興味本位で英語版から機械訳してみたものです。もともとはドイツ語でしょうから、これは《重訳》となるでしょう。
　おどろきましたのは、出だしからしばらくは、至って読みやすくて、まるでじぶんのアタマが良くなったように錯覚します。ユークリッド幾何学があたりまえ視している約束事は、じつは通用しないケースがあるのだと。たとえば「線分の長さ」が保証されないとしたら……？　ふむふむ、と胸に落ちる気がして参ります。

　さすがに、式や記号がサクッと消えてしまっていたり、「チェスト」（天板のある、しっかりした立体の箱）を「胸」と訳しているなどの、すぐに気付かれるあやしげな脳乱も、容易にみつかります。しかし、無料の翻訳サービスでこの水準は、凄くね？

　第一次世界大戦たけなわの1916にこれが世界に向けて発表されました。最前線でこれを読んだが、その２年後、生きて凱旋することはなかった、若い「科学者」たちもいたのです。

　例によって、プロジェクト・グーテンベルグさまには御礼を申し上げます。
　図版は省略しました。
　以下、本篇です。（ノー・チェックです）

*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍「相対性理論：特殊理論と一般理論」の開始 ***
[コンテンツ]
新しくデザインされた表紙。

[コンテンツ]
アルバート・アインシュタイン。
アルバート・アインシュタイン。

[コンテンツ]
オリジナルのタイトルページ。

相対性理論
特殊理論と一般理論
わかりやすい解説
アルバート
・アインシュタイン博士（
ベルリン大学物理学教授 ）ロバート・W・ローソン博士（ シェフィールド大学）
による公式翻訳

1916
目次
序文
私。 特殊相対性理論
私。 幾何学的命題の物理的意味
II. 座標系
III. 古典力学における空間と時間
IV. ガリレオ座標系
V. 限定された意味での相対性原理

6. 古典力学で用いられる速度の加法定理
   七。 光の伝播の法則と相対性原理の一見矛盾する点
   八。 物理学における時間の概念について
7. 同時性の相対性
   X. 距離の概念の相対性について
   XI. ローレンツ変換
8. 運動中の測定棒と時計の挙動
9. 速度の加法定理。フィゾーの実験
10. 相対性理論の発見的価値
11. 理論の一般的な結果
12. 経験と特殊相対性理論
13. ミンコフスキーの四次元空間
    II. 一般相対性理論
14. 特殊相対性原理と一般相対性原理
15. 重力場
    XX. 一般相対性理論の根拠としての慣性質量と重力質量の等価性
16. 古典力学と特殊相対性理論の基礎はどのような点で不十分なのでしょうか?
    XXII. 一般相対性原理からのいくつかの推論
    XXIII. 回転基準体上における時計と測定棒の挙動
    XXIV. ユークリッド連続体と非ユークリッド連続体
    XXV. ガウス座標
    XXVI. 特殊相対性理論の時空連続体をユークリッド連続体として考える
    XXVII. 一般相対性理論の時空連続体はユークリッド連続体ではない
    XXVIII. 一般相対性原理の正確な定式化
    XXIX. 一般相対性原理に基づく重力問題の解決
    III. 宇宙全体についての考察
    XXX. ニュートン理論の宇宙論的困難
    XXXI. 「有限」でありながら「無限」な宇宙の可能性
    XXXII. 一般相対性理論による空間の構造
    私。 ローレンツ変換の簡単な導出 [第11節の補足]
    II. ミンコフスキーの四次元空間（「世界」）[第17節補足]
    III. 一般相対性理論の実験的確認
    （ア）。 水星の近日点の運動
    （b）。 重力場による光の偏向
    （ハ）。 スペクトル線の赤色方向への変位
    IV. 一般相対性理論による空間の構造 [第32節補足]
    [コンテンツ]
    序文
    本書は、一般的な科学的・哲学的観点から相対性理論に興味を持ちながらも、理論物理学の数学的手法に精通していない読者に対し、可能な限り正確な洞察を与えることを目的としています。本書は、大学入学試験に相当する教育水準を前提としており、また、本書の短さにもかかわらず、読者には相当の忍耐力と強い意志が求められます。著者は、主要な概念を最も簡潔かつ分かりやすい形で、そして全体として、それらが実際に生まれた順序と繋がりで提示するために、あらゆる努力を惜しみませんでした。明瞭性を保つために、表現の洗練さには全く注意を払わず、何度も同じことを繰り返すのは避けられないように思われました。私は、あの輝かしい理論物理学者L・ボルツマンの教えに忠実に従いました。彼によれば、洗練さの問題は仕立て屋と靴屋に任せておくべきでした。このテーマに内在する難解さを読者に隠蔽したつもりは全くありません。一方で、この理論の実証的な物理的基礎については、あえて「継母のような」扱い方をしました。物理学に馴染みのない読者が、木を見て森を見ずの放浪者のような気分にならないようにするためです。本書が、誰かにとって示唆に富んだ思考に満ちた幸せな時間となることを願います。

1916年12月

A. アインシュタイン

第1部
特殊相対性理論
[コンテンツ]
I
幾何学的命題の物理的意味
本書を読んでいる皆さんのほとんどは、学生時代にユークリッド幾何学の崇高な構築に触れ、その壮麗な構造を――おそらくは愛よりも敬意を込めて――覚えているでしょう。その高い階段の上で、良心的な教師たちに何時間も追いかけ回されたのです。過去の経験からすれば、この学問の最も突飛な命題でさえも偽であると断言する者を、皆さんはきっと軽蔑するでしょう。しかし、もし誰かが「では、これらの命題が真であると主張するのはどういう意味ですか？」と尋ねたら、おそらくこの誇り高き確信はたちまち消え去るでしょう。では、この問いについて少し考えてみましょう。

幾何学は、「平面」「点」「直線」といった特定の概念から出発します。これらの概念には、多かれ少なかれ明確な概念が結び付けられます。そして、これらの概念のおかげで「真」であると受け入れがちな、ある種の単純な命題（公理）が存在します。そして、その正当性を認めざるを得ない論理的過程に基づいて、残りのすべての命題がそれらの公理から導かれることが示され、すなわち証明されます。命題は、公理から認識された方法で導かれた場合にのみ、正しい（「真」）とされます。個々の幾何学的命題の「真」に関する問いは、こうして公理の「真」に関する問いに還元されます。ところで、この最後の問いは、幾何学の方法論では答えられないだけでなく、それ自体全く意味をなさないことが、以前から知られていました。2点を通る直線は1本だけである、という問いは真である、と問うことはできません。ユークリッド幾何学は「直線」と呼ばれるものを扱っており、それぞれの直線は、その上に位置する二点によって一意に決定されるという性質を帯びている、としか言えない。「真」という概念は純粋幾何学の主張とは一致しない。なぜなら、私たちは「真」という言葉によって、結局は常に「実在する」対象との対応を指す傾向があるからだ。しかし、幾何学は、それに含まれる観念と経験の対象との関係ではなく、観念同士の論理的結びつきのみを扱っている。

それにもかかわらず、なぜ私たちが幾何学の命題を「真」と呼ばざるを得ないと感じるのかは、容易に理解できます。幾何学的概念は、多かれ少なかれ自然界の正確な対象に対応しており、これらの対象こそが、幾何学的概念の起源の唯一の原因であることは疑いありません。幾何学は、その構造に可能な限りの論理的統一性を与えるために、そのような方向へ進むべきではありません。例えば、実質的に剛体である物体上の2つの目立った位置を「遠く」から見るという習慣は、私たちの思考習慣に深く根付いています。さらに、適切な観察位置の選択によって片目で3点の見かけの位置を一致させることができる場合、私たちは3点が直線上にあると見なすことに慣れています。

我々の思考習慣に従い、ユークリッド幾何学の命題に、実際的剛体上の二点は、その物体にどのような位置変化を与えても常に同じ距離（線間隔）に対応するという単一の命題を付け加えると、ユークリッド幾何学の命題は、実際的剛体の可能な相対位置に関する命題へと帰着する。1このように補足された幾何学は、物理学の一分野として扱われることになる。このように解釈された幾何学的命題の「真理性」について、正当に問うことができる。なぜなら、これらの命題が、幾何学的概念に結び付けた実在の事物に対して満たされるかどうかを問うことは正当だからである。より正確な言葉で言えば、この意味での幾何学的命題の「真理性」とは、定規とコンパスを用いた作図に対するその命題の妥当性を意味する、と言い換えることができる。

もちろん、この意味での幾何学的命題の「真理」に対する確信は、むしろ不完全な経験にのみ基づいている。ここでは幾何学的命題の「真理」を前提とし、後の段階（一般相対性理論）で、この「真理」には限界があることを理解し、その限界の範囲を検討する。

1したがって、自然物は直線とも関連している。 剛体上の3点A、B、Cは、点Aと点Cが与えられ、距離ABと距離BCの和が可能な限り短くなるように点Bが選ばれるとき、直線上に存在する。この不完全な提案は、本目的には十分である。 ↑

[コンテンツ]
II
座標系
これまで示してきた距離の物理的解釈に基づき、剛体上の二点間の距離を測定によって確定することも可能です。そのためには、一度限りの「距離」（棒S ）が必要です。これは標準的な尺度として用いるものです。ここで、剛体上の二点AとBを考えてみましょう。幾何学の法則に従って、これらを結ぶ線を引くことができます。そして、 A から出発して、Bに到達するまで、何度も距離Sを測ることができます。この操作を繰り返すことで、距離 ABを数値的に求めることができます。これが、あらゆる長さの測定の基礎となります。1

出来事の場面や空間における物体の位置に関するあらゆる記述は、その出来事や物体が一致する剛体（参照体）上の点の指定に基づいています。これは科学的な記述だけでなく、日常生活にも当てはまります。「ニューヨーク、タイムズスクエア」という場所の指定を分析すると、2 次のような結果が得られます。地球は場所の指定が指し示す剛体であり、「ニューヨーク、タイムズスクエア」は明確に定義された点であり、名前が付けられ、出来事が空間的に一致する点です。3

この原始的な場所指定方法は、剛体の表面上の場所のみを対象とし、この表面上に互いに区別可能な点が存在することを前提としています。しかし、位置指定の性質を変えることなく、これらの両方の制約から解放されることができます。例えば、タイムズスクエアの上に雲が浮かんでいる場合、スクエアに垂直に柱を立て、雲に届くようにすることで、地球の表面に対する雲の位置を特定できます。標準の物差しで測定した柱の長さと、柱の根元の位置の指定を組み合わせることで、完全な場所指定が可能になります。この図に基づいて、位置の概念がどのように洗練されてきたかを見ることができます。

（あ）場所の指定が参照される剛体は、必要な位置にあるオブジェクトに完成した剛体が到達できるように補足されていると想像します。
（イ）物体の位置を特定する際には、指定された参照点の代わりに数値 (ここでは測定棒で測定された棒の長さ) を使用します。
雲の高さについて話す場合、雲に達するポールがまだ設置されていない場合でも、その高さについて話すことができます。地上の様々な位置から雲を光学的に観測し、光の伝播特性を考慮することで、雲に到達するのに必要なポールの長さを決定します。

この考察から、位置の記述において、数値的な尺度を用いることで、参照する剛体上の（名前を持つ）マークされた位置の存在に依存しないことができれば有利であることが分かる。計測物理学においては、これは直交座標系を適用することで達成される。

これは、互いに直交し、剛体にしっかりと固定された3つの平面から構成されます。座標系に照らし合わせると、出来事の現場は（主に）3つの垂線の長さ、または出来事の現場から3つの平面に落とすことができる座標を特定することによって決定されます。これらの3つの垂線の長さは、ユークリッド幾何学で定められた規則と方法に従って、剛体測定棒を用いた一連の操作によって決定できます。

実際には、座標系を構成する剛体面は一般に利用できない。さらに、座標の大きさは剛体棒を用いた作図によってではなく、間接的な手段によって決定される。物理学と天文学の成果の明確さを維持するためには、位置の指定の物理的意味は常に上記の考察に従って探求されなければならない。4

以上のことから、以下の結果が得られる。空間におけるあらゆる事象の記述は、その事象が参照されるべき剛体の使用を伴う。この関係は、ユークリッド幾何学の法則が「距離」に対して成立することを当然のこととしている。「距離」は、剛体上の二つの点という慣例によって物理的に表現される。

1ここでは、測定値に余りがない、つまり整数が得られると仮定しています。この問題は、分割された測定棒を用いることで解決されます。この測定棒の導入に、根本的に新しい手法は不要です。 ↑

2アインシュタインは原文で「ポツダム広場、ベルリン」と表記していました。公式翻訳では「トラファルガー広場、ロンドン」が補足されています。現代の英語話者に最もよく知られている場所であるため、「タイムズスクエア、ニューヨーク」に変更しました。 ↑

3ここで「空間における一致」という表現の意味をさらに検討する必要はない。この概念は十分に明白であり、実際の適用性に関して意見の相違が生じる可能性はほとんどない。 ↑

4これらの見解の改良と修正は、本書の第2部で扱われる一般相対性理論を扱うまで必要ありません。 ↑

[コンテンツ]
III
古典力学における空間と時間
力学の目的は、物体が「時間」とともに空間における位置をどのように変化させるかを記述することです。もし私が力学の目的を、真剣な考察と詳細な説明なしにこのように定式化すれば、明晰さという神聖な精神に対する重大な罪を、私の良心に負わせることになるでしょう。さあ、これらの罪を明らかにしていきましょう。

ここで「位置」と「空間」とは一体何を指すのか、明確ではありません。等速で走行する鉄道車両の窓辺に立って、石を投げるのではなく、土手に落とします。すると、空気抵抗の影響を無視して、石が直線的に落下していくのが見えます。歩道からこの悪行を観察していた歩行者は、石が放物線を描いて地面に落下することに気づきます。そこで私は問います。石が通過する「位置」は「現実には」直線上にあるのでしょうか、それとも放物線上にあるのでしょうか。さらに、ここで「空間における」運動とは一体何を意味するのでしょうか。前節の考察から、答えは自明です。まず第一に、私たちは「空間」という曖昧な言葉を完全に避けます。正直に認めなければなりませんが、その言葉については全く理解できません。そして、それを「実質的に剛体である基準物体に対する相対的な運動」に置き換えます。基準物体（鉄道車両または土手）に対する相対的な位置は、前節で既に詳細に定義されています。 「基準物体」の代わりに、数学的記述に有用な概念である「座標系」を挿入すれば、次のように言える。「石は、台車に固定された座標系に対しては直線を描きますが、地面（土手）に固定された座標系に対しては放物線を描きます。」この例から、独立して存在する軌道（文字通り「軌跡曲線」1）など存在せず、特定の基準物体に対する相対的な軌道のみが存在することが明確に分かる。

運動を完全に記述するためには、物体が時間とともにどのように位置を変えるかを特定する必要がある。すなわち、軌道上のあらゆる点について、物体が何時にそこに位置しているかを明示しなければならない。これらのデータは、時間の定義によって補完されなければならない。この定義によって、これらの時間値は本質的に観測可能な量（測定結果）とみなせるようになる。古典力学の立場に立つならば、この説明における要件は以下のように満たすことができる。同一の構造を持つ2つの時計を想像してみよう。鉄道車両の窓辺にいる人が1つを持ち、歩道にいる人がもう1つを持っているとする。それぞれの観測者は、手に持っている時計が刻むたびに、それぞれの基準物体上の石の位置を測定する。この点に関して、光の伝播速度の有限性に伴う不正確さは考慮していない。この点と、ここで生じる2つ目の難点については、後ほど詳しく説明する。

1つまり、体が動く曲線です。 ↑

[コンテンツ]
IV
ガリレオ座標系
よく知られているように、ガリレイ＝ニュートン力学の基本法則、すなわち慣性の法則は、次のように述べられます。「他の物体から十分に離れた物体は、静止状態または直線上で等速運動を続ける。」この法則は、物体の運動について何かを述べているだけでなく、力学において許容され、力学的記述に使用できる基準物体、すなわち座標系も示しています。目に見える恒星は、慣性の法則が確実に高い近似度で成り立つ物体です。さて、地球に固定された座標系を用いると、この座標系を基準として、すべての恒星は天文日の間に広大な半径の円を描くことになります。これは慣性の法則の記述とは矛盾する結果です。したがって、この法則に従うならば、これらの運動は、恒星が円運動をしない座標系にのみ基づかなければなりません。慣性の法則が相対的に成り立つような運動状態を持つ座標系は「ガリレイ座標系」と呼ばれます。ガリレイ-ニュートン力学の法則は、ガリレイ座標系においてのみ有効であるとみなされます。

[コンテンツ]
V
限定された意味での相対性原理
理解を可能な限り明確にするために、等速直線運動をしていると仮定した鉄道車両の例に戻りましょう。この運動を等速並進運動と呼びます（「等速」とは速度と方向が一定であること、「並進」とは車両が土手に対して相対的に位置を変えるものの、回転しないことを意味します）。土手から見ると等速直線運動をしているカラスが空中を飛んでいると想像してみましょう。走行中の鉄道車両から飛翔中のカラスを観察すると、カラスの運動は速度と方向は異なるものの、やはり等速直線運動をしていることがわかります。抽象的に表現すると、質量m が座標系Kに対して等速直線運動している場合、第二の座標系 K′ がKに対して 等速並進運動をしている限り、質量 m は第二の座標系K′に対しても等速直線運動をしていることになります。前のセクションの議論によれば、次のようになります。

Kがガリレイ座標系である場合、他のすべての座標系K′は、 Kに対して等速直線運動の状態にあるとき、ガリレイ座標系となります。K ′に対しては、ガリレイ-ニュートン力学法則がKに関してと全く同様に成立します 。

この原則を次のように表現することで、一般化をさらに一歩進めることができます。K に対して、K′ が回転を伴わずに等速運動する座標系である場合、自然現象はK′に関してもKに関してと全く同じ一般法則に従って進行します。この主張は（限定された意味での）相対性原理と呼ばれます。

