である。

証明— AB、CD が平面Xと点B、Dで交わるとします。BD を結びます。すると、直線AB、BD、CD は同一平面上になります。次に、 ABが法線である平面X上に、 BDに直角なDE を引きます 。DE上の任意の点Eを取り、BE、AE、 ADを結びます。

次に、AB は平面Xに垂直であるため、その平面内の直線 BEに垂直です[XI. Def. v i . ]。したがって、角ABEは直角です。したがって、 AE 2 = AB 2 + BE 2 = AB 2 + BD 2 + DE 2 ( BDEは直角 (定数) であるため) = AD 2 + DE 2 ( ABDは直角 (斜辺) であるため)。したがって、角ADEは直角です。したがって、DEはADとBDの両方に直角です。したがって [XI. i v . ] DEはCDに垂直です。CD はADとBDと同一平面で一致しています。また、ABとCD は平行であるため、角ABDとBDC の和は 2 つの直角です [I. x x i x . ]。しかし、ABDは直角 (斜辺) であるため、BDC は直角です。したがって、CD は2 つの直線DBとDEに垂直であり、したがって[XI. i v . ] ]それはそれらの平面に垂直であり 、つまりXに垂直である。

命題IX—定理。2
つの直角直線( AB、CD )がそれぞれ第 3 の直線( EF )に平行である場合、それらは互いに平行である 。

証明 — 3 つの直線が同一平面上にある場合、命題は明らかに I. x x xと同じです。 それらが同一平面上にない場合、 EF上の任意の点Gから、それぞれEF、ABおよびEF、CD の平面上に、 EFにそれぞれ垂直な 直線GH、GK を引きます [I. x i . ]。 すると、 EF は直線GH、 GKのそれぞれに垂直なので、EF はそれらの平面に垂直です [XI. i v . ]。 また、ABはEFに平行 (斜辺) であり、EFは平面GHKに垂直なので、ABは平面GHKに垂直です [XI. v i i i . ]。 同様に、 CD は平面HGKに垂直です。したがって、ABとCD は同じ平面に垂直なので、互いに平行です。

命題X.—定理。​​​​​

2 つの交わる直角直線( AB、BC ) がそれぞれ他の 2 つの交わる直角直線( DE、EF )と平行である場合、 前者の間の角度( ABC )は後者の間の角度( DEF )に等しい。

証明 — 2 つの直線のペアが両方とも同一平面上にある場合、命題は I. x x i x .、例 2 と同じです。そうでない場合は、直線AB、BC上の任意の点A、Cを取り、 ED = BA、EF = BCを切り取ります[I. i i i . ]。AD、BE、CF、AC、DF を結びます。すると、 ABはDEと等しく平行なので、ADはBEと等しく平行です [I. x x x i i i ]。同様に、 CF はBEと等しく平行です。したがって [XI. i x . ] ADはCFと等しく平行です。したがって [I. x x x i i i . ] AC はDFと等しくなります。したがって、三角形ABC、DEFは、それぞれ 3 辺の長さが 3 辺の長さと等しくなります。したがって[I. v i i i . ]角ABCは角DEFと等しくなります。

定義7項8項1 節2つの平面が交わるとき、それらの共通断面に垂直な一方の平面に引かれた直線が他方の平面の法線となるとき、それらの平面は互いに垂直である。

定義. —交わる 2つの平面が互いに垂直でない場合、それらの傾斜角は、それらの共通断面の任意の点からその断面に直角に引かれた 2 つの直角によって囲まれる鋭角です。1 つの直角は一方の平面にあり、もう 1 つの直角はもう一方の平面にあります。

注記。―これらの定義は、本書の命題iiiおよびxの結果を暗黙のうちに前提としています。そのため、本書の冒頭にこれらの定義を配置するという通常の慣習から逸脱しました。同様の理由で、定義v iの位置も変更しました。

命題XI.—問題.与えられた平面 (BH)に含まれない与えられた点( A )から、与えられた平面( BH )
への法線を引く。

解答 —与えられた平面BHに任意の線BCを引き、AからBC に垂直なAD を引きます[I. x i i .]。AD が平面に垂直であれば、必要なことは完了です。そうでない場合は、Dから平面BH内にBCに直角なDE を引き [I. x i .]、 AからDEに垂直なAFを引きます[I. x i i .] 。AFは平面BHに垂直です。

証明— GH をBCに平行に引きます。BCはEDとDAの両方に垂直な ので、 EDとDAの平面に垂直です[XI. i v .]。 GH はBC に平行なので、同じ平面に垂直です [XI. v i i i .]。したがって、AF はGHに垂直です[XI. Def. v i .]。また、AF はDE (定数) に垂直です。したがって、AFはGHとEDの平面、つまり平面BHに垂直です。

命題XII.—問題.​​​​​

平面上の特定の点（A）から、その平面への法線を描画する。

解答：平面上にない任意の点Bから、平面に垂直なBC を引きます。この線がAを通る場合、 それが求める法線です。そうでない場合は、AからBCに平行なADを引きます。ADとBC は平行であり、BC は平面に垂直なので、 ADも平面に垂直です。そして、 ADは与えられた点から引かれています。したがって、これが求める法線です。

命題XIII.—定理。​​​​​

同じ点（A）から、与えられた平面 （X）に引ける法線は1つだけです。

証明—1. 与えられた平面上に点Aを置き、可能であればABとAC を両方とも A の法線とし、同じ側に置く。次に、BAとACからなる平面が、与えられた平面Xと直線DEで交わるとする。BAは法線なので、角 BAEは直角である。同様に、CAE も直角である。したがって、BAE = CAEとなり、これは不可能である。

2. 点が平面の上にある場合、法線は1つしか存在し得ません。なぜなら、もし2つ存在し得れば、それらは互いに 平行になってしまうからです[XI. v i . ]。これは不合理です。したがって、同じ点から与えられた平面に引ける法線は1つだけです 。

命題XIV.—定理。​​​​​

共通の法線（AB）を持つ平面（CD、EF）は互いに平行である。

証明 —平面が平行でない場合、延長すると交わります。それらが交わると仮定し、それらの共通断面を直線GHとし、その直線上に任意の点Kを取るとします。AKと BKを結びます。すると、AB は平面 CD に垂直なので、直線AKに垂直であり 、平面上で交わります [XI. 定義v i . ]。したがって、角BAKは直角です。同様に、角ABKも直角です。したがって、平面三角形ABK は2 つの直角を持ちますが、これは不可能です。したがって、平面CDとEF は交わることができません。つまり、それらは平行です。

演習。

1. 2つの平面間の角度は、これらの平面に対する2つの交差する法線間の角度に等しい 。

2.ある直線が2つの平面のそれぞれに平行である場合、その直線を通る任意の平面が それらの平面と作る断面は平行である。

3.ある直線が2つの交差する平面のそれぞれに平行である場合、その直線はそれらの交点に平行である。

4. 2つの直角線が平行である場合、それらはそれらを通る任意の2つの平面の共通断面に平行である。

5.複数の平面の交点が平行である場合、任意の点からそれらの交点に引かれた法線は 同一平面上にある。

命題XV.—定理。​​​​​

2つの平面（AC、DF）は、一方の平面上の2つの交差する直線（AB、BC）が、他方の平面上の2つの交差する直線（DE、EF）とそれぞれ平行である場合に平行である。

証明— 点Bから平面DFに垂直な線BGを引き[XI. x i . ]、その平面との交点をGとする。Gを通ってEDに平行な線GHとEFに平行な線GK を引く。GH は ED に平行 (一定) であり、AB は ED に平行 (斜辺) なので、ABはGHに平行である[ XI . i x . ]。したがって、角ABGとBGHの和は 2 つの直角である [I. x x i x ]。しかし、 BGHは直角 (一定) なので、ABGは直角である。同様にCBG も直角である。したがって、 BGは平面ACに垂直であり[XI. Def. v i . ]、 DFにも垂直である(一定)。したがって、平面ACとDF は共通の法線BG を持ち、互いに平行である。

命題XVI.—定理。​​​​​

2つの平行な平面（AB、CD）を3番目の平面（EF、HG）で切断すると、それらの平面と3番目の平面との共通部分（EF、GH）は平行になります。

証明：直線EFとGHが平行でないならば、それらは有限の距離で交わらなければならない。それらが交わる点をKとする。Kは直線EF上の点であり、EF は平面AB上にあるので、Kは平面AB上にある。同様に、Kは平面CD上の点である。したがって、平面ABとCD はKで交わるが、これらは平行なので、これは不可能である。したがって、直線EFとGH は平行でなければならない 。

演習。

1.平行な平面は、平行線上の等しい線分を切り取る。

2.平行線が同一平面と交わる場合、その平面との角度は等しい。

3.平行な平面と交わる直角は、それらの平面と等しい角度をなす。

命題XVII.—定理。​​​​​

2本の平行線（AB、CD）が3本の平行平面（GH、KL、MN）によって2組の点（A、E、B、C、F、D）で切断される場合、それらの点間の線分は比例する。

証明：AC、BD、ADを結ぶ。ADが平面KLと点Xで交わるようにする。EX 、XFを結ぶ。平行な平面KL、MNは平面ABDによって直線 EX、BDで切断されるので、これらの直線は平行である[XI. x v i . ]。したがって

AE : EB :: AX : XD [VI. ii.]

