原文は『Development of Gravity Pendulums in the 19th Century』、著者は Victor F. Lenzen and Robert P. Multhauf です。
例によって、プロジェクト・グーテンベルグさまに御礼をもうしあげます。
図版は省略しました。
以下、本篇です。（ノー・チェックです）
*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍の開始 19世紀の重力振り子の開発 ***
電子テキストは、Chris Curnow、Joseph Cooper、Louise Pattison、
および Online Distributed Proofreading Team
によって作成されました。
転写者メモ:
これはスミソニアン協会米国国立博物館紀要 240 の論文 44で、論文 34 ～ 44 で構成されており、完全な電子書籍としても入手可能です。
各単紙電子書籍には、Bulletinの表紙資料、序文、および関連索引項目が含まれています。
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スミソニアン協会
アメリカ国立博物館
紀要 240
スミソニアンプレスのロゴ
スミソニアンプレス
歴史技術博物館
歴史 技術 博物館
からの寄贈
科学技術に関する論文34-44
スミソニアン協会 · ワシントン D.C. 1966
アメリカ国立博物館の出版物
米国国立博物館の学術・科学出版物には、「米国国立博物館紀要」と「米国国立博物館紀要」の 2 つのシリーズがあります。
このシリーズでは、当博物館は、構成博物館である自然史博物館と歴史技術博物館のコレクションと活動に関するオリジナルの論文とモノグラフを刊行し、人類学、生物学、歴史学、地質学、そして技術の分野における新たな知見を紹介しています。各出版物は、図書館、文化・科学機関、そして各分野に関心を持つ専門家やその他の人々に配布されています。
1878年に刊行が開始されたこの紀要は、自然史博物館の短い論文を別冊として出版することを目的としていました。これらの論文は八つ折りの巻にまとめられており、各論文の出版日は巻末の目次に記載されています。
1875年に最初の刊行が始まったBulletinシリーズには、モノグラフ（場合によっては複数部構成）と関連分野の著作を収録した巻からなる、より長い独立した出版物があります。Bulletinのサイズは、提示の必要性に応じて八つ折りまたは四つ折りのいずれかです。1902年以降、自然史博物館の植物コレクションに関する論文は、Bulletinシリーズの「米国国立植物標本館からの寄稿」というタイトルで出版されており、1959年以降は、 「歴史技術博物館からの寄稿」というタイトルのBulletinに、同博物館のコレクションと研究に関する短い論文が集められています。
本稿集（論文34～44）は、Bulletin 240に収録されています。これらの論文はそれぞれ、以前に別々に出版されています。出版年は各論文の最終ページに記載されています。
フランク・A・テイラー
アメリカ国立博物館館長
[301ページ]
歴史技術博物館からの寄稿：
論文44
19世紀における重力振り子の開発
ヴィクター・F・レンゼンとロバート・P・ムルトハウフ
ガリレオ、ホイヘンス、ニュートン 304
地球の姿 306
初期の振り子 309
ケーターの変換可能な振り子と不変の振り子 314
レプソルド・ベッセル リバーシブルペンデュラム 320
パースとデフォージズ『不変かつ可逆な振り子』 327
フォン・スターネックとメンデンホールの振り子 331
ポツダムにおける重力の絶対値 338
重力調査の応用 342
要約 346
[302ページ]
ヴィクター・F・レンゼンと
ロバート・P・ムルトハウフ
19世紀における 重力振り子の発展
図1.
図1.—地球の形状の研究は、フランス科学アカデミーの初期のプロジェクトの一つでした。地球の自転が重力に及ぼす影響を調べるため、アカデミーは1672年にジャン・リシェを赤道直下のカイエンヌ島に派遣し、パリで正確な時間を刻んでいると知られていた時計の速度を比較させました。リシェは、カイエンヌの時計が2分28秒遅れていることを発見しました。これは振り子にかかる重力の力が大幅に減少していることを示していました。その後の振り子の実験により、振り子の周期は緯度だけでなく、山などの地形の影響を受けて地域によっても変化することが明らかになりました。重力の測定は測地測量士の業務の一部にすべきであることが明らかになりました。
[303ページ]
重力振り子の歴史はガリレオの時代にまで遡ります。地球表面における重力の変動が発見されて以来、重力測定は物理学と測地学における主要な関心事となりました。本稿では、重力測定のための機器開発の歴史を辿ります。
著者: Victor F. Lenzen はカリフォルニア大学バークレー校の物理学名誉教授であり、Robert P. Multhauf はスミソニアン協会歴史技術博物館の科学技術部門の部門長です。
重力の強さ、すなわち自由落下する物体の加速度は、様々な物理学において重要な物理量です。重力の強さは、力の標準単位または単位としての標準ポンドまたは標準キログラムの重量を決定します。物理実験では、物体に働く力は、その物体と平衡状態を保つための既知の質量の重量を測定することで測定できます。例えば、電流天秤を用いてアンペアを絶対的に測定する場合、電流を流す2つのコイル間の力は、測定可能な質量を持つ物体に働く地球の重力によって釣り合います。重力の強さは、月の角速度、地球からの距離、ニュートンの重力の逆二乗の法則、そして運動の法則から、地球の大きさを決定する際に考慮されます。人工衛星の運動を予測するには、この天文学的な問題に関する重力の正確な知識が必要です。
地球の重力場は地球の形、すなわちジオイドを決定するためのデータも提供しますが、測地学におけるこの問題では、重力の相対値で十分です。gをある基準点における重力の強さ、Δgを2つの基準点における重力の強さの差とすると、測地学における重力の値は、地球表面における比(Δg)/gとして表されます。重力測定による 調査は、地震学などの他の地球物理学的調査と組み合わせることで、以下のことを検証するためのデータを提供します。[304ページ] 地球の内部構造に関する仮説。
重力の強さを絶対値で求めるか相対値で求めるかに関わらず、古典力学の誕生以来、その測定に最も広く用いられてきた計測機器は振り子である。近年、バネの原理に基づく重力計が発明され、これらの機器は重力の相対値を高精度かつ迅速に測定することを可能にした。しかし、絶対値を求める場合には、他の手段で重力の絶対値を測定している観測所で重力計を校正する必要がある。重力の絶対値を測定する場合、歴史的に振り子が主要な計測機器として用いられてきた。現在では重力の絶対値を測定する代替手段が用いられているが、振り子は絶対値測定だけでなく、相対値測定においてもその値を維持する。これは、ケンブリッジ振り子装置やオンタリオ州オタワのドミニオン天文台の装置に代表される。
重力の絶対的または相対的な測定に用いられる振り子には、2 つの基本的なタイプがあります。物理的な計測器として使用された最初の形式の振り子は、繊維、コード、または細いワイヤで吊り下げられた重りで構成され、その上端は固定された支持部に取り付けられていました。このような振り子は「単純」振り子と呼ばれることがあります。「単純」という語を引用符で囲むのは、このような振り子が、重さがなく伸縮しないコードで吊り下げられた質点で構成される概念的なオブジェクトである単純振り子、つまり数学的振り子の近似であることを示します。lを単純振り子の長さとすると、ニュートンの運動の法則と、重さが質量に比例するという仮説から導かれる、無限に小さな振幅の振動の振動時間 (物理学の意味での半周期) は、 T = π√( l / g ) です。
振り子の2つ目の形態は、複合振り子、あるいは物理振り子です。これは、固定軸を中心に、その自重の作用を受けて振動する、長く伸びた固体から構成されます。複合振り子は、1つの軸のみを中心に振動するように構成することもできます。その場合、複合振り子は可逆性がなく、相対測定にのみ使用できます。また、2つの軸を中心に振動するように構成することもできます。その場合、複合振り子は可逆性（または「変換可能」）があり、重力の絶対値を決定するために使用できます。ヘンリー・ケーター大尉（FRS）は、1817年から1818年にかけて、重力の絶対値を決定するために複合振り子を設計、構築、使用した最初の人物でした。彼は2つのナイフエッジを持つ変換可能な振り子を製作し、ロンドンのポートランド・プレイスにあるヘンリー・ブラウンFRSの家で、それを用いて重力の絶対値を測定しました。彼はその後、ナイフエッジが1つだけ付いた同様の複合振り子を製作し、それを振り回してイギリス諸島のいくつかの観測所における重力の相対値を測定した。19世紀には、振り子を用いた重力の絶対値と相対値の測定に関する理論と実践が発展した。
ガリレオ、ホイヘンス、ニュートン
振り子は、17 世紀に古典力学の基礎が築かれて以来、物理的調査の対象であると同時に手段でもありました。[1]若きガリレオがピサ大聖堂の天井から吊るされた大きなランプの揺れを観察することによって振り子の振動周期が一定であることを発見したという言い伝えがあります。[2]ランプは単純な振り子の大まかな近似に過ぎなかったが、ガリレオは後に、紐で吊るされた重い球からなる「単純な」振り子を用いてより正確な実験を行った。ガリレオは、落下の法則を確かめるために設計された実験で、球を所定の高度まで持ち上げて放した。球は垂直平衡位置の反対側の同じ高度まで上昇し、それによって法則の予測を裏付けた。ガリレオはまた、「単純な」振り子の振動周期はその長さの平方根、つまり[305ページ] これは、理想的な単振り子の振動時間を表す式で表される結果です。彼はまた、振り子を用いて時間の経過を測定し、振り子時計を設計しました。ガリレオの実験結果は歴史的に重要ですが、その後のより高精度な測定結果を踏まえて修正が必要となりました。
メルセンヌは1644年に初めて秒振り子の長さを測定した。[3]すなわち、1秒（物理学的な意味での半周期）を刻む単振り子の長さである。その後、彼は与えられた複合振り子の周期に等しい単振り子の長さを求める問題を提案した。この問題はホイヘンスによって解決され、彼は有名な著書『振動子の時計』（1673年）において複合振り子の理論を提示した。[4]
ホイヘンスは、可逆複合振り子を用いて重力の絶対値を決定するための基礎となる定理を導き出しました。この定理は、与えられた複合振り子は重心の両側に共役点を持ち、これらの点の振動周期は同じであるというものです。これらの点を吊り下げ中心として、もう一方の点を振動中心とし、それらの間の距離が等価の単振り子の長さとなります。それより前の1657年、ホイヘンスは独自に振り子時計を発明し、特許を取得していました。これは急速に時間の測定に利用されるようになりました。ホイヘンスは求心力の理論も提唱し、地球の自転が重力の観測値に与える影響を計算することを可能にしました。
地球の重力場の理論は、アイザック・ニュートンの有名な著書『プリンキピア 』（1687年）で提唱された運動の法則と万有引力の法則に基づいています。ニュートンの万有引力理論によれば、地球表面における重力の加速度は、地球の重力による物体への作用と、地球の自転による影響という2つの要因の結果であるとされています。地球表面で静止している物体は、地球の自転によって一定速度で円運動するため、求心加速度を得るために重力の作用の一部を必要とします。自転する地球を基準系として使用すると、自転の影響は遠心力として表され、観測される重力の強さを減少させるように作用します。
重力用語集
絶対重力: 重力加速度の値。秒振り子の長さでも表されます。
相対重力: ある標準点における値に対する重力加速度の値。
単純な振り子: 理論上の振り子を参照してください。
理論上の振り子: 重さのない棒の端にある重い錘 (質点)。
秒振り子：振動時間（半周期）が1秒となるような長さを持つ理論上の振り子または単純な振り子。（この長さは約1メートルです。）
重力振り子: 重力の測定に使用される精密に作られた振り子。
複合振り子: 支え棒が重さをもった振り子。言い換えれば、実際の振り子。
変換振り子：重心からの距離が異なるナイフエッジを持つ複合振り子。ホイヘンスは（1673年）、このような振り子がどちらのナイフエッジからも同じ周期で振動した場合、そのナイフエッジ間の距離は、同じ周期を持つ理論的な振り子、あるいは単振り子の長さに等しいことを実証した。
リバーシブル振り子: 形状も対称的な変換可能な振り子。
不変振り子: 重力の相対測定に使用される、ナイフエッジが 1 つだけの複合振り子。
ニュートンの運動の法則と重さは質量に比例するという仮説から、単振り子の半周期の式は T = π√( l / g )で与えられます。単振り子が秒を刻む場合、 1 = π√(λ/ g )となります。ここで λ は秒振り子の長さです。T = π√( l / g )と 1 = π√(λ/ g )から、 λ = l / T 2となります。するとg = π 2 λとなります。したがって、重力の強さは、秒振り子の長さ、および自由落下する物体の加速度で表すことができます。 19 世紀には、重力は通常、秒振り子の長さで表されていましたが、現在では重力はgで表され、その単位は gal、つまり 1 センチメートル毎秒です。[306ページ]
図2.