あらゆる自然現象が古典力学によって表現可能であると確信している限り、この相対性原理の妥当性を疑う必要はなかった。しかし、近年の電気力学と光学の発展を考慮すると、古典力学はあらゆる自然現象の物理的記述にとって不十分な基盤しか提供していないことがますます明らかになった。この時点で、相対性原理の妥当性に関する問題は議論の機が熟し、この問いに対する答えが否定的である可能性も否定できないように思われた。

それでもなお、相対性原理の妥当性を強く支持する二つの一般的な事実がある。古典力学はあらゆる物理現象を理論的に提示するのに十分な広範さの基盤を提供していないとしても、それでもなお、天体の実際の運動を驚異的とも言えるほど精緻に詳細に示していることから、ある程度の「真実」を認めざるを得ない。したがって、相対性原理は力学の領域において高い精度で適用されるはずである。しかし、このように広範な一般性を持つ原理が、ある現象領域においてはこれほど正確に成立する一方で、別の現象領域においては無効であるということは、先験的にあまりありそうにない。

次に 2 番目の議論に進みますが、これについては後で詳しく説明します。相対性原理 (限定された意味で) が成り立たない場合、互いに一様に運動しているガリレオ座標系K、K′、K″などは、自然現象の記述においては同等にはなりません。この場合、自然法則は特に単純な方法で定式化できると考えざるを得ませんが、もちろん、すべての可能なガリレオ座標系の中から、特定の運動状態の1 つ( ) を基準体として選択したという条件付きでしかありません。その場合、この系を「絶対的に静止している」、他のすべてのガリレオ系Kを「運動している」と呼ぶことが (自然現象の記述におけるその利点ゆえに) 正当化されるはずです。たとえば、私たちの盛土が 系だとすると、私たちの鉄道車両は 系Kとなり、これに対しては に関してよりも単純な法則が成り立ちません。この単純さが損なわれるのは、キャリッジKがに対して（つまり「実際に」）運動しているという事実による。 Kを参照して定式化された自然法則の一般性においては、キャリッジの速度の大きさと方向が必然的に影響を及ぼす。例えば、オルガンパイプの軸を移動方向と平行に置いた場合、そこから発せられる音は、パイプの軸を移動方向に対して垂直に置いた場合と異なることが予想される。

さて、地球は太陽の周りを公転していますが、これは秒速約30キロメートルで移動する鉄道車両に例えることができます。相対性原理が成り立たないのであれば、地球の運動方向はどの瞬間においても自然法則に従わなければならず、また物理システムの挙動も地球に対する空間の向きに依存するはずです。なぜなら、地球の公転速度は1年の間に変化するため、地球は仮想システムに対して1年を通して静止していることはできないからです。しかしながら、いかに注意深く観察しても、地球の物理空間におけるこのような異方性、すなわち異なる方向の物理的な非等価性は明らかにされていません。これは相対性原理を支持する非常に強力な論拠です。

[コンテンツ]
VI
古典力学で用いられる速度の加法定理
古くからの友人である鉄道車両がレール上を一定速度vで走行していると仮定しましょう。そして、ある人が車両の進行方向に速度wで車両の長さ分を横切るとします。この過程で、人はどれだけの速さ、言い換えれば、どれだけの速度Wで土手に対して前進するのでしょうか。唯一の可能な答えは、次の考察から得られると思われます。もし人が1秒間静止しているとしたら、彼は土手に対して、車両の速度に数値的に等しい距離 vだけ前進するでしょう。しかし、歩行の結果として、彼はこの1秒間に車両に対して、そしてしたがって土手に対しても、追加の距離wを移動します。この距離 w は、彼が歩いている速度に数値的に等しいです。したがって、彼は合計で、この1秒間に土手に対して移動した距離と同じ距離を移動したことになります。古典力学で用いられる速度の加法定理を表すこの結果は、後で説明しますが、維持することはできません。言い換えれば、ここで述べた法則は現実には成り立ちません。しかし、当面はそれが正しいと仮定しましょう。

[コンテンツ]
VII
光の伝播の法則と相対性原理の一見矛盾する点
物理学において、光が空間を伝播する法則ほど単純な法則はほとんど存在しない。学校ではどの子供も、この伝播は毎秒キロメートルの速度で直線的に起こることを知っている、あるいは知っていると思い込んでいる。いずれにせよ、この速度はすべての色で同じであることは、非常に正確にわかっている。そうでなければ、恒星が隣の暗い恒星に食される際に、異なる色の放射の極小点が同時に観測されることはないからである。オランダの天文学者デ・ジッターも、二重星の観測に基づく同様の考察により、光の伝播速度は発光体の運動速度には依存しないことを示している。この伝播速度が「空間」の方向に依存するという仮定自体、ありそうにない。

つまり、光速度c （真空中）の不変という単純な法則が、 学校で子供たちに当然のこととして信じられていると仮定しましょう。この単純な法則が、良心的に思慮深い物理学者を、最大の知的困難に陥れるとは、誰が想像できるでしょうか？これらの困難がどのように生じるのかを考えてみましょう。

もちろん、光の伝播過程（そして他のあらゆる過程）は、剛体（座標系）に依拠しなければなりません。そのような基準体として、再び盛土を選びましょう。盛土の上空は空気が除去されていると仮定します。光線を盛土に沿って送ると、光線の先端は盛土に対して速度cで伝播することが上から分かります。さて、ここでも鉄道車両が線路に沿って速度vで走行し、その方向は光線の方向と同じですが、速度は当然ながらはるかに遅いと仮定しましょう。光線の車両に対する伝播速度について考えてみましょう。光線は車両に対して相対的に歩く人間の役割を果たすため、前節の考察を適用できることは明らかです。盛土に対する人間の速度W は、ここでは盛土に対する光の速度に置き換えられます。wは車両に対する光の速度であり、以下の式が成り立ちます。

したがって、光線のキャリッジに対する伝播速度はcよりも小さくなります。

しかし、この結果は第V節で述べた相対性原理と矛盾する。なぜなら、他のあらゆる自然法則と同様に、相対性原理によれば、真空中の光透過の法則は 、鉄道車両を基準物体とした場合も、レールを基準物体とした場合も同じであるはずだからである。しかし、上記の考察からすると、これは不可能と思われる。もしすべての光線が盛土に対して速度cで伝播するならば、この理由から、車両に関しても必然的に別の光伝播の法則が成立するはずであるが、これは相対性原理に反する結果である。

このジレンマを考​​えると、相対性原理か真空中の光の伝播の単純な法則のどちらかを放棄する以外に道はないと思われる。これまでの議論を注意深く追ってきた読者諸君は、あまりにも自然で単純であるがゆえに知性に強く訴える相対性原理を保持すべきだとほぼ確信しているだろう。そうなると、真空中の光の伝播の法則は、相対性原理に適合するより複雑な法則に置き換えられなければならないだろう。しかし、理論物理学の発展は、この道を追求することはできないことを示している。運動する物体に関連する電気力学および光学現象に関するH・A・ローレンツの画期的な理論的研究は、この領域における経験が最終的に電磁気現象の理論につながり、その必然的な帰結として真空中の光速度不変の法則が導かれることを示している。そのため、著名な理論物理学者たちは、この原理に矛盾する経験的データが見つかっていないにもかかわらず、相対性原理を拒否する傾向が強かった。

この時点で相対性理論が登場した。時間と空間に関する物理的概念の分析の結果、現実には相対性原理と光の伝播の法則の間に矛盾は全く存在せず、これら二つの法則を体系的に堅持することで、論理的に強固な理論に到達できることが明らかになった。この理論は、後述する拡張相対性理論と区別するために特殊相対性理論と呼ばれている。以下のページでは、特殊相対性理論の基本的な考え方を紹介する。

[コンテンツ]
VIII
物理学における時間の概念について
雷は、私たちの鉄道の土手にある、互いに遠く離れた2つの地点AとBでレールに落ちました。さらに、この2つの雷は同時に発生したと主張します。この記述に意味があるかどうか尋ねれば、あなたは「はい」と断言するでしょう。しかし、この記述の意味をより正確に説明してほしいと私があなたに求めると、少し考えてみれば、この質問への答えは一見したほど簡単ではないことに気づくでしょう。

しばらくすると、おそらく次のような答えが思い浮かぶでしょう。「この記述の意味はそれ自体明らかであり、これ以上の説明は不要です。もちろん、実際のケースで二つの出来事が同時に起こったかどうかを観測によって判断するよう依頼されたとしたら、ある程度の検討が必要になるでしょう。」私はこの答えに満足できません。なぜなら、有能な気象学者が独創的な考察の結果、雷は常にA地点とB地点に同時に落ちなければならないことを発見したと仮定すると、私たちはこの理論的結果が現実と一致するかどうかを検証するという課題に直面するからです。「同時」という概念が関与するすべての物理的記述において、私たちは同じ困難に直面します。物理学者にとって、この概念は、実際のケースでそれが満たされるかどうかを発見できるまで存在しません。したがって、同時性の定義が必要です。この定義によって、今回のケースにおいて、両方の雷撃が同時に起こったかどうかを実験によって判断できる方法が提供されるのです。この要件が満たされない限り、同時性の記述に意味を付与できると想像する時、物理学者として（もちろん物理学者でなくても同じことが当てはまる）、私は自分自身を欺いていることになる。（読者にはこの点について完全に納得するまで、これ以上先に進まないようにお願いしたい。）

しばらく考えた後、同時性を検証するための次の提案を提示します。レールに沿って測定を行い、接続線 ABを測定し、距離ABの中点Mに観測者を配置します。この観測者には、地点AとBを同時に視覚的に観測できるような配置（例えば、 2つの鏡を に傾けるなど）を用意します。観測者が2つの稲妻を同時に知覚した場合、それらは同時発生しています。

私はこの提案に非常に満足していますが、それでも、問題が完全に解決したとは考えられません。なぜなら、次のような異議を唱えざるを得ないからです。

「もしMの観測者が稲妻の閃光を捉える光が、長さに沿って進む速度と同じ速度で長さに沿って進むと知っていれば、あなたの定義は確かに正しいでしょう。しかし、この仮定を検証するには、時間を測定する手段が既に利用可能である必要があります。そうすると、論理的に堂々巡りしているように見えるでしょう。」

さらに考えた後、あなたは私にいくぶん軽蔑的な視線を投げかけ、そして当然ながらこう宣言しました。

それでも私は以前の定義を維持する。なぜなら、実際にはそれは光について全く何も仮定していないからだ。同時性の定義に求められる唯一の要件は、あらゆる現実の場合において、定義されるべき概念が満たされているかどうかについて、経験的な判断が与えられなければならないということである。私の定義がこの要件を満たしていることは疑いようがない。光が経路を通過するのに、その経路を通過するのに同じ時間を要するということは、実際には光の物理的性質に関する仮定でも仮説でもなく、同時性の定義に到達するために私が自らの自由意志で定めることのできる 規定に過ぎない。

この定義は、 2 つのイベントだけでなく、任意の数のイベントに正確な意味を与えるために使用でき 、イベントの現場が参照物体1 (ここでは鉄道の土手) に対してどのような位置にあるかに関係なく、意味を定義できることは明らかです。したがって、物理学における「時間」の定義にも至ります。この目的のために、同一構造の時計が鉄道線路 (座標系) の点A、B、Cに配置され、それらの針の位置が同時に (上記の意味で) 同じになるように設定されていると仮定します。このような条件下では、イベントの「時間」とは、これらの時計のうちイベントのすぐ近く (空間的) にある時計の読み (針の位置) であると理解されます。このようにして、本質的に観測可能なすべてのイベントに時間値が関連付けられます。

この規定には、さらに別の物理的仮説が含まれている。その妥当性は、反証となる経験的証拠がない限り、ほとんど疑う余地がない。これらの時計はすべて同一の構造であれば、同じ速度で進むと仮定されている。より正確に言えば、基準物体の異なる場所に静止して配置された2つの時計において、一方の時計の針の特定の位置が（上記の意味で）もう一方の時計の針の同じ位置と一致するように設定されている場合、同一の「設定」は常に（上記の定義の意味で）同時である。

1さらに、3つの事象A、B、Cが異なる場所で発生し、AがBと同時に発生し、BがCと同時に発生する（上記の定義における同時発生の意味で）場合、この2つの事象の同時性の基準も満たされると仮定する。この仮定は光の伝播に関する物理的仮説であり、真空中における光速度不変の法則を維持するためには必ず満たされなければならない。 ↑

[コンテンツ]
IX
同時性の相対性
これまでの考察は、特定の基準物体、すなわち「鉄道盛土」を前提としてきた。図 1に示す方向に、一定速度 v でレール上を走行する非常に長い列車を想定する。この列車に乗っている人々は、列車を剛体の基準物体（座標系）と見なし、すべての出来事を列車を基準として捉える。すると、線路上で起こるすべての出来事は、列車の特定の地点でも起こることになる。また、同時性の定義は、盛土の場合と全く同様に、列車に関しても行うことができる。しかし、当然ながら、次のような疑問が生じる。

図1.
図1.

鉄道の土手に関して同時である2つの出来事（例えば、 2つの雷撃AとB）は、列車に関しても同時でしょうか？答えは必ず否定的であることを直接示します。

稲妻AとB が土手に対して同時であると言う場合、次のことを意味します。稲妻が発生した場所AとBで放出された光線は、土手の長さの中間点Mで出会います。しかし、イベントAとB は、列車の位置AとBにも対応します。走行中の列車の距離の中点をM′とします。稲妻の閃光1 が発生するまさにその時、この点M′ は当然点 M と一致しますが、図では列車の速度vで右方向に移動します。列車の位置M′に座っている観測者がこの速度を持っていなければ、彼は永久にMに留まり、稲妻AとBによって放出された光線は同時に彼に到達し、つまり、それらが彼のいる場所でちょうど出会うでしょう。さて、実際には (鉄道の土手に関して考えると)、彼はBから来る光線に向かって急いでおり、同時にAから来る光線の前方を走行しています。したがって、観測者はBから発せられた光線をAから発せられた光線よりも早く観測することになります。したがって、鉄道車両を基準物体とする観測者は、雷光B が雷光Aよりも早く発生したという結論に至らなければなりません。こうして、重要な結論が導き出されます。

土手に関して同時である出来事は、列車に関して同時ではない。逆もまた同様である（同時性の相対性）。すべての基準物体（座標系）は固有の時間を持つ。時間の記述がどの基準物体を参照しているかを知らされない限り、出来事の時間の記述は意味を持たない。

相対性理論の出現以前、物理学においては、時間の記述は絶対的な意味を持つ、すなわち、参照物体の運動状態とは無関係であるという暗黙の前提が常に存在していた。しかし、この前提は同時性の最も自然な定義と両立しないことが先ほど述べたとおりである。この前提を捨てれば、真空中における光の伝播の法則と相対性原理（第7節で展開）との間の矛盾は解消される。

この矛盾は、第6節の考察によって生じたものであるが、現在ではもはや妥当ではない。第6節では、車両に乗っている人が車両に対して 毎秒wの 距離を移動するのと同様に、盛土に対しても毎秒同じ距離を移動すると結論付けた。しかし、前述の考察によれば、ある出来事が車両に対して要する時間は、盛土（基準物体）から判断した同じ出来事の継続時間と等しいとは考えられない。したがって、歩行中の人が鉄道線路に対してwの距離を、盛土から判断して1秒に等しい時間で移動すると主張することはできない。

さらに、第6節の考察はさら​​に 2 番目の仮定に基づいていますが、この仮定は相対性理論が導入される前から常に暗黙のうちになされていたものの、厳密な考察に照らし合わせると恣意的であるように思われます。

1堤防から見るとこんな感じ。 ↑

[コンテンツ]
X
距離の概念の相対性について
土手に沿って速度vで走行する列車1上の 2 つの特定の点について考え、それらの間の距離を調べてみましょう。距離を測定するには、その距離を測定できる基準となる物体が必要であることは既に知られています。最も単純な方法は、列車自体を基準物体 (座標系) として使用することです。列車内の観測者は、測定棒を直線 (例えば車両の床面) に、マークした 1 つの点から別の点まで移動するために必要な回数だけ印を付けることで、間隔を測定します。そして、棒を何度置く必要があるかを示す数値が、必要な距離です。

線路から距離を判断する必要がある場合は話が別です。ここでは次の方法が考えられます。列車上の2点をA′とB′とし、この2点は盛土に沿って速度vで動いています。まず、盛土から見て特定の時刻tに、2点A′とB′がちょうど通過する盛土上の点Aと点Bを決定する必要があります。盛土上のこれらの点Aと点Bは、第8節で示した時間の定義を適用することで決定できます 。そして、盛土に沿って測定棒を繰り返し当てることで、 これらの点Aと点Bの間の距離を測定します。

先験的に、この最後の測定が最初の測定と同じ結果をもたらすことは決して確実ではない。したがって、土手から測った列車の長さは、列車内で測った長さとは異なる可能性がある。この状況は、第6節の一見明白な考察に対して提起せざるを得ない第二の反論につながる。すなわち、車両に乗っている人が列車から測った距離w を単位時間で移動する場合、土手から測ったこの距離は必ずしもwに等しいとは限らない。

1例: 1両目と100両目の中間。 ↑

[コンテンツ]
XI
ローレンツ変換
最後の 3 つのセクションの結果は、光の伝播の法則と相対性原理 (セクションVII ) との明らかな矛盾が、古典力学から 2 つの不当な仮説を借用した考察によって導き出されたことを示しています。これらの仮説は次のとおりです。

（1）2 つのイベント間の時間間隔 (時間) は、参照物体の運動の状態とは無関係です。
（2）剛体の 2 点間の空間間隔 (距離) は、参照体の運動条件とは無関係です。

これらの仮説を放棄すれば、第VII節のジレンマは解消されます。なぜなら、第VI節で導出された速度の加法定理が 無効になるからです。真空中の光の伝播の法則が相対性原理と両立する可能性が生じ、次のような疑問が生じます。経験から得られたこれら 2 つの基本的な結果の間の明らかな不一致を解消するために、 第VI節の考察をどのように修正すればよいのでしょうか。この疑問は、一般的な疑問につながります。第VI節の議論では、列車と土手の両方に対する場所と時間を扱います。鉄道の土手に対する出来事の場所と時間がわかっているのに、列車に対する出来事の場所と時間をどのように見つければよいのでしょうか。真空中の光の伝播の法則が相対性原理と矛盾しないような性質の、この疑問に対する考えられる答えはあるのでしょうか。言い換えれば、個々の出来事の場所と時間の間に、両方の基準物体に対する相対的な関係、すなわち、すべての光線が土手に対して、そして列車に対して伝達速度cを持つような関係を想像できるだろうか？この問いは、極めて明確な肯定的な答え、そして、ある基準物体から別の基準物体へと変化する際の出来事の時空間の大きさに関する完全に明確な変換法則へと導く。

図2.
図2.