同様に、

AX : XD :: CF : F D。

したがって[V. x i . ]

AE : EB :: CF : FD。

プロップ。XVIII. — Theorem .​​​​

直線（AB）が平面（CI）に垂直である場合、直線（AB）を通る任意の平面（DE）はその平面に垂直である。

証明— CE を平面DEとCIの共通部分とする。 CE 上の任意の点Fから、平面DE上にABに平行な線FG を引く[I. x x x i . ]。ABと FGは平行であるが、ABは平面CIに垂直であるため、FG は平面 CIに垂直である [XI. v i i i . ]。 FGはABに平行であるため、角ABFとBFG は2 つの直角に等しい [I. x x i x . ]。 しかし、ABF は直角 (斜角) であるため、 BFGも直角である。つまり、FGはCEに垂直である。 したがって、平面DE上の、平面DEとCIの共通部分に垂直に引かれたすべての線は、平面 CIに垂直である。したがって[XI. Def. v i i i . ]平面DEとCIは互いに垂直である。

命題XIX.—定理。​​​​​

交差する 2 つの平面( AB、BC ) がそれぞれ第 3 の平面 ( ADC )に垂直である場合、それらの共通断面( BD )はその平面に垂直になります。

証明 —そうでない場合は、平面AB上の点Dから平面ABとADCの共通断面ADに垂直な直線DE を引きます。また、平面BC上に平面BCとADCの共通断面DCに垂直な直線BF を引きます 。すると、平面ABはADCに垂直なので、 AB上の直線DEは平面ADCに垂直になります[XI. 定義v i i i . ]。同様に、DF もそれに垂直です。したがって、点Dから平面 ADCに 2 つの異なる法線が存在しますが、これは [XI. x i i i . ] 不可能です。したがって、BD は平面ADCに垂直でなければなりません。

演習。

1. 3つの平面が共通の交線を持つ場合、 その交線上の任意の点からこれらの平面に引かれた法線は同一平面上にある。
2. 2つの交差する平面がそれぞれ2つの交差する直線に垂直である場合、 前者の交線は後者の平面に垂直である。

3.最後のケースでは、平面間の二面角が法線間の直線 角に等しいことを示してください。

命題XX.—定理。三面体角 (A) の任意の2つの平面角( BAD、DAC )
の和は、3番目の角( BAC )より大きい。

証明— 3 番目の角BAC が他のいずれかの角以下であれば、命題は明らかです。そうでない場合は、より大きいと仮定します。AD 上の任意の点 D を取り、平面BAC上の点A で角BAEを BAD に等しくし、AEをADに等しく切り取ります。Eを通ってBCを引き、ABとACを点BとCで切り取ります。DB とDCを結びます。

すると、三角形BADとBAEは、一方の三角形の 2 辺BAとADがそれぞれ他方の三角形の 2 辺BAとAEに等しく、角BAD がBAEに等しい ので、3 番目の辺BDはBEに等しくなります。しかし、辺BDとDCの和はBC より大きいので、DCはECより大きくなります。また、三角形 DACとEACは、それぞれ辺DAとACが他方の三角形の辺EAと ACに等しいですが、底辺DC がECより大きいので、角DACはEACより大きくなりますが、角DABはBAE (定数)に等しくなります 。したがって、角BADとDACの和は角BACより大きくなります。

命題XXI.—定理。​​​​​

任意の立体角（A）を形成するすべての平面角（BAC、CADなど）の合計は、4つの直角より小さい。

デモ. — 簡単にするために立体角が Aは 5 つの平面角BAC、CAD、DAE、EAF、FABで囲まれており、これらの角の平面が別の平面によって直線BC、CD、DE、EF、FBで切断されるとすると、[XI. x x . ] となります。

∠ABC + ABF​ より大きい FBC、

∠ ACB + ACD 、、 BCDなど
したがって、これらを足し合わせると、5つの三角形BAC、CADなどの底角の合計は、五角形BCDEFの内角の合計よりも大きくなります。つまり、6 直角よりも大きくなります。しかし、同じ三角形の底角の合計と、立体角Aを形成する 平面角BAC、CADなどの合計は、三角形BAC、CADなどの数の 2 倍の直角、つまり10 直角に等しくなります。したがって、立体角を形成する角の合計は4 直角よりも小さくなります。

注記。—この命題は、多角形の底辺BCDEFに凹角が含まれている場合、成り立たない可能性があります。

第11巻に関する練習問題。

1.三面角のどの面角も、他の2つの面角の補角の和より小さく、差より大きい。

2. n辺の正多角形の角度に等しい等しい平面角から立体角を形成することはできない。ただし 、n = 3、4 、または5の場合は例外である。

3.同一平面上にない2本の直線のうちの1本を通って、もう一方の直線に平行な平面を描きます。

4.同一平面上にない2つの直線に共通に垂線を引いて、それが2つの直線間の最短 距離であることを示しなさい。

5.四面体角のうち2つの平面角が等しい場合、これらの角の平面は 3つ目の角の平面に対して等しい角度で傾いており、その逆もまた同様である。三面体角のうち2つの平面が 3つ目の平面に対して等しい角度で傾いている場合、それらの平面に含まれる角は 等しい。

6. 3つの平面の交線は、平行であるか、または一点で交わる。
7. 3つの直角によって形成される三面体角Oと、辺上の点A 、B 、Cがある場合、三角形ABCの​​垂心は平面ABC上のOからの法線の足である。

8.三面体角O – ABCの頂点Oを通る直線OD をその角の内部に引くと、直線角DOA 、DOB 、DOCの和は、その三面体の面角の和より小さく、かつその和の半分より大きい。

9.三面体角O – ABCの辺上に3 つの等しい直線OA 、OB 、OCを取ると、これらのそれぞれは三角形ABCを中心とする円の半径よりも大きい。

10.三面体の3つの角が与えられたとき、平面作図によって、 その三面体を構成する平面間の角度を求めなさい。

11.平面P がゴーシュ四角形 (角の点が同一平面上にない四角形) ABCDの 4 辺を4 つの点a 、b 、c 、dで切断する場合、4 つの比の積は

Aa- Bb Cc- Dd- aB、bC、cD、dA

プラス1であり、逆に、積が

Aa Bb Cc Dd aB.bC-.cD-.dA-= +1、

点a 、b 、c 、dは同一平面上にある。

12.最後の演習で、交差する平面が四角形の任意の 2 辺に平行である場合、 残りの 2 辺を比例的に切断します。

定義x . —三面角 O — ABC の頂点Oにおいて、面OBC 、OCA 、OABにそれぞれ法線OA ′、OB ′、OC ′ を引き、OA ′が平面OBCのOAなどと同じ側になるようにすると、三面角O — A ′ B ′ C ′ は補角と呼ばれます。 三面 角O — ABCの。

13. O — A ′ B ′ C ′ がO — ABCの補角であるならば、O — ABCがO — A ′ B ′ C ′の補角であることを証明せよ。
14. 2つの三面角が補角である場合、一方の二面角は他方の対応する面角の補角となる。

15.与えられた点を通って、同一平面上にない2本の直線と交わる直角の直線を引きます。

16.与えられた直線に平行な直角の直線を引いて、その直線が同一平面上にない2本の直線と交わるようにします。

17.角AOBが与えられたとき、直線OPのOAおよびOBへの投影の合計が一定となるような空間のすべての点Pの軌跡は平面である。

付録。
角柱、角錐、円柱、球、円錐

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定義。

i．多面体​平面図形に囲まれた立体図形のことです。4つの平面図形に囲まれている場合は正四面体、6つの平面図形に囲まれている場合は正六面体と呼ばれます。8 で、 正八面体12 で、正十二面体20個で正二十面体。

i i。多面体の平面が等しく相似な直線図形である場合、それは正多面体と呼ばれます。

ピラミッドとは、 1 つの面を除くすべての面が 1 つの点で交わる多面体です。この点を頂点と呼び、反対側の面を底面と呼びます。

i v .プリズム​は、平行で互いに相似な直線図形である一対の面を持つ多面体であり、これらの面は端面と呼ばれます。その他の面は側面と呼ばれ、平行四辺形です。

v .端面が側面に垂直な角柱を直角柱といい、それ以外の角柱を斜角柱といいます。

v i .ピラミッドの高さは、頂点から底面に引いた垂線の長さであり、角柱の高さは、その両端間の垂線距離で ある。

vi i .平行六面体​は底面が平行四辺形である角柱です。平行六面体は明らかに六面体です。

viii 。立方体​​​​これは、すべての辺が正方形である直方体です。

i x。円筒​円柱とは、長方形をその一辺（軸と呼ばれる）を中心に回転させてできる立体図形である。円柱の両端にある円は、底面または端面と呼ばれる。

x．円錐​は、直角三角形の一方の脚（軸と呼ばれる）を中心に直角三角形を回転させた立体図形です。もう一方の脚は底面（円）を形成します。

x i。球体​球は、固定された直径を中心とする半円の回転によって描かれる立体です。球の中心は、生成半円の中心です 。球の中心を通り、両端が球面で終わる線は、直径と呼ばれます。