図2.—リシェの『 カイエンヌ島における天体観測と物理観測』（パリ、1679年）に収録されたこの絵には、リシェが使用した天文機器のほとんど、すなわちチュレ製の2台の振り子時計のうち1台、直径20フィートと5フィートの望遠鏡、そして大型四分儀が描かれている。この絵はリシェの肖像画として意図されたものと思われる。この絵は、パリ・アカデミーの初期の作品に多くの挿絵を描いた若きイラストレーター、セバスチャン・ル・クレルクによって描かれた。
地球の姿
物理的な計測器としての振り子の主な貢献は、地球の形を決定することです。[5]地球が球体であるという考えは、古代ギリシャ人の間で受け入れられていた。ピタゴラスが地球を球体として初めて記述したと言われており、この見解はエウドクソスとアリストテレスにも受け継がれた。
アレクサンドリアの科学者エラトステネスは、天文測地学的手法を用いて、球体とされていた地球の直径と円周を初めて推定しました。彼はアレクサンドリアとエジプトのシエネ（アスワン）における太陽光線の方向間の角度を測定し、ラクダの隊列が両地点間を移動するのにかかる時間から、両地点間の距離を推定しました。そして、地表の弧に対応する中心角から地球の半径、ひいては円周を計算しました。二度目の測定はポセイドニオスによって行われました。彼はアレクサンドリアとロードス島における星の高度を測定し、一方の地点からもう一方の地点までの航海に要する時間から、両地点間の距離を推定しました。
古典古代の衰退とともに、地球が球体であるという説は失われ、16世紀まで記録されているのは、827年にカリフ・アル＝マムーン率いるアラブ人による調査のみです。1525年、フランスの数学者フェルネルは、パリとアミアン間の緯度1度の長さを、彼が円周を測定した馬車の車輪の回転数で測定しました。イギリスでは、1635年にノーウッドが鎖を使ってロンドンとヨーク間の弧の長さを測定しました。測地学における重要な前進は、三角測量による距離測定でした。これは、最初にデンマークのティコ・ブラーエによって、後に1615年にオランダのウィレブロード・スネルによって行われました。
歴史的に重要なことは、1669 年にジャン・ピカール神父が円弧度を測定するために三角測量に望遠鏡を使用したことです。[6]彼は新設された科学アカデミーから、パリ近郊のアミアンとマルヴォワジーヌ間の子午線の角度1度22分55秒に相当する弧を測定するよう委託されていた。ピカールはアカデミーにフランス全土を通るパリ子午線の測定を提案し、この計画はコルベールの支持を得て国王の承認を得た。1684年、ジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニとド・ラ・イルはパリ南方の弧の三角測量を開始した。その後、カッシーニの息子であるジャック・カッシーニが、この弧の測定を試み、1685年、カッシーニはパリ南方の弧の測定を開始した。[307ページ] ジョヴァンニ＝ドメニコの治世中に、パリの北に弧が追加された。この計画は1718年に完了した。パリの南側の弧度の長さは、パリの北側の長さよりも長いことが判明した。その差は57,097トワーズであった。[7] 56,960トアを引いた結果、地球の極直径は赤道直径よりも大きい、つまり地球は長楕円体であると結論づけられました（図3）。
図3.
図3.— 1669年と1718年にフランスの異なる地域で行われた緯度1度の長さの測定では、地球の形状は球体ではなく長球体（1）であると示唆する異なる結果が得られました。しかし、1672年にリシェールが振り子観測を行った結果、ホイヘンスとニュートンによって説明されたように、地球の形状は扁球体（2）であることが示されました。この図にはこの不一致が反映されています。1730年代、赤道地域と極地（当時ペルーの一部であったエクアドルとラップランド）の緯度を測定するためにフランスが行った2つの測地探検によって、後者の見解が支持されました。
一方、リチェは1672年に天文観測と秒振り子の長さの測定を行うためにフランス領ギアナのカイエンヌに派遣された。[8]彼はパリで正確な時刻を刻むように調整された振り子時計を持参した。しかしカイエンヌで、リシェは時計が1日に2分28秒遅れていることを発見した（図1）。彼はまた、秒単位で振動する「単純な」振り子を取り付け、この秒振り子の長さを10ヶ月間、毎週数回測定した。パリに戻ると、カイエンヌで秒を刻む「単純な」振り子の長さは1-1/4パリ線であることがわかった。[9]パリの秒振り子の長さよりも短い。ホイヘンスは、秒振り子の長さの減少、ひいてはパリの値と比較して赤道での重力の強さが小さいことを、地球と振り子の自転に適用される求心力の理論に基づいて説明した。[10]
より完全な理論はニュートンの『プリンキピア』で提示されました。[11]ニュートンは、地球が均質で相互に重力を及ぼし合う流体球体であると仮定すると、地球の自転によって赤道が膨らむことを示した。すると地球は扁平な回転楕円体の形になり、万有引力の一種である重力の強さは地球の表面上の位置によって変化する。ニュートンは万有引力と遠心力を考慮に入れ、回転楕円体の軸の比が 230:229 であると計算した。彼は赤道から極までの緯度 5°ごとの緯度 1 度の長さと秒振り子の長さを計算し、表を作成した。ニュートンが予測した赤道での秒振り子の長さとリチャーが測定した長さの食い違いは、赤道付近の気温が高いためにスケールが膨張することでニュートンによって説明された。
ニュートンの地球が扁平回転楕円体であるという理論は、リシェの測定によって裏付けられたが、パリ科学アカデミーによって却下された。これは、パリの南北の弧を測定し、地球が長楕円体であるという結論に至ったカシニス親子の結果と矛盾していたためである。こうして、イギリスの科学者とパリ科学アカデミーの間に論争が生じた。この論争は、アカデミーがペルーとスウェーデンに派遣した探検隊の成果によって最終的に解決された。最初の探検隊は、1735年にブーゲ、ラ・コンダミーヌ、ゴダンが率い、ペルーの南北にある地域に派遣された。[308ページ] ペルーで、スペイン人のウジョの協力を得て、現在のエクアドルにあるキトの近くで約 3°7′ の子午線弧を測定しました。[12] 1736年にモーペルテュイとクレローが行った2回目の探検では、北極圏内のラップランドに行き、長さ約1°の弧を測定しました。[13]北半球の1°の弧はペルーの1°の弧よりも長いことがわかり、地球はニュートンの理論で予測されたように、極が平らになっている扁平回転楕円体であることが確認されました。
図4.
図 4.—時計を直接使用して重力を測定する場合、振り子を時計に機械的に接続する必要があることと、時計の振り子の特性と、質量がおもりに集中し、支持棒に重さがない理論上の（通常「単純」と呼ばれる）振り子の特性との間の避けられない違いによって、精度が制限されることがわかりました。
1735年以降、時計は「コインシデンス法」を用いて、振り子の振動時間を計測するためにのみ使用されました。JJマイランによって発明されたこの方法では、まず振り子の長さを正確に測定し、天文観測によって時計の振動を修正します。次に、図に示すように、振り子を時計の振り子よりも先に振ります。2つの振り子は多少位相がずれて振動しますが、片方が振動するたびに一致します。数時間にわたる一致回数を数えることで、振り子の周期を非常に正確に測定できます。振り子の長さと周期は、重力の計算に必要なデータです。
エラトステネスからピカールまでの時代は測地学の球面時代と呼ばれ、ピカールから19世紀末までの時代は楕円体時代と呼ばれています。後者の時代には、地球は楕円体であると考えられ、その楕円率、すなわち赤道半径と極半径の差を赤道半径で割ることを求めることが測地学上の重要な問題となりました。この問題の解決に大きく貢献したのは、振り子による重力測定でした。
楕円体時代の画期的な作品[309ページ] 測地学の基礎となったのは、クレローの論文「Théorie de la Figure de la terre」です。[14]地球は平衡の球体であり、すなわち、その上に水の層が広がり、内部の密度は変化し、密度の等しい層は共軸の球体であるという仮説のもと、クレローは歴史的な定理を導きました。γE、γPをそれぞれ赤道と極における重力の値とし、cを赤道における遠心力をγEで割ったものとすれば、楕円率はα ＝（5/2）c-（γP – γE ）/γEとなります。
ラプラスは、密度が等しい表面はほぼ球形になる可能性があることを示し、ストークスは、外部表面が平衡の球体である限り、密度の法則を仮定する必要がないことを示しました。[15]クレローの定理によれば、地球が扁平回転楕円体である場合、その楕円率は重力の相対値とcに含まれる赤道における絶対値から決定できる。非可逆かつ不変の複合振り子による観測は、クレローの定理の原型および現代における拡張形を地球の形状と重力場の決定に応用することに貢献した。
初期の振り子の種類
19世紀以前の重力観測に用いられた振り子は、通常、フィラメントに吊るされた小さな重りで構成されていました（図4～6）。「単純な」振り子を用いた先駆的な実験者たちは、振り子が秒を刻むまで吊り下げられた重りの長さを変えました。1669年、ピカールはパリで「単純な」振り子を用いて秒振り子の長さを測定しました。この振り子は直径1インチの銅球で構成され、ジョーからパイト繊維で吊り下げられていました（パイトはアロエの一種の葉から抽出されたもので、湿気による影響はほとんどありませんでした）。
「単純な」振り子を使った有名な一連の実験はブーゲールによって行われた。[16] 1737年、アンデス山脈でペルー弧を測定する遠征の一環として行われた。振り子の錘は二重円錐台で、長さはジョーサスペンションから糸と錘の振動中心まで測定された。ブーゲは測定棒の長さが温度によって変化することと、空気の浮力を考慮した。彼はコインシデンス法の基本的な形で振動時間を測定した。振り子の糸を目盛りの前で振り、ブーゲは振り子が秒時計の振動数を失うのにどれだけの時間がかかるかを観察した。この目的で、彼は時計の音が聞こえ、同時に糸が目盛りの中心を通過した時刻を記録した。ブーゲの方法の歴史的な側面は、彼が「不変」の振り子を採用したことであり、つまり、さまざまな観測点で長さが一定に維持され、この手順はブーゲによって発明されたと言われています。
T = π√( l / g )なので、 T 1 2 / T 2 2 = g 2 / g 1となります。したがって、1つの観測点における重力の絶対値が分かれば、他の任意の観測点における重力の値は、2つの観測点における不変振り子の振れ時間の2乗の比から決定できます。上記の式から、重力の強さがgである観測点における振れ時間をT 1、重力の強さがg + Δ g である観測点における振れ時間をT 2とすると、(Δ g )/ g = ( T 1 2 / T 2 2 ) – 1 となります。
ブーゲールの不変振り子の研究は、地球の内部構造を決定する方法をもたらした。ペルー探検の際、彼はキトの観測所を含む、海抜の異なる距離にある 3 つの観測所で秒振り子の長さを測定した。標高の異なる観測所での重力の値を比較する場合、通常は海面まで、同じレベルに換算する必要がある。重力は万有引力の法則に従って海抜が高くなるにつれて減少するため、海面より上で測定した重力の値には自由大気換算を適用する必要がある。ブーゲールは、プレート内の物質の引力によって山や高原で重力が増加するため、それに対する追加の換算を考案した。ペルーの高所および海面における重力の相対値から、ブーゲールは地球の平均密度が山脈の密度の 4.7 倍であると算出した。[17]地球の内部構造をより正確に研究するために、19世紀にブーゲプレート縮小法が考案されました。[310ページ] 地形の不規則性に対する修正とさまざまな種類の等方性低減によって補完されるようになりました。
ブーゲールと同様にペルー探検隊の一員であったラ・コンダミーヌは、独自の振り子実験を行った（図4）。彼は1735年、南米へ向かう途中のサントドミンゴで実験を行った。[18]その後、南米のさまざまな観測所で観測を行い、フランスに戻ってから再びパリでも観測を行った。彼の振り子は、鉛の糸で吊るされた銅球で構成されていた。実験では、長さは当初約12フィート、振動時間は2秒であったが、その後、長さは約3フィートに短縮され、振動時間は1秒になった。それ以前、地球上の重力は一定であると信じられていた頃、ピカールらは秒振り子の長さを基準として選ぶことを提案していた。ラ・コンダミーヌは1747年に、赤道における秒振り子の長さを長さの基準として採用するという形でこの提案を復活させた。その後、彼は振り子の周期の変化から鉄のトイズの膨張を調べた。1755年に、彼はボスコヴィッチと共にローマで振り子を観測した。ラ・コンダミーヌの振り子は他の観測者によって使用されたが、最終的には世界一周の探検中に海上で失われた。 18 世紀末までに得られた振り子に関する知識は、1785 年にボスコヴィッチの回顧録にまとめられました。[19]
図5.