これを扱う前に、次のような付随的な考察を導入しておきたい。これまで我々は、数学的には直線の機能を担うべき堤防沿いで起こる事象のみを考えてきた。第2節で示したように、この基準物体は、棒状の枠組みによって横方向および垂直方向に補完されると想像できる。こうすることで、どこで起こる事象も、この枠組みを基準として局所化できる。同様に、速度vで走行する列車が空間全体を横切ると想像できる。そうすれば、どんなに遠く離れた場所で起こる事象であっても、この第二の枠組みを基準として局所化できる。これらの枠組みは、固体の不透過性のために、現実には絶えず互いに干渉し合うという事実を、根本的な誤りを犯すことなく無視できる。このような枠組みのそれぞれにおいて、互いに直交する3つの面が区切られ、「座標面」（「座標系」）と名付けられると想像する。すると、座標系Kは堤防に対応し、座標系K′は列車に対応する。事象は、それがどこで発生したとしても、Kに関しては空間的には座標平面上の3本の垂線によって、時間に関しては時間値tによって固定される。K ′に関しては、同じ事象が空間と時間の両方において対応する値 によって固定されるが、もちろん と同一ではない。これらの大きさが物理的測定の結果としてどのようにみなされるかについては、既に詳細に説明した。

明らかに、我々の問題は次のように正確に定式化できる。ある事象のKに関する大きさ 、 が与えられているとき、K ′に関するその事象の 、 の値はどうなるだろうか。関係は、 真空中の光透過の法則が、1本の同じ光線（そしてもちろんすべての光線）に対してKおよびK′に関して満たされるように選択されなければならない。図（図2 ）に示されている座標系の空間における相対的な向きについては、この問題は次の方程式によって解かれる。

この方程式系は「ローレンツ変換」として知られています。1

もし光の透過の法則の代わりに、時間と長さの絶対的な性質に関する古い力学の暗黙の仮定を基礎として採用していたら、上記の式の代わりに次の式が得られるはずです。

この方程式系はしばしば「ガリレイ変換」と呼ばれます。ガリレイ変換は、ローレンツ変換において光速度cに無限大の値を代入することで得られます。

次の図を見れば、ローレンツ変換に従って、真空中の光透過の法則が基準物体Kと基準物体K′の両方において満たされていることが容易に分かる。光信号は正のx軸に沿って送られ、この光刺激は次式に従って進む。

つまり、速度cと等しくなります。ローレンツ変換の方程式によれば、この xとtの関係は、 x′とt′の関係を伴います。実際、ローレンツ変換の第一方程式と第二方程式においてxにct を代入すると、次の式が得られます。

これを割り算すると、

が直ちに成り立つ。K ′ 系を基準とすると、光の伝播はこの式に従って起こる。したがって、基準物体K′に対する透過速度もcに等しいことがわかる。他のどの方向に進む光線についても、同じ結果が得られる。もちろん、これは驚くべきことではない。なぜなら、ローレンツ変換の式はこの観点に従って導出されたからである。

1ローレンツ変換の簡単な導出は付録Iに示されている。 ↑

[コンテンツ]
XII
運動中の測定棒と時計の挙動
K′のx′軸にメートル棒を置き、一方の端（始端）が点 に、もう一方の端（棒の端）が点 に一致するようにします。系Kに対するメートル棒の長さはどれくらいでしょうか？これを知るには、系Kの特定の時刻tにおいて、棒の始端と端がKに対してどこにあるかを尋ねればよいだけです。ローレンツ変換の最初の方程式を用いて、時刻tにおけるこれらの2点の値は次のように示されます。

点間の距離は です。

しかし、メートル棒はKに対して速度vで運動している。したがって、速度vで長さ方向に運動する剛体メートル棒の長さは1メートルとなる。したがって、剛体棒は運動しているときの方が静止しているときよりも短く、運動速度が速いほど棒は短くなる。速度については となり、さらに大きな速度では平方根は虚数となる。このことから、相対性理論において速度cは限界速度の役割を果たしており、いかなる実体もこれに達することも超えることもできないと結論付けられる。

もちろん、限界速度としての速度cのこの特徴は、ローレンツ変換の方程式からも明らかです。なぜなら、cよりも大きいvの値を選択した場合、これらの方程式は無意味になるからです。

逆に、Kに関してx軸上で静止しているメートル棒を考えていたとしたら、 K′から判断した棒の長さはになるはずです。これは、私たちの考察の基礎となる相対性原理と完全に一致しています。

測尺棒や時計の物理的挙動について、変換方程式から何らかの知見が得られることは、 演繹的に極めて明らかである。なぜなら、大きさは、測尺棒や時計によって得られる測定結果に他ならないからである。もしガリレイ変換に基づいて考察していたならば、棒の運動の結果として棒が収縮するという結果は得られなかったであろう。

ここで、 K′の原点（ ）に恒久的に設置された秒時計を考えてみましょう。とはこの時計の連続する2つの刻みです。ローレンツ変換の1番目と4番目の方程式は、これらの2つの刻みについて次の式を与えます。

そして

Kから判断すると、時計は速度vで動いている。この基準物体から判断すると、時計の2回の打刻の間に経過する時間は1秒ではなく数秒、つまりやや長い時間である。この運動の結果、時計は静止時よりもゆっくりと進む。ここでも、速度c は到達不可能な限界速度の役割を果たす。

[コンテンツ]
XIII
速度の加法定理。
フィゾーの実験
実際には、時計や物差しを動かす速度は光速に比べて非常に小さいため、前節の結果を現実と直接比較することはほとんど不可能です。しかし一方で、これらの結果は皆さんにとって非常に特異なものに感じられるはずです。そこで、ここで理論からもう一つの結論を導き出したいと思います。これはこれまでの考察から容易に導き出せるものであり、実験によって非常に簡潔に確認されています。

第6節では、古典力学の仮説からも導かれる形で、一方向の速度の加法定理を導出した。この定理は、ガリレイ変換（第11節）からも容易に導かれる。馬車内で歩く人の代わりに、座標系K′に対して相対的に移動する点を、次式に従って 導入する。

ガリレイ変換の第一方程式と四方程式を用いて、 x′とt′をxとtで表すことができ、次の式が得られます。

この式は、 K系（土手に対する人体の運動） を基準とした点の運動法則を表わしているに過ぎない。この速度を記号Wで表すと、第6節で述べたように、
（あ）

しかし、この考察は相対性理論に基づいても同様に行うことができます。

次に、ローレンツ変換の第1方程式と第4方程式を用いて、x′とt′をxとtで 表す必要があります。すると、式( A )の代わりに次の式が得られます。
（B）
これは相対性理論による一方向の速度の加法定理に対応します。ここで、経験に照らし合わせるとどちらの定理が優れているかという疑問が生じます。この点については、優れた物理学者フィゾーが半世紀以上前に実施した非常に重要な実験によって啓発されます。この実験は、それ以来、最も優れた実験物理学者の何人かによって繰り返されてきたため、その結果に疑いの余地はありません。この実験は、次の疑問に関係しています。光は、静止した液体中を特定の速度wで進みます。上記の液体がチューブ T 内を速度vで流れているとき、光はチューブT内を矢印の方向にどれくらいの速さで進むでしょうか(添付の図3を参照) 。

図3
図3

相対性原理によれば、液体が他の物体に対して運動しているかどうかに関わらず、光の伝播は常に液体に対して同じ速度w で起こると仮定しなければならない。したがって、液体に対する光の速度と管に対する光の速度は既知であり、管に対する光の速度が必要となる。

セクションVIの問題が再び私たちの前に現れていることは明らかです。チューブは線路の土手または座標系Kの役割を果たし、液体は客車または座標系K′の役割を果たし、最後に光は客車に沿って歩く人、またはこのセクションの移動点の役割を果たします。チューブに対する光の相対速度をWで表すと、ガリレイ変換またはローレンツ変換が事実に対応するかどうかに応じて、式 ( A ) または ( B ) で表されます。実験1では相対性理論から導かれる式 ( B )が採用され、その一致は非常に正確です。ゼーマンによる最近の非常に優れた測定によれば、流速v が光の伝播に与える影響は、1 パーセント以内の誤差で式 ( B ) で表されます。

しかしながら、相対性理論が発表されるずっと以前に、この現象の理論がH・A・ローレンツによって提示されていたという事実に今こそ注目すべきである。この理論は純粋に電気力学的な性質を持ち、物質の電磁気的構造に関する特定の仮説を用いて得られた。しかしながら、この事実は、相対性理論を支持する決定的な検証としてのこの実験の決定的な信頼性を少しも損なうものではない。なぜなら、元の理論の基礎となったマクスウェル＝ローレンツの電気力学は、相対性理論とは全く相容れないからである。むしろ、相対性理論は、かつては互いに独立していた、電気力学の基礎となった仮説を驚くほど単純に組み合わせ、一般化したものとして、電気力学から発展してきたのである。

1フィゾーは を発見しました。ここでは液体の屈折率です。一方、 は1と比較して小さいため、( B ) を に置き換えるか、あるいは同じ近似値である に置き換えることができます。これはフィゾーの結果と一致します。 ↑

[コンテンツ]
XIV
相対性理論の発見的価値
これまでのページにおける我々の思考の流れは、次のように要約できる。経験から、一方では相対性原理が成り立つという確信が得られた。他方では、真空中の光の伝播速度は定数cに等しいとみなさなければならないという確信が得られた。これら二つの公理を統合することにより、我々は自然過程を構成する事象の直交座標と時間tに関する変換の法則を得た。この点において、我々はガリレイ変換ではなく、古典力学とは異なり、 ローレンツ変換を得た。

光の透過の法則は、我々の実際の知識によってその受け入れが正当化されており、この思考過程において重要な役割を果たした。しかし、ローレンツ変換を理解すれば、これを相対性原理と組み合わせ、理論を次のように要約することができる。

あらゆる一般自然法則は、元の座標系Kの時空変数の代わりに、座標系 K′ の新しい時空変数を導入したときに、全く同じ形式の法則に変換されるように構成されなければならない。この点において、通常の量と強調された量との関係はローレンツ変換によって与えられる。つまり、一般自然法則はローレンツ変換に関して共変的である。

これは相対性理論が自然法則に要求する明確な数学的条件であり、この条件のおかげで、相対性理論は一般自然法則の探索において貴重な発見的助けとなる。もしこの条件を満たさない一般自然法則が発見されたとしたら、相対性理論の二つの基本仮定のうち少なくとも一つは反証されたことになるだろう。では、相対性理論がこれまでにどのような一般的な結果を示してきたかを検証してみよう。

[コンテンツ]
XV
理論の一般的な結果
これまでの考察から、（特殊）相対性理論が電気力学と光学から発展してきたことは明らかである。これらの分野において、相対性理論は理論の予測を大きく変えたわけではないが、理論構造、すなわち法則の導出を著しく簡素化し、そして――比較にならないほど重要なこととして――理論の基礎となる独立した仮説の数を大幅に削減した。特殊相対性理論はマクスウェル＝ローレンツ理論を非常に説得力のあるものにしたため、たとえ実験によってその理論がそれほど明確に支持されなかったとしても、後者は物理学者に広く受け入れられていたであろう。

特殊相対性理論の要求に沿うためには、古典力学を修正する必要があった。しかしながら、この修正は主に、物質の速度vが光速に比べてそれほど小さくない高速運動の法則にのみ影響を及ぼす。このような高速運動は、電子とイオンの場合にしか経験されない。他の運動については、古典力学の法則からの変化はあまりにも小さく、実際には明らかではない。一般相対性理論について語るまでは、星の運動については考察しない。相対性理論によれば、質量mの物質点の運動エネルギーは、もはやよく知られた式では与えられない。

しかし、表現によって

この式は、速度v が光速cに近づくにつれて無限大に近づきます。したがって、加速を生み出すためにどれだけ大きなエネルギーが使われても、速度は常にcより小さくなければなりません。運動エネルギーの式を級数的に展開すると、次のようになります。

が1と比較して小さい場合、これらの項のうち3番目の項は常に2番目の項と比較して小さくなります。古典力学では後者だけが考慮されています。最初の項には速度が含まれていないため、質点のエネルギーが速度にどのように依存するかという問題のみを扱う場合は考慮する必要はありません。その本質的な重要性については後述します。

特殊相対性理論が導き出した一般的な性質を持つ最も重要な成果は、質量の概念に関するものである。相対性理論の出現以前、物理学は根本的に重要な二つの保存則、すなわちエネルギー保存の法則と質量保存の法則を認識していた。これらの二つの基本法則は、互いに全く独立しているように見えた。相対性理論によって、これらは一つの法則に統合された。ここで、この統合がどのように実現されたのか、そしてそれがどのような意味を持つのかについて簡単に考察する。

相対性原理によれば、エネルギー保存則は座標系Kに関してだけでなく、 K に対して等速直線運動しているあらゆる座標系K′ 、つまりあらゆる「ガリレオ」座標系に関しても成立する。古典力学とは対照的に、ローレンツ変換は、ある座標系から別の座標系への移行における決定的な要因となる。

比較的単純な考察によって、これらの前提とマクスウェルの電気力学の基本方程式とを結び付けて、次のような結論を導き出すことができる。速度vで運動する物体が、その過程で速度の変化を被ることなく、ある量のエネルギーを放射の形で吸収すると、その結果、その物体のエネルギーはある量だけ増加する。

物体の運動エネルギーに関する上記の式を考慮すると、物体に必要なエネルギーは次のようになる。

したがって、物体は速度vで運動する質量体と同じエネルギーを持つ。したがって、次のように言える。物体がエネルギー量を吸収すると、その慣性質量は量だけ増加する。物体の慣性質量は一定ではなく、物体のエネルギーの変化に応じて変化する。物体系の慣性質量は、そのエネルギーの尺度とさえみなせる。質量保存の法則はエネルギー保存の法則と同一であり、その系がエネルギーを吸収も放出もしない場合にのみ有効である。エネルギーの式を次のように書くと、

これまで注目してきた項 は、物体2がエネルギー を吸収する前に持っていたエネルギーに他ならないことがわかります。

この関係を実験と直接比較することは、現在（1920年、3注、48ページ参照）では不可能である。これは、系に与えるエネルギー変化が、系の慣性質量の変化として知覚できるほど大きくないからである。慣性質量は、エネルギー変化前の質量mと比較して小さすぎる。この状況のおかげで、古典力学は質量保存則を独立妥当性の法則として確立することができた。

最後に、根本的な点について一言付け加えておきたい。ファラデー＝マクスウェルによる遠隔電磁作用の解釈の成功により、物理学者たちは、ニュートンの万有引力の法則のような（媒質を介さない）遠隔瞬時作用は存在しないと確信するに至った。相対性理論によれば、光速度による遠隔作用は常に、遠隔瞬時作用、あるいは無限遠の伝達速度による遠隔作用に取って代わる。これは、速度 cがこの理論において基本的な役割を果たしているという事実と関連している。第2部では、この結果が一般相対性理論においてどのように修正されるかを見ていく。

1物体とともに動く座標系から判断すると、消費されるエネルギーです。 ↑

2体とともに動く座標系から判断すると。 ↑

3この方程式はそれ以来何度も徹底的に証明されてきました。 ↑

[コンテンツ]
XVI
経験と特殊相対性理論
特殊相対性理論は、どの程度まで経験によって裏付けられているのでしょうか。この問いは、フィゾーの基礎実験において既に述べた理由により、容易には答えられません。特殊相対性理論は、電磁気現象に関するマクスウェル・ローレンツ理論から結晶化したものです。したがって、電磁気理論を支持するすべての経験的事実は、相対性理論も支持しています。特に重要な点として、ここで言及したいのは、相対性理論によって、恒星から私たちに到達する光に及ぼされる影響を予測できるということです。これらの結果は非常に単純な方法で得られ、示された影響は、地球と恒星の相対運動に起因するものであり、経験と一致することが分かっています。ここで言及するのは、地球が太陽の周りを回る運動（行差）によって恒星の見かけの位置が毎年変動すること、そして恒星の地球に対する相対運動の動径成分が、恒星から私たちに到達する光の色に及ぼす影響です。後者の効果は、恒星から地球に届く光のスペクトル線が、地上光源から放射される同じスペクトル線の位置と比べてわずかにずれるという形で現れる（ドップラー原理）。マクスウェル＝ローレンツ理論を支持する実験的論拠は、同時に相対性理論を支持する論拠でもあるが、ここで列挙するにはあまりにも多すぎる。実際には、それらの論拠は理論的可能性を著しく制限しており、マクスウェルとローレンツの理論以外の理論は、経験的に検証された際にその独自性を証明することができていない。

しかし、これまでに得られた実験事実には、補助仮説を導入することによってのみマクスウェル-ローレンツ理論で表現できる 2 つのクラスがあり、それ自体では、つまり相対性理論を利用せずには、無関係に思えます。

放射性物質から放出される陰極線やいわゆるβ線は、負に帯電した粒子（電子）で構成され、慣性が非常に小さく速度が大きいことが知られています。これらの線が電場や磁場の影響下でどのように偏向するかを調べることで、これらの粒子の運動法則を非常に正確に研究することができます。

これらの電子を理論的に扱う際、電気力学理論だけではその性質を説明できないという困難に直面する。なぜなら、同じ符号の電荷は互いに反発し合うため、電子を構成する負の電荷は、それらの間に別の種類の力が作用しない限り、必然的に相互反発の影響を受けて散乱するからである。その性質はこれまで我々には不明であった。1 ここで、電子を構成する電荷間の相対距離が電子の運動（古典力学の意味での剛体結合）の間、変化しないと仮定すると、経験とは一致しない電子の運動法則に辿り着く。純粋に形式的な観点から、H・A・ローレンツは、電子の形状が運動の結果として運動方向に収縮するという仮説を初めて提唱した。収縮した長さは、次の式に比例する。この仮説は、いかなる電気力学的な事実によっても正当化されるものではないが、近年非常に正確に確認された特定の運動法則を我々に与えてくれる。