命題I.—定理。​​​​​

底面が等しく相似で 、高さが等しい直角柱（ABCDE – FGHIJ 、A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ – F ′ G ′ H ′ I ′ J ′）は等しい。​

証明：底面同士を重ね合わせると、それらは等しく相似な図形なので一致する。つまり、点AはA ′と、点BはB ′と、などと一致する。また、 AF はA ′ F ′と等しく、それぞれがそれぞれの底面に垂直なので、点FはF ′と一致する。同様に、点G、H、I、Jはそれぞれ点G ′、H ′、I ′、J ′と一致する。したがって、これらの角柱はあらゆる点で等しい 。

コリント1章—底面が等しく（EF、E′F ′ ）、高さも等しい直角柱は体積が等しい。

証明：底面は等しいが相似ではないので、そのうちの1つ EFをA、B、Cに分割し、他の底面と一致するように再配置したと仮定できます[I. x x x v . 、注]。また、 E′F ′上のプリズムは底面に垂直な平面によって同様に分割できるので、この命題は明らかです 。

コリント人への手紙2章—底面が等しい直角柱( X, Y )の体積は、その高さに比例する。

なぜなら、高さの比がm : nであれば、X は底面に平行な平面によって高さが等しいm 個の角柱に分割でき、これらのm 個の角柱はすべて等しくなるからである。同様に、Y はn 個の等しい角柱に分割できる。したがって、 X : Y :: m : nとなる。

コリント人への手紙3章—高さが等しい直角柱では、体積は底面積に比例します。これは、底を等しい大きさに分割し、体積がそれぞれの底の分割数、つまり面積に比例することを示すことで証明できます。

コリント人への手紙4章—直方体の体積は、その3つの寸法の連続積によって測定されます。

命題II.—定理。共通の底面 ( ABCD )を持ち、高さが等しい
平行六面体( ABCD – EFGH 、ABCD – MNOP )は等しい。

1 ∘。辺MNとEF が一直線上にあるとします。するとGHとOP も一直線上にあるはずです。EF = MN は、それぞれAB が等しいので成り立ちます。したがってME = NFです。したがって、角柱AEM – DHPとBFN – CGOは、三角形の底面AEMとBFN が 同一に等しく、高さも等しいので、等しいです。また、これらを立体全体から取り除くと、残りの平行六面体ABCD – EFGHと ABCD – MNOP は等しくなります。

2 °。辺EFとMN が異なる直線上にあるとします。次に、 ONとPMを延長して、直線EFとGHを延長した線と点J、K、L、Iで交わるようにします。すると 1 °により、 平行六面体ABCD – EFGHとABCD – MNOPはそれぞれ平行六面体ABCD – IJKLと等しくなります。したがって、これらは互いに等しくなります。

コーラン ―平行六面体の体積は、その底辺と高さの積に等しい。

命題III.—定理。平行六面体の対角面は、それを体積が等しい 2 つの角柱に分割する。

1 ∘ . 平行六面体が長方形の場合、命題は明らかです。

2 ∘ 。それが任意の平行六面体ABCD – EFGHである場合、対角線平面がそれを二等分します。

証明 —頂点A、Eを通って辺に垂直な平面を描き、それぞれI、J、K、L、M、Nで辺を切断します。すると [I. x x x i v . ] IL = BFとなります。なぜなら、それぞれがAEに等しいからです。したがって、IB = LFです。同様に、 JC = MGです。したがって、ピラミッドA – IJCB は位置以外すべてにおいて E – LMGFと一致します。したがって、体積も等しくなります。それぞれに立体ABC – LMEを加えると、角柱AIJ – ELMは角柱ABC – EFGに等しくなります。同様に、 AJK – EMN = ACD – EGHですが、(1 ° ) 角柱AIJ – ELM = AJK – EMNです。したがって、ABC – EFG = ACD – EGHです。したがって、対角線平面は平行六面体を二等分します 。

コリント人への手紙 1章 ― 三角柱の体積は、底辺と高さの積に等しい。なぜなら、三角柱は平行六面体の半分であり、平行六面体は底辺が2倍で高さが等しいからである。

コリント人への手紙2章—任意の角柱の体積は、その底辺と高さの積に等しい。なぜなら、角柱は三角形の角柱に分割できるからである。

命題IV.—定理。ピラミッド( O – ABCDE )を底面に平行な任意の平面 (abcde) で切断すると、その断面は底面
と相似になる。

証明 —平面AOB が平行な平面ABCDE、abcdeを切断するので、断面AB、abは平行です [XI. x v i . ] 同様にBC、bc も平行です。したがって、角ABC = abc [XI. x . ] です。同様に、多角形 ABCDEの残りの角は、 abcdeの対応する角と等しくなります。また、ab はABに平行なので、三角形ABO、abOは等角です。

したがって AB : BO :: ab : bO. [VI. i v . ]
同様に BO : BC :: bO : bc ;
したがって AB : BC :: ab : bc。 [ Ex æquali。】
同様に 紀元前 : CD :: bc : cd など。
したがって、多角形ABCDEとabcdeは等角多角形であり、等しい角を囲む辺の比は等しい。ゆえに、これらは相似である。

コリント1章—ピラミッドの辺と高さは、平行な平面によって同様に分割されます。

コリント人への手紙2章—平行な断面の面積は、その平面から頂点までの距離の2倍の比率になります。

コリント3章—2つのピラミッドにおいて、底面に平行な断面は、高さを同じ比率で分割し、底面に比例する。

命題V.—定理。高さ( PO 、po )と底面( ABCD 、 abc )が等しく面積 が等しい
ピラミッド( P – ABCD 、p – abc )は、体積が等しい。

証明 —体積が等しくない場合、大きい方の底面を abcとし、底面が等しく体積がそれらの差に等しい角柱の高さをoxとする。次に、等しい高さPO、po を、ピラミッドの底面に平行な平面によって、各部分がoxより小さくなるような等数に分割する。すると [ i v . Cor. 3] これらの平面によって作られる断面はそれぞれ等しくなる。ここで、これらの断面を底面とし、ピラミッドの高さの等分を高さとする角柱を製作し、P – ABCDの角柱を断面の下に、p – abcの角柱を断面の上に製作する。すると、 P – ABCDの角柱の合計はそのピラミッドより小さく、p – abc の断面上の角柱の合計はp – abcより大きいことが明らかである。したがって、ピラミッド間の差は、プリズムの合計の差、すなわちピラミッドp – abcの下側のプリズムの差よりも小さい。しかし、このプリズムの高さはox (定数)より小さい。ゆえに、ピラミッド間の差は、底辺が等しい底辺のいずれかに等しく、高さがoxに等しいプリズムよりも小さく、その差はこのプリズム (斜辺) に等しいが、これは不可能である。したがって、ピラミッドの体積は等しい。

コリント1章— 底面と高さが同じである三角錐E – ABCの体積は、角柱ABC – DEFの体積の3分の1である。

平面EAFを描くと、ピラミッドE – AFCとE – AFDは等しい底辺AFCとAFDを持ち、高さも共通であるため、等しい。また、ピラミッドE – ABCと F – ABCは等しい底辺と高さを持つため、等しい。したがって、ピラミッド E – ABCは、角柱を分割した3つの等しいピラミッドのうちの1つである。ゆえに、それは 角柱の3分の1である。

コリント人への手紙2章—すべてのピラミッドの体積は、 底辺と高さが等しい角柱の体積の3分の1である。

なぜなら、頂点を通る平面と底面の対角線によって、三角形のピラミッドに分割できるからである。

命題VI.—定理円柱の体積​​​​
底面積と 高さの積に等しい

。

証明― O を円の底面の中心とし、角AOB を 無限に小さくして、弧ABを直角とみなします。すると、底面に垂直で、底面を線OA、OBで切断する平面は、三角形AOBを底面とし、その高さが円柱の高さとなる三角柱の面になります。この三角柱の体積は、三角形AOBの面積に円柱の高さを掛けたものに等しくなります。したがって、円を基本三角形に分割すると、円柱はすべての三角柱の面積の合計に等しくなり、したがって その体積は底面の面積に 高さを掛けたものに等しくなります。

1. — rを円柱の半径、hを円柱の高さとすると、

円柱の体積 = πr²h。

コリント人への手紙2章—ABCDが長方形で、Xがその平面上の辺ABに平行な直線、Oが長方形の中点である場合、 ABCDをXの周りで回転してできる立体の体積は、 ABCDの面積にOが描く円の円周を掛けたものに等しい。

証明：線分ADとBCを延長して、点EとFでXと交わるようにします。長方形がXの周りを回転すると、長方形ABFEとDCFE は、底面が半径AEとDEの円であり、共通の高さがABである円柱を描きます。したがって、これらの円柱の体積の差は、底面の面積の差にABを掛けたものに等しくなります。つまり、= π ( AE 2 − DE 2 )です。 。AB 。したがって、 ABCDで表される体積は

= π。AB。( AE + DE )( AE − DE );
しかし AE + DE = 2 OG、 AE − DE = AD 。
したがって、長方形ABCDによって囲まれた体積