図5.—振り子の長さを実際に測定するための装置。 これは、1735年にフランスがペルーに測地学遠征を行った際、サントドミンゴ島に3ヶ月間滞在し、マイラン法による振り子の観測を行ったCM de la Condamineによる一連の予備実験に基づいて考案された。ここに示すこの配置では、垂直に立てられた鉄木の棒がスケールと装置の支持台の両方として使用され、その上部には真鍮製の振り子支持台 (A) があり、その下部には水平の鏡 (O) が設置されている。この鏡は、Aから突き出た指針の反射を目視で観察することにより、装置を垂直に整列させるのに役立つ。長さ約37インチの振り子は、パイト（耐湿性天然繊維）の糸と約6オンスの銅球から構成されている。振り子の正確な長さは、球が鏡にほぼ接触するようにマイクロメータ (S) を調整することによって決定される。時計の振り子は目盛りに隠れてしまうことに注意されたい。ラ・コンダミーヌは、「振り子が平行に振れる」瞬間を目視で観察することで、一致した時刻を決定したようだ。（フランス物理学会発行の『Mémoires publiés par la Société française de Physique』第4巻、図版1の一部。）
[311ページ]
図6.
図 6.—初期の振り子の実験の結果は、周期が 1 秒の振り子の長さで表されることがよくあり、「秒振り子」と呼ばれていました。1792 年、JC ボルダと JD カッシーニは、この装置を使ってパリで秒振り子の長さを測定しました。振り子は、直径約 1 インチ半のプラチナ球が細い鉄線で吊り下げられた構造です。長さは約 12 フィートで、周期は時計の振り子 (A) の周期のほぼ 2 倍になります。2 つの振り子が同時にスクリーン (M) の後ろから現れる時刻を、左側の望遠鏡で観測することで、一致間隔を計測しました。振り子の正確な長さは、バーニヤと温度補正用の補助銅目盛りを備えたプラチナ目盛り (図示せず) で測定されました。
18世紀末、フランス革命政府が度量衡のメートル法を確立した際、パリの秒振り子の長さが長さの単位として検討されたが、採用されることはなかった。（図版2、フランス物理学会刊行物第4巻）
ピカール、ブーゲ、ラ・コンダミーヌらによるフランスの「単純な」振り子の実践は、1792年にパリの天文台でボルダとカッシーニが行った研究で最高潮に達した。[20]（図6）。[312ページ] 秒振り子の長さをフランスの新政府が長さの基準として採用するかどうかを決定するため、実験が行われた。このおもりは、直径 16-1/6 パリライン、重さ 9,911 グレイン (17 オンス強) のプラチナ球から成っていた。おもりは、少量のグリースを介在させて、その表面の約 5 分の 1 を覆う真鍮カップに固定されていた。球の入ったカップは約 12 パリ フィートの長さの細い鉄線で吊るされていた。鉄線の上端は、くさび形のナイフ エッジの一部である円筒に固定され、ナイフ エッジの上面には軸があり、軸には小さな調整可能な重りがねじで固定されていた。ナイフ エッジは鋼板の上に置かれた。ナイフ エッジ装置の重りは、振り子と同じ周期で装置が振動するように調整された。したがって、ナイフエッジの周りの振り子の運動理論では、吊り下げ装置の質量は無視できます。
図7.
図 7.—ケーニヒスベルクにおける秒振り子の長さを新しい方法で測定する実験の結果が、1826 年に FW ベッセルによって報告され、1828 年に出版されました。この装置を使用して、彼は 2 つの異なる吊り下げ点を使用して、同じ振り子から 2 セットのデータを取得しました。振り子の長さは約 10 フィートでした。2 つの吊り下げ点 ( aとb ) 間の距離は 1 トアズ (約 6 フィート) でした。おもりの下にあるマイクロメートル天秤 ( c ) を使用して、おもりの重さによる長さの増加を測定しました。彼はレンズを使用して時計の振り子 (図示せず) の像を重力振り子に投影し、時計をある程度離れた場所に置くことで、その動きによる妨害効果を排除しました。 (図版 6 の一部、Mémoires publiés par la Société française de Physique、第 4 巻)
以前の顎からの吊り下げでは、振り子がどの点を中心に振動するかが不確実でした。ボルダとカッシーニは、秒時計の前に振り子を吊り下げ、コインシデンス法によって振動時間を決定しました。時計の時刻は、時計が振り子に対して1回の完全な振動（2回の振動）を得たり失ったりしたときに観測されました。針金振り子がn回 振動するのに対し、時計は2 n + 2振動すると仮定します。時計が正確に秒を刻む場合、1回の完全な振動の時間は2秒であり、針金振り子の振動時間はT = (2 n + 2)/ n = 2(1 + 1/ n )です。時計と針金振り子のコインシデンスを決定する際の不確実性によって生じる時刻の誤差は、[313ページ]2n という長い観測間隔を用いることで、ボルダの白金球を60cmの銅線で吊り下げ、その長さを測定した。装置全体は気流による擾乱を排除するため、箱の中に収められた。浮力、振れ幅、そして温度による針金の長さの変化に対する補正が行われた。最終的な結果として、パリ天文台における秒振り子の長さは440.5593パリ線、つまり993.53mmと測定され、海面993.85mmに換算された。数年後、ボルダの方法は他のフランスの研究者にも応用され、その中には60cmの銅線で吊り下げられたボルダの白金球を用いたビオもいた。
もう一つの歴史的な「単純な」振り子は、 1825年から1827年にかけてケーニヒスベルクで重力を測定するためにベッセルが振ったものです（図7 ）。[21]振り子は真鍮、銅、あるいは象牙の球を細いワイヤーで吊り下げたもので、その上端は水平の円筒に巻き付けたり外したりして支えられていた。振り子はまず一点から振り上げられ、次に別の点から振り上げられる。まさに「ペルーのトワーズ」である。[22]それぞれの場合において、錘はより高く、同じ高さにある（図7）。ベッセルはコインシデンス法によって振り子の振動周期を測定した。比較用の時計は、観測対象の振り子からある程度離れた場所に設置された。
ベッセルの実験は、補正値を慎重に決定した点において意義深いものであった。彼は針金の硬さと、振り子と針金の接続部の剛性不足を補正した。後者の補正の必要性はラプラスによって指摘されていた。ラプラスは、針金の引力が重心の一方側と他方側にある状況において、振り子が重心の周りに角運動量を獲得することを示した。これは、針金の線、ひいてはそれが及ぼす力が常に重心を通るとすれば説明できない。ベッセルは、先人たちが考慮した空気の浮力の補正に加えて、振り子によって動かされる空気の慣性も考慮に入れた。
図8.
図8.—ベッセル振り子の吊り下げ方式を示す。鉄線は左側のつまみネジとクランプで支えられているが、中央のピン（実際には振り子の上端）の上を通っている。ベッセルはこの「巻き戻しの円筒」が、以前の振り子のクランプとナイフエッジよりも優れていることを発見した。右側のカウンターウェイトは、秤が自重によって伸びないように支えるシステムの一部である。
この装置を用いて、ベッセルは二つの振り子の長さと振動時間の比を決定した。これに基づいて、秒振り子の長さが算出された。彼の方法により、振り子の線のたわみや錘の形状の不完全さといった不正確さの要因を考慮する必要がなくなった。（フランス物理学会発行の『Mémoires publiés par la Société française de Physique』第4巻、図版7の一部）
[314ページ]
図9.
図9.—フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル（1784-1846）、ドイツの数学者・天文学者。1810年にケーニヒスベルクに設立されたプロイセン天文台の初代所長に就任し、生涯をそこで過ごした。天文学における精密測定と計算への彼の多大な貢献は非常に重要であり、しばしばこの科学における「近代」時代の創始者とみなされている。この特徴は、1826年から1830年にかけて彼が測地学に取り組んだことにも表れており、その成果の一つが本稿で報告する振り子実験である。
後者の効果は1786年にデュ・ブアトによって発見された。[23]しかし、ベッセルは彼の研究を知らなかった。ケーニヒスベルクの秒振り子の長さは、海面まで換算するとベッセルによって440.8179ラインと測定された。1835年、ベッセルはベルリンのある地点で重力の強さを測定した。この観測は後に、アメリカ沿岸測量局のチャールズ・S・パースによって帝国度量衡局で行われた。
ケーターの変換可能な振り子と不変の振り子
図10.
図10.—ヘンリー・ケーター（1777-1835）、イギリス陸軍将校、物理学者。彼の科学者としての経歴は、インドでの軍務中に始まり、「大三角測量」に協力した。健康状態を理由にイギリスに戻り、1814年に引退したケーターは、1818年に「秒振り子」の測定における「単純」振り子の近似値に代わる、変換振り子の開発を先導した。ケーターの変換振り子と、彼が1819年に開発した不変振り子は、イギリスの振り子研究の基礎となった。（写真提供：ロンドン・ナショナル・ポートレート・ギャラリー）
図11.
図11.— 重力実験における単純（理論的な）振り子を近似する試みは、 1817年から1818年にかけてヘンリー・ケーターが複合変換振り子を発明したことで終焉を迎えました。この変換振り子から、ホイヘンスの方法（本文314ページ参照）に従って、等価な単純振り子を得ることができました。イギリスの計量標準を定めるプロジェクトに関連して開発されたケーターの振り子は、「複合」と呼ばれました。これは、以前の実験者が「重さのない」棒を近似しようとした細い針金や紐ではなく、硬い棒であったためです。変換可能と呼ばれるのは、両端の2つのナイフエッジ（aとb）から交互に振り回されるからです。重り（fとg）は、どちらのナイフエッジから見ても振り子の周期が同じになるように調整されます。2つのナイフエッジ間の距離は、等価な単純振り子の長さに等しくなります。
地球の重力場の体系的な調査は、ヘンリー・ケーター大尉 (FRS) の貢献によって大きく推進されました。1817 年、ケーター大尉は、ロンドンのポートランド プレイスにあるヘンリー・ブラウン FRS の家で、重力の絶対測定用に、変換可能な複合振り子を設計、構築し、適用しました。[24]ケーターの変換振り子（図11）は、真鍮の棒に真鍮の平らな円形のおもりと2つの調節可能な重りが取り付けられていて、小さい方の重りはネジで調整されていました。振り子の変換性は、重心の反対側に内側を向いた2つのナイフエッジを設けることで実現しました。振り子はそれぞれのナイフエッジで振られ、調節可能な重りは、それぞれのナイフエッジの周りの振り子の振動時間が同じになるまで動かされました。振動時間が同じであると判断された場合、複合振り子の共役点に関するホイヘンスの定理に従って、ナイフエッジ間の距離が等価な単振り子の長さであると推定されました。ケーターはコインシデンス法（図12）で振り子の振動時間を決定しました。彼は空気の浮力について補正しました。ロンドンのブラウンの家の秒振り子の長さの最終値は、海面まで下げて 39.13929 インチと測定されました。
変換可能な複合振り子は、ケーターが実現する以前から構想されていました。1792年、パリで秒振り子の長さを長さの基準とする提案がなされた際、プロニー男爵は3軸の振動軸を持つ複合振り子の使用を提案しました。[25] 1800年、彼はナイフエッジを備えた変換可能な複合振り子を提案した。この振り子は等間隔で振動する。ド・プロニーの提案は受け入れられず、彼の論文は1889年まで未発表のままだったが、その年にデフォルジュによって発見された。フランスは球振り子の実験を行い、秒の長さを決定することにした。[315ページ] 振り子の観測は、ボルダとカッシーニによって前述の方法で行われた。ボーネンベルガーは著書 『天文学』（1811年）の中で、[26]は、重力の絶対測定に可変振り子を用いる提案を行ったため、出版における優先権を認められた。ケーター大尉は可変振り子を独自に考案し、設計、製作、そして実際に振り回した最初の人物であった。
変換振り子の観察の後、ケーター大尉は、単一のナイフエッジを持つが、その他の外形は変換振り子に似ている不変の複合振り子を設計しました。[27] （図13）。これらのケーター不変振り子は、世界中の観測所で13台が製作され、振られていることが報告されている。[28]ケーター自身はロンドンの観測所とイギリス諸島の様々な観測所で不変振り子を振った。エドワード・サビン船長は1820年から1825年にかけて航海し、西インド諸島からグリーンランド、スピッツベルゲン島に至るまでの観測所でケーターの不変振り子を振った。[29] 1820年にケーターはロンドンでケーター不変振り子を振り、それをゴールドインハムに送り、ゴールドインハムは1821年にインドのマドラスでそれを振りました。[30] 1820年にもケーターはホールに不変振り子を納品し、ホールはそれをロンドンで振り、赤道付近と南半球で観測を行い、1823年には再びロンドンで観測を行った。[31]同じ振り子は刃が再研磨された後、ロシアのリュトケ提督に届けられ、提督は1826年から1829年にかけて世界一周旅行でそれを使って重力を観測した。[32]
[316ページ]
図12.
図12.—使用中のケーター変換振り子は時計の前に置かれ、振り子の重りはケーター振り子の「尾」のすぐ後ろにあります。時計振り子の重りの中心には白い点が描かれています。左側の観測望遠鏡には、垂直スリットの付いた絞りがあり、その幅はケーター振り子が静止しているときに、その視野がちょうどケーター振り子の尾で満たされる程度です。2つの振り子が振動しているとき、2つの振り子が一致する時を除いて、時計振り子の白い点は毎回見えます。このようにして、一致が判定されます。（図版5の一部、Mémoires publiés par la Société française de Physique、第4巻）[317ページ]
図13.