相対性理論は、電子の構造や挙動に関する特別な仮説を一切必要とせずに、同じ運動法則を導きます。第13節では、フィゾーの実験に関連して同様の結論に達しましたが、その結果は、液体の物理的性質に関する仮説を必要とせずに、相対性理論によって予言されていました。

我々が言及した2番目の事実群は、宇宙空間における地球の運動を地上実験で知覚できるかどうかという問題に関係している。この種の試みはすべて否定的な結果に終わったことは、すでに第5節で述べた。相対性理論が提唱される以前は、この否定的な結果を受け入れることは困難であったが、その理由は後述する。時間と空間に関する受け継がれた偏見により、ある基準物体から別の基準物体への切り替えにおけるガリレイ変換の根本的重要性について、いかなる疑問も生じなかった。そこで、マクスウェル-ローレンツ方程式が基準物体Kに対して成立すると仮定すると、ガリレイ変換の関係が KとK ′の座標系間に存在すると仮定した場合、Kに関して一様に運動する基準物体K′に対しては、この方程式は成立しないことがわかる。したがって、すべてのガリレイ座標系の中で、特定の運動状態に対応するもの ( K ) は物理的に唯一であることがわかる。この結果は、 K が仮想的な空間エーテルに対して静止しているとみなすことで物理的に解釈された。一方、Kに対して相対的に運動するすべての座標系K′は、エーテルに対して運動しているとみなされる。エーテルに対するK′のこの運動（ K′に対する「エーテルドリフト」 ）により、 K′に対して成立すると考えられるより複雑な法則が生じた 。厳密に言えば、このようなエーテルドリフトは地球に対しても成立すると仮定されるべきであり、物理学者たちは長年にわたり、地表におけるエーテルドリフトの存在を検出しようと努力してきた。

こうした試みの中で最も注目すべきものの一つとして、マイケルソンは決定的な方法であるように思える方法を考案しました。剛体上に反射面が互いに向き合うように配置された二つの鏡を想像してみてください。系全体がエーテルに対して静止している場合、光線が一方の鏡からもう一方の鏡へ、そしてまた戻ってくるのには、完全に一定の時間Tが必要です。しかし、物体と鏡がエーテルに対して相対的に動いている場合、この過程には わずかに異なる時間T′が必要であることが計算によって分かります。さらにもう一つ、エーテルに対する速度vが与えられた場合、物体が鏡の面に対して垂直に動いているときの時間T′と、運動がこれらの面に平行に動いているときの時間T′が異なることが計算によって示されています。この二つの時間の差は推定値として極めて小さいものの、マイケルソンとモーリーは干渉を伴う実験を行い、この差が明確に検出できるはずでした。しかし、この実験は否定的な結果をもたらしました。これは物理学者を非常に困惑させる事実です。ローレンツとフィッツジェラルドは、エーテルに対する物体の運動が運動方向への物体の収縮を引き起こし、その収縮量は前述の時間差をちょうど補償するのに十分であると仮定することで、理論をこの困難から救い出した。第 12節の議論と比較すると、相対性理論の観点からも、この困難の解決法が正しいことがわかる。しかし、相対性理論に基づく解釈の方法は、比較にならないほど満足のいくものである。この理論によれば、エーテルの概念を導入するきっかけとなるような「特別に有利な」（唯一の）座標系など存在せず、したがってエーテルの漂流も、それを実証する実験も存在しない。ここで、運動物体の収縮は、特別な仮説を導入することなく、理論の二つの基本原理から導かれる。そして、この収縮に関わる主要な要因として、私たちが何の意味も付与できない運動そのものではなく、特定の事例において選択された参照物体に対する運動が挙げられます。したがって、地球と共に移動する座標系では、マイケルソンとモーリーの鏡面反射系は短縮されませんが、太陽に対して静止している座標系では短縮されます。

1一般相対性理論によれば、電子の電気的質量は重力によって結合されている可能性が高いと考えられます。 ↑

[コンテンツ]
XVII
ミンコフスキーの四次元空間
数学者でない人は、「四次元」という言葉を聞くと、神秘的な戦慄に襲われる。それはオカルト的な思考によって呼び起こされる感覚に似たものだ。しかし、私たちが住む世界が四次元の時空連続体であるというのは、これほどありふれた言葉はない。

空間は三次元連続体である。これは、ある点（静止している）の位置を3つの数（座標）で記述することができ、その点の近傍には無数の点があり、その位置は のような座標で記述でき、それらの座標は最初の点の座標 のそれぞれの値にどれだけ近くてもよいことを意味する。後者の性質から私たちは「連続体」と呼び、3つの座標があるという事実からそれを「三次元」と呼ぶ。

同様に、ミンコフスキーが簡潔に「世界」と呼んだ物理現象の世界は、時空の意味で当然四次元である。というのは、それは個々の事象から成り、各事象は四つの数、すなわち三つの空間座標 と一つの時間座標、すなわち時間値tで記述されるからである。この意味で「世界」は連続体でもある。なぜなら、すべての事象に対して、私たちが選ぶのと同じ数の「隣接する」事象（実現されているか、少なくとも考えられ得るもの）があり、それらの座標は、 当初考えていた事象の座標とは無限に小さな量だけ異なるからである。私たちがこの意味で世界を四次元連続体とみなすことに慣れていないのは、相対性理論の出現以前の物理学では、時間は空間座標と比較して異なる、より独立した役割を果たしていたという事実による。この理由から、私たちは時間を独立した連続体として扱う習慣がある。実際、古典力学によれば、時間は絶対的であり、つまり座標系の位置や運動条件とは無関係である。これはガリレイ変換の最後の式（）に表されている。

相対性理論によれば、時間は独立性を失っているため、「世界」を四次元的に考察することは自然である。これはローレンツ変換の四番目の方程式によって示される。

さらに、この式によれば、 K′に関する 2 つのイベントの時間差は、Kに関する同じイベントの時間差がゼロになったとしても、一般にはゼロになりません。K に関する 2 つのイベントの純粋な「空間距離」は、K ′に関する同じイベントの「時間距離」になります。しかし、相対性理論の形式的発展にとって重要であったミンコフスキーの発見は、ここにはありません。むしろ、相対性理論の 4 次元時空連続体が、その最も本質的な形式的特性において、ユークリッド幾何学的空間の 3 次元連続体と顕著な関係を示していることを彼が認識したという事実にあります。1 ただし、この関係を適切に目立たせるためには、通常の時間座標 t を、それに比例する虚数の大きさに置き換えなければなりません。これらの条件下では、（特殊）相対性理論の要求を満たす自然法則は数学的な形をとり、その中で時間座標は三つの空間座標と全く同じ役割を果たす。形式的には、これらの四つの座標はユークリッド幾何学における三つの空間座標と正確に対応している。数学者でなくても、この純粋に形式的な知識の付加の結果として、理論が必然的に少なからず明確になったことは明らかである。

これらの不十分な記述では、ミンコフスキーが寄与した重要な概念について、読者は漠然とした理解しか得られない。この概念がなければ、以下のページでその基本的な概念が展開される一般相対性理論は、おそらくその先へは進めなかっただろう。ミンコフスキーの著作は、数学に不慣れな者にとっては難解であることは間違いないが、特殊相対性理論あるいは一般相対性理論の基本的な概念を理解するために、この著作を厳密に理解する必要はないため、ここではこの部分については割愛し、第2部の終盤で改めて触れることにする。

1付録IIのより詳細な議論を参照してください。 ↑

第2部
一般相対性理論
[コンテンツ]
XVIII
特殊相対性原理と一般相対性原理
これまでの考察の核心となった基本原理は、 特殊相対性原理、すなわちあらゆる等速運動の物理的相対性の原理であった。その意味をもう一度注意深く分析してみよう。

運動が私たちに伝える観念の観点から、あらゆる運動は相対的な運動としてのみ考えられなければならないことは、常に明らかであった。盛土と鉄道車両の例を頻繁に用いてきたが、ここでの運動は、以下の二つの形で表現することができる。どちらも同様に正当化できる。

（あ）車両は土手に対して動いている。
（イ）盛土は車両に対して動いています。

( a )では盛土、( b ) では車両が、発生している運動を記述する際の参照物体として機能します。単に運動を検出または記述するだけの問題であれば、運動をどの参照物体に参照するかは原則的に重要ではありません。既に述べたように、これは自明ですが、私たちが研究の基礎としている「相対性原理」と呼ばれる、はるかに包括的な記述と混同してはなりません。

私たちが用いた原理は、出来事を記述するための参照物体として、馬車と土手はどちらも同じように選択できる（これも自明である）という主張にとどまらない。むしろ、私たちの原理は次のようなことを主張している。すなわち、経験から得られる自然法則を、

（あ）堤防を参照体として
（イ）基準体としての鉄道車両、
すると、これらの一般的な自然法則（例えば、力学法則や真空中における光の伝播の法則）は、どちらの場合も全く同じ形をとる。これは次のようにも表現できる。自然過程の物理的記述においては、参照物体KとK′のどちらも、他方と比較して唯一（文字通り「特別に区別されている」）ではない。前者とは異なり、後者の記述は必ずしも先験的に成立する必要はない。それは「運動」や「参照物体」の概念に含まれておらず、それらから導出できるものでもない。その正誤は 経験によってのみ判断できる。

しかしながら、現在まで、我々は自然法則の定式化に関して、すべての参照物体Kの等価性を決して主張してこなかった。我々の進路は、むしろ次のような方向であった。まず第一に、我々は参照物体Kが存在するという仮定から出発した。参照物体 Kの運動条件は、ガリレオの法則がそれに関して成立するというものである。すなわち、他のすべての粒子から十分に離れた、それ自体に置かれた粒子は、一様直線運動をする。K (ガリレオ参照物体) を基準とすれば、自然法則は可能な限り単純になるはずであった。しかし、この意味ではKに加えて、すべての参照物体K′ が優先されるべきであり、それらが Kに関して一様直線運動かつ非回転運動の状態にある限り、自然法則の定式化に関してKと完全に等価であるはずである。これらの参照物体はすべてガリレオ参照物体とみなされる。相対性原理の妥当性はこれらの参照物体についてのみ仮定され、他の参照物体 (例えば、異なる種類の運動をする参照物体) については仮定されなかった。この意味で、私たちは特殊相対性原理、または特殊相対性理論について話します。

これとは対照的に、「一般相対性原理」とは、次のような命題であると理解したい。すなわち、すべての参照物体K、K′などは、その運動状態がどのようなものであろうと、自然現象の記述（自然一般法則の定式化）において等価である、ということである。しかし、先に進む前に、この定式化は、後の段階で明らかになる理由により、より抽象的な定式化に置き換えられなければならないことを指摘しておくべきである。

特殊相対性原理の導入が正当化されて以来、一般化を目指すあらゆる知性は、一般相対性原理へと踏み込もうとする誘惑に駆られるに違いありません。しかし、単純で一見極めて信頼できる考察から、少なくとも現時点では、そのような試みが成功する見込みはほとんどないことが示唆されているようです。ここで、我々の旧友である鉄道車両が等速で走行しているところを想像してみましょう。車両が等速で走行している限り、車両の乗員は車両の運動を感知しません。そのため、乗員は車両が静止しているのではなく、土手が動いていると、この事実を躊躇なく解釈できるのです。さらに、特殊相対性原理によれば、この解釈は物理的な観点からも全く正当化されます。

例えばブレーキを強く踏むなどして、車両の運動が非等速運動に変化した場合、車両の乗員はそれに応じて強い前方への衝撃を経験する。この減速運動は、車両内の乗員に対する物体の力学的挙動に現れる。この力学的挙動は、先に検討したケースとは異なるため、静止時または等速運動中の車両に関して成立するのと同じ力学的法則が、非等速運動する車両に対して成立することは不可能と思われる。いずれにせよ、ガリレオの法則は非等速運動する車両には成立しないことは明らかである。このため、我々は現時点では、相対性の一般原理に反して、非等速運動にある種の絶対的な物理的実在性を認めざるを得ない。しかし、以下ですぐに、この結論は維持できないことがわかるだろう。

[コンテンツ]
XIX
重力場
「石を拾って放すと、なぜ地面に落ちるのでしょうか？」この質問に対する通常の答えは、「地面に引き寄せられるから」です。しかし、現代物理学では、以下の理由から、この答えはやや異なる形で提示されます。電磁気現象のより綿密な研究の結果、私たちは遠隔作用を何らかの媒介媒体の介在なしには不可能な過程とみなすようになりました。例えば、磁石が鉄片を引き寄せる場合、これを磁石が媒介空間を介して鉄片に直接作用するという意味と捉えるだけでは満足できず、ファラデーに倣って、磁石は常に周囲の空間に物理的に実在する何か、いわゆる「磁場」を呼び起こすと想像せざるを得ません。そして、この磁場は鉄片に作用し、鉄片は磁石に向かって移動しようとします。この偶発的な概念の正当性については、実にやや恣意的なため、ここでは議論しません。ここで言及しておきたいのは、電磁気現象は、その助けを借りれば、それがない場合よりもはるかに理論的に十分に表現できることであり、これは特に電磁波の伝播に当てはまる。重力の影響も同様に考えられる。

地球が石に及ぼす作用は間接的に起こります。地球は周囲に重力場を作り出し、それが石に作用して落下運動を引き起こします。経験的に分かっているように、物体への作用の強さは、地球からどんどん遠ざかるにつれ、明確な法則に従って弱まります。私たちの観点からすると、これは次のことを意味します。作用する物体からの距離に伴う重力作用の減少を正しく表すためには、空間における重力場の特性を支配する法則は、完全に明確なものでなければなりません。それは次のようなものです。物体 (たとえば地球) は、そのすぐ近くに場を直接作り出します。物体から離れた地点での場の強さと方向は、重力場自体の空間における特性を支配する法則によって決まります。

電場や磁場とは対照的に、重力場は非常に注目すべき性質を示し、これは後述する事柄にとって根本的に重要です。重力場のみの影響下で運動する物体は加速度を受けますが、 その加速度は物体の材質や物理的状態に全く依存しません。例えば、鉛片と木片は、静止状態から、あるいは同じ初速度で動き出すと、重力場（真空中）において全く同じように落下します。この最も正確に成り立つ法則は、以下の考察に照らして、別の形で表現することができます。

ニュートンの運動の法則によれば、

（力）＝（慣性質量）（加速度）

ここで「慣性質量」は加速される物体の特性定数である。重力が加速の原因であるとすると、

（力）＝（重力質量）（重力場の強度）

ここで「重力質量」は同様に物体の特性定数である。これら2つの関係から次の式が導かれる。

経験から分かるように、加速度は物体の性質や状態に依存せず、与えられた重力場に対して常に一定であるならば、重力質量と慣性質量の比もすべての物体で等しくなければなりません。したがって、適切な単位を選択すれば、この比を1にすることができます。すると、次の法則が成り立ちます。物体の重力質量はその慣性質量に等しい。

この重要な法則はこれまで力学において記録されていたものの、解釈されてこなかったのは事実である。納得のいく解釈は、次の事実を認識することによってのみ得られる。すなわち、物体の同一の性質が、状況に応じて「慣性」あるいは「重さ」（文字通り「重さ」）として現れるということである。次の節では、これが実際にどの程度当てはまるのか、そしてこの問題が一般相対性理論の公理とどのように関連しているのかを示す。

[コンテンツ]
XX
一般相対性理論の根拠としての慣性質量と重力質量の等価性
星やその他の顕著な質量から遠く離れた、ガリレイの基本法則が要求する条件をほぼ満たす広大な空間を想像してみてください。すると、この空間（世界）の一部にガリレイの基準物体を選ぶことができ、静止している点は静止したまま、運動している点は等速直線運動を永続的に続けることになります。基準物体として、装置を備えた観測者がいる、部屋のような広々とした箱を想像してみましょう。当然、この観測者には重力は存在しません。観測者は紐で床に固定されている必要があります。さもないと、床に少しでも衝撃が加わると、ゆっくりと部屋の天井に向かって上昇してしまいます。

箱の蓋の中央には、ロープの付いたフックが外側から固定されており、ある「存在」（私たちにとっては実体のない存在）が一定の力でこれを引っ張り始める。すると、箱は観測者と共に等加速度運動で「上向き」に動き始める。やがて、その速度はかつて聞いたこともないほどの数値に達するだろう。ただし、このすべてを、ロープで引っ張られていない別の基準物体から観測しているという前提での話だ。

しかし、チェストの中にいる人間はこの過程をどう見ているのだろうか？チェストの加速度は、チェストの底部の反作用によって彼に伝達される。したがって、床に横たわりたくないのであれば、彼は脚を使ってこの圧力を吸収しなければならない。つまり、彼はチェストの中に立っているのであり、これは地球上の誰かが家の部屋の中に立っているのと全く同じである。彼が手に持っていた物体を放すと、チェストの加速度はもはやこの物体に伝達されず、そのため物体は加速された相対運動をしながらチェストの底部に近づくことになる。さらに、観察者は、実験にどのような物体を用いたとしても、チェストの底部に向かう物体の加速度は常に同じ大きさであると確信するだろう。

箱の中の男は、重力場に関する知識（前節で論じたように）を頼りに、自分と箱が時間に対して一定の重力場の中にいるという結論に達する。もちろん、彼は一瞬、なぜ箱がこの重力場の中に落ちないのかと不思議に思うだろう。しかし、ちょうどその時、彼は箱の蓋の中央にあるフックと、それに繋がるロープを発見し、結果として箱が重力場の中に静止しているという結論に達する。

この男に微笑みかけ、彼の結論は間違っていると言うべきだろうか？ 一貫性を保ちたいのであれば、そうすべきではないと私は思う。むしろ、彼の状況把握の仕方は理性にも既知の力学法則にも反していないことを認めなければならない。最初に考察した「ガリレオ空間」に対して加速されているにもかかわらず、胸部は静止していると見なすことができる。このように、相対性原理を拡張し、互いに加速されている基準物体を含める十分な根拠が得られ、結果として、一般相対性公理を支持する強力な論拠が得られたのである。