= 2π。OG。AB。AD。

= 長方形ABCDに、その中心点Oによって描かれる円の円周を掛けたもの。

考察。―この系は、グルディヌスの有名な定理の単純な例である。この定理の助けを借りて、 次の2つの系において、円錐と球の体積を求める独自の方法を示す。また、この定理は、通常 積分法によって解かれる他のいくつかの問題の解決にも同様に容易に適用できる。

コリント3章—円錐の体積は、 底面と高さが同じ円柱の体積の3分の1である。

証明—対角線がACである長方形ABCD を考えます。三角形ABC は円錐を描き、長方形はAB を中心として回転することで円柱を描きます。AC上に互いに無限に近づく2 点 E、Fを取り、AD、ABに平行な線を引いて2 つの長方形EH、EKを作ります。ここで、 O、O ′ をこれらの長方形の中点とすると、図形全体がAB を中心として回転するとき、 O ′で描かれる円の円周は最終的にOで描かれる円の円周の 2 倍になることが明らかです。また、平行四辺形EKはEHと等しいので [I. x l i i i .]、 EKで描かれる立体( Cor . 1 ) はEHで描かれる立体の 2 倍になります。したがって、ACを無数の等しい部分に分割し、EH、EKに対応する長方形を三角形 ABC、ADCに内接させると、三角形ADC内の長方形によって形成される立体の合計は、 三角形ABC内の長方形によって形成される立体の合計の2倍に等しくなります。つまり、円柱と円錐の差は円錐の2倍に等しくなります。したがって、円柱は円錐の3倍に等しくなります。

あるいは、円錐と円柱は、 底面と高さが同じピラミッドと角柱の極限的な場合とみなすことができる。そして、（コリント人への手紙2章）底面と高さが同じ角柱の体積の3分の1であるピラミッドの体積は、円錐の体積の3分の1である。

コリント人への手紙4章—rを円錐の底面の半径、hをその高さとする。

円錐の体積 = πr2h-.3

コリント人への手紙5章 ―球の体積 外接円柱の体積の3分の2である 。

証明—球を表す半円の直径を ABとし、円柱を表す長方形を ABCD とする。半円内で互いに無限に近づく2 点E、Fを取る。接線となるEFを結び、それを延長してABに垂直な直径PQと交わる点をNとする。Rを中心とする。RE を結び、 AB に平行な EG 、FH 、NL を描き、 PQに平行なEI 、 FKを描き、 LNと交わる点をMとLとする。O 、O ′ を長方形EH、 EKの中点とする。

長方形NG。GR = PG。GQ はそれぞれGE 2に等しいので、NG : GP :: GQ : GR、またはME : IE :: RP + RG : RGとなります 。ここで、点O、O ′で描かれる円の半径をそれぞれρ、ρ ′で表すと、最終的にρ = GR およびρ ′ = 1 2( RP + RG ) となります。したがって、ME : IE :: 2 ρ ′ : ρとなりますが、ME : IE :: rectangle EL : rectangle EK :: [I. x l i i i . ] EH : EKとなります。

∴ EH : EK :: 2 ρ ” : ρ ;
∴ 2πρ​。EH = 2(2 πρ ′。EK ) 。
したがって、 EHで表される立体は、EKで表される立体の2倍に等しい。ゆえに、前回のCor.と同様に、球の全体の体積は円柱と球の体積の差の2倍に等しいと推論できる。したがって、球は 円柱の3分の2である。

コリント6章—rを球の半径とすると、

体積 = 4πr³。3

命題VII.—定理。球の表面は​​
は、外接円筒の凸面に等しい 。

証明— AB を球を表す半円の直径とする。半円内で互いに無限に近くにある 2 点E、Fを取る。EFを結び、 ABに平行な接線CDと交わるように延長し、点Nとする。PQ に平行なEI、FK を引く。EI を延長し、 ABと交わるように点Gとする。Oを中心とする。OE を 結ぶ。

今私たちは FE : KI :: EN : [ VI. i i . ];
しかし EN : IN :: OE : EG、
三角形ENIと三角形OEGは相似であるため。

したがって FE : KI :: OE : EG ;
しかし OE = IG。
したがって、EF : IK :: IG : EGであり、IG : EG :: 点Iで描かれる円の円周: 点Eで描かれる円の円周である。したがって、 EFで囲まれた長方形と、 Eで描かれる円の円周は、 IKで囲まれた長方形と、 Iで描かれる円の円周 に等しい。つまり、球面の一部である。EFで表された部分は、 IKで表された円筒面の一部に等しい。したがって、直径ABに垂直な平面を描くと、それらの平面間の円筒面と球面の部分は等しいことが明らかである。したがって、球面全体は CDで表された円筒面に等しい 。

あるいは、球の表面全体を無限に多くの 等しい部分に分割すると考えると、それぞれの部分は 球の中心を共通の頂点とするピラミッドの底面とみなせることは明らかです。したがって、球の体積は 表面積全体に半径の3分の1を掛けたものに等しくなります。したがって、Sを表面積とすると、次 のようになります。

S ×r 3 = [ v i . 、コリント6] ;4πr3 -3–
したがって S = 4πr² 。​
つまり、球の表面積は、その球が囲む大円の面積の4倍に等しい。

演習。

1.円錐の凸面は、 底面の円周と母線の長さで囲まれた長方形の半分に等しい。

2.直円柱の凸面は、 底面の円周と高さによって囲まれた長方形に等しい。

3. P が三角錐O – ABCの底面ABC上の点であり、P を通る辺 OA、OB、OC に平行な線が面と点a 、b 、c で​​交わる場合、比率の合計は

P a Pb Pc OA-、OB、OC-= 1。

4.底面に平行な平面によって作られる円錐台の体積は、円錐台 の両端を底面とする3つの円錐と、直径が 両端の直径の比例平均であり、共通の高さが円錐台の高さの3分の1に等しい円の体積の合計に等しい 。

5.点P を四面体の角点A 、B 、C 、Dに結び、必要に応じて延長した線が対向する面a 、b 、c 、dと交わる場合、比率の合計は

Pa P b Pc Pd Aa、Bb、Cc、Dd-= 1。

6.球の表面積は、長方形の直径と 大円の円周を掛け合わせたものに等しい。

7.球の表面積は、その外接円柱の表面積の3分の2である。

8.四角柱の4つの対角線が一点で交わる場合、それは平行六面体である。

9.直円錐の母線の高さが底面の直径と等しい場合、その全表面積は 内接球の表面積に対して 9 : 4 となります。

10.三角錐の対向する2組の辺の中点は同一平面上にあり、 平行四辺形を形成する。

11.ピラミッドABCDの対向する面の頂点から下ろした4本の垂線が一点で交わる場合、

AB2 + CD2 = BC2 + AD2 = CA2 + BD2。

12.球を平面で切断すると、必ず円になる。

13.平行断面の中心の軌跡は球の直径である。

14.空間内の任意の数の直線が固定点を通る場合、 別の固定点からそれらの直線に下ろした垂線の足は等大気となる。

15.例4の性質をピラミッドに拡張する。

16.平面上の直線を中心に回転する円によって描かれる環の体積は、 円の面積に、その 中心によって描かれる円の円周を掛けたものに等しい。

17.正四面体の対向する2つの辺を二等分する平面は、その体積を二等分する。

18.正四面体の二面角を二等分する平面は一点で交わる。

19.正四面体の辺を垂直に二等分する平面は一点で交わる。

20.共通の立体角を持つ2つの三角錐の体積は、 その角度で終わる辺によって囲まれた長方形の体積に比例する。

21.正四面体の二面角を二等分する平面は、その対辺を、 その辺を含む面積に比例する部分に分割する。

22.球の体積：外接立方体の体積π : 6.

23.球のセグメントの高さをh 、半径をρ とすると、その体積は( h 2 + 3 ρ 2 ) です。 πh 6

24. 2 つの平行平面間の垂直距離をhとし、これらの平面が球を半径ρ 1、ρ 2の断面に切断する場合、円錐台の体積は{ h 2 + 3( ρ 1 2 + ρ 2 2 ) }です。 πh 6-

25.半径がRの球の中心から点Pまでの距離をδとすると、点Pを通る 3 つの長方形の弦の 6 つのセグメントの二乗の合計は、6 R 2 − 2 δ 2となります。

26.球の体積：内接立方体の体積はπ : 2 です。

27. O – ABC が正四面体であり、その角AOB 、BOC 、COAが直角である場合、三角形ABCの面積の二乗は、他の 3 つの三角形の面の面積の二乗の合計に等しい。

28.同様に、p を面ABC上のOからの垂線とすると、

12 =-1-2 +-12-+ -12。 p OA OB OC

29. h を宇宙飛行士の高さ、R を地球の半径とすると、見える表面の範囲はです。 2πR2h R-+-h

30.ゴーシュ四角形の4辺が球に接する場合、接点は 同一円周上にある。

注記。

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注A。

平行線の現代理論。

平面上には、無限遠線と呼ばれる特別な直線が1本存在する。平面上の他の直線が無限遠線と交わる点を、その直線上の 無限遠点と呼ぶ。直線上の他の点はすべて有限点と呼ばれる。平面上の2本の直線が無限遠線と同じ点で交わる場合、それらは同じ方向を持つと言われ、異なる点で交わる場合、それらは異なる方向を持つと言われる。同じ方向を持つ2本の直線は、いかなる有限点でも交わることはなく[I.公理x ] 、平行である。異なる方向を持つ2本の直線は、延長すると無限遠線と異なる点で交わるため、必ず何らかの有限点で交わる。これは幾何学における基本的な概念であり、自明であり、公理として仮定することができる。 （公理に関する考察、第 1 巻を参照。）したがって、次の一般的な命題を推論できます。「同一平面上の任意の 2 つの直線は、その平面上のどこかの点で交わらなければならない。すなわち、（1）直線が同じ方向を向いている場合は無限遠で、（2）直線が異なる方向を向いている場合は有限の点で交わる。」—ポンセレットを参照。 射影の固有性、52 ページ。