図 13.—この図は、ジョン・ゴールドインガムがインドでケーターの不変振り子を用いて行った研究に関する報告書に添付されたものです。単振り子によって直接的または間接的に得られた重力の値は、「絶対」と呼ばれます。複数の観測点で重力の絶対値が確立されると、新しい観測点での重力測定に、はるかに単純な「相対」法を使用できるようになりました。この方法はナイフエッジが 1 つしかなく、変換可能な振り子の調整を必要としないため、「不変」と呼ばれます。使用にあたっては、まず重力の絶対値が確立されている観測点で振り、その周期を 1 つ以上の新しい観測点での周期と比較します。ケーターは 1819 年に不変振り子を開発し、これは 1821 年にイギリスとインドのマドラスで使用されました。
図14.
図14.—ケーター振り子用の真空チャンバー。振り子観測の精度を乱す可能性のある多くの外的要因のうち、最も重要なのは空気抵抗です。1829年にグリニッジ天文台（イギリス）で報告された実験により、振り子を振動させるための真空チャンバーが開発されました。
イギリスがケーター不変振り子を振り、秒振り子の長さ、つまり重力の相対値を測定することに取り組んでいた頃、フランスも遠征隊を派遣しました。フレシネ大尉は、真鍮製の不変振り子3つと木製の不変振り子1つを用いてパリで最初の観測を行い、その後、リオデジャネイロ、喜望峰、イル・ド・フランス、ラワク（ニューギニア近海）、グアム、マウイ島など、様々な場所で観測を行いました。[33]同様の遠征が1822年から1825年にかけてデュペリー船長によって行われた。[34]
1827 年から 1840 年にかけて、王立天文学会の会員であったフランシス ベイリーによってさまざまな種類の振り子が作られ、振られました。ベイリーは 1832 年に、41 種類以上の振り子を真空中で振ってその特性を測定した実験について報告しました。[35] 1836年、ベイリーはアメリカ探検隊の隊長となるチャールズ・ウィルクス中尉に助言することを約束した。[318ページ] 1838年から1842年にかけての遠征において、この航海のための振り子の調達についてウィルクスはロンドンの計器製作者トーマス・ジョーンズに2つの珍しい振り子を注文しました。ウィルクスはこれを「ベイリー氏が移動式振り子として最良の形だと考えたもの」と表現し、ベイリー自身も「ナイフエッジの位置を除けば、この[王立天文学]協会が所有する2つの不変振り子と全く同じ」と表現しました。
図15.
図15.—左に示されているフランシス・ベイリーの振り子 （長さ62-1/2インチ）の1つは、現在ロンドンの科学博物館が所蔵しています。右は、19世紀後半にワシントンD.C.のエドワード・キューベルによって作られた同様の振り子（長さ37-5/8インチ）の2つの画像で、米国国立博物館のコレクションで316,876番となっています。ベイリーがロンドン（1827-1840年）で試作した多数の振り子の中に、表面的には可逆振り子に似ているものの、実際には両端にナイフエッジを持つ不変振り子がありました。これは2つの別々の不変振り子と同等であるため、その目的は明らかに経済性でした。これは、1838年から1842年にかけての米国探検遠征で使用されたタイプの振り子です。キューベルの振り子がどのように使用されたかは不明です。
これらの振り子の特異な特徴は、形状だけでなく質量も対称的であることにありました。棒状のもので、片方は鉄、もう片方は真鍮で作られており、それぞれ中心から等距離の両端にナイフエッジが付いていました。そのため、可逆振り子に似てはいましたが、質量が対称的であるため、可逆振り子としての使用は不可能で、むしろ4つの独立した不変振り子と同等でした。[36]
ウィルクスはベイリーから振り子の使い方を教わり、ベイリーの家で実験を行った。ベイリーはそこで 1832 年に報告された研究を行っていた。その後のアメリカ探検隊による実験はウィルクス自身が担当し、ロンドン (1836 年) を皮切りに、ニューヨーク、ワシントン D.C.、リオデジャネイロ、シドニー、ホノルル、「振り子の峰」(マウナ ロア)、カノハ山、ネスクワリ (オレゴン準州)、そして最後にワシントン D.C. でさらに 2 回 (1841 年と 1845 年)、計 11 回にわたって観測を行った。
ウィルクスの研究結果はベイリーに伝えられ、ベイリーは温度の恒常性の維持と振り子への特定の変更に十分な注意を払っていなかったために研究に欠陥があることを発見したようだ。[37]調査結果は探検隊の出版物にも収録される予定でしたが、未出版の第24巻に収録されました。幸いなことに、印刷用の校正刷りと思われるものが現在も残っています。[38]
ケーター不変振り子は、地球の内部構造を調べるために使用されました。エアリーは、鉱山の頂上と底で振り子の振動時間を観察することで、地球の密度を決定しようとしました。最初の実験は1826年にコーンウォールのドルコース銅鉱山で行われましたが、振り子が底に落ちたため失敗しました。[319ページ] 1854年、サンダーランド近郊のハートン炭鉱で再び実験が行われた。[39]坑道の深さに等しい殻の引力により、地表の重力は坑道の下よりも強かった。岩石標本から測定された殻の密度から、エアリーは地球の密度が水の6.5倍であることを発見した。1880年、T.C.メンデンホールはケーター社の変換式振り子を用いて、富士山と東京の重力値を比較した。[40]彼はボルダ型の「単純な」振り子を用いて東京における重力の絶対値を決定した。山と東京における重力値、そして山の体積の推定値から、地球の平均密度は水の5.77倍であると推定した。
1879年、J. ハーシェル少佐（RE）は次のように述べました。
1840年から1865年までは、1854年のエアリーの相対密度実験を除けば、完全な空白期間である。この空白は、3つの異なる方法で同時に破られた。ケーター型振り子2台がインドに送られ、ベッセルの設計に基づく2台がロシアで稼働を開始した。そしてジュネーブでは、プランタモールが同種の振り子を用いて熱心に実験を行い、ヨーロッパ大陸における新たな活動の時代の幕開けを告げた。[41]
ケーター不変振り子第4号および第6号（1821年）が1865年から1873年の間にインドで使用されていたという記述を踏まえて、次にハーシェルが言及したその他の出来事について考えてみましょう。
[320ページ]
レプソルド・ベッセル可逆振り子
前述の通り、ベッセルは1825年から1827年にかけて、そして1835年にはケーニヒスベルクとベルリンにおいて、球形（「単純」）振り子を用いて重力の測定を行いました。ケーニヒスベルクでの観測に関する回想録の中で、彼はナイフエッジが交換可能な対称型複合振り子の理論を提唱しました。[42]ベッセルは、振り子が幾何学的中心に対して対称で、各軸の周りの振動回数が同じであれば、浮力と運動する空気の影響が排除されることを理論的に実証した。ラプラスはすでに、ナイフエッジは単なる支持線ではなく円筒とみなす必要があることを示し、さらにベッセルは、ナイフエッジが等しい円筒であれば、振り子を反転させることでその影響が排除されること、また、ナイフエッジが等しい円筒でない場合は、ナイフを入れ替え、いわゆる直立位置と倒立位置での振動回数を再び測定することで、その影響の差が打ち消されることを示した。ベッセルはさらに、2つのナイフエッジの振動回数を正確に等しくする必要はないことを示した。
真空中の無限小振動に関する簡略化された議論は次のようになります。T 1およびT 2 がナイフエッジの周りの振動時間、 h 1およびh 2が重心からのナイフエッジまでの距離、k が重心を通る軸の周りの回転半径である場合、重力下で固定軸の周りを振動する剛体の運動方程式から、T 1 2 = π 2 ( k 2 + h 1 2 )/ g h 1、 T 2 2 = π 2 ( k 2 + h 2 2 )/ g h 2が成り立ちます。すると、 ( h 1 T 1 2 – h 2 T 2 2 )/( h 1 – h 2 ) = (π 2 / g )( h 1 + h 2 ) = τ 2となります。
τは長さh 1 + h 2の単振り子の振動時間である。差T 1 – T 2が十分に τ = ( h 1 T 1 – h 2 T 2 )/( h 1 – h 2 ) 。1828年にベッセルが発表する以前に、長さh 1 + h 2の単振り子の振動時間をT 1、T 2で表す公式は、 1824年11月28日付のC.F.ガウスがHC.シューマッハに宛てた手紙の中で示していた。[43]
ベッセルが死後に設計と仕様を公開した、交換可能なナイフを備えた対称的な複合振り子。[44]は可逆振り子と呼ばれており、ケーターの非対称可逆振り子とは区別される。1861年にスイス測地学委員会が設立され、1862年の最初の会合の一つで、スイスの様々な地点における中央ヨーロッパを横断する子午線の弧の測定に関連する作業に重力測定を追加することが決定された。[45]さらに、ベッセル設計の可逆振り子を採用し、ハンブルクのA.レプソルト社に製作を依頼することが決定された。また、この振り子を用いた最初の観測はジュネーブで行うことが決定され、レプソルト・ベッセル振り子（図16）は1864年秋、ジュネーブ天文台長のE.プランタモール教授に送られた。[46]
スイス製の可逆振り子は、長さ（ナイフエッジ間の距離）が約560mmで、振動時間は約3/4秒でした。振り子の軸の先端には、可動式の円筒形の円盤が付いており、片方は中が硬く重いもので、もう片方は中が空洞で軽いものでした。機械技術者たちは、可動式の円盤の位置を調整することで、ナイフエッジ周りの振動時間を等しくすることを意図していました。振り子は、三脚で支えられたプレートにナイフエッジで吊り下げられ、測定棒を吊り下げて、比較器でナイフエッジ間の距離を測定することができました。プランタモールは、各ナイフエッジ周りの振動時間が等しくなるまで円盤を調整するのは現実的ではないと気づきました。彼の同僚であるシャルル・セレリエは、[47] [321ページ]そして、( T 1 – T 2 )/ T 1が十分に小さく、その二乗を無視できる場合、ナイフエッジの周りの振動時間から、重心とナイフエッジの距離を用いた理論によって秒振り子の長さを決定できることを示した。このように、ベッセルによって先に提唱されていた可逆振り子の理論における重心の位置の役割は、スイスの振り子観測者のためにセルリエによって独立に発見された。
1866 年、プランタムールは広範な回想録「ジュネーブの日常生活の経験」を出版しました。復帰1872年に出版された別の回想録では、スイスにおける重力測定のさらなる結果が紹介されている。プランタモールは西ヨーロッパで初めてレプソルド・ベッセルの可逆振り子を使用し、その利用方法を考案した科学者であった。
ロシア帝国科学アカデミーはレプソルド・ベッセル振り子2台を購入し、1864年にサンクトペテルブルク大学のサヴィッチ教授らが観測を開始した。[48] 1869年、ロシアの振り子はインド測量局に貸し出され、測量局のメンバーがカター不変振り子4号と6号（1821年製）を使った観測を補うことができた。ロシアの装置をインドに輸送する途中で、刃が錆びてしまったため、装置を修理する必要があった。インド測量局のヘヴィサイド大尉は1874年春、ロンドン近郊のキュー天文台で両方の振り子を使った観測を行い、その後、ロシアの振り子はプルコバ（ロシア）に送られ、そことコーカサス山脈での観測に使用された。
重力測定のためのレプソルド・ベッセル可逆振り子の導入に伴い、測地学に関する最初の国際科学協会が設立されました。1861年、プロイセン測地測量局長のJ・J・バイヤー中将は、プロイセン陸軍大臣に覚書を送り、中央ヨーロッパ諸国の独立した測地測量を国際機関の設立によって調整することを提案しました。[49] 1862年、ドイツ諸州および中央ヨーロッパ諸国に招待状が送られた。協会の第一回総会は、当初は「Die Mittel-Europäische Gradmessung 」 （国際測地学会）とも呼ばれ、[322ページ] 1864年10月15日から22日までベルリンで開催された。[50]会議は組織に関する問題を決定した。総会は通常3年ごとに開催される。当初7名のメンバーで構成される常設委員会が協会の科学機関となり、毎年会合を開く。加盟国からの報告書の受理、出版、配布のための中央事務局が設立される。
図16.