この解釈方法の可能性は、すべての物体に等しい加速度を与えるという重力場の基本的な性質、すなわち慣性質量と重力質量の等価性の法則に基づいていることを注意深く認識する必要がある。もしこの自然法則が存在しなければ、加速された胸の中にいる人間は、重力場の存在を仮定して周囲の物体の挙動を解釈することができず、経験に基づいて自身の基準物体が「静止している」と仮定することも正当化されないだろう。

箱の中の人が蓋の内側にロープを固定し、ロープの自由端に物体を取り付けたとしよう。その結果、ロープは「垂直」に下向きに垂れ下がる。ロープの張力の原因について意見を求めると、箱の中の人はこう言うだろう。「吊り下げられた物体は重力場から下向きの力を受け、ロープの張力によってこの力が打ち消される。ロープの張力の大きさを決めるのは、吊り下げられた物体の重力質量だ」。一方、宇宙空間に自由に浮かんでいる観測者は、この状況をこう解釈するだろう。「ロープは必然的に箱の加速運動に加わり、この運動を吊り下げられた物体に伝える。ロープの張力は、物体の加速を引き起こすのにちょうど十分な大きさである。ロープの張力の大きさを決めるのは、 物体の慣性質量だ」。この例に導かれるように、相対性原理の拡張は、慣性質量と重力質量の等価性の法則の必然性を意味することがわかります。こうして、この法則の物理的な解釈が得られました。

加速された胸部に関する考察から、一般相対性理論は重力の法則に関する重要な結果をもたらすはずだと分かります。実際、相対性理論の一般的な概念を体系的に追求することで、重力場が満たす法則が明らかになりました。しかしながら、先に進む前に、これらの考察から生じる誤解について読者に警告しておかなければなりません。最初に選択された座標系には重力場が存在しないにもかかわらず、胸部内の人物には重力場が存在するのです。さて、重力場の存在は常に見かけ上のものに過ぎないと容易に考えてしまうかもしれません。また、存在する重力場の種類に関わらず、それに関して重力場が存在しないような別の基準物体を常に選択できると考えるかもしれません。これは決してすべての重力場に当てはまるわけではなく、非常に特殊な形態の重力場にのみ当てはまります。たとえば、地球の重力場が（全体として）消滅すると判断されるような基準物体を選択することは不可能です。

第18章の最後で相対性理論の一般原理に反論した議論が、なぜ説得力に欠けるのか、今や理解できるだろう。確かに、鉄道車両内の観測者はブレーキの作用によって前方への衝撃を経験し、その中で車両の不均一な動き（減速）を認識する。しかし、この衝撃を車両の「真の」加速（減速）と関連付けることを、観測者は誰にも強制されていない。観測者は自身の経験を次のように解釈することもできる。「私の参照物体（車両）は永久に静止している。しかし、（ブレーキが作用している間）それに関して、前方に向けられ、時間とともに変化する重力場が存在する。この重力場の影響下で、盛土は地球とともに不均一に動き、後方への元の速度が継続的に減少する。」

[コンテンツ]
XXI
古典力学と特殊相対性理論の基礎はどのような点で不十分なのか?
古典力学は、他の物質粒子から十分に離れた物質粒子は、一様な直線運動を続けるか、静止状態を維持するという法則から出発することを、我々は既に何度か述べてきた。また、この基本法則は、特定の固有の運動状態を持ち、かつ互いに一様な並進運動を続ける参照物体Kに対してのみ成立することを繰り返し強調してきた。他の参照物体Kに対しては、この法則は成立しない。したがって、古典力学と特殊相対性理論の両方において、我々は、認識されている「自然法則」が成立すると言える 参照物体Kと、これらの法則が成立しない参照物体Kとを区別している。

しかし、論理的な思考様式を持つ人は、このような状況に満足することはできない。彼は問う。「ある基準物体（あるいはその運動状態）が他の基準物体（あるいはその運動状態）よりも優先されるのはなぜだろうか？ なぜこのような優先が与えられるのだろうか？」この問いが何を意味しているかを明確に示すために、比較を用いてみよう。

私はガスコンロの前に立っています。コンロの上には、どちらかがもう一方と間違えられそうなほどよく似た二つの鍋が並んで立っています。どちらも半分水が入っています。片方の鍋からは蒸気が絶えず出ているのに、もう片方からは出ていないことに気づきます。ガスコンロも鍋も見たことがない私でさえ、このことに驚きます。しかし、もし今、片方の鍋の下には青みがかった光るものがあり、もう片方の鍋の下にはそれがないことに気づいたら、たとえガスの炎を見たことがなくても、驚きは収まります。なぜなら、この青みがかった何かが蒸気の噴出を引き起こしている、あるいは少なくともその可能性があるとしか言えないからです。しかし、どちらの場合も青みがかった何かに気づかず、片方からは蒸気が絶えず出ているのに、もう片方からは出ていないとしたら、二つの鍋の挙動の違いの原因となる何らかの状況が見つかるまでは、私は驚きと不満を抱き続けるでしょう。

同様に、私は古典力学（あるいは特殊相対性理論）において、参照系KとKに関して考察する物体の異なる挙動を説明できる何か実在するものを探し求めているが、無駄である。1ニュートンはこの反論に気づき、それを否定しようと試みたが、成功しなかった。しかし、 E .マッハはこれを誰よりも明確に認識し、この反論ゆえに力学は新たな基盤の上に置かなければならないと主張した。この反論は、相対性理論の一般原理に適合する物理学によってのみ排除できる。なぜなら、そのような理論の方程式は、その運動状態がどのようなものであろうと、あらゆる参照体に対して成立するからである。

1この反論は、参照物体の運動状態がその維持に外部の機関を必要としない性質のものである場合、 例えば参照物体が均一に回転している場合に特に重要となる。 ↑

[コンテンツ]
XXII
一般相対性原理からのいくつかの推論
第XX節の考察は、相対性理論の一般原理によって、純粋に理論的な方法で重力場の特性を導き出せることを示しています。たとえば、ガリレオ領域でガリレオ基準体 K を基準として自然過程がどのように起こるかに関して、その時空の「経過」がわかっているとします。すると、純粋に理論的な操作 (つまり、単なる計算)によって、この既知の自然過程が、 Kに対して加速されている基準体K′から見たときにどのように現れるかがわかります。しかし、この新しい基準体Kを基準として重力場が存在するため 、この考察から、研究対象の過程に重力場がどのように影響するかもわかります。

例えば、ガリレイの法則に従ってKに対して等速直線運動している物体は、加速されている基準物体K′ （胸郭）に対して加速運動し、一般に曲線運動をしていることがわかります。この加速または曲率は、 Kに対して相対的に支配的な重力場が運動する物体に及ぼす影響に対応します。重力場がこのように物体の運動に影響を及ぼすことは既知であるため、ここでの考察は本質的に新しいものではありません。

しかし、光線についても同様の考察を行うと、根本的に重要な新たな結果が得られます。ガリレオの基準物体Kを基準とすると、このような光線は速度cで直線的に伝播します。同じ光線の軌跡を、加速された胸郭（基準物体K′ ）を基準として考えると、もはや直線ではないことが容易に示せます。このことから、一般に、光線は重力場において曲線的に伝播するという結論が導き出されます。この結果は、2つの点で非常に重要です。

まず第一に、それは現実と比較できる。この問題を詳細に検討すると、一般相対性理論が要求する光線の曲率は、実際に利用可能な重力場に対しては極めて小さいことが示されるが、それでも太陽に斜入射する光線の曲率は1.7秒角と推定される。これは次のように示されるはずである。地球から見ると、いくつかの恒星は太陽の近傍にあるように見え、したがって皆既日食の際に観測可能である。そのような時、これらの星は、太陽が天空の別の場所にあるときの見かけの位置と比較して、上記に示した量だけ太陽から外側にずれているように見えるはずである。この推論の正否を検証することは極めて重要な問題であり、その早期解決は天文学者に期待される。1

第二に、我々の結果は、一般相対性理論によれば、特殊相対性理論の 2 つの基本仮定のうちの 1 つを構成し、我々がすでに何度も言及してきた真空中の光速度不変の法則は、無制限の妥当性を主張することはできないことを示している。光線の曲がりは、光の伝播速度が位置によって変化する場合にのみ発生し得る。さて、この結果として特殊相対性理論、そしてそれとともに相対性理論全体が過去のものとなると考えるかもしれない。しかし、現実にはそうではない。特殊相対性理論は無制限の妥当性領域を主張することはできないと結論することしかできず、その結果は、現象 (たとえば光) に対する重力場の影響を無視できる限りにおいてのみ成り立つのである。

相対性理論の反対者たちは、特殊相対性理論は一般相対性理論によって覆されたとしばしば主張してきたため、適切な比較によって事実関係をより明確にしておくのが賢明だろう。電気力学が発展する以前は、静電気の法則は電気の法則とみなされていた。現在では、静電的考察から電場を正しく導くことができるのは、厳密には実現されていないケース、すなわち、電気的質量が互いに対して、そして座標系に対して完全に静止している場合のみであることが分かっている。この理由から、静電気は電気力学におけるマクスウェルの場の方程式によって覆されたと言えるだろうか？全くそうではない。静電気は電気力学の極限ケースとして含まれており、電場が時間に関して不変である場合、後者の法則は前者の法則に直接つながる。いかなる物理理論にも、それが自らより包括的な理論の導入への道を示し、その中で極限的なケースとして生き続けることほど、公平な運命は与えられないであろう。

先ほど扱った光の透過の例では、一般相対性理論によって、重力場が自然現象の進行に及ぼす影響を理論的に導くことができることが分かりました。重力場が存在しない場合には、その法則は既に知られています。しかし、一般相対性理論が鍵を提供する最も魅力的な問題は、重力場自体が満たす法則の探求です。この点について少し考えてみましょう。

我々は、適切な基準物体の選択によって（近似的に）「ガリレイ的」に振舞う時空領域、すなわち重力場が存在しない領域を知っている。今、そのような領域を、何らかの運動をする基準物体K′に関連付けると、 K′に対して、空間と時間に関して変化する重力場が存在する。2この場の特性は、もちろんK′に選択された運動に依存する。一般相対性理論によれば、このようにして得られるすべての重力場について、重力場の一般法則が満たされなければならない。決してすべての重力場をこのように生成できるわけではないが、そのような特殊な重力場から一般重力法則を導出できるという希望を抱くことができる。この希望は、最も美しい方法で実現された。しかし、この目標を明確に思い描き、それを実際に実現するまでには、深刻な困難を克服する必要がありました。これは物事の根源に深く根ざしているため、読者にお伝えするのをあえて控えることはできません。私たちは時空連続体に関する私たちの考えをさらに発展させる必要があります。

1英国王立天文学会と英国王立天文学会の合同委員会が装備した2つの探検隊の星の写真により、理論で要求されている光の偏向の存在は、1919年5月29日の日食の際に初めて確認されました。（付録IIIを参照） ↑

2これは第XX節の議論の一般化から導かれるものである。 ↑

[コンテンツ]
XXIII
回転基準体上における時計と測定棒の挙動
これまで私は、一般相対性理論における空間および時間データの物理的解釈について、意図的に言及を避けてきました。その結果、ある種のずさんな扱いをしてしまったことは否めません。特殊相対性理論から分かるように、これは決して軽視できるものではなく、許されるものでもありません。今こそこの欠陥を正すべき時です。しかし、冒頭に申し上げておきたいのは、この問題は読者の忍耐力と抽象化の力に少なからぬ負担をかけるということです。

これまで頻繁に用いてきた極めて特殊なケースから、再び出発点を見よう。適切に運動状態が選ばれた基準物体Kに対して重力場が存在しない時空領域を考えよう。 Kは、この領域に関してガリレオ基準物体となり、特殊相対性理論の結果はKに関して成り立つ。同じ領域が、 Kに対して一様に回転する別の基準物体K′を参照しているとしよう。考えを確定させるために、K′が平面円板であり、自身の平面内で中心の周りを一様に回転するとしよう。円板K′上に偏心して座っている観測者は、放射状に外向きに働く力を感じ取る。この力は、元の基準物体Kに対して静止していた観測者であれば、慣性（遠心力）の影響と解釈されるであろう。しかし、円板上の観測者は、自分の円板を「静止している」基準物体と見なすかもしれない。一般相対性原理に基づけば、彼がそうすることは正当化される。彼は、自分自身、そして実際には円盤に対して静止している他のすべての物体に作用する力を、重力場の効果とみなす。しかしながら、この重力場の空間分布は、ニュートンの重力理論ではあり得ない種類のものである。1しかし、観測者は一般相対性理論を信じているため、これは彼を悩ませるものではない。彼は、一般重力法則――星の運動を正しく説明するだけでなく、自分自身が経験する力場も――を定式化できると信じること自体が全く正しいのである。

観測者は、時計と物差しを用いて円板上で実験を行う。その際、観測者は円板K′を基準として、時間と空間のデータの意味について、自身の観測に基づいた正確な定義に到達することを意図する。この試みにおいて、彼はどのような経験をするだろうか？

まず、彼は同一構造の時計 2 台のうち 1 台を円板の中心に、もう 1 台を円板の端に置き、円板に対して静止させます。ここで、回転しないガリレイの基準物体Kから見て、両方の時計が同じ速度で進んでいるかどうかを考えます。この物体から判断すると、円板の中心にある時計には速度がありませんが、円板の端にある時計は回転の結果、Kに対して動いています。第12節で得られた結果によれば、後者の時計は、円板の中心にある時計、つまりKから観測される時計よりも常に遅い速度で進んでいます。円板の中心で時計の横に座っている観測者を想像すると、同じ効果が観察されることは明らかです。したがって、この円板上、あるいはより一般的に言えば、あらゆる重力場において、時計は、その位置 (静止) に応じて、より速く進んだり、より遅く進んだりすることになります。このため、基準物体に対して静止した状態で配置された時計を用いて、時間の合理的な定義を得ることは不可能である。このような場合に、前述の同時性の定義を適用しようとすると、同様の困難が生じるが、この問題についてはこれ以上深く掘り下げることはしない。

さらに、この段階では、空間座標の定義にも克服できない困難が伴います。 観測者が標準的な測定棒 (円盤の半径に比べて短い棒) を円盤の縁に接線方向に当てると、ガリレオ方式から判断すると、棒の長さは 1 未満になります。これは、第12章 によれば、運動物体は運動の方向に短縮するからです。 一方、測定棒を半径の方向に円盤に当てた場合、 Kから判断すると、測定棒の長さは短縮しません。 その場合、観測者が最初に測定棒で円盤の円周を測定し、次に円盤の直径を測定し、一方を他方で割ったとき、商としてよく知られている数ではなく、より大きな数2が得られます。 一方、もちろん、 Kに対して静止している円盤の場合、この操作によって正確に次の数が得られます。これは、ユークリッド幾何学の命題が回転円盤上、そして一般の重力場においても、少なくともあらゆる位置と方向において棒の長さ1を仮定する場合には、厳密には成立しないことを証明している。したがって、直線という概念も意味を失う。したがって、特殊理論を議論する際に用いられる方法を用いて円盤に対する相対座標を正確に定義することは不可能であり、事象の座標と時刻が定義されていない限り、それらが生じる自然法則に正確な意味を与えることはできない。

このように、一般相対性理論に基づくこれまでの結論はすべて疑問視されることになるだろう。しかし実際には、一般相対性理論の公理を正確に適用するためには、微妙な回り道をしなければならない。以下の段落で、読者にこの点について説明しよう。

1磁場はディスクの中心で消え、外側へ進むにつれて中心からの距離に比例して増加します。 ↑

2この考察全体を通して、ガリレオ式（非回転）K を参照物体として使用する必要があります。これは、特殊相対性理論の結果の妥当性はKを基準としてのみ想定できるためです（K′ を基準とすると重力場が優先されます）。 ↑

[コンテンツ]
XXIV
ユークリッド連続体と非ユークリッド連続体
大理石のテーブルの表面が目の前に広がっています。このテーブル上の任意の点から他の任意の点へは、ある点から「隣接する」点へと連続的に移動し、このプロセスを（何度も）繰り返すことで移動できます。言い換えれば、「ジャンプ」をすることなく点から点へと移動することで移動できます。読者の皆様は、ここで私が「隣接する」点と「ジャンプ」という言葉で何を意味しているかを（あまり衒学的でなければ）十分に理解していただけると思います。私たちは、表面のこの性質を、表面を連続体として表現します。

今度は、大理石の板の寸法に比べて短い、等しい長さの小さな棒が多数作られていると想像してみましょう。等しい長さというのは、どの棒の上にも端が重ならないように置けることを意味します。次に、これらの小さな棒を 4 本、大理石の板の上に置き、対角線の長さが等しい四辺形 (正方形) を形成します。対角線の長さが等しいことを確認するために、小さなテスト用の棒を使います。この正方形に、最初の正方形と 1 本の棒を共有する同様の正方形を追加します。同様にして、これらの正方形を 1 つずつ配置し、最終的に大理石の板全体に正方形を配置します。配置は、正方形の各辺が 2 つの正方形、各角が 4 つの正方形に属するようなものになります。

この作業を大きな困難に陥ることなく進められるのは、実に驚くべきことです。次の点だけを考えれば十分です。ある瞬間に3つの正方形が角で交わる場合、4つ目の正方形の2辺は既に敷設されており、結果として、正方形の残りの2辺の配置は既に完全に決定されています。しかし、もはや四角形の対角線が等しくなるように調整することはできません。もし対角線が自然に等しくなるのであれば、これは大理石の板と小さな棒の特別な恩恵であり、私はただ感謝するしかありません。建設を成功させるには、このような驚きを数多く経験しなければなりません。

もしすべてが本当に順調に進んだとすれば、大理石の板の点は、「距離」（線間隔）として用いられた小さな棒に関してユークリッド連続体を形成していると言える。正方形の1つの角を「原点」として選ぶことで、この原点を基準として、正方形の他のすべての角を2つの数値で特徴付けることができる。原点から「右」へ、そして「上」へ進む際に、問題の正方形の角に到達するために何本の棒を通過する必要があるかを述べるだけでよい。そして、これら2つの数値は、小さな棒の配置によって決定される「直交座標系」を基準とした、この角の「直交座標」となる。