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注B。

伝説とハミルトンのユークリッドの証明、I . xxx 2 。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​​​​​

「三角形の3つの角の和は2つの 直角に等しい」という命題の発見はピタゴラスに帰せられる。近代まで、 平行線理論とは独立したこの命題の証明は知られていなかった。本稿では、平行線理論とは独立した2つの証明を示す 。これらは、近代における2人の偉大な数学者、すなわち 楕円関数理論の創始者と 四元数計算の発見者によるものである。

ルジェンドレの証明。​​​​​​​​​​​​— ABC を三角形とし、その辺ACが最大とする。BCをDで二等分する。AD を結ぶ。するとADはACより小さい[I. x i x . Ex. 5]。次に、辺AC ′ = 2 AD 、AB ′ = ACとなる新しい三角形AB ′ C ′を作成する。再び、B ′ C ′ を D ′ で二等分し、AC ′ ′ = 2 AD ′ 、AB ′′ = AC ′ となる別の三角形AB ′ ′ C ′ ′を形成する。など。(1) 三角形ABCの角の和 = AB ′ C ′の角の和[I. x v i . Cor. 1] = AB ′′ C ′′の角の和= AB ′′′ C ′′′の角の和など。(2) 角B ′ AC ′はBAC の半分より小さい。角B ′′ AC ′′はB ′ AC ′ の半分より小さく、以下同様です。したがって、角B ( n ) A ( n )は最終的に無限に小さくなります。(3) この系列の任意の三角形の底角の和は、前の三角形の角に等しくなります ( Dem. I. x viを参照) 。したがって、添付の図が三角形AB ( n +1) C ( n +1)を表している場合、底角AとC ( n +1)の和は

角B ( n ) C ( n )に等しく、 n が無限大になるとこの角は無限小になります。したがって、点B ( n +1)は最終的に直線AC上にあり、角AB ( n +1) C ( n +1)は直線角 [I.定義x . ]になります。つまり、2 つの直角に等しくなります。しかし、 AB ( n +1) C ( n +1)の角の合計は角ABCの合計に等しくなります。したがって、 ABCの 3 つの角の合計は2 つの直角に等しくなります。

ハミルトンの​​​​​​​​ 四元証明。 — ABC を三角形とする。BAをDまで延長し、AD を AC に等しくする。CBをEまで延長し、 BEをBDに等しくする。最後に、AC を F まで延長し、CFをCEに等しくする。このようにして形成された外角をA ′ 、B ′ 、C ′と表す。次に、角A ′の辺AC を、点Aを中心に角A ′で回転させる。すると、点CはDと一致する。再び、角B ′の辺BD を、点Bを中心に角B ′で回転させ、 BD がBEと一致するまで回転させる。すると、点DはEと一致する。最後に、CE をCを中心に角C ′で回転させ、 CE がCFと一致、点EがFと一致するまで回転させる。さて、これらの回転によって点Cが順に位置D 、E 、Fに移動したことは明らかです。したがって、線FCに沿った単なる並進運動によって、線CA を元の位置に戻すことができます。したがって、回転は並進とは無関係であるため、3 つの回転の量は点Aの周りの完全な 1 回転に等しくなります。したがって、A ′ + B ′ + C ′ = 4 つの直角になります。しかし

A + A ′ + B + B ′ + C + C ′ = 6 つの直角 [I. x i i i . ] ;
したがって A + B + C ＝ 2つの直角。
考察。―前述の証明は、この有名な命題についてこれまで示された中で最も初歩的なものです。私はそれを最も単純な形にまで簡略化し、 四元数の概念を一切用いていません。同じ証明方法によって、任意の凸直線図形の外角の和は4つの直角に等しいという、より一般的な命題も証明できます。

アボット氏f.t.c.d.は、このデモンストレーションは最初にプレイフェアによって行われたと私に知らせた。 1826年に 発表されたため、ハミルトンの証明は先取りされていた。この証明を 球面三角形にそのまま適用すると、角度の合計が2つの 直角になるという結論に至り、それが誤りであるため、この方法は有効ではないという理由で反対されている。少し考えれば、 ケースが異なることがわかる。本文中の証明では、3つの回転運動があり、 それぞれで点が円弧を描き、続いて平行移動運動があり、同じ点が 直角を描き、元の位置に戻る。球面上では、これらに対応する3つの回転運動があり、それぞれで点が円弧を描き、続いて球の中心を中心とした回転運動があり、その際に点は大円弧を描いて元の位置に戻るはずである。したがって、平面三角形の証明は球面三角形には適用できない。

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注C。

17 辺の正多角形を円に内接させる。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

解析。— A を角点の 1 つ、AO を直径、A 1、A 2、 … 、 A 8 をAOの一方の側の頂点とする 。OA 3 を M まで、OA 2 を P まで延長し、A 3 M = OA 5、A 2 P = OA 8 とする。再び、A 6 N = OA 7、A 1 Q = OA 4を切り取る。最後に、OR = ON 、OS = OQを切り取る。すると、[ IV .例40]が得られる。

ρ 1 ρ 4 = R ( ρ 3 + ρ 5 ) = R。OM、
ρ 2 ρ 8 = R ( ρ 6 − ρ 7 ) = R。の上;
しかし ρ 1 ρ 2 ρ 4 ρ 8 = R4​ [IV.例34] ;
したがって OM。オン= R2​ （１）
同様に、 OP。OQ = R2​ （２）

また、 OM。の上 = ( ρ 3 + ρ 5 )( ρ 6 − ρ 7 )
= ρ 3 ρ 6 + ρ 5 ρ 6 − ρ 3 ρ 7 − ρ 5 ρ 7
= R ( ρ 3 − ρ 8 ) + R ( ρ 1 − ρ 6 ) − R ( ρ 2 − ρ 7 ) − R ( ρ 2 − ρ 5 ) [IV.元。40] 。
= R ( OM − ON − OP + OQ ) = R ( MR − PS ) :
MR − PS = R。
また、 氏。PS = ( OM − ON )( OP − OQ )
= ( ρ 3 + ρ 5 − ρ 6 + ρ 7 )( ρ 2 + ρ 8 − ρ 1 + ρ 4 );
乗算と代入を実行すると、次のようになります。

4R(OM − ON − OP + OQ)= 4R2。

したがって、長方形と直線MRとPSの差が与えられているので、それぞれが与えられます。したがって MRが与えられます。しかし、MR = OM − ONなので、OM − ONが与えられます。そして、長方形OMが与えられていることが証明されました。 。ON = R 2であるため、OMとONはそれぞれ与えられます。同様に、OPとOQもそれぞれ与えられます 。

また、

ρ6.ρ7 = R(ρ1− ρ4)= R.OQ、および ρ6− ρ7 = ON。

したがって、OQとONがそれぞれ与えられているので、ρ6と ρ7もそれぞれ与えられます。そのため、これらの弦を描くことができ、それらの両端間の弧A6A7が与えられます。つまり、円周の17分の1が与えられます。したがって、問題は解決します。

上記の分析はアンペアによるものです。 カタルーニャ語を参照​​​​、問題と問題の解決策。​​ Amper eのソリューションを要約して簡略化しました。

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注D。

与えられた2つの線の間の2つの平均比率 を見つける。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

2つの比例中項を求める問題は、 古代人がそれに重きを置いていたことから、幾何学において最も有名な問題の一つです。直線と円では解けません が、円錐曲線を使えば非常に簡単に解けます。以下は、定規 とコンパスを用いた機械的な作図です。

解答：両端の辺ABとBCを互いに直角に配置し、長方形 ABCDを完成させ、その周囲に円を描きます。DAとDCを延長し、目盛りの付いた定規を点Bの周りで回転させ、BEがGFと等しくなるように調整します。すると、 AFとCEはABとBCの間の2つの比例中項となります。

証明— BE はGFと等しいので、長方形BE は。GE = BF。GF 。したがって DE。CE = DF。AF ; したがってDE : DF :: AF : CE ; また相似三角形により、AB : AF :: DE : DF 、および CE : CB :: DE : DF 。したがってAB : AF :: AF : CE ; およびAF : CE :: CE : CB 。したがってAB 、AF 、 CE 、CBは連続比例です。したがって [VI.定義i v . ] AF 、CEはABとBCの間の2 つの中項比例です。

前述の優雅な構成は、ビザンチンの古代幾何学者フィロによるものです。DGを結ぶと、 EFに垂直になります。線EFはフィロの線と呼ばれ、固定線DEとDFの間の点Bを通る最短線であるという注目すべき性質を持っています。

ニュートンの建設。​​​​​​​​​​​​​​​​​—与えられた 2 つの直線ABとL のうち、 ABの方が長いとする。ABをCで二等分する。Aを中心とし、ACを半径とする円を描き、その円の中に、2 番目の直線Lに等しい長さの弦CD を配置する。BD を結び、A を通る直線を試行錯誤して引く。この直線はBDとCDを延長した直線と交わり、その交点が円の半径に等しくなる。DEとFAは比例中項である。 必須。

民主党— ADに加わる。直線BF が△ ACEの辺を横切るので、

AB。CD。EF = CB。DE。FA ; ただしEF = CB ;
したがって AB。CD = DE。FA、または= 。 CD-DE FA-AB
また、△ ACDは二等辺三角形なので、

ED。EC = EA 2 − AC 2 = ( FA + AC ) 2 − AC 2
= 2 FA。AC + FA 2 = FA。AB + FA 2。
したがって、 ED ( ED + CD ) = FA ( AB + FA )、
または DE 2( ) 1 + CD DE = FA。ABなので（ ）1+AF-AB、 DE 2 = FA
。AB 、そしてABがあります。CD = DE。FA 。
したがって、 AB 、DE 、FA 、CDは連続比例の関係にある 。

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注記 E.