図 16.—ベッセルが残した設計をもとに、この携帯用装置は 1862 年にハンブルクのレプソルド社で開発された。レプソルド社の創立者は、1826 年にベッセルが開発した振り子装置の構築に協力していた。振り子は変換可能だが、ケーターのものとは幾何学的に対称形である点が異なり、このためレプソルドの装置は通常「リバーシブル」と呼ばれている。振り子のすぐ右側には標準スケールがある。左側には、振り子のナイフ エッジ間の距離を測定するためにレプソルドが設計した「垂直コンパレーター」がある。この測定を行うには、コンパレーターを介して水平に投影する 2 つのマイクロメーター顕微鏡の焦点を、ナイフ エッジと標準スケールに交互に合わせます。
1864 年の総会では、「天文学上の問題」という議題の下、測地網の可能な限り多くの地点で重力の強さを測定することを決議し、観測機器として可逆振り子の使用を推奨しました。[51] 1867年にベルリンで開催された第2回総会では、ヌーシャテル天文台の所長ヒルシュ博士によるスイスにおけるレプソルド・ベッセル可逆振り子の実践に関する好意的な報告に基づいて、この装置が重力測定用に特に推奨されました。[52]協会の名称はDie Europäische Gradmessungに変更され、1886年にDie Internationale Erdmessungとなり、第一次世界大戦までその名称で存続した。
1866年4月1日、ベルリンにバイヤー総裁の下、ヨーロッパ測地測量中央局が開設された。1868年には、同じくバイヤー総裁の下、ベルリンに王立プロイセン測地学研究所が設立され、1870年1月1日に正規の予算を得た。研究所用の可逆振り子はA.レプソルド・アンド・サンズ社に発注され、1869年春に納品された。プロイセンの振り子はベッセルの仕様に基づき幾何学的に左右対称であったが、スイスやロシアの振り子とは形状が異なっていた。ナイフエッジ間の距離は1メートル、振り子の振動時間は約1秒であった。プロイセンのレプソルト・ベッセル振り子は、1869年から1870年にかけて、ライプツィヒ天文台長であり測地学研究所天文部門長でもあったブルーンス博士の指導の下、アルブレヒト博士によってライプツィヒをはじめとする中央ヨーロッパの観測所で測定されました。これらの最初の観測結果は、1871年に王立プロイセン測地学研究所の出版物に掲載されました。[53]
ロシアのレプソルド・ベッセル振り子による観測結果は、帝国科学アカデミーによって発表されました。1872年、サヴィッチ教授は西ヨーロッパ人向けにこの研究成果を「ロシア帝国の西方諸州における観測者の変奏曲」として報告しました。[48] 1873年11月、オーストリア測地学委員会はレプソルト・ベッセルの可逆振り子を受け取り、1874年9月24日、テオドール・フォン・オッポルツァー教授はドレスデンで開催された第4回ヨーロッパ測地学会総会でウィーンなどの観測所での観測結果を報告した。[54] 1874年9月28日の会議の第4回会合では、バイエルを委員長とし、ブルーンス、ヒルシュ、フォン・オッポルツァー、ピータース、アルブレヒトからなる特別委員会が任命され、「重力の強さを決定するための観測」（プログラムのトピック3）で、「多くの点を決定するのに適した振り子装置はどれか」という問題を検討しました。
ヨーロッパで重力測定にレプソルド・ベッセルの可逆振り子が採用された後、ベンジャミン・パース教授の指導の下、米国沿岸測量局による現地調査が開始されました。振り子を用いた観測に関する報告書には、パースが1872年11月30日に息子のチャールズに「沿岸測量局の振り子実験を指揮し、そのような実験に従事するすべての関係者を指導・検査し、状況が許す限り、関係者と共に現地調査を行うこと」と指示する以前の記述があります。[55]調査局による体系的かつ重要な重力調査はチャールズ・サンダースによって開始された。[323ページ] パース。任命の通知を受けると、パースは直ちにレプソルド社にプロイセンの機器に類似した振り子を発注した。機械工の会社は1874年の金星の太陽面通過観測用の機器を製作していたため、海岸測量局用の振り子をすぐに製作することはできなかった。一方、1873年から1874年にかけて、チャールズ・パースはノースアダムズ近郊のフーサックトンネル、マサチューセッツ州ノーサンプトン、ケンブリッジで重力観測を行う調査隊を率いた。使用された振り子は、円錐形の錘を持つ非可逆・不変振り子であった。銀製の振り子もあったが、真鍮製の同様の振り子も使用された。[56]
図17.
図17.— 1875年に製作され、米国沿岸測地測量局の重力測定に使用されたレプソルド・ベッセル式可逆振り子装置。大陸の測地学者たちは、可逆振り子の一般的な使用と重力の絶対測定を引き続き支持したが、イギリスの測地学者たちは、基準点を除いて不変振り子と相対測定に転向した。おそらく、重力測定へのアメリカの最初の重要な貢献は、C.S. ピアースによる、レプソルド装置に固有の誤差がスタンドのたわみによって生じることを実証したことであろう。
図18.
図18.—チャールズ・サンダース・パース（1839-1914）。ハーバード大学パーキンス天文学・数学教授ベンジャミン・パースの息子。C.S.パースは1859年にハーバード大学を卒業した。1873年から1891年にかけて、米国沿岸測地測量局の助手として、本稿で述べる重要な重力測定研究を成し遂げた。パースは他の多くの分野にも関心を寄せていたが、とりわけ論理学、哲学、科学史に深く関心を持ち、これらの分野で多くの著作を残した。彼の最も有名なのは哲学であり、プラグマティズムの創始者とみなされている。
[324ページ]1874年、チャールズ・パースは、1875年3月1日頃から少なくとも1年間ヨーロッパに派遣され、「新しい変換振り子の使い方を学び、それをヨーロッパの度数測定器やスイスのものと比較し、さらに」彼の「不変振り子をロンドンとパリで振って、これまで使用されてきた方法と比較する」ことを望んでいると述べた。[57]
アメリカ沿岸測量部助手チャールズ・S・パースは、1875年4月3日にヨーロッパに向けて出航し、沿岸測量部用に発注されたレプソルド・ベッセル式可逆振り子を入手し、重力測定に使用する方法を学ぶ任務を負った。イギリスでは、マクスウェル、ストークス、エアリーと振り子を用いた研究の理論と実践について協議した。5月にはハンブルクへ移動し、レプソルド夫妻から沿岸測量部用の振り子の引き渡しを受けた（図17）。続いてパースはベルリンへ行き、バイヤー将軍と協議した。バイヤー将軍は、振り子用のレプソルド架台の安定性に疑問を呈した。パースは次にジュネーブへ行き、プランタモア教授との取り決めの下、天文台で新しく入手した振り子を振った。[58]
レプソルド台の剛性についてバイヤーが疑念を表明したことを受けて、ピアースは振り子の振動によって生じる台のたわみを測定する実験を行った。彼の方法は、振り子台の前にマイクロメーターを設置し、摩擦を測定しておいた滑車上を重りが通過することによって生じる変位を顕微鏡で測定するというものだった。ピアースは、振り子の振動中の台の揺れを考慮して秒振り子の長さに適用すべき補正値が 0.2 mm 以上になると計算した。ピアースがジュネーブで行ったたわみの測定は後の測定ほど正確ではなかったが、それ以前にレプソルド振り子で行った測定において台のたわみを補正しなかったことが、秒振り子の長さの報告値にかなりの誤差を生じさせた原因であると彼は考えた。
1875年9月20日から29日にかけて、ヨーロッパ数学者会議常設委員会がパリで会合を開いた。この会合に併せて、9月21日には振り子に関する特別委員会の会合も開かれた。特別委員会の議論の根拠となったのは、1874年2月26日に中央事務局から委員に送付された回状に対する報告書であった。[59]
バイヤー将軍は、プロイセンのレプソルド・ベッセル振り子のナイフエッジ間の距離が1メートルであるため、扱いにくく輸送に適さないと述べた。また、スタンドの不安定さも誤差の原因であると断言した。したがって、バイヤー将軍は、重力の絶対測定は、恒久的で安定したスタンドに吊るされた可逆振り子を用いて基準点で行うべきであり、基準点に対する重力の相対値は、現場でブーゲ不変振り子を用いて得るべきであるという意見を述べた。ブルーンス博士とペータース博士はバイヤー将軍の意見に同意したが、スイスの研究者であるプランタモール教授とヒルシュ博士は、ウィーンのフォン・オッポルツァー教授と同様に、可逆振り子を野外計測機器として擁護する報告書を作成した。不変振り子の長さが変化するという状況は、現場計測器として可逆振り子を使用するべきだという主張を支持する論拠として提示された。
パースは特別委員会の委員によるこれらの議論に同席し、ジュネーブでの実験により、振り子の振動がこれまで無視されてきた支持台のたわみを引き起こすことが実証されたと報告した。スイスとオーストリアのレプソルド振り子を用いた観測者たちは、パースに反対し、レプソルドの支持台は安定していると主張した。
これらの議論の結果、特別委員会は常設委員会に対し、レプソルド・ベッセルの可逆振り子は、いくつかの小さな変更を除いて、重力測定に必要なすべての要件を満たしていると報告した。特別委員会は、各州のレプソルド振り子を、ベルリンのプロイセン測量局で振ることを提案した。ピアースが指摘したように、ベッセルは1835年に球振り子を用いて重力の強さを測定した。ピアースは、フランス、イギリス、ドイツの測量局で沿岸測量局の可逆振り子を振ることを奨励された。[325ページ] ボルダとカッシーニ、ケーター、ベッセルはそれぞれ歴史的な決定を下した。パースも参加した常設委員会は、決議により振り子に関する特別委員会の報告書を採択した。[60]
1876 年 1 月から 2 月にかけて、パースはパリ天文台のグラン・サール・デュ・メリディアンにおいて観測を行った。この天文台は、19 世紀初頭にボルダ、ビオ、エドワード・サビーヌ大尉が振り子を振った場所である。1876 年 4 月から 6 月にかけてはベルリンでも観測を行い、実験によって、プロイセンの装置で以前に得られた重力の値に適用すべきたわみの補正値を決定した。その後の観測はキュー天文台で行われた。1876 年 8 月 26 日に米国に帰国した後、パースはニュージャージー州ホーボーケンのスティーブンス研究所で実験を行い、静的および動的手法によって架台のたわみを注意深く測定した。ジュネーブでは、ジュネーブ支柱と名付けた支柱の上で振り子を振ることができる真空室の建造に成功した。スティーブンス研究所で、パースはレプソルド・ベッセル振り子をジュネーブ支柱上で振り、異なる圧力と温度が振り子の振動周期に及ぼす影響を測定した。これらの実験は1878年まで続けられた。[61]
一方、常設委員会は1876年10月5日から10日までブリュッセルで会合し、振り子についての議論を続けた。[62]バイヤー将軍は、ベルリンで行われたパースの台座のたわみを測定する実験について報告した。ベッセルとレプソルドの計器によって測定された秒振り子の長さの差は0.18mmで、これはレプソルド台座のたわみを無視したことにより生じたパースの誤差推定値と一致した。しかし、スイス調査団のヒルシュ博士とオーストリア調査団のフォン・オッポルツァー教授は、それぞれの台座は十分な安定性を備えており、パースの結果は彼が調査した台座と台座にのみ当てはまると主張した。常設委員会は振り子の更なる研究を提案した。
Die Europäische Gradmessungの第 5 回総会は、1877 年 9 月 27 日から 10 月 2 日までシュトゥットガルトで開催されました。[63]ピアースは米国沿岸測量局のパターソン監督からこの会議に出席するよう指示を受けており、到着後、パターソンからの紹介状を提示し、会議への参加許可を求めた。プランタモア教授の招待を受け、常設委員会委員長イバニェス将軍の承認を得て、ピアースは1877年7月13日にニューヨークから「振り子の反転振動におけるトレピッドの柔軟性の影響」と題する回想録の原稿を送付した。この回想録と、ピアースの研究を裏付けるセルリエとプランタモアの他の回想録は、会議の議事録の付録として出版された。ピアースの寄稿の付録として、フォン・オッポルツァー教授のノート2冊も出版された。 1877 年 9 月 29 日の 2 回目のセッションで、プランタモアが、ヒルシュと自身の研究により、セルリエの独立した理論的研究と、パースの曲げに関する理論的および実験的研究が実験的に確認されたと報告すると、パースはホーボーケンの実験について説明しました。
シュトゥットガルトでレプソルド架台のたわみに関する議論が交わされていた際、パリ経度局長のエルヴェ・フェイは、同じ振幅で逆位相に振動する2つの類似の振り子を1つの支柱に吊り下げることで、振り子の振動に伴う架台の揺れを克服できると提案した。この提案はヒルシュ博士によって批判され、「二重振り子」の軌跡を正確に観測することは困難であり、2つの振り子が接近して振動すると互いに干渉すると主張した。この二重振り子の提案は、1879年のジュネーブ常設委員会の会合でも再び取り上げられた。[64] 1879年2月17日、ピアースは「M. ピアースが提案した重力測定のための振り子振動法について」という論文を完成させた。[326ページ] この論文で、ピアースはフェイの提案を解析的に機械的に検討した結果を発表しました。ピアースは微分方程式を立て、解を求め、物理的に解釈し、「フェイ氏の提案は…理に適っていると同時に優れており、振り子を振る既存の方法に比べていくつかの独特な利点がある」という結論に達しました。
1879年7月、パターソン警部に宛てた報告書の中で、ピアースはこう述べている。「新しい振り子装置を作る前に、フェイが提案した方法を実験してみることが重要だと考える。」[65]彼はさらにこう記している。「この方法は理論的に完全に妥当であることが証明されており、研究を大いに促進するであろうことから、最終的には普及する運命にあるだろう。残念ながら、この新しい方法を実際に試験し導入するメリットは、他の調査に委ねざるを得ない。なぜなら、この件において主導的な地位を維持するには、我々の予算が不十分だからである。そうでなければ、我々はその地位を獲得できたであろう。」パースの発言の出版版のコピーはヨーロッパに送られた。1879年9月1日、パリで開催された科学アカデミーの会合で、フェイはパースの発見に関する報告書を発表した。[66]常設委員会は1879年9月16日から20日までジュネーブで会合を開いた。9月19日の第3回会合では、バイヤー将軍の決定により、フェイが提案した振り子の振動法に関するパースの論文のコピーが配布された。ヒルシュ博士は再びこの提案に反対したが、この問題を調査し、次回の総会で報告するよう動議を提出した。常設委員会はヒルシュ博士の提案を受け入れ、プランタモール教授が総会でこの件について報告するよう指名された。プランタモール教授の要請により、この問題は本質的に理論的な問題であったため、シャルル・セレリエが同席することとなった。
Die Europäische Gradmessungの第 6 回総会は、1880 年 9 月 13 日から 16 日までミュンヘンで開催されました。[67] プログラムの第7部、トピックIIIのタイトルは「振り子観測による重力の測定について。振り子装置のどの構造が科学のすべての要件に完全に適合しているか？振り子に関する特別報告」でした。
図19.