この抽象的な実験に以下の修正を加えることで、実験が失敗するケースも存在することを認識できます。棒は温度上昇に比例して「膨張」すると仮定します。大理石の板の中央部分を加熱しますが、周縁部は加熱しません。その場合でも、テーブルのどの位置でも2本の小さな棒を一致させることができます。しかし、加熱中に正方形の配置は必然的に乱れてしまいます。なぜなら、テーブルの中央部分の小さな棒は膨張しますが、周縁部の小さな棒は膨張しないからです。

単位長さとして定義された小さな棒に関して言えば、大理石の板はもはやユークリッド連続体ではなく、また、上記の構成がもはや実行できないため、それらの助けを借りて直接デカルト座標を定義することもできなくなりました。しかし、テーブルの温度によって小さな棒と同様に（あるいは全く）影響を受けない他の物体が存在するため、大理石の板が「ユークリッド連続体」であるという見解を維持することは極めて自然に可能です。これは、長さの測定または比較についてより微妙な規定を設けることで、満足のいく方法で行うことができます。

しかし、あらゆる種類（つまり、あらゆる材質）の棒が、可変的に加熱された大理石の板の上にあるときに温度の影響に関して同じ動作をするとしたら、そして、上記で説明したのと類似の実験における棒の幾何学的動作以外に温度の影響を検出する手段がないとしたら、棒の1つの端がこれらの2点に一致できるという条件で、板上の1対2の距離を割り当てるのが最善の策でしょう。そうでなければ、手順が極めて恣意的になることなく、どのように距離を定義できるでしょうか？その場合、直交座標系法は廃棄し、剛体に対するユークリッド幾何学の有効性を前提としない別の方法に置き換えなければなりません。1読者は、ここで描かれている状況が一般相対性理論（セクションXXIII ）によってもたらされる状況に対応していることに気付くでしょう。

1数学者たちは、次のような形で我々の問題に直面してきた。ユークリッド三次元空間における曲面（例えば楕円体）が与えられた場合、平面と同様に、この面にも二次元幾何学が存在する。ガウスは、この二次元幾何学を第一原理から扱うという課題に取り組んだが、その際、曲面が三次元ユークリッド連続体に属するという事実は考慮しなかった。もし、曲面に剛体の棒を用いて構築物を作ることを想定するならば（上述の大理石の板の場合と同様に）、ユークリッド平面幾何学に基づく法則とは異なる法則が成り立つことがわかるだろう。曲面は棒に関してユークリッド連続体ではなく、曲面上に直交座標を定義することもできない。ガウスは、曲面における幾何学的関係を扱うための原理を示し、それによって多次元非ユークリッド連続体を扱うリーマンの方法への道を示した。このように、数学者は、一般相対性理論によって導かれる形式的な問題をずっと昔に解決しました。 ↑

[コンテンツ]
XXV
ガウス座標
図4.
図4.

ガウスによれば、この問題の解析的および幾何学的処理の組み合わせは、次のようにして到達できる。テーブルの表面に描かれた任意の曲線のシステム (図4を参照) を想像する。これらをu曲線と呼び、番号を使用してそれぞれを示す。曲線、、およびが図に描かれている。曲線との間には、すべてが 1 から 2 までの間の実数に対応する、無限に大きな数が描かれることを想像しなければならない。これでu曲線のシステムが得られ、この「無限に密な」システムがテーブルの表面全体をカバーします。これらの u 曲線は互いに交差してはならず、表面の各点を通過する曲線は 1 つだけである必要があります。したがって、大理石の板の表面上のすべての点には、完全に定まったuの値があります。同様に、表面に描かれたv曲線のシステムを想像します。これらはu曲線と同じ条件を満たし、対応する番号が与えられ、同様に任意の形状をとることができる。したがって、uの値とvの値はテーブルの表面上のすべての点に属する。これらの2つの数をテーブルの表面の座標（ガウス座標）と呼ぶ。例えば、図の点Pはガウス座標、を持つ。したがって、表面上の2つの隣接する点PとPは、座標に対応する。

ここで、 duとdvは非常に小さな数を表します。同様に、小さな棒で測ったPとP′の間の距離（線間隔）を、非常に小さな数dsで表すことができます。ガウスによれば、

ここで、 、 はuとvに完全に明確に依存する大きさです。 、 、 の大きさは、u曲線とv曲線に対する棒の挙動、ひいてはテーブルの表面に対する棒の挙動を決定します。ただし、この場合に限り、u曲線とv曲線を描き、それらに番号を付けることが可能です。その方法は、単純に次のようになります。

これらの条件下では、u曲線とv曲線はユークリッド幾何学の意味で直線であり、互いに直交しています。ここで、ガウス座標は単に直交座標です。ガウス座標は、2組の数値と対象面上の点との対応関係に過ぎず、互いにわずかに異なる数値が「空間内」の隣接点と対応付けられるという性質を持つことは明らかです。

これまでの考察は2次元連続体について成り立っています。しかし、ガウス法は3次元、4次元、あるいはそれ以上の次元連続体にも適用できます。例えば、4次元連続体が利用できると仮定すると、次のように表現できます。連続体の各点に、任意に4つの数値 を関連付けます。これらは「座標」と呼ばれます。隣接する点は、座標の隣接する値に対応します。隣接する点Pととの間に距離dsが関連付けられており、この距離が測定可能であり、物理的な観点から明確に定義されている場合、次の式が成り立ちます。

ここで、大きさなどは連続体上の位置によって変化する値を持ちます。連続体がユークリッド連続体である場合にのみ、座標を連続体の点と関連付けることが可能であり、したがって単純に

この場合、3 次元測定で保持される関係と同様の関係が 4 次元連続体でも保持されます。

しかし、上記に示したガウスの扱いは常に可能であるとは限らない。これは、対象とする連続体の十分に小さな領域をユークリッド連続体と見なせる場合にのみ可能である。例えば、テーブルの大理石の板と局所的な温度変化の場合、これは明らかに成り立つ。板の小さな部分では温度は実質的に一定であり、したがって棒の幾何学的挙動はユークリッド幾何学の規則に従ってほぼ想定どおりである。したがって、前節で示した正方形の作図の不完全性は、この作図がテーブルの表面のかなりの部分まで拡張されるまでは明確に現れない。

これをまとめると、次のようになります。ガウスは、連続体一般を数学的に扱うための手法を発明しました。この手法では、「大きさの関係」（隣接する点間の「距離」）が定義されます。連続体の各点には、連続体の次元と同じ数（ガウス座標）が割り当てられます。これは、割り当てに1つの意味しか付与できないように、また、隣接する点には無限に小さな差を持つ数（ガウス座標）が割り当てられるように行われます。ガウス座標系は、直交座標系の論理的一般化です。ガウス座標系は非ユークリッド連続体にも適用できますが、定義された「大きさ」または「距離」に関して、対象とする連続体の小さな部分がユークリッド座標系に近づく場合に限られます。つまり、対象とする連続体の部分が小さいほど、その部分がユークリッド座標系に近づくということです。

[コンテンツ]
XXVI
特殊相対性理論の時空連続体をユークリッド連続体として考える
これで、第17章で漠然としか示されていなかったミンコフスキーの考えをより正確に定式化できるようになりました。特殊相対性理論によれば、4 次元時空連続体の記述には特定の座標系が優先されます。これを「ガリレイ座標系」と呼びます。これらの座標系では、 事象、つまり 4 次元連続体上の点を決定する 4 つの座標が、本書の前半で詳しく説明したように、物理的に簡単に定義されます。あるガリレイ系から、最初のガリレイ系を基準として等速運動する別のガリレイ系への移行については、ローレンツ変換の方程式が妥当です。この最後の方程式は、特殊相対性理論からの演繹を導くための基礎となり、それ自体は、すべてのガリレイ参照系に対する光透過法則の普遍的な妥当性を表現したものにほかなりません。

ミンコフスキーは、ローレンツ変換が以下の単純な条件を満たすことを発見した。二つの隣接する事象を考えてみよう。これらの事象の四次元連続体における相対位置は、ガリレオ基準物体Kに対する空間座標差と時間差dtによって与えられる。第二のガリレオ基準系を参照して、これら二つの事象に対応する差が であると仮定する。すると、これらの大きさは常に条件1を満たす。

ローレンツ変換の妥当性はこの条件から導かれる。これは次のように表現できる。

四次元時空連続体の隣接する2点に属する は、選択されたすべての（ガリレオ）基準物体に対して同じ値を持ちます。、、 を に置き換えると、次の結果が得られます。

参照物体の選択とは無関係です。大きさdsは、 2つの事象、あるいは4次元点間の「距離」と呼ばれます。

したがって、時間変数として実数tの代わりに虚数変数を選択した場合、特殊相対性理論に従って、時空連続体を「ユークリッド」4次元連続体と見なすことができます。これは、前のセクションの考察から得られる結果です。

1付録IおよびIIを参照。そこで座標自体について導出される関係は、座標差についても有効であり、したがって座標微分（無限に小さな差）についても有効である。 ↑

[コンテンツ]
XXVII
一般相対性理論の時空連続体はユークリッド連続体ではない
本書の前半では、単純かつ直接的な物理的解釈を可能にし、第26節によれば4 次元の直交座標とみなすことができる時空座標を利用することができました。これは光速度不変の法則に基づいて可能になりました。しかし、第 21節によれば、一般相対性理論はこの法則を維持できません。それどころか、この一般相対性理論によれば、重力場が存在する場合、光速度は常に座標に依存しなければならないという結論に達しました。第23節の具体的な例に関連して、重力場の存在によって座標と時間の定義が無効になることがわかり、これが特殊相対性理論の目的につながりました。

これらの考察の結果から、相対性理論の一般原理によれば、時空連続体はユークリッド連続体とはみなすことはできず、ここでは局所的な温度変化を伴う大理石板に対応する一般的なケースがあり、これは二次元連続体の例として紹介したケースであるという確信に至る。そこでは等しい棒から直交座標系を構築することが不可能であったのと同様に、ここでは剛体と時計から、互いに厳密に配置された測定棒と時計が位置と時間を直接示すようなシステム（基準物体）を構築することは不可能である。これが、第XXIII節で我々が直面した困難の本質であった。

しかし、第25節と第26節の考察は、この困難を克服する方法を示している。4次元時空連続体を任意の方法でガウス座標に関連付ける。連続体（事象）のあらゆる点に4つの数（座標）を割り当てる。これらの数には直接的な物理的意味は全くなく、連続体の点を明確かつ任意の方法で番号付けする目的のみを果たす。この配置は、 を「空間」座標、 を「時間」座標と見なすようなものである必要はない。

読者は、このような世界の記述は全く不十分であると考えるかもしれない。ある事象に特定の座標を割り当てることは、それ自体に意味がないのなら、何を意味するのだろうか。しかし、より注意深く検討すると、この不安は杞憂であることが分かる。例えば、何らかの運動をする質点を考えてみよう。この点が持続性のない瞬間的存在しか持たないのであれば、それは時空の中で単一の値体系によって記述されるであろう。したがって、その永続的な存在は、座標値が連続性を与えるほど互いに近い、無数のそのような値体系によって特徴付けられるに違いない。したがって、質点に対応して、四次元連続体中に（一次元）の線が存在する。同様に、我々の連続体におけるそのような線はどれも、運動している多くの点に対応する。これらの点に関して物理的存在を主張できる唯一の記述は、実際にはそれらの点の遭遇についての記述である。我々の数学的処理において、このような出会いは、問題となっている点の運動を表す2本の直線が共通の特定の座標値系 を持つという事実によって表現される。読者は、熟考を重ねれば、実際にはこのような出会いこそが、我々が物理的な記述において遭遇する時空間の性質の唯一の実際的証拠であることを、疑いなく認めるであろう。

物体に対する物質点の運動を記述した際、私たちはこの点と物体の特定の点との接触について述べたに過ぎませんでした。物体と時計の接触を観察することで、また時計の針と文字盤上の特定の点との接触を観察することで、対応する時間の値を決定することもできます。少し考えればわかるように、物差しを用いた空間測定の場合も同様です。

一般的に、以下の命題が成り立つ。あらゆる物理的記述は、それぞれが2つの事象AとBの時空間的一致を示す複数の命題に帰結する。ガウス座標系において、このような命題はすべて、4つの座標の一致によって表現される。したがって、実際には、ガウス座標系による時空間連続体の記述は、参照体を用いた記述に完全に取って代わり、後者の記述様式の欠陥を被ることはない。それは、表現されるべき連続体のユークリッド的性質に縛られることはない。

[コンテンツ]
XXVIII
一般相対性原理の正確な定式化
第18節で示した一般相対性原理の暫定的な定式化を、正確な定式化に置き換えることができる。そこで用いられた「すべての参照物体などは、自然現象の運動状態がどのようなものであろうと、その記述（自然一般法則の定式化）において等価である」という形式は、特殊相対性理論で採用されている方法論の意味で、剛体参照物体を用いることは一般に時空記述においては不可能であるため、維持することはできない。参照物体の代わりにガウス座標系を用いる必要がある。次の記述は、一般相対性原理の基本的な考え方に対応している。「すべてのガウス座標系は、自然一般法則の定式化において本質的に等価である」 。

この一般相対性原理は、特殊相対性原理の自然な拡張の形式の場合よりもさらに明確に理解できる別の形式で述べることができます。特殊相対性理論によれば、ローレンツ変換を使用して、（ガリレオ）基準物体Kの時空変数 を新しい基準物体 K′ の時空変数 に置き換えると、一般自然法則を表現する方程式は同じ形式の方程式に移行します。一方、一般相対性理論によれば、ガウス変数の任意の置き換えを適用することにより、方程式は同じ形式の方程式に移行する必要があります。これは、すべての変換（ローレンツ変換だけでなく）が、1 つのガウス座標系から別のガウス座標系への移行に対応するためです。

もし私たちが「古き良き」三次元的視点に固執するならば、一般相対性理論の基本的な考え方が現在進行している発展を次のように特徴づけることができる。特殊相対性理論はガリレイの領域、すなわち重力場が存在しない領域を参照する。この点において、ガリレイの基準物体が基準物体として機能する。すなわち、その運動状態は、「孤立した」質点のガリレイの等速直線運動の法則が相対的に成り立つように選択される剛体である 。

ある考察から、ガリレオ非対称参照体についても、同じガリレオ領域を当てはめるべきであることが示唆される 。その場合、これらの参照体に関しては、特殊な種類の重力場が存在する（第20節および第23節参照）。

重力場にはユークリッド的性質を持つ剛体は存在しない。したがって、架空の基準剛体は一般相対性理論では役に立たない。時計の運動も重力場の影響を受けており、時計を用いて直接的に定義される物理的な時間の定義は、特殊相対性理論ほどの妥当性を持つことはない。

このため、非剛体参照体が用いられる。これらの参照体は全体として何らかの運動をするだけでなく、運動中に形状が随時変化する。時計は、その運動法則がどんなに不規則であっても、何らかの形で存在し、時間の定義に用いられる。これらの時計はそれぞれ、非剛体参照体上の一点に固定されていると想像しなければならない。これらの時計は、隣接する時計（空間内）で同時に観測される「値」が互いに無限に小さな量だけ異なるという、ただ一つの条件を満たす。この非剛体参照体は、「参照軟体動物」と呼ぶのが適切かもしれないが、基本的に任意に選択されたガウス四次元座標系に相当する。ガウス座標系と比較して「軟体動物」に一定の分かりやすさを与えているのは、時間座標とは対照的に空間座標が別個に存在するという（実際には不当な）形式的な保持である。軟体動物上のあらゆる点は空間点として扱われ、軟体動物を基準物体とみなす限り、それに対して静止しているあらゆる質点は静止しているものとみなされる。相対性理論の一般原理によれば、これらの軟体動物はすべて、一般自然法則の定式化において、同等の権利と同等の成功率をもって基準物体として用いることができる。ただし、法則そのものは、軟体動物の選択とは全く無関係でなければならない。

相対性の一般原理が持つ偉大な力は、上で見てきたことの結果として自然法則に課される包括的な制限にあります。

[コンテンツ]
XXIX
一般相対性原理に基づく重力問題の解決
読者がこれまでの考察をすべて理解していれば、重力の問題を解決するための方法を理解するのにそれ以上の困難はないでしょう。

まず、ガリレイ領域、すなわちガリレイの基準物体Kに対して重力場が存在しない領域 について考察する。Kを基準とした物差しや時計の挙動は特殊相対性理論から知られており、「孤立した」物質点の挙動も同様である。後者は一様に直線的に運動する。

さて、この領域をランダム ガウス座標系、または参照物体K′としての「軟体動物」に関連付けてみましょう。すると、 K′に関して、 （特定の種類の）重力場Gが存在します。 我々は、数学的変換のみによって、 K′を基準とした測定棒や時計、また自由に移動する物質点の挙動を学びます。 この挙動は、重力場Gの影響下にある測定棒、ドック、物質点の挙動として解釈されます。 ここで、次の仮説を導入します。それは、支配的な重力場がガリレオの特殊なケースから単なる座標変換によって導出 できない場合でも、測定棒、時計、自由に移動する物質点に対する重力場の影響は同じ法則に従って発生し続けているというものです。

次のステップは、ガリレイの特殊ケースから座標変換によって単純に導出された重力場Gの時空間挙動を調べることです 。この挙動は、記述に用いられる参照物体（軟体動物）がどのように選択されても常に有効な法則として定式化されます。

この法則は、まだ重力場の一般法則とは言えません。なぜなら、ここで扱う重力場は特殊な種類のものだからです。重力場の一般法則を見つけるには、上記の法則の一般化をまだ得る必要があります。しかし、以下の要件を考慮することで、これは偶然に得ることはできません。

（あ）要求される一般化も同様に一般相対性理論の公理を満たさなければなりません。
（イ）検討中の領域内に何らかの物質がある場合、その慣性質量のみが、したがってセクションXVによればそのエネルギーのみが、場を励起する際の効果にとって重要です。
（ハ）重力場と物質は共にエネルギー保存則（および衝撃保存則）を満たさなければなりません。