フィロの線上 。​​​​​​​​​​

私はガルブレイス教授に感謝しています フィロの線分の最小性質の証明は以下の通りであるこれは故マック・カラ教授のおかげです。:— AC 、CB を与えられた 2 つの直線、E を固定点、CD をABに垂線とする。AEがDBに等しい場合、AB が最小であることを証明する必要がある。

証明— Eを通ってEM をBCに平行に引きます。EN = EMにします。EP = AB になるまでABを延長します。点N 、P を通ってNT 、RP をそれぞれACに平行に引き、Pを通ってPQ をBCに平行に引きます。図から平行四辺形QR が平行四辺形MFに等しいことが容易にわかり、したがって与えられています。Pを通ってST をEPに垂直に引きます。AE = DBなので、BP はDBに等しく、したがってPS = CDです。また、OP = ADなので、PT はCDに等しく、したがってPS = PTです。したがって、QRは三角形SV Tの中で最大の平行四辺形です。

また、点Eを通る別の直線A ′ Bを引き、点P ′まで延長してEP ′ = AP ′とすると、点P ′ はST の外側に位置しなければなりません。なぜなら、 QRに対応する平行四辺形Q ′ R ′はMFと等しくなり、したがってQRと等しくなるからです。したがって、直線EP ′はEPより大きく、つまりA ′ B ′はABより大きくなります。したがって、ABは最小値です。

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注記F。

角度の 三分割について。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

角度を三等分する以下の機械的な方法は、数年前に思いついたものです。 この問題自体が興味深いだけでなく、学生にとって幾何学的な 演習としても価値があります。

与えられた角ACB を三等分する。

解答— CD をCAに垂直に立てます。角BCD をCGで二等分し、角ECI を直角の半分にします。CIがCBとCAの間にあることは明らかです。次に、連結定規（つまり、支点で接続された 2 つの同じ長さの定規）を使用し、CB をこれらの定規の 1 つの長さに等しくし、Cを中心、CB を半径として円BAMを描き、CIとの交点をIとします。I で接線IG を引き、CGとの交点をGとします。

次に、ICG は半直角であり、CIGは直角なので、IGCは半直角です。したがって、 ICは IGに等しくなります。しかし、IC はCBに等しいので、 IG = CBとなります。これは、 2 つの等しい定規のうちの 1 つの長さに等しくなります。したがって、定規を直角に開き、支点がIにあり、一方の端がCに、もう一方の端がGにあるように配置すると、点B が2 つの定規の間にあることは明らかです。次に、 Cの端を固定したまま、もう一方の端を線GFに沿って移動させ、2 番目の定規の端がBを通過するようにします。支点が円周に沿って移動することは明らかです。このとき定規の位置をCH 、HFとします。線CHを描きます。角ACHはACBの 3 分の 1 です。

証明— BC をMまで延長します。HM を結びます。BOを BM に対して直角に立てます。すると、CH = HF なので、角HCF = HFC 、角DCE = ECB (定数) となります。したがって、角HCD = HBC [I. x x x i i . ] となり、直角ACDとCBO は等しくなります。したがって、角ACHはHBOに等しくなります。つまり [III. x x x i i . ]、 HMBに等しく、角HCB の半分になります。したがって、ACHはACBの 3 分の 1です。

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注記G。

円の四角形上に 。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

現代の数学者は、円周と直径の比を 記号πで表します。したがって、半径をrとすると、円周は2πrになります。また、円の面積[VI. x x .例15] は円周と半径で囲まれた長方形の半分に等しいので、面積はπr 2になります。したがって、面積がわかればπの値がわかれば、 πの値がわかれば、面積がわかります。このため、 πの値の決定は「円の求積問題」と呼ばれ、数学で最も有名な問題の一つです。現在では、 πの値は比較不可能、つまり、 2 つの整数の比として表すことができないため、近似的にしか求めることができないことが知られています。しかし、平方根を求める際に必要なだけ小数点以下の桁数まで進めることができるのと同様に、近似値は好きなだけ進めることができます。πの最も単純な近似値はアルキメデスによって発見され、22 : 7 です。この値は十分に正確であり、非常に高い精度が要求される場合を除き、通常の計算で使用されます。昇順で次に大きいのは、ヴィエタによって発見された 355 : 113 で、小数点以下 6 桁まで正確です。これは、初等教科書に記載されている比率 3 . 1416 : 1とほとんど違いがありません。

πの値を計算するには、高度な数学に基づいたいくつかの迅速な方法が知られています。以下は、この重要な定数を決定するための非常に単純な初等的な方法の概要です。これは、第 6 章、例 87 からすぐに推論される定理、すなわち「aとA が、円に内接および外接する同じ辺の数の任意の 2 つの多角形の面積の逆数を表す場合、 a ′とA ′は、その 2 倍の数の多角形に対応する量であり、a ′はaとAの幾何平均であり、A ′はa ′とAの算術平均である。」に基づいています。したがって、 aとA がわかっている場合、算術平均と幾何平均を求めるプロセスによって、 a ′とA ′を求めることができます。同様に、a ′とA ′から、a ′とA ′の関係にあるa ′ ′とA ′ ′を求めることができます。したがって、この方法で進めて、達成したい精度の度合いと同じ桁数で一致する値a ( n )、A ( n )に到達します。円の面積はa ( n )とA ( n )の逆数の中間にあるため、円の面積は必要な近似度で求めることができます。

簡略化のために円の半径を1とし、内接正方形 と外接正方形から始めると、次のようになる。

a = .5、A =.25。 a′ = .3535533、A′ =.3017766。 ′′ ′′ a = .3264853、A =.3141315。

これらの数値は次のように求められます。a ′はaとAの幾何平均、つまり. 5と. 25 の間であり、A ′はa ′とAの算術平均、つまり. 3535533 と. 25 の間です。同様に、a ′′はa ′とA ′の幾何平均であり、A ′′はa ′′とA ′の算術平均です。このように進めると、a (13) = . 3183099、A (13) = . 3183099 となります。したがって、半径 1 の円の面積は、小数点以下 7 桁まで正確には. 3183099 の逆数、つまり3 . 1415926 に等しく、 πの値は小数点以下 7 桁まで正確には 3 です。1415926.数πは幾何学において非常に重要な基礎数であるため、数学者たちはその計算に多大な注意を払ってきた。イギリスの計算機であるシャンクス氏は、 707桁の小数点以下まで計算を行った。以下は、彼の計算結果の最初の36桁である。

3.141,592,653,589,793,238,462,643,383,279,502,884.

この結果は、数学のあらゆる要求をはるかに超えている。小数点以下10桁で 地球の円周をインチの分数まで正確に表すことができ、小数点以下30桁で 可視宇宙全体の円周を最も強力な顕微鏡でも知覚できないほどの精度で表すことができる 。

結論。

前述の論文では、点、線、円、およびこれらの組み合わせによって形成される図形の初等幾何学について述べました。しかし、点と線は円とは区別されるものではなく、円の極限的な場合であり、点と平面は球の極限的な場合であることを、学生は留意しておくことが重要です。したがって、半径がゼロに近づく円は点になります。逆に、円を連続的に拡大していくと、曲率を非常に小さくすることができ、円周のどの部分でも直線から任意の程度だけずれさせることができ、半径が無限大になると直線になります。これは、円周ではなく中心が無限大に近づく場合に起こります。

終わり。

第三版、改訂増補版—3/6、布装。

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続編

へ

ユークリッド原論の最初の6巻。

による

ジョン・ケーシー、法学博士、王立協会フェロー

アイルランド王立大学フェロー、アイルランド王立アカデミー副会長 など。

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ダブリン：Hodges, Figgis, & Co. ロンドン：Longmans, Green, & Co.