図19.—米国沿岸測地測量局の初期の研究で使用された3つの振り子 。左はパース不変振り子、中央はパース可逆振り子、右はレプソルド可逆振り子です。パースは1881年から1882年にかけて、GGストークスの理論に基づき、粘性場における振り子の運動に対する空気抵抗の影響を研究するために、円筒振り子を設計しました。パース振り子の3つの例が米国国立博物館に所蔵されています。
会議ではセルリエの回想録が贈られた。[68]二重振り子の理論とプランタモールとセレリエの報告。[69]セレリエの数学的分析はパースの方程式から始まり、可能な限りパースの記法を用いた。彼の全体的な議論にはパースの結果も含まれていたが、克服すべき困難が「二重振り子」の使用を正当化するものではないと述べた。彼は、与えられた可逆振り子の振動によって引き起こされるたわみを、同じ長さだが重さの異なる補助振り子の挙動から決定できるという理論に基づき、たわみを補正する代替法を提示した。このたわみ補正法は、プランタモールとセレリエの共同報告書において総会に推奨された。1880年9月16日に開催された総会第4回会合で振り子の問題が議論され、その結果、フェイ、ヘルムホルツ、プランタモール（1882年にヒルシュに交代）、そしてフォン・オッポルツァーからなる委員会が、重力の相対的測定に適した装置を研究するために任命された。
常設委員会は1882年9月11日から15日までハーグで開催され、[70]そして、その最後の会合において、フォン・オッポルツァー教授を第七回総会に重力測定のための様々な装置について報告するよう任命した。第七回総会は1883年10月15日から24日までローマで開催された。[71]そして、10月22日の第8回セッションでは、フォン・オッポルツァー教授から「最高の人生を送ろう」と題した包括的で批判的なレビューを受けた。verschiedener 「適切です。」[72]フォン・オッポルツァーは特にベッセル可逆振り子の利点を詳しく説明した。この振り子は、両位置の振り子の振動時間を同じ振幅に維持すれば、形状の対称性によって空気の影響を補正し、ナイフエッジの不規則性は交換可能にすることで補正できる。フォン・オッポルツァー教授はレプソルドスタンドのたわみの問題を検討し、正しい方向への解決策は[327ページ] フェイが提案し、ピアースが理論的に推敲した、同じ台から2つの振り子を等振幅かつ逆位相で振るという提案は、実行不可能であった。彼は、重力の絶対測定には、たわみを排除するために同じ台から異なる重さの2つの振子を振るのであれば、ベッセルの可逆振り子が非常に適していると結論付けた。フォン・オッポルツァー教授の重要な報告書は、絶対測定は相対測定よりも精度が劣り、特別な場所でのみ実施すべきであると認識した。
ピアースによるレプソルド台のたわみの実証によって始まった議論の結果、最終的に、可逆振り子を使用してすべての観測所で重力を絶対的に測定する計画は放棄されました。
ピアーズとデフォージズの不変可逆振り子
レプソルド・ベッセルの可逆振り子は、キュー天文台やパリのスミソニアン協会といった初期の観測所だけでなく、野外観測所でも重力の絶対測定を行うために設計され、当初は使用されました。しかし、片側のナイフエッジを持つ不変振り子は相対測定に適しています。既に述べたように、このような不変振り子はブーゲとケーターによって使用されており、レプソルドの装置での経験を経て、バイヤーによって再び相対測定に推奨されました。しかし、不変振り子は長さの制御不能な変化を受けます。パースは、不変原理と可逆原理を組み合わせることで、野外における不変振り子のこのような変化を検出することを提案しました。彼は1880年7月23日付けの手紙でフェイにその提案を説明し、1880年9月16日にミュンヘンで開催されたヨーロッパ大学院会議の第6回総会第4回会議でそれを発表した。[73]
会議の議事録に記録されているように、ピアースは次のように書いています。
しかし、私は振り子を不変かつ可逆なものにすることで、この問題を解決しました。振り子のあらゆる変化は、二つの位置における二つの振動周期の差の変化によって直ちに明らかになります。一度発見されれば、二つの支点間の距離を新たに測定することで、その変化を考慮に入れることができます。
[328ページ]
パースは、可逆振り子が絶対重力の測定には最適ではないかもしれないが、真に不変であるという条件付きで、相対重力の測定には最適であるように思われると付け加えた。パースはさらに、振り子は真鍮の引抜管と、同様に引抜加工された真鍮の太いプラグで構成することを希望していると述べた。この円筒の先端は2つの半球で、ナイフは円筒の両端近くに固定された舌片に取り付けられる。
1881年から1882年にかけて、ワシントンD.C.の米国沿岸測地測量局事務所で、ピアースの設計に基づいて、不変で可逆な振り子が4つ作られました。1880年から1881年の監督官の報告書には次のように記されています。
可逆振り子の新しいパターンが発明された。これは、その表面が可能な限り細長い楕円体の形状をしている。この装置を3台製作し、そのうち2台はナイフエッジ間の距離が1メートル、3台目は1ヤードである。ヤードとヤードの関係を新たに決定するため、ヤードを60°Fで振ると同時に、メートル振り子の1台を32°F付近の温度で振ることが提案されている。 メーター。[74]
1881年から1882年にかけての報告書には、これらのパース振り子が4つ記載されています。
パースの不変かつ可逆な振り子の説明は、アシスタントの ED プレストンによって「1889 ～ 1890 年のアフリカ西海岸への米国科学探検隊に関連した重力と磁気要素の測定」の中で行われました。[75] 現在スミソニアン協会の歴史技術博物館に保存されている不変の可逆振り子、パースNo.4（図34）は、メートル振り子の典型とみなすことができます。同じ回顧録で、プレストンは管の直径を63.7ミリメートル、管の厚さを1.5ミリメートル、重さを10.680キログラム、ナイフ間の距離を1.000メートルとしています。
パース振り子における不変性と可逆性の組み合わせは、相対測定における革新でした。実際、この組み合わせは、1882年5月にワシントンで開催された重力に関する会議において、インド測量局のJ・ハーシェル少佐（RE）によって批判されました。ハーシェル少佐は、3台のケーター不変振り子を用いてイギリスとアメリカの観測点を相対測定で接続する目的でアメリカを訪れた際にこの会議に出席しました。これらの3台の振り子は、4番、6番（1821年製）、および11番と命名されています。[76]
図20.
図20.—パース振り子の支持台、1889年。C.S.パースの研究の多くは、携帯型装置を用いた観測において、振り子を取り付けたスタンドの振動によって生じる誤差の測定に焦点が当てられていた。彼は、広く普及していたベッセル・レプソルド式装置がそのような誤差を生じることを示した。彼が開発した振り子は、硬化鋼製の軸受けが固定された、簡素だが頑丈な木製フレームから振動していた。
ピアース振り子のもう一つの斬新な特徴は、主に円筒形の形状であった。ジョージ・ガブリエル・ストークス教授は、論文「[329ページ] 振り子の運動における流体の内部摩擦[77] は1850年12月9日にケンブリッジ哲学協会で発表されたもので、流体力学方程式を解き、粘性流体中における球と円柱の運動に対する抵抗を求めたものである。パースは、対称形だが円筒形ではないレプソルド・ベッセル振り子の運動に対する粘性抵抗の影響を研究していた。彼の振り子は主に円筒形であったため（図19）、パースはストークスの理論から粘性の影響を予測し、その結果を実験と比較することができた。1889年11月20日の報告書では実験結果とストークスの理論の比較を提示していたが、出版されなかった。[78]
ピアースは 1883 年に振り子を使用してスミソニアン協会に局を設立し、この局はその後数年間、海岸測地測量の基地として使われました。振り子ピアース 1 号は 1881 年にワシントンで振られ、その後、米国のグリーリー中尉の隊によってレディ フランクリン湾への遠征に携わって、1882 年にカナダのグリネル ランドのフォート コンガーで振られました。振り子 2 号と 3 号は、1882 年にワシントン DC、ニュージャージー州ホーボーケン、カナダのモントリオール、ニューヨーク州アルバニーでピアースによって振られました。助手プレストンは 1883 年に米国の日食遠征隊のカロリン諸島にピアース 3 号を持っていきました。ウィスコンシン州マディソン、ニューヨーク州イサカ。アシスタント・プレストンは1887年にハワイ諸島のステーションでピアース3号と4号を操業し、1890年にはアフリカ西海岸のステーションでピアース3号と4号を操業した。[79]
ピアースが設計した新しい振り子のパターンは、レプソルド・ベッセル振り子で数年の経験を経て、フランスでも採用された。ピアースは1875年にパリの天文台でレプソルド・ベッセル振り子を振った。パリではボルダ、カッシーニ、ビオが歴史的な観測を行い、またサビーヌもロンドンでケーターが求めた値と比較して重力を測定した。1880年の春、ピアースはこれら初期の測定に使用された振り子の支持台を研究し、流体力学的効果、粘性、たわみに対する補正値を計算した。1880年6月14日、ピアースはパリ科学アカデミーでパリにおける重力の値について講演し、自身の結果をボルダとビオの補正結果、およびケーターが転用した値と比較した。[80]
同年、フランス陸軍地理局は小型のレプソルド・ベッセル可逆振り子を入手し、デフォルジュはそれを用いて実験を行った。[81]彼は、振り子の運動中の干渉縞の動きからたわみを測定する方法を導入した。彼は、たわみの動的係数と静的係数の間に顕著な差があることを発見し、「パースとセレリエの補正式は実用上完全に適合しており、静的係数を用いる限り、支持台の揺れによって引き起こされる周期の変化を正確に表す」と結論付けた。デフォルジュは、同じ重さで長さが異なり、同じナイフで吊るされた2つの類似の振り子を用いる理論を開発した。この理論により、支持台のたわみとナイフの曲率が観測値の換算から排除された。
パリのブルンナー兄弟は、デフォルジュの設計に基づき、長さ1メートルとナイフエッジ間の距離が0.5メートルの振り子を製作した（図21）。これらのデフォルジュ振り子は、パース振り子と同様に円筒形で、両端が半球状であった。また、1883年にパースがパリで設計した未完成のゴーティエ振り子と同様に、振り子の側面から突き出たナイフに吊り下げられていた。[330ページ]
図21.
図21.— 1887年頃、パリのブルナーによって製作されたデフォルジュの可逆振り子装置。偶然の一致を観測するために使用された時計と望遠鏡は図示されていない。図示されている望遠鏡は、支持台のたわみを測定するための干渉計の一部である。干渉計の鏡の1つは振り子の支持台に取り付けられ、もう1つは左側の独立した石造りの柱に取り付けられている。
[331ページ]
図22.
図22.—不変振り子は使用が簡便であったため、19世紀末には、キュー、パリ、ポツダム、ワシントンD.C.などの国立観測所を除き、変換振り子に取って代わりました。右から左に、1873年から1874年にかけてフーサックトンネルでパースが使用した振り子、1890年にメンデンホールが設計した1/2秒振り子、そして1881年から1882年にかけてパースが設計した振り子です。
図23.