最後に、相対性理論の一般原理は、重力場が存在しない場合に既知の法則に従って起こるすべての過程、すなわち特殊相対性理論の枠組みに既に組み込まれているすべての過程の進行に対する重力場の影響を決定することを可能にする。この点に関しては、物差し、時計、そして自由に移動する物質点について既に説明した方法に従って原理的に進める。

このように相対性理論の一般公理から導き出された重力理論は、その美しさだけでなく、第21章で明らかにされた古典力学に付随する欠陥の除去や、慣性質量と重力質量が等しいという経験法則の解釈においても優れているだけでなく、古典力学が無力であった天文学の観測結果をも既に説明している。

この理論の適用範囲を、重力場が弱いとみなせる場合、そしてすべての質量が座標系に対して光速に比べて小さい速度で運動する場合に限定すると、第一近似としてニュートン理論が得られる。したがって、ここでは特別な仮定なしに後者の理論が得られるが、ニュートンは、互いに引力を持つ質点間の引力はそれらの間の距離の2乗に反比例するという仮説を導入しなければならなかった。計算の精度を高めると、ニュートン理論からの逸脱が現れるが、そのほとんど全ては微小であるため、観測テストを逃れるはずである。

ここで、これらの逸脱の一つに注意を喚起しなければなりません。ニュートンの理論によれば、惑星は太陽の周りを楕円軌道で運動します。恒星自体の運動と、検討中の他の惑星の行動を無視できる場合、惑星は恒星に対して恒星の位置を永久に維持します。したがって、観測された惑星の運動をこれら二つの影響に対して補正し、ニュートンの理論が厳密に正しいとすれば、惑星の軌道は恒星を基準として固定された楕円軌道となるはずです。この推論は非常に正確に検証可能であり、現在達成可能な精密な観測によって得られる精度で、1つを除くすべての惑星について確認されています。唯一の例外は、太陽に最も近い惑星である水星です。ルヴェリエの時代から、水星の軌道に対応する楕円は、上記の影響を補正した後、恒星に対して静止しているのではなく、軌道面内および軌道運動の方向において非常にゆっくりと回転することが知られていました。この軌道楕円の回転運動の値は1世紀あたり43秒角であり、これは数秒角以内の精度が保証されています。この効果は、古典力学によってのみ説明できますが、その仮説は確率がほとんどなく、この目的のためだけに考案されたものです。

一般相対性理論に基づくと、太陽の周りを回るすべての惑星の楕円は、必然的に上記で示した方法で回転することがわかります。水星を除くすべての惑星の場合、この回転は小さすぎて、現在可能な精密な観測では検出できませんが、水星の場合は、1世紀あたり43秒角に達する必要があり、これは観測結果と厳密に一致するはずです。

この1つを除けば、これまで理論から導き出せる観測可能な推論は2つだけである。すなわち、太陽の重力場による光線の曲率1と、地球上で同様の方法で生成される光（すなわち同種の原子）のスペクトル線と比較した場合の、大きな星から地球に到達する光のスペクトル線の変位2である。理論からのこれら2つの推論は、いずれも観測によって確認されている。

11919年にエディントンらによって初めて観測された。（付録III、126～129ページ参照）。 ↑

21924年にアダムズによって設立されました。（132ページ参照） ↑

第3部
宇宙全体についての考察
[コンテンツ]
XXX
ニュートン理論の宇宙論的困難
第XXI節で論じた困難とは別に、古典天体力学に伴う第二の根本的な困難がある。これは私の知る限り、天文学者ゼーリガーによって初めて詳細に論じられたものである。宇宙全体をどう捉えるかという問いについて深く考えると、最初に思い浮かぶ答えは間違いなく次のようになる。空間 (および時間) に関しては、宇宙は無限である。あらゆるところに星があるので、物質の密度は、細部では非常に変化するものの、平均するとあらゆる場所で同じである。言い換えれば、宇宙のどこまでも遠くまで旅しようと、種類と密度がほぼ同じである恒星の散逸した群れがあらゆる場所で見つかるはずである。

この見解はニュートンの理論とは相容れない。ニュートンの理論はむしろ、宇宙には星の密度が最大となる中心のようなものがあり、そこから外側へ進むにつれて星の密度は減少し、最終的には遠く離れたところで無限の空虚な領域に取って代わられるとしている。恒星宇宙は、無限の宇宙の海に浮かぶ有限の島であるべきである1。

この概念自体は、あまり納得のいくものではありません。さらに納得のいくものではないのは、恒星系を構成する個々の恒星、そして恒星から発せられる光が、無限の空間へと永遠に放たれ続け、二度と戻ることなく、他の自然界の物体と相互作用することもないという結果につながるからです。このような有限の物質宇宙は、徐々に、しかし体系的に貧弱になっていく運命にあるでしょう。

このジレンマから抜け出すため、ゼーリガーはニュートンの法則の修正を提案した。この修正では、二つの質量間の引力は、遠距離においては、反二乗則から生じるよりも急速に減少すると仮定した。こうして、物質の平均密度は、無限大の重力場を生じさせることなく、あらゆる場所で、たとえ無限大に至るまで一定となることが可能である。こうして、物質宇宙は中心のような性質を持つべきであるという不快な概念から解放される。もちろん、私たちは、経験的にも理論的にも根拠のないニュートンの法則の修正と複雑化という代償を払って、前述の根本的な困難から解放される。同じ目的を果たす無数の法則を想像することはできるが、なぜそれらの法則が他の法則よりも優れているのかを述べることはできない。なぜなら、これらの法則のどれも、ニュートンの法則と同じくらい、より一般的な理論的原理に基づいていないからである。

1証明 —ニュートンの理論によれば、無限遠から来て質量mに至る「力線」の数は、質量mに比例します。平均的に、質量密度が宇宙全体で一定であれば、体積Vの球が平均質量 を囲みます。したがって、球の表面Fを通過して内部に入る力線の数はに比例します。球の表面積の単位面積に対して、球に入る力線の数はまたは に比例します。したがって、球の半径Rが増加すると、表面における場の強度は最終的に無限大になりますが、これは不可能です。 ↑

[コンテンツ]
XXXI
「有限」でありながら「無限」な宇宙の可能性
しかし、宇宙の構造に関する思索は全く別の方向にも進んでいます。非ユークリッド幾何学の発展は、思考法則や経験則に反することなく、我々の空間の無限性に疑問を投げかけることができるという事実の認識につながりました（リーマン、ヘルムホルツ）。これらの問いは既にヘルムホルツとポアンカレによって詳細かつ比類のない明快さで扱われており、ここでは簡単に触れるだけにとどめます。

まず第一に、我々は二次元空間における存在を想像する。平らな道具、特に平らで剛体の物差しを持つ平らな存在は、平面内を自由に移動できる。彼らにとって、この平面の外には何も存在しない。彼ら自身と彼らの平らな「物」に起こると観察される出来事こそが、彼らの平面における包括的な現実なのだ。特に、棒を用いて平面ユークリッド幾何学の構築（例えば、第24節で考察する格子構築）を行うことができる。我々の宇宙とは対照的に、これらの存在の宇宙は二次元的であるが、我々の宇宙と同様に無限に広がっている。彼らの宇宙には、棒で構成された無数の同一の正方形を形成できる余地があり、すなわちその体積（表面積）は無限である。これらの存在が彼らの宇宙は「平面」であると言うならば、それは意味がある。なぜなら、彼らは棒を用いて平面ユークリッド幾何学の構築を行うことができるという意味だからである。この点において、個々の棒は、その位置に関わらず、常に同じ距離を表す。

では、もう一つの二次元的存在を考えてみましょう。ただし、今回は平面ではなく球面上です。平面的な存在は、物差しやその他の物体を用いてこの面にぴったりと収まり、そこから出ることさえできません。彼らの観測宇宙全体は、球面上にのみ広がっています。これらの存在は、自分たちの宇宙の幾何学を平面幾何学として、また物差しを「距離」の実現として捉えることができるでしょうか？彼らにはそれができません。なぜなら、もし彼らが直線を実現しようとすれば、曲線を得ることになるからです。私たち「三次元的存在」はそれを大円、つまり物差しによって測ることができる、有限で明確な長さを持つ自己完結的な線と呼んでいます。同様に、この宇宙は有限の面積を持ち、それは物差しで作られた正方形の面積に匹敵します。この考察から得られる大きな魅力は、これらの存在の宇宙は有限でありながら、限界がないという事実を認識することにあります。

しかし、球面上の存在は、自分たちがユークリッド宇宙に住んでいないことを認識するために世界旅行に出かける必要はありません。彼らは、その「世界」のあらゆる部分で、その一部でもあまりに小さな部分でなければ、このことを確信することができます。一点から出発して、彼らはあらゆる方向に等しい長さの「直線」（三次元空間で判断される円弧）を描きます。彼らはこれらの直線の自由端を結ぶ線を「円」と呼びます。平面の場合、円周と直径の比は、両方の長さを同じ棒で測ると、平面のユークリッド幾何学によれば、 円の直径に依存しない一定値になります。彼らの球面上では、私たちの平らな存在はこの比を次の値と見なすでしょう。

つまり、 よりも小さい値で、その差が大きいほど、円の半径は「世界球」の半径Rと比較して大きくなります。この関係により、球体の存在は、たとえ世界球の比較的小さな部分しか測定に利用できない場合でも、その宇宙 (「世界」) の半径を決定できます。しかし、この部分が非常に小さい場合、球面の小さな部分は、同じ大きさの平面の一部とわずかに異なるだけであるため、球体の存在は、自分がユークリッド平面ではなく球状の「世界」上にいることを証明できなくなります。

したがって、球面生命体が、太陽系が球状宇宙のごくわずかな部分を占めるだけの惑星に住んでいる場合、彼らがアクセスできる「宇宙の一部」はどちらの場合も実質的に平面、つまりユークリッドであるため、自分たちが有限宇宙に住んでいるのか無限宇宙に住んでいるのかを判断する手段はありません。この議論から直接導かれるのは、球面生命体である私たちにとって、円周はまず半径とともに増加し、「宇宙の円周」に達するまで続き、その後は半径がさらに増加するにつれて徐々にゼロまで減少していくということです。この過程で円の面積はますます増加し続け、最終的には「世界球面」全体の面積と等しくなります。

読者は、なぜ我々の「存在」を他の閉面ではなく球面上に置いたのかと疑問に思うかもしれません。しかし、この選択は、すべての閉面の中で球面が唯一、その上のすべての点が等価であるという性質を持っているという事実によって正当化されます。円の円周cと半径rの比はrに依存することは認めますが、 rの値が与えられた場合、「世界球面」のすべての点で同じになります。言い換えれば、「世界球面」とは「一定曲率の面」なのです。

この二次元球状宇宙には、三次元の類似物、すなわちリーマンによって発見された三次元球状空間が存在する。その点も同様にすべて等価である。球状空間は有限の体積を持ち、その体積は「半径」（）によって決定される。球状空間を想像することは可能だろうか？空間を想像するということは、私たちが「空間」体験、すなわち「剛体」の運動において経験できる体験の縮図を想像することに他ならない。この意味で、私たちは 球状空間を想像することができるのである。

ある点からあらゆる方向に線を引いたり、弦を張ったりして、それぞれから距離r を物差しで測るとします。これらの長さの自由な端点はすべて球面上にあります。物差しで作った正方形を使って、この面の面積 ( F ) を特に測定することができます。宇宙がユークリッド宇宙であれば、球面宇宙であればFは常に より小さくなります。rの値が増加すると、F はゼロから「世界半径」によって決まる最大値まで増加しますが、rの値がさらに増加すると、面積は徐々にゼロまで減少します。最初は、開始点から放射状に伸びる直線は互いにどんどん離れていきますが、後に互いに近づき、最終的には開始点の「対点」で再び合流します。このような条件下では、直線は球面空間全体を横断したことになります。3次元の球面空間が2次元の球面と非常に類似していることは容易にわかります。それは有限であり（つまり、有限の体積）、境界がありません。

さらに別の種類の曲がった空間、「楕円空間」が存在することに言及しておくべきだろう。これは、二つの「対位点」が同一（互いに区別できない）である曲がった空間と見なすことができる。したがって、楕円宇宙は、ある程度、中心対称性を持つ曲がった宇宙と見なすことができる。

これまで述べてきたことから、無限の閉空間が考えられることが分かります。その中でも、球面空間（および楕円空間）は、その単純さにおいて際立っています。なぜなら、その上のすべての点は等価だからです。この議論の結果、天文学者や物理学者にとって非常に興味深い疑問が生じます。それは、私たちが住む宇宙は無限なのか、それとも球面宇宙のように有限なのかということです。私たちの経験は、この疑問に答えるには到底足りません。しかし、一般相対性理論は、この疑問にある程度確実に答えることを可能にし、この点において、第 30節で述べた難問は解決されます。

[コンテンツ]
XXXII
一般相対性理論による空間の構造
一般相対性理論によれば、空間の幾何学的性質は独立ではなく、物質によって決定される。したがって、物質の状態が既知のものとして考察する場合にのみ、宇宙の幾何学的構造について結論を導き出すことができる。適切に選択された座標系においては、恒星の速度は光の伝播速度に比べて小さいことは経験的に知られている。したがって、物質が静止しているものと扱えば、大まかな近似として、宇宙全体の性質について結論を導き出すことができる。

前回の議論で、物差しや時計の挙動は重力場、すなわち物質の分布の影響を受けることが既に分かっています。これだけでも、私たちの宇宙においてユークリッド幾何学が厳密に妥当する可能性は排除できます。しかし、私たちの宇宙がユークリッド宇宙とわずかにしか違わないと考えることは可能であり、この考えはより一層あり得るように思われます。なぜなら、計算によれば、周囲の空間の計量は太陽と同程度の質量によってさえも極めてわずかな影響しか受けないからです。幾何学に関して言えば、私たちの宇宙は、個々の部分では不規則に湾曲しているものの、平面から大きく逸脱することのない表面、つまり湖の波打つ表面のような表面と類似した振る舞いをすると考えられます。このような宇宙は、まさに準ユークリッド宇宙と呼ぶにふさわしいでしょう。その空間は無限大となるでしょう。しかし、計算によれば、準ユークリッド宇宙では物質の平均密度は必然的にゼロとなることが示されています。したがって、そのような宇宙にはあらゆるところに物質が存在することはできず、それは我々が第XXX節で描いたような不満足な図を我々に提示することになる。

宇宙における物質の平均密度が、たとえその差がいかに小さくてもゼロと異なるとすれば、宇宙は準ユークリッド宇宙ではあり得ません。それどころか、計算結果によれば、物質が均一に分布しているならば、宇宙は必然的に球形（あるいは楕円形）となるでしょう。現実には物質の詳細な分布は均一ではないため、実際の宇宙は個々の部分において球形から逸脱し、すなわち準球形となります。しかし、宇宙は必然的に有限です。実際、理論は宇宙の空間的広がりとそこに含まれる物質の平均密度との間に、 単純な関係1を与えています。

1宇宙の 「半径」Rについては次の式が得られる。

この式でCGSシステムを使用すると、 ;は物質の平均密度であり、ニュートンの重力定数に関連する定数です。 ↑

[コンテンツ]
付録I
ローレンツ変換の簡単な導出[第11節の補足]
図2に示す座標系の相対的な向きについては、両座標系のx軸は常に一致しています。この場合、まずx軸上に局在する事象のみを考慮することで、問題をいくつかの部分に分割することができます。このような事象は、座標系Kに関しては横軸xと時刻tで、座標系K′に関しては横軸x′と時刻t′で表されます。xとtが与えられた とき、x ′とt′を求める必要があります。

x軸の正方向に沿って進む光信号は、次の式に従って伝送されます。

または
（1）
同じ光信号がK′に対して速度cで伝播する必要があるので、 K′系に対する伝播は類似の式で表される。
（2）

( 1 )を満たす時空点（事象）は、( 2 )も満たさなければならない。明らかに、これは関係
（3）
は一般に成り立ち、ここで は定数を表す。なぜなら、( 3 )によれば、 の消失はの消失を伴うからである。

負のx軸に沿って伝わる光線に全く同様の考察を適用すると、次の条件が得られる。
（4）

式（ 3）と式（4 ）を加算（または減算）し、便宜上定数aとbを定数との代わりに導入すると、

そして

方程式は次のようになる。
（5）

定数aとbが分かっていれば、問題の解が得られるはずです。これは以下の議論から導き出されます。

K′の原点については、永久に、したがって最初の式（5） に従って、

K′の原点がKに対して相対的に移動する速度をvとすると、
（6）

式( 5 )から、 K′の別の点のKに対する相対速度、あるいはK′に対するKの一点の速度（負のx軸に向かう方向）を計算しても、同じ値vが得られます。つまり、vを2つの系の相対速度と定義することができます。

さらに、相対性原理によれば、Kから判断して、 K′ を基準として静止している単位尺度の長さは、 K′ から判断して、 Kに対して静止している単位尺度の長さと正確に同じでなければならない。 Kから見たx軸の点がどのように見えるかを知るには、 KからK ′の「スナップショット」を撮るだけでよい。これは、 t （ Kの時間）の特定の値、例えばを挿入する必要があることを意味する。このtの値に対して、最初の式（5）から次の式が得られる。

K′システムで測定すると距離だけ離れているx′軸上の2点は、瞬間写真では距離だけ離れている。
（7）
しかし、スナップショットを からとり、式（5 ）からtを消去し、式（6）を考慮すると、次の式が得られます。

このことから、x軸上の2点がKに対して距離Iだけ離れていると、スナップショット上では距離
（7 a）
しかし、これまで述べてきたことから、2つのスナップショットは同一でなければならない。したがって、( 7 )は( 7a )と等しくなければならないので、
（7b）