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批評記事からの抜粋。

「自然」、1884年4月17日。

「私たちは本書の以前の2つの版（『ネイチャー』第24巻52ページ、第26巻219ページ）を拝見しており、本書に対する私たちの好意的な評価が、教師や学生全般によってこれほど説得力をもって支持されていることを嬉しく思います。この版の目新しさは、追加の命題と演習の補遺です。これには、偽位置法、四角形の作図法を用いて3つの与えられた円に接する円を求める洗練された方法、そして教科書としては初めてとなるブロカール円、三重比、そして（著者がコサイン円と呼ぶことを提案している）円についての完全な解説が含まれています。ケーシー博士はこれらの円の多くの性質をまとめ、いつものように、彼自身の美しい結果をいくつか追加しています。彼は円をイギリスの学生に紹介する上で素晴らしい貢献をしました。…私たちは、この版が以前の版と同じくらい受け入れられることを願うばかりです。本書はもっと高く評価されるべきです。」受け入れ。

数学雑誌、ペンシルベニア州エリー。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

「アイルランド・カトリック大学の高等数学および数理物理学の著名な教授であるケーシー博士は、独学のトーマス・シンプソン 以来、どの教科書よりも多くの幾何学の珠玉の内容を詰め込んだ、他に類を見ない著書『ユークリッド幾何学の最初の六巻の続編』の第2版を刊行しました。本書に収められた現代幾何学の原理は、現在の科学水準において、純粋数学、応用数学、そして数理物理学において不可欠なものであり、学生がこれらに早期に親しむことが重要です。」

本書は16の章に分かれており、そのうち11の章は 幾何学的推論と研究の極めて優れた例を示しています。これらは 体系的な学習方法の非常に優れたモデルとなるでしょう。残りの5つの章には、261の厳選された問題が収録されています。熱心な学生は 、純粋幾何学と応用幾何学という広大な分野でほぼ毎日行われている驚くべき発展に追いつくために必要なすべてを見つけることができるでしょう 。152ページと153ページには、有名なマルファッティの問題の優雅な解法が掲載されています。

「掲載スペースに限りがあるため、『輝けるセラフィムの真理』を愛するすべての方々、そして 『数学雑誌』の読者の皆様には、この貴重な書籍を速やかに入手されることを強くお勧めいたします。」

校長先生。​​​​​​​​​​​​​

「本書には、ユークリッド幾何学には記載されていない、 数学を学ぶすべての学生にとって必須となる多くの基本的な幾何学的命題が収められています。例えば、三角形の重心の位置を決定する際に必要な、三角形の3 辺の二等分線が一点で交わるという命題、実用幾何学や力学で必要とされる円に関する命題、相似中心の性質、そして特定の電気的な問題で非常に役立つ反転と相互変換の理論などが挙げられます。証明は常に簡潔で、多くの場合、非常に優雅です。」

エデュケーショナル・タイムズ。​​​​​​​​​​​​​​

「現代幾何学へのこれほど優れた入門書、あるいは ユークリッドによって記されていないものの、 高等数学の研究に進むことを志すすべての学生にとって絶対に不可欠な初歩的な命題をこれほど豊富に集めた書は、他に類を見ない。 本書の文体と全体的な構成は、まさにダブリン大学出版局 シリーズにふさわしいものである。」

学校の保護者。​​​​​​​​​​​​​

本書はよく練られた、非常に有用な著作である。 ユークリッド幾何学の最初の6巻の命題を補足する命題と、各章の後に続く綿密に構成された演習問題から成り立っている。本書の半分以上はユークリッド幾何学の第6巻に割かれており、「 反転理論」と「極と極座標」に関する章は特に優れている。本書の手法は 、古来の幾何学と現代幾何学の手法を巧みに融合させており、本書の内容を十分に理解した学生は、物理科学のあらゆる分野を学ぶ上で必要となる幾何学的知識を十分に身につけることができるだろう。

実践教師。​​​​​​​​​​​​​​​​​

「ケーシー教授の目的は、 現代幾何学においてしばしば言及されるものの、いまだどこにも具体化されていない命題を、妥当な範囲で全て集めることであった。…我々は 本書の内容に惜しみなく最高の賛辞を送ることができる。ほとんどの場合、証明は 驚くほど簡潔である。…第六巻の注釈は最も満足のいくものである。フォイエルバッハの定理 （9点円が内接円と外接円に接する）には2つか3つの証明が与えられており、いずれも 優雅である。ハート博士によるその拡張は極めてよく証明されている。…我々は 、これらの（マルファッティの問題と ミケルの定理）および同様に複雑な問題、かつて 解析学の強力な武器を用いても取り組むことを躊躇していた問題の証明が、純粋幾何学によって容易かつ見事に達成されたと言えば、本書に対する十分な称賛を与えたことになるだろう 。」

「本書が最小限の紙面の中でいかに素晴らしい成果を上げたかを示した以上、これ 以上述べる必要はほとんどないだろう。著者はこの分野においてほぼ唯一無二の存在であり、今のところ ライバルを恐れる必要はほとんどない。」

アカデミー。​​​​​​​​​

「ケーシー博士は優れた幾何学者であり、この小冊子は彼の名声にふさわしいものです。 高等教育機関での使用に非常に適しています。 シャーレス、サーモン、タウンゼントといった巨匠たちの著作への良い入門書となるでしょう。本文と多数の例題が収録されています。」

『教育ジャーナル』​​​​​​​​​​​​​​​​​​

「ケーシー博士の『ユークリッド幾何学続編』は 、ユークリッド幾何学を完全に習得し、幾何学的推論への真の興味を身につけた学生にとって、非常に価値のある著作となるでしょう。… 本書の大部分を占める、より高度な純粋幾何学的証明法は 素晴らしいものであり、命題は概して非常に分かりやすく提示されており、 上級学生にとっては入念な読解に十分な価値があるでしょう。」

序文。

ケーシー博士には、彼の著書『ユークリッド原論』の演習問題の解答集を出版してほしいという依頼 が頻繁に寄せられていましたが、教授としての職務やその他の仕事でほとんど時間が取れなかったため、私が博士の指導のもと、その作成に着手しました。すべての解答は出版前に博士によって精査・承認されたため、この著作は事実上博士の作品と言えるでしょう。

この練習問題は、 彼と故タウンゼント教授（s.f.t.c.d.）が共同で選定したもので、これまでに出版された中でも最も優れたコレクションの一つです 。

ジョセフ・B・ケーシー

86 、サウスサーキュラーロード、​​​​​​​​​​​​​
1886年12月23日。

価格4/6、送料無料。

最初の6冊

の

ユークリッドの要素、

豊富な注釈と多数の練習問題付き。

による

ジョン・ケーシー、法学博士、王立協会フェロー

アイルランド王立大学フェロー、アイルランド王立アカデミー副会長 など。

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ダブリン：Hodges, Figgis, & Co. ロンドン：Longmans, Green, & Co.

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作品に対する意見。

以下は、ケーシー博士がこの研究に関して受け取った意見の一部です。

「教師は、数多くの『ユークリッド』の中からどれを学習者に勧めるべきかと尋ねられたときに、もはや困惑する必要はありません。ケーシー博士の著書は、おそらく他のすべての著書に取って代わるでしょう。」 —ダブリン・イブニング・メール 。

「ケーシー博士の著作は、私たちがこれまで見てきた初等幾何学に関する最も優れた、そして最も完全な論文の一つです。 いくつかの命題に対する注釈は、特に学生にとって非常に価値があります。」—ノーザン・ ウィッグ紙。

「ケーシー博士は長年にわたり教師として成功を収めており、その経験から、彼が引き受けた任務にまさに適任であると言えるでしょう。… これはこれまで一般に提供されてきたユークリッドの最高の版であると、私たちはためらうことなく断言できます。」—フリーマンズ・ジャーナル

R.タウンゼント牧師、FTCDなどより。​​​​​​​​

「あなたの作品がアイルランドのすべての学校で 即座に広く受け入れられ、イングランドでもそう遠くないうちに受け入れられることを、私は全く疑っていません。」

ジョージ・フランシス・フィッツジェラルド氏（FTCD ）より​​​​​​​​​​​​​​

「あなたのユークリッドに関する研究は素晴らしいもので、多くの点で従来の研究を大きく凌駕しています。学生たちに 、命題の無数のバリエーションや、命題からの単純な演繹法に目を向けさせるのは、実に素晴らしいことです。 ……私としては、ユークリッドの原典をそのまま複製するのではなく、何らかの修正を加えた方が良かったのですが、おそらく誰も賛成してくれないでしょう。」

HJ Cooke氏、The Academy、Banbridgeより。

「その明瞭さ、簡潔さ、そして多様なデモンストレーションにおいて、本書はこれまでに出版されたどの教科書よりもはるかに優れており 、演習問題も申し分ない出来栄えである。」

ジェームズ・A・プール（ MA ）、ダブリン、ハーコート・ストリート29番地より。

「この研究は、アイルランドの学者たちが、イギリスの学校の校長でさえも自校に導入する義務を感じるような教科書を作成できることを証明している。」

リーボディ教授（マギー・カレッジ、ロンドンデリー）より。​​​​​

「私が時間をかけて検討した限りでは、本書は 初等幾何学の教科書に非常に価値のある追加資料であり、『ユークリッド幾何学続編』への最適な入門書であると思われます。『ユークリッド幾何学続編』は、 授業で教えるのに素晴らしい本だと感じています。」