図23.— 1887年、オーストリア軍将校ロバート・フォン・シュテルネックがこの1/2秒装置を発表したことで、携帯型振り子装置の全体サイズは大幅に縮小されました。図示されていない真空チャンバーと組み合わせて使用すると、装置の高さは約60センチです。同期現象は、支持台と振り子本体に設置された2つの鏡に周期的な電気火花が反射することで観測されます。
図24.
図24.—トーマス・C・メンデンホール（1841-1924）。主に独学で学んだにもかかわらず、オハイオ農工大学（後のオハイオ州立大学）の初代物理学・力学教授となり、その後もいくつかの大学で活躍した。1878年、東京帝国大学で教鞭をとっていた彼は、東京と富士山の間で重力測定を行い、地球の平均密度を算出した。1889年から1894年まで米国沿岸測地測量局の局長を務めた彼は、自身の名を冠した振り子装置を開発した。
フォン・スターネックとメンデンホールの振り子
レプソルド・ベッセル振り子装置を使用していた科学者たちが重力調査におけるその欠陥と限界について議論していた一方で、オーストリア＝ハンガリー帝国のロバート・フォン・シュテルネック少佐は重力の相対値を迅速に測定するための優れた装置の開発を始めました。[82]フォン・スターネック少佐の装置には、直径1/4メートルの非可逆振り子が含まれていました。[332ページ] 振り子は 1/4 秒の長さの 1/4 インチのナイフ エッジで吊るされ、このナイフ エッジは三脚で支えられたプレートの上に設置されていました。振り子は、空気が排出され、任意の温度に維持できるチャンバー内で振動しました。振動時間は、振り子とクロノメーター信号の一致を観測することで決定されました。最終的な形では、振り子の振動面と垂直になるようにナイフ エッジに小さな鏡が取り付けられ、2 つ目の固定鏡がその近くに配置され、振り子が静止しているときに 2 つの鏡が平行になるようにしました。クロノメーター信号はリレーを動かし、水平方向の火花が鏡から望遠鏡に反射されました。振り子が静止しているとき、両方の鏡の火花の像が望遠鏡の水平方向の十字線に現れ、振り子が振動している間、2 つの像が一致してその位置に現れました。振り子のサイズが小さくなったため、振り子を振る部屋は簡単に持ち運び可能となり、偶然の一致を観測する方法も改良され、重力の相対的な測定を迅速かつ正確に行うことができました。
1887年までにフォン・シュテルネック少佐は自身の装置を完成させ、それはヨーロッパで相対重力測定に広く採用されました。彼はこの装置を広範囲にわたる重力調査に用いただけでなく、ザクセンとボヘミアの銀鉱山でも、前述のエアリーの手法を用いて地球内部の構造調査に応用しました。
1889年7月1日、トーマス・コーウィン・メンデンホールが米国沿岸測地測量局の長官に就任した。彼は以前、東京大学物理学教授を務め、富士山と東京における重力測定のための振り子観測を指揮していた。メンデンホール長官はワシントンのスタッフの協力を得て、フォン・スターネック型の新しい振り子観測装置を設計し、1890年10月に最初のモデルの製作を命じた。[83]
フォン・シュテルネックの装置と同様に、メンデンホール振り子装置は、長さ 1/4 メートル、振動時間が 1/2 秒強の非可逆かつ不変の振り子を採用していました。当初、ナイフ エッジは振り子の先端に取り付けられ、固定された平面の支持台に吊るされていましたが、いくつかの実験の後、メンデンホールは平面を振り子に取り付け、固定されたナイフ エッジに吊るしました。装置には 3 つの振り子のセットが用意されており、結果に食い違いが現れた場合に、問題のある振り子を検出できました。温度計を備えたダミー振り子もありました。振り子は、空気の圧力と温度が制御された受信機内で振動しました。振動時間は、クロノメーターのビートとの一致によって測定されました。一致は、フラッシュ装置を使用した光学的方法によって決定されました。[333ページ]
図25.
図 25.—メンデンホールの 1/4 メートル (1/2 秒) 装置。左側に閃光装置、右側に振り子が振られる真空チャンバーが示されています。閃光装置は灯油ランタンと望遠鏡で構成され、電磁気的に作動するシャッターが入った箱に取り付けられています。シャッターの動作はクロノグラフ (図示せず) によって制御され、一定の間隔でスリット光を発します。望遠鏡の焦点は装置内の 2 つの鏡に合わせられており、1 つは固定され、もう 1 つは振り子の上部に取り付けられています。望遠鏡は、これらの鏡からの閃光の反射を観測するために使用されます。2 つの反射が一直線になると、クロノグラフ テープに「一致」が記録されます。真空チャンバーの底に取り付けられた 2 つ目の望遠鏡は、振り子の振幅を観測するためのものです。
フラッシュ装置は、観測望遠鏡を支える軽金属製の箱に収められており、その箱はスタンドに設置されていました。箱の中には電磁石が収められており、そのコイルはクロノメーター回路に接続されていました。その電機子には長いアームが取り付けられており、このアームは2つのシャッターを動かしていました。シャッターにはどちらも同じ大きさの水平スリットがありました。シャッターは箱の前面の裏側にあり、こちらにも水平スリットがありました。回路が切断されると、石油ランプの閃光または電気火花が箱から放出されましたが、回路が閉じているときは放出されませんでした。回路が切断されると、バネの力でアームが上昇し、シャッターが作動して3つのスリットが一列に並び、閃光が放出されました。振り子の頭の両側には小さな円形の鏡が取り付けられており、振り子のどちらの面からも、照明されたスリットの像が観測望遠鏡の視野に反射されました。同様の鏡がこれら2つの鏡と平行に配置され、支持台に固定されていました。クロノメーター信号が回路を遮断し、3つのスリットが瞬間的に一直線に並び、2枚の鏡に映ったスリットの像が一致した時、偶然の一致が観測された。振り子が1振動進むか遅れるかのたびに、偶然の一致が生じた。[334ページ] クロノメーターの相対重力強度は、1891年3月から10月にかけて、ワシントンD.C.、太平洋岸とアラスカの観測所、そしてニュージャージー州ホーボーケンのスティーブンス研究所に設置された最初のメンデンホール観測装置による観測によって決定されました。
図26.
図26.—メンデンホール振り子が振られる真空受器。空気抵抗による振動を抑えるため、圧力は約50 mmに下げられている。装置が密閉されると、振り子はレバーqによってナイフエッジ上で持ち上げられ、レバーrによって振り始められる。振り子の振れ角は約1°である。固定鏡はgに示されている。中央に輪郭線で示された振り子の長さは約9.7インチである。
メンデンホール警視の指示のもと、より小型の 1/4 秒振り子装置も製作されテストされましたが、1/2 秒装置を超える利点はなく、そのため引き続き使用されました。
振り子の振動によるスタンドのたわみに関するピアースの理論に従って、メンデンホール装置の受信機の変位の測定だった沿岸測地測量局の職員による重力の相対測定の一部。当初は静的な方法が用いられていたが、1908年から1909年にかけて、沿岸測量局の職員はマイケルソン干渉計を用いて、干渉縞のシフトから振動中のたわみを測定する手法を採用した。[84]最初のメンデンホール振り子は青銅製でしたが、1920年頃、膨張係数が小さいことからインバーが選ばれました。1930年頃、沿岸測地測量局のEJブラウン中尉がメンデンホールの装置に大幅な改良を加え、この新しい装置はブラウン振り子装置として知られるようになりました。[85][335ページ]
図27.
図27.—マイケルソン干渉計。振り子を通してナイフエッジに作用する力の水平成分は、振り子と連動して支持台を動かし、振動周期に影響を与えます。この動きは振り子支持台のいわゆるたわみと呼ばれ、最も正確な観測を行うには考慮に入れる必要があります。
1907年、米国沿岸測地測量局はマイケルソン干渉計をこの目的に応用しました。ここに示すように、木製の梁の上に設置された干渉計は、真空チャンバー上の鏡で反射された光線の光路上に導入されます。鏡の動きに応じて干渉計内の干渉縞も動き、これを測定することができます。
フォン・シュテルネックの初期の装置とメンデンホールの装置は、一度に1つの振り子を振動させるものでした。フォン・シュテルネックの振り子がヨーロッパで採用された後、2つまたは4つの振り子を同時に吊るすスタンドが開発されました。この方法は、長さの変化を検出するために、1つの観測点で複数の不変振り子を観測する便利な方法を提供しました。カールスルーエのM・ハイド教授は1896年に4つの振り子を用いた装置を記述しました。[86]そしてポツダムのシューマン博士はその後、2つの振り子を備えた装置について説明しました。[87][336ページ]
図28.
図28.— 1929年にペンシルベニア州ハーマービルのガルフ研究開発会社によって開発された装置。重力の真値の1000万分の1以内の精度を達成するように設計され、相対重力測定用振り子装置の究極の発展を象徴しています。振り子は周期が最小となるように設計されました。ケース（この写真では上部が欠落しています）は除湿され、温度と静電状態が制御されています。特別に設計された振り子の昇降および始動機構が使用されています。ケースのたわみの問題は、2つの力学的に整合された振り子を180°位相差で同時に振動させるフェイ・パース法（本文参照）によって克服されています。
多重振り子装置は、同じ台に吊るされた別の振り子に対する1つの振り子の作用から、台のたわみを測定する方法を提供しました。このたわみ補正値を求める方法は、ポツダム測地研究所で発明された「Wippverfahren」から発展したものです。動力計を用いて台に周期的な衝撃を与え、その効果を最初は静止していた振り子で観測しました。この方法の改良により、1885年から1886年にかけてロレンツォーニは補助振り子を主振り子に作用させることで台座のたわみを測定する方法を開発しました。シューマン博士は1899年に、このような測定法の数学的理論を提示しました。[88]そして彼の論文では、1877年にシュトゥットガルトでフェイが提案した、同じ支柱に置いた2つの似たような振り子を等しい振幅と反対の位相で振るという理論について、パースとセレリエの数学的手法を引用した。[337ページ]
図29.
図29.—ガルフ振り子の長さは約25cm、周期は0.89秒です。この振り子は溶融石英製で、温度変化や地磁気の影響を受けにくい構造になっています。石英振り子は静電気の影響を受けやすいため、ケース内にラジウム塩を入れることで静電気対策が施されています。軸受けはパイレックスガラス製です。
1902年、P.フルトヴェングラー博士は[89]は、1877年のフェイの提案に言及した論文で連成振り子の数学的理論を提示し、その適用時に予測された困難は発生しないことが判明したと報告した。最終的に、1913年から1921年にかけてオランダで行われた重力調査において、土壌の流動性に起因する支持台の不安定性を考慮し、FA・ヴェニング・マイネスはフェイの提案した、同一の支持台上で2つの振り子を振動させる方法を採用した。[90]観測は、通常のシュトゥックラート装置を用いて行われた。この装置では、4つのフォン・シュテルネック振り子が2つずつ互いに垂直な平面内で振動していた。フェイによって提案され、ピアースによって理論的に妥当性が実証されていたこの方法の成功した応用は、ピアースによって設計図も発表されていた。[338ページ] 応用はポツダムの相対測定用振り子装置にすぐに応用され、[91] ケンブリッジ（イギリス）[92]ガルフ石油開発会社[93]およびオタワのドミニオン天文台。[94]ハイスカネンとヴェニング・マイネスは次のように述べている。
たわみの影響を排除する最良の方法は、同じ装置上で同じ長さの同期した振り子を 2 つ使用し、同じ平面で同じ振幅で、位相が逆になるように振ることです。そうすれば、たわみがゼロになることがわかります。[95]
対称可逆振り子が、その理論と応用設計をレプソルドに与えたベッセルにちなんで名付けられたという事実を考慮すると、2つの振り子を同じ支点に振動させることでたわみをなくすこの方法をフェイ＝パース法と呼ぶのは適切であるように思われる。この方法の成功は、フォン・スターネック少佐による1/4メートルの短い振り子の発明によって可能になった。
図30.