式( 6 )と式( 7b )は定数aとbを決定する。これらの定数の値を式( 5 )に代入すると、第XI節に示した式の最初の式と4番目の式が得られる。
（8）

こうして、 x軸上の事象に対するローレンツ変換が得られた。これは以下の条件を満たす。
（8 a）

この結果を拡張してx軸の外側で起こる事象を含めるには、式（ 8 ）を保持し、次の関係式を補足する。
（9）

このようにして、 K系とK′系の両方において、任意の方向の光線に対する真空中光速度不変の公理が満たされる。これは以下のように示される。

Kの原点から時刻 に光信号が発射されたと仮定する。この光信号は次式に従って伝播する。

あるいは、この式を二乗すると、次の式に従って
（10）

光の伝播の法則と相対性理論の公理から、問題の信号の伝達は、K′から判断すると、対応する式に従って 行われる必要がある。

または、
（10 a）

式（ 10a ）が式（ 10） の帰結となるためには、
（11）

式( 8a )はx軸上の点に対して必ず成り立つので、 となる。ローレンツ変換はに対して式( 11 )を満たすことが容易に分かる。なぜなら、( 11 )は( 8a )と( 9 )の結果であり、したがって( 8 )と( 9 )の結果でもあるからである。このようにしてローレンツ変換を導出した。

( 8 ) と ( 9 )で表されるローレンツ変換はまだ一般化される必要がある。 K′の軸がKの軸と空間的に平行になるように選択されるかどうかは明らかに重要ではない。 Kに対するK′の移動速度がx軸方向である必要もない。簡単な考察から、この一般的な意味でのローレンツ変換は、特殊な意味でのローレンツ変換と純粋に空間的な変換の 2 種類の変換から構成できることが示される。これは、直交座標系を、軸が他の方向を指す新しいシステムに置き換えることに対応する。

数学的には、一般化ローレンツ変換を次のように特徴付けることができます。

これは、 の線形同次関数で表現され、次のような関係が成り立つ。
（11 a）
は同様に満たされる。つまり、左辺の の代わりにの式を に代入すると、( 11a )の左辺は右辺と一致する。

[コンテンツ]
付録II
ミンコフスキーの四次元空間（「世界」） [第17節の補足]
ローレンツ変換は、時間変数としてtの代わりに虚数を導入することで、さらに簡単に特徴づけることができる。これに従って、

同様にアクセント付きシステムK′についても、変換によって満たされる条件は次のように表すことができます。
（12）
つまり、前述の「座標」の選択により、（11a ）はこの式に変換されます。

（ 12 ）から、虚時間座標は空間座標と全く同じ方法で変換条件に入ることがわかる。相対性理論によれば、「時間」は空間座標と同じ形で自然法則に取り込まれるのはこの事実によるものである。

ミンコフスキーは、 「座標」によって記述される四次元連続体を「世界」と呼び、点事象を「世界点」とも呼びました。三次元空間における「出来事」から、物理学はいわば四次元「世界」における「存在」へと変化します。

この四次元「世界」は、（ユークリッド）解析幾何学の三次元「空間」と非常によく似ています。後者に、同じ原点を持つ新しい直交座標系（ ）を導入すると、 は、次式を同値に満たす 線型同次関数となります。

( 12 )との類推は完全である。ミンコフスキーの「世界」は形式的には4次元ユークリッド空間（虚時間座標を持つ）とみなすことができ、ローレンツ変換は4次元「世界」における座標系の「回転」に対応する。

[コンテンツ]
付録III
一般相対性理論の実験的確認
体系的な理論的観点から見ると、経験科学の発展過程は、継続的な帰納過程であると想像できる。理論は進化し、多数の個々の観察結果を経験法則という形で簡潔に表現する。そして、それらの比較によって一般法則を解明することができる。このように考えると、科学の発展は分類されたカタログの編纂に類似する。いわば、純粋に経験的な営みと言えるだろう。

しかし、この観点は実際の過程のすべてを包含するものではない。なぜなら、正確な科学の発展において直観と演繹的思考が果たす重要な役割を軽視しているからである。科学が初期段階を過ぎると、理論的進歩はもはや単なる整理の過程によっては達成されなくなる。むしろ、研究者は経験的データに導かれて、一般に少数の基本的仮定、いわゆる公理から論理的に構築される思考体系を展開する。このような思考体系を私たちは理論と呼ぶ。理論は、多数の個々の観察を相関させることによってその存在の正当性を見出し、まさにそこに理論の「真理」が存在するのである。

同一の経験的データ群に対応する複数の理論が存在し、それらは互いに相当程度異なる場合がある。しかし、検証可能な理論からの推論に関しては、理論間の一致が非常に完全であるため、2つの理論が互いに異なる推論を見つけることが困難になる場合がある。例えば、生物学の分野において、一般的な関心を集める事例として、生存競争における淘汰による種の発展に関するダーウィンの理論と、獲得形質の遺伝的伝達という仮説に基づく発生理論が挙げられる。

ニュートン力学と一般相対性理論の二つの理論からの推論の間に、広範囲にわたる一致が見られるもう一つの例がある。この一致は非常に大きく、二つの理論の基本的な前提には大きな違いがあるにもかかわらず、現在まで一般相対性理論から得られる推論のうち、調査可能で、かつ相対性理論以前の物理学では到達できないものはほんのわずかしか見つかっていない。以下では、これらの重要な推論を改めて考察し、それらに関してこれまでに得られた経験的証拠についても議論する。

[コンテンツ]
（a）水星の近日点の運動
ニュートン力学とニュートンの万有引力の法則によれば、太陽の周りを公転する惑星は、太陽の周り、より正確には、太陽と惑星の共通重心の周りを楕円軌道で回ります。このようなシステムでは、太陽、または共通重心は、軌道楕円の焦点の 1 つに位置し、惑星の 1 年の間に、太陽と惑星の距離は最小から最大へと増加し、その後再び最小へと減少します。ニュートンの法則の代わりに、いくぶん異なる引力の法則を計算に挿入すると、この新しい法則によれば、太陽と惑星の距離が周期的に変化するような運動が依然として起こることがわかります。ただし、この場合は、そのような期間 (近日点 (太陽に最も近づく点) から近日点まで) に太陽と惑星を結ぶ線が描く角度は、 と異なります。軌道の線は閉じたものではなく、時間の経過とともに軌道面の環状部分、つまり惑星から太陽までの最小距離の円と最大距離の円の間を埋めることになります。

一般相対性理論によれば、もちろんニュートンの理論とは異なるが、惑星の軌道上ではニュートン・ケプラー運動からの小さな変化が起こるはずであり、その変化は、太陽と惑星の半径によって描かれる角度が、1つの近日点と次の近日点の間の角度を、1回の完全な回転に相当する角度より、

（注：1回転は物理学で慣例となっている絶対角度の測定における角度に対応し、上記の式は、近日点から次の近日点までの期間に太陽惑星の半径がこの角度をどれだけ超えるかを示しています。）この式において、 aは楕円の長半軸、eは離心率、cは光速、Tは惑星の公転周期を表します。我々の結果は次のようにも述べられます。一般相対性理論によれば、楕円の長軸は惑星の公転運動と同じ方向に太陽の周りを回転します。理論上、この回転は水星の場合1世紀あたり43秒角に相当しますが、太陽系の他の惑星の場合、その大きさは非常に小さいため、必然的に検出されないはずです。1

実際のところ、天文学者たちは、ニュートンの理論だけでは、現在達成可能な観測精度に匹敵する精度で水星の観測された運動を計算するには不十分であることを発見しました。他の惑星が水星に及ぼすあらゆる妨害作用を考慮に入れた結果、水星の軌道には説明のつかない近日点運動が依然として存在することが分かりました（ルヴェリエ：1859年、ニューカム：1895年）。その運動量は、前述の1世紀あたり+43秒角と実質的に変わりません。実験結果の不確実性はわずか数秒です。

[コンテンツ]
（b）重力場による光の偏向
第22節で既に述べたように、一般相対性理論によれば、光線は重力場を通過する際に進路に曲率が生じ、この曲率は重力場を通過する物体の進路に生じる曲率に類似する。この理論の結果として、天体の近くを通過する光線は天体に向かって偏向すると予想される。太陽の中心から太陽半径の距離を通過する光線の場合、偏向角（α）は次のようになる 。

理論によれば、図 05 のこの偏向の半分は太陽のニュートン力学による引力によって生じ、残りの半分は太陽によって引き起こされる空間の幾何学的変化 (「曲率」) によって生じていると付け加えることができます。

図5
図5

この結果は、皆既日食の際に星を写真に撮るという実験的な検証が可能です。皆既日食を待たなければならない唯一の理由は、他のすべての時には大気が太陽の光によって非常に強く照らされるため、太陽の円盤近くにある星は見えないからです。予測される効果は、添付の図から明確に確認できます。太陽 ( S ) が存在しない場合は、地球から観測すると、実質的に無限遠にある星が の方向に見えるでしょう。しかし、太陽によって星からの光が偏向するため、星は の方向、つまり実際の位置よりも太陽の中心からいくらか離れた位置に見えることになります。

実際には、この問題は次のように検証される。日食の際に、太陽の近くの星々を撮影する。さらに、太陽が空の別の位置、つまり 数か月前または数か月後に同じ星々を撮影する。標準の写真と比較すると、日食の写真上の星々の位置は、角度aに対応する量だけ、放射状に外側（太陽の中心から離れて）にずれているように見えるはずである。

この重要な推論の調査にご尽力いただいた[英国]王立協会と王立天文学会に感謝申し上げます。 [第一次世界大戦]と、戦争によって引き起こされた物質的・心理的困難にもめげず、両協会はソブラル島（ブラジル）とプリンシペ島（西アフリカ）への2度の探検隊を編成し、1919年5月29日の日食の写真を撮るため、英国で最も著名な天文学者数名（エディントン、コッティンガム、クロメリン、デイヴィッドソン）を派遣しました。日食中に撮影された星の写真と比較写真との間に予想される相対的な差異は、わずか数百分の1ミリメートルでした。そのため、写真撮影に必要な調整とその後の測定には、高い精度が求められました。

測定結果は理論を完全に満足のいく形で裏付けました。観測された星の偏差と計算された星の偏差（秒角）の直交成分は、以下の結果表に示されています。

星の番号。 最初の座標。 2番目の座標。
観察しました。 計算しました。 観察しました。 計算しました。
11 -0.19 -0.22 +0.16 +0.02
5 +0.29 +0.31 -0.46 -0.43
4 +0.11 +0.10 +0.83 +0.73
3 +0.22 +0.12 +1.00 +0.87
6 +0.10 +0.04 +0.57 +0.40
10 -0.08 +0.09 +0.35 +0.32
2 +0.95 +0.85 -0.27 -0.09

[コンテンツ]
（c）スペクトル線の赤色側への変位
第23節では、ガリレイの系Kに対して回転する系K′において、同一構造で回転する基準物体に対して静止していると考えられる時計の速度が、時計の位置に依存することを示した。ここでは、この依存性を定量的に検証する。円盤の中心から距離rに位置する時計のKに対する相対速度は、次式で表される。

ここで、はディスクK′のKに対する回転角速度を表す。時計が静止しているときのKに対する単位時間あたりの時計の刻み数（時計の「速度」）を表すとすると、 Kに対して速度vで動いているがディスクに対しては静止している時計の「速度」（ v ）は、第12節に従って、次のように表される。

または十分な精度で

この表現は次のような形式でも表すことができます。

時計の位置と円盤の中心との間の遠心力の差を、つまり回転する円盤上の時計の位置から円盤の中心まで質量を移動させるために遠心力に逆らって質量単位に負に作用しなければならない仕事 とすると、

このことから、

まず、この式から、同一構造の2つの時計が円盤の中心から異なる距離にある場合、異なる速度で進むことがわかります。この結果は、円盤と共に回転している観測者の視点からも成り立ちます。

さて、円盤から判断すると、後者はポテンシャルの重力場の中にある ため、得られた結果は重力場に対して極めて一般的に成り立ちます。さらに、スペクトル線を放射する原子を時計と見なすことができるため、次の命題が成り立ちます。

原子は、それが位置する重力場のポテンシャルに応じて、周波数の光を吸収または放出します。

天体の表面にある原子の周波数は、自由空間（またはより小さな天体の表面）にある同じ元素の原子の周波数よりもいくらか低くなります。

ここで、Kはニュートンの重力定数、Mは天体の質量である。したがって、恒星の表面で生成されるスペクトル線は、地球の表面で生成される同じ元素のスペクトル線と比較して赤色への変位が生じるはずであり、その変位量は

太陽の場合、理論上予測される赤色への変位は波長の約200万分の1に相当します。恒星の場合、質量Mも半径rも一般に不明であるため、信頼できる計算は不可能です。

この効果が存在するかどうかは未解決の問題であり、現在 （1920年）、天文学者たちは熱心にその解明に取り組んでいます。太陽の場合、この効果は小さいため、その存在について意見を述べることは困難です。一方、グレベとバッヘム（ボン）は、自らの測定、およびエヴァーシェッドとシュヴァルツシルトによるシアン帯の測定の結果、この効果の存在をほぼ疑いの余地なく証明しました。一方、他の研究者、特にセント・ジョンは、測定結果から反対の意見に至っています。

スペクトル線の屈折しにくい側への平均変位は、恒星の統計的研究によって確かに明らかにされている。しかし、現在までに入手可能なデータの検討では、これらの変位が実際に重力の影響によるものかどうかについて、明確な結論は出ていない。観測結果は、E. フロイントリッヒの論文「Zur Prüfung der allemeinen Relativitäts-Theorie」（Die Naturwissenschaften、1919年、第35号、520ページ、Julius Springer、ベルリン）にまとめられ、ここで我々が注目している問題の観点から詳細に議論されている。

いずれにせよ、今後数年のうちに明確な結論が下されるだろう。もし重力ポテンシャルによるスペクトル線の赤色への変位が存在しないならば、一般相対性理論は成り立たなくなる。一方、もしスペクトル線の変位の原因が重力ポテンシャルに明確に起因するならば、この変位の研究は天体の質量に関する重要な情報をもたらすだろう。2

1特に、次の惑星である金星の軌道はほぼ正確な円であるため、近日点を正確に見つけることはより困難になります。 ↑

2スペクトル線の赤色側への変位は、1924年にアダムスによってシリウスの高密度伴星の観測によって明確に確立されました。その影響は太陽の約30倍です。RWL—翻訳者 ↑

[コンテンツ]
付録IV
一般相対性理論による空間の構造[第32節の補足]
この小冊子の初版が出版されて以来、大きな空間構造（「宇宙論的問題」）に関する私たちの知識は重要な発展を遂げており、このことはこの主題の一般的な説明においても言及されるべきである。

この主題に関する私の当初の考察は、2つの仮説に基づいていました。

（1）宇宙全体には物質の平均密度が存在し、それはどこでも同じであり、ゼロとは異なる。
（2）空間の大きさ（「半径」）は時間に依存しません。

一般相対性理論によれば、これら両方の仮説は矛盾がないことが証明されたが、それは場の方程式に仮説的な項を追加した後のことで、その項は理論自体では必須ではなく、理論的観点からも自然とは思えなかった（「場の方程式の宇宙論的項」）。

仮説（２）は、当時の私にとっては避けられないものと思われました。なぜなら、そこから逸脱すれば、底なしの思索に陥ってしまうと考えたからです。

しかし、ロシアの数学者フリードマンは既に20年代に、純粋に理論的な観点からは別の仮説が自然であることを示していた。彼は、仮説(2)を放棄する覚悟があれば、重力場の方程式に不自然な宇宙論的項を導入することなく、仮説(1)を維持することが可能だと気づいた。すなわち、元の場の方程式は、「世界半径」が時間（膨張空間）に依存する解を許容する。この意味で、フリードマンによれば、この理論は空間の膨張を要求すると言える。

数年後、ハッブルは銀河系外星雲（「天の川」）の特別な研究によって、放射されるスペクトル線が星雲の距離とともに規則的に増加する赤方偏移を示すことを示しました。これは、現在の私たちの知識では、ドップラーの原理、すなわち、フリードマンによれば重力場の方程式によって要求される、星系の大規模な膨張運動としてのみ解釈できます。したがって、ハッブルの発見は、ある程度、理論の裏付けと見なすことができます。

しかし、奇妙な困難が生じます。ハッブルが発見した銀河の線シフトを膨張と解釈すると（理論的にはほとんど疑う余地がありませんが）、この膨張の起源は「わずか」数年前となってしまいます。一方、物理天文学では、個々の恒星や恒星系の発達にはそれよりはるかに長い時間がかかる可能性が高いと考えられます。この矛盾をどのようにして克服すべきかは、全く分かっていません。

さらに、膨張空間の理論と天文学の経験的データを組み合わせると、（三次元）空間が有限か無限かという結論を導き出すことはできないが、空間の元々の「静的」仮説は、空間の閉鎖性（有限性）をもたらした、ということを指摘しておきたい。

奥付
可用性
この版は、ブライアン・バスゲン氏が作成し、プロジェクト・グーテンベルクで公開されていた版（アインシュタイン参考アーカイブでも公開されています）を基に作成されました。オリジナルのTeX形式はTEI形式に変換され、インターネット・アーカイブで公開されている1921年版と照らし合わせて徹底的に検討され、必要に応じて修正されました。原本からイラストを取得し、元の図版を置き換え、1921年版に掲載されていたヘルマン・シュトゥックによるアインシュタインの口絵を追加しました。

メタデータ
タイトル： 相対性理論：特殊理論と一般理論
著者： アルバート・アインシュタイン（1879–1955） 情報
翻訳者: ロバート・ウィリアム・ローソン（1890–1960） 情報
イラストレーター： ヘルマン・シュトラック（1876–1944） 情報
言語： 英語
初版発行日: 1916
キーワード: 相対性理論
プロジェクト・グーテンベルク: 5001
QRコード: プロジェクト・グーテンベルクのQRコード URL
改訂履歴
2018-09-26 開始しました。
外部参照
このプロジェクト・グーテンベルク電子書籍には外部参照が含まれています。これらのリンクは機能しない可能性があります。

訂正
テキストには以下の修正が適用されました:

ページ ソース 修正 距離を編集
該当なし [ソースには記載されていません] [真空中] 12
該当なし [ソースには記載されていません] ” 1
該当なし [ソースには記載されていません] [イギリス] 10
該当なし [ソースには記載されていません] [第一世界] 14
該当なし [ソースには記載されていません] [1920] 7
*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍「相対性理論：特殊理論と一般理論」の終了 ***
　《完》