ノース・ロンドン・カレッジエイト・スクール・フォー・ガールズの校長、ブライアント夫人（ FCP ）より。

「この著作を、現在ここで流行している、はるかに洗練されていない教科書の代替として心から歓迎します 。私は既にいくつかの授業でこの著作を使い始めていますが、各命題の後に練習問題が配置されている構成が 非常に効果的だと感じています。」

ブラックロックのフレンチカレッジのJ.E.レフェ牧師より。

「きっと近いうちに第二版を準備せざるを得なくなるでしょう。 ユークリッド原典をさらに50部注文しました（これでフランス学院用に250部になります）。ここの学生たちは皆、この本を気に入っています 。」

ノッティンガム・ガーディアン紙より。​​​​​​​​​​​​​​

ジョン・ケーシー博士による『ユークリッド原論』第1巻から第6巻までの校訂版は、特に有用で 優れた著作である。…例題や演習問題は非常に豊富で、細心の注意を払って選定されている。ケーシー博士は 、現代幾何学の発展に適合したユークリッド原論の校訂版を準備することで、教師たちに疑いなく貢献した 。

リーズ・マーキュリーより。​​​​​​​​​

「問題の解法は簡潔かつ明快なスタイルで書かれており、 学生が問題を習得する上で大いに役立つでしょう。…各命題の最後には 、それに関する試験問題と、その根拠となる推論や他の命題が示されており、学生はそれによって、 関連する原理を完全に理解しているかどうかをすぐに確認することができます。…ケーシー博士は、 学生を直面するであろう困難にすぐに向き合わせ、 段階的に解決できるよう訓練します。」

実習教師より。​​​​​​​​​​​​​​

序文には、本書は「現代の教師たちが強く求めているもの、すなわち、比類のない原典を完全な形で提供しつつ、 要素が及ぶ幾何学の分野における現代的な概念や発展も包含する作品を生み出すこと」を満たすことを目的としていると記されている。

本書は、謳い文句通りの内容であり、それ以上のものです。…本書で提示されている命題は、 非常に重要な応用が見込まれるものであり、証明方法は簡潔かつ 洗練されています。これほど簡潔な内容で、これほど価値のある成果を学生にもたらす書籍は他に知りません 。

「本書に収録されている演習問題は、根気強く学習すれば必ず報われるものであり、解答が掲載されている問題については、 他の問題の解法を示唆するヒントが得られるでしょう。 幾何学の良質な演習問題を求めている方は、ぜひ本書を入手し、ご 自身で学習されることをお勧めします。」

エデュケーショナル・タイムズより。​​​​​​​​​​​

編集者は、本書に加えた変更のいくつかに大変満足している。 各命題の一般論と個別論を一つにまとめたのは良い点であり、 ユークリッド幾何学によく見られる繰り返しを省略して証明を短縮したのも改善点である。 証明済みの定理の対偶を用いる手法は、背理法に代えて効果的に導入されている。 また、代替（あるいは場合によっては置換）証明が数多く用意されており、その多くは 優雅であるだけでなく、非常に示唆に富んでいる。巻末の注釈は非常に 興味深く、内容の多くは容易に理解できるものではない。 約800問に及ぶ演習問題集も、本書を教師にとって魅力的なものにする要素の一つである。要するに、 本書はすべての幾何学教師が読むべきものであり、 本書を読めば必ず貴重な情報と、さらに貴重な示唆を得られると断言できる 。

『教育ジャーナル』1883年9 月1日号より。​​​​​​​

命題の本文において、著者はごくわずかな例外を除いて、 ユークリッドの証明の本質に忠実に従っているが、時折見られる冗長な表現や繰り返しに盲目的に従うことはしていない 。命題の中で括弧付きの文字を用いることで 、二度目または特定の命題を示す必要がなくなり、何ら害はない。他の証明のヒントは、 命題の末尾に小さな活字でしばしば示され、必要に応じて短い説明が添えられている。 定義にも注意深く注釈が付けられている。比例の理論（第5巻）は代数 形式で記述されている。この巻は、ギリシャの数学的論理の極めて精緻な例であると常に思われてきた が、少し代数を用いることで主題をはるかに単純かつ簡潔にすることができ、 当然ながら、より難しい方法はより簡単な方法に取って代わられた。学校では研究されておらず、ケンブリッジ大学のトライポスでも出題されない。数年前までは、 大学の試験の一つでまだ残っていた。 セント・ジョンズ大学出版局の著作ですが、そこに根付いていた改革精神が 今もなお残っているかどうかは分かりません。本書には、多数の 付随問題と独立した幾何学問題が収録されています。これらのうち、比較的簡単な 問題は、関連する命題と直接結び付けられており、より難しい問題は 各巻末にまとめて掲載されています。本書には、これらの問題の一部が解答されており、 その中には、よく知られた定理、垂心の性質、九点円の性質などが含まれています 。あらゆる点で、このユークリッド版は称賛に値します。また、 本書をご利用になるすべての方に、同じ著者の 『ユークリッド続編』をお読みいただき、より現代的な幾何学に関する優れた解説をご覧いただきたいと願っております。

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準備完了、価格6シリング。

ユークリッド原論の演習問題解答。

プロジェクト・グーテンベルグ版で修正された誤植​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

p. ??。「D e f . vi i i .—直線が交差するとき…」は原文では「D e f . vi i 」に修正されている。

p. ?? . 12 原文では「平行四辺形を二等分する」となっているが、他の出現箇所すべてに合わせて「平行四辺形」に修正した。

p. ??。「△ ACHは長方形ACの半分です」。原文では「AH (I. Cor. 1)」となっています。これは現在の本の提案 I を参照していますが、番号が間違っており、正しくは ( i . Cor. 2 ) です。

p. ??。「平行四辺形CMはDEに等しい[I. x l i i i ., Cor. 3]」原文では「Cor. 2」に修正。原稿の訂正によりCor. 3は存在しない。

p. ??。「CB上で正方形CBEF I を記述します。[ x l v i .]」は原文では明らかに [I. x l v i .] と読むべきだった。

p. ??。「The remainingiug parts of the line」は原文の明らかな誤りであり、「remaining」に修正されています。

p. ??。「中心を通る線に最も近いもの」という原文は明らかな誤りであり、「中心を通る」に修正された。

p. ??。「それからこの行[I., Cor. 1]」は原文です。参照先は現在の本の命題Iなので、[ i . , Cor. 1]であるべきです。

p. ??。「OAはOCと等しい[I., Def. x x x i i . ]」が原文です。参照は [I., Def. x x x i i . ] であるべきです。

p. ??。「4 つの点A、C、D、Bは同心円である」は、原文では明らかに「同心円」を意味していた。

p. ?? . p. ??として。

p. ??。「Through tho point E」は原文の明らかな誤りで、「the」に修正されています。

p. ?? .、p. ?? .「点A、B、C、Dは円環である」原文では p. ??とある。

p. ??。「（例 2.）…または特定のファイルと特定の円に触れる。」原文の明らかな誤りを「触れる」に修正。

p. ??。「21. 中点の軌跡とは何か…」は原文では「31.」に修正されている。

p. ??。(21)の「もしならば、線DEがコードと交差する…」という元の意味不明なフレーズを「もしならば」に修正。

p. ??。(44)の「these circle sintersect」は元の誤ったスペースで「these circles intersect」に修正されました。

p. ?? 。「4. 線分（ OP ）の二等分点（1）」は原文では、図とそれに続く議論から、これは（I）であるべきです。

p. ??。 命題 IX. 「与えられた円 ( ABCD ) について円を記述する」原文では明らかに意味不明であり、「与えられた正方形について」という意味でなければならない。

p. ??。「次に三角形ABO、CBO」は原文の明らかな誤りであり、「三角形」に修正されています。

p. ??。(52)「and also en equilateral circumcirced polygon」の原文の文字が間違っていたため、「an」に修正しました。

p . ??。「命題XXV.—問題」という見出しのこの本の序文は、原文では、この本のすべての命題は定理であると述べており、これも例外で はないように思われるので、修正しました。

p. ??。参照「[I.]」は、本書の命題I.を指し、「[ i .]」に修正されています（4回）。

p. ?? sqq. 参照「[II.]」は、本書の命題 II. を指し、「[ i i .] 」に修正されています(4 回)。

p. ??。Prop V. ヘッダー「subtended bg the homologous sides」は原文では明らかな誤りであり、「by」に修正されています。

p. ??。参照「[XVI.]」を「[ x v i . ]」に修正。

p. ??。「From the construction is is obvious …」は原文の明らかな誤りであり、「it is」に修正されています。

p. ??。「20. 点Oを見つけなさい」は原文の明らかな誤りであり、「点」に修正されています。

p. ?? 。「 GH線、GK 線はそれぞれEFに垂直である」という原文の明らかな誤りを「垂直」に修正しました。

p. ??。「O」が小文字と組み合わされた場合、「o」と誤って印刷されていましたが、これは定義されていません。これらは修正されました（3回）。

p. ??。参照「[VI., Cor. 6]」を「[ v i . , Cor. 6]」に修正。

*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍『ユークリッド原論』第1巻から第6巻の終了 ***
　《完》