図30.—地球表面における重力観測の蓄積データは、山などの凹凸が重力を変化させるという期待される効果を持たず、むしろ何らかの形で補償されていることを示しています。この未だに解明されていない疑問に対する最も納得のいく解決策は、アイソスタシー理論です。この理論によれば、地殻中の物質の密度の変化が、地殻の高低差が地球の流体核に「浮遊」する際に、その高低差の間に一種の静水圧平衡を生み出すとされています。この図では、水銀中に浮かぶ密度の異なる金属が、プラットとヘイフォードの理論によるアイソスタシーを示しています。
ポツダムにおける重力の絶対値
19 世紀における可逆振り子の開発は、王立プロイセン測地学研究所のキューネンとフルトヴェングラーによるポツダムの重力の絶対的な測定に結実し、同研究所はその後、重力調査の世界的拠点となった。[96]
1869年、バイヤー中将によって設立された測地研究所がレプソルド・ベッセル式可逆振り子を購入し、ブルーンス博士の指導の下、アルブレヒト博士が振り回していたことは既に述べた。バイヤーはこの装置に対する不満を1875年にチャールズ・S・パースに表明した。パースは、振り子の振動による架台のたわみを実験と数学的解析により分析し、レプソルド装置で以前に報告された結果を修正する必要があると判断した。1887年にバイヤーの後を継いで研究所所長となったF・R・ヘルメルト博士は、ポツダムに研究所の建物を建設し、彼の指揮の下、重力の強度に関する科学的研究が精力的に進められた。1894年、ポツダムで、非常に柔軟な材料で作られた振り子が、従来の振り子とは著しく異なる結果をもたらすことが発見された。[339ページ] より高い剛性。研究所のキューネン博士は、予想からの逸脱は、振動中の振り子の軸自体のたわみの結果であることを発見しました。[97]
1883 年、ピアースは、ナイフの付いた舌片を挿入するために振り子に切り込まれた窪みが、振り子の軸のたわみの原因になっていることを発見しました。[98]実験により、彼はレプソルド振り子のたわみがさらに大きくなることを発見した。この誤差の原因を排除するため、パースは円筒形の棒の両側からナイフが伸びる振り子を設計し、海岸測地測量局の長官から、パリのゴーティエにそのような振り子の製造を依頼する許可を得た。ゴーティエと相談して設計図を作成したパースは、振り子が完成する前に帰国を命じられ、これらの新しい機器は未だに届けられていない。
「振り子のたわみが振動周期に与える影響」と題された回想録の中で、[99]パースは、棒の2つの剛体部分の間に単一の弾性接続部を持つ振り子の周期への影響を解析的に決定した。つまり、パースは棒のたわみを実験的に発見し、単純化されたケースで周期への影響を導出した。彼が振り子における弾性接続の連続体の積分効果を発見したかどうかは不明である。ロレンゾーニは1896年にこの問題の解を提示し、アルマンシは1899年に拡張解析を行った。測地学研究所でこの問題が独自に発見された後、ヘルマート博士がこの問題を取り上げ、パースとロレンゾーニの理論を批判した。その後、彼は包括的な回顧録の中で、たわみに関する独自の理論を発表した。[100]これまで観測値の換算において振り子のたわみが考慮されていなかったことを考慮し、ヘルメルトは測地研究所に対し、ポツダムにおける重力の強さを新たに絶対値で測定するよう指示した。この目的のため、キューネンとフルトヴェングラーはハンブルクのA.レプソルド・アンド・サンズ社が製作した以下の可逆振り子を使用した。
- 1869 年に取得された測地研究所の秒振り子。
- パドヴァ天文台の秒振り子。
- ウィーン帝国王立軍事地理学研究所の重い秒振り子。
- 帝国王立軍事地理研究所の軽量秒針振り子。
- 1892 年に測地研究所が入手した 1/2 秒の可逆振り子。
作業は 1898 年に開始され、1906 年にキューネンとフルトヴェングラーは記念碑的な回想録「Bestimmung der Absoluten Grösze der Schwerkraft zu Potsdam mit Reversionspendeln」を出版しました。
測地学研究所の振り子室における重力加速度は、981.274 ± 0.003 cm/sec 2と測定された。同研究所における非常に慎重かつ徹底的な測定を考慮して、ポツダムは重力の強さの絶対値に関する世界基準として受け入れられた。ポツダム システムの別の観測所における重力の絶対値は、同観測所およびポツダムにおける不変振り子の振動時間から、T 1 2 / T 2 2 = g 2 / g 1の関係によって測定された。こうして、1900 年に沿岸測地測量のアシスタント G. R. パットナムがワシントン基準所およびポツダムでメンデンホール振り子を振動させ、ポツダムからの転送によってワシントン基準所における重力の強さを 980.112 cm/sec 2と測定した。[101] 1933年、EJブラウン中尉は改良された装置で比較測定を行い、ワシントン基地での値を980.118cm/sec2にまで引き上げた。[102]
様々な相対測定結果の矛盾を考慮し、沿岸測地測量局は1928年に国立標準局にワシントンD.C.における絶対測定を要請した。ヘイルとクックは、周期約1秒の溶融シリカ製の可逆振り子を用いた。1936年に発表された彼らの結果は、ポツダムの値が100万分の20ほど高すぎることを示唆していると解釈された。[103] この推定値は、イギリスのケンブリッジのハロルド・ジェフリーズ卿によってわずかに引き下げられました。彼はヘイルとクックの結果を別の方法で再計算しました。[104][340ページ]
図31.
図31.— 1908年12月時点の米国全土の重力観測所の分布を示す地図。
[341ページ]
図32.
図32.— 1923 年の米国全土の重力観測所の分布を示す地図。
[342ページ]1939年、JSクラークは非鉄Y合金の振り子による重力測定の結果を発表しました。[105]イギリスのテディントンにある国立物理学研究所で行われた測定で、ジェフリーズによる再計算の結果、その値はポツダムから転送された値よりも12.8万分の12.8少ないことがわかった。国立標準局のヒュー・L・ドライデン博士と、ロンドンの測地学研究所のA・ベロス博士は、ポツダムは、さまざまな調整方法でポツダムのデータを再計算し、ポツダムの値が約12万分の1ほど高すぎるという結論を出しました。[106]ロシアの科学者によるレニングラードでの重力測定でも同様に、1906年のポツダムの値は高すぎることが示されている。現在の情報に照らせば、比較のためにポツダムの値 981.274 から 0.013 cm/sec 2を減じることは正当と思われる。1933年のポツダムからのブラウンの伝達が正確であるとすれば、ワシントン基地の値は 980.105 cm/sec 2となる。これに関連して、チャールズ・S・ピアーズが比較対象となるワシントンのスミソニアン基地について示した値は 980.1017 cm/sec 2 であったことは興味深い。この値は彼が 1880 年代に比較方法を用いて決定し、1890～1891 年の沿岸測地測量局長年次報告書に報告されている。[107]この値は、ピアースの振り子、観測、およびデータ削減の方法が、ポツダムの王立プロイセン測地学研究所の科学者のものと劣っていなかったことを示しているように思われる。
ポツダム重力値の正確性に関する疑問は、第二次世界大戦終結以来、重力の強さに関する多くの新たな測定を促してきました。1957年6月に発表された論文の中で、英国テディントンにある国立物理学研究所計量部門のA・H・クックは次のように述べています。
現在、約12の新しい絶対測定が進行中または計画されています。HeylとCookの可逆振り子装置はブエノスアイレスで使用されており、さらなる可逆振り子の実験がレニングラードの全連邦科学計量研究所（VNIIM）で行われ、ポツダムでも計画されています。非常に長い振り子を使用する方法は、1910年頃にロシアで試され、さらに最近になって再び試されており、フィンランドでも同様の作業が計画されています。自由落下体を使用した最初の実験は、Voletによって実行されたもので、彼は低気圧の囲いの中で落下する目盛りを撮影しました。同様の実験はレニングラードで完了しており、物理技術連邦研究所（ブランズウィック）と国立研究会議（オタワ）で進行中です。また、国立物理学研究所と国立標準局でも類似の実験が準備されています。最後に、国立地質物理学研究所（ローマ）所長のメディ教授は、回転皿内の液体の放物面の焦点距離の測定を試みています。[108]
重力調査の応用
古代および近世においては、地球は球形であると想定されていたことを既に述べた。地球の形状の決定は、エラトステネスが発明した天文測地学的方法による半径の測定によって行われた。地球が球形であると仮定されていたため、重力は地球表面上で一定であると推論された。この結論は、ピカールらがヨーロッパの様々な観測所で秒振り子の長さを測定したことで裏付けられたように思われる。リチェルによる南米での観測、ニュートンとホイヘンスの理論的議論、そしてペルーとスウェーデンにおける緯度の測定は、地球が扁平回転楕円体であることを示した。
図33.
図33.—地球儀の重力特性。 地球上の物質の分布については、重力測定から推測することができます。この地球儀は、陸上だけでなく海上（潜水艦）での観測から得られた現在の重力の世界的な変動を示しています。これはオハイオ州立大学測地学研究所のデータに基づいています。
重力理論と中心力理論は、地球表面上の重力の強さが変化するという結論を導きました。したがって、[343ページ] 重力の強さの測定は、地球の形を決定する手段として測地学者にとって価値のあるものとなった。ニュートンは、入手可能なわずかなデータを基に、地球の楕円率が 1/230 であると計算した（楕円率は ( a – b )/ aで定義され、aは赤道半径、b は極半径である）。重力の強さの観測は、ペルーとスウェーデンへの歴史的な探査隊によって行われた。ブーゲとラ・コンダミーヌは、赤道上の海面では、秒の振り子がパリよりも 1.26 パリライン短いことを発見した。モーペルテュイは、スウェーデン北部にあるある振り子時計がパリに比べて 1 日に 59.1 秒進んでいることを発見した。その後、クレローは、地球が平衡回転楕円体であるという仮定から、重力の強さの値から地球の楕円率を導く定理を導いた。[344ページ]
図34.
図 34.—スミソニアン協会の重力装置の展示。壁には、左から右の順に、メンデンホール (1/2 秒)、パース (1873 ～ 1874 年)、パース (1881 ～ 1882 年) の不変振り子、エドワード キューベルの二重振り子 ( 319ページの図15 を参照)、パースの可逆振り子が吊り下げられている。展示カウンターには、左から右の順に、メンデンホール 1/4 秒装置用の真空チャンバー、望遠鏡、フラッシュ装置が置かれている。これらの下には、メンデンホール装置で使用された 4 つの振り子が示されており、右側の振り子には温度計が取り付けられている。右下には、本文で言及されているガルフ装置 (カバーを取り外した状態) が、1 つの水晶振り子とともに示されている。
[345ページ]19 世紀初頭、世界中の観測所で重力の強さを決定するために、体系的な一連の観測が開始されました。文献には 13 の例が挙げられているケーター不変振り子が、ケーター、サビーヌ、ゴールディンガムなどの英国の振り子観測者によって重力調査に使用されました。前述のように、ケーター不変振り子はロシアのリュトケ提督の世界一周旅行に使用されました。フランスもまた、重力の値を決定するために探検隊を派遣しました。数十年の比較的活動のない期間の後、インド測量局のバセヴィ大尉とヘヴィサイド大尉は、1865 年から 1873 年にかけて、ケーター不変振り子とロシアのレプソルド ベッセル振り子を使用した重要な一連の観測を実施しました。1881 年から 1882 年にかけて、J. ハーシェル少佐はケーター不変振り子 1 号と 2 号を振りました。彼らはイギリスの基地で4、6（1821年）、11号機を製造し、その後アメリカに持ち込んでアメリカとイギリスの基地を結ぶ観測を行った。[109]
重力に関する広範な観測は、地球の楕円率の計算の基礎となりました。A.R.クラーク大佐は著書『測地学』（ロンドン、1880年）の中で、重力調査の結果から楕円率を1/(292.2 ± 1.5)と算出しました。興味深いのはチャールズ・S・パースの計算です。彼はケーター不変振り子による測定結果のみを用い、高度、大気の影響、そして温度による振り子の膨張を補正しました。[110] 彼は地球の楕円率が1/(291.5±0.9)であると計算した。
19世紀は測地学における楕円体時代の頂点を極めた時代でしたが、データの急速な蓄積により、ジオイドによって地球の形状をより正確に近似することが可能になりました。ジオイドは海面の平均高度として定義され、大陸間を延長すると考えられています。しかし、測地学の計算の基礎となるのは基準楕円体であり、その重力式は、赤道上の海面における重力と緯度の関数として、楕円体上の点における標準重力の値を表します。第一次世界大戦後、国際測地学会の活動を引き継ぐために設立された国際測地学・地球物理学連合の総会は、 1924年に国際基準楕円体を採択しました。[111]その楕円率、すなわち扁平率はヘイフォードの値1/297である。1930年に総会は相関のある国際重力公式をγ = γ E (1 + β(sin 2 φ) + ε(sin 2 2φ))の形式で採択した 。ここでγは緯度 φ における通常の重力、γ Eは赤道上の海面での重力の値、βはクレローの定理に基づいて子午線の扁平率から計算されるパラメータ、εは理論的に導かれる定数である。鉛直線はジオイドに垂直であり、ジオイドと基準楕円体に対する垂線間の角度の成分は鉛直からの偏向である。ジオイドは山の下では基準楕円体の上にあり、海上では楕円体の下にあり、ジオイドは平均海面と一致する。物理測地学では、重力データはジオイドと鉛直偏差の成分を決定するために使用されます。この目的のために、観測された重力値を、自由空気換算、ブーゲ換算、アイソスタシー換算など、様々な換算によって海面まで換算する必要があります。g 0 を海面まで換算した観測重力、γを国際重力公式から得られる標準重力とすると、 Δ g = g 0 – γが重力異常となります。[112]
1849年、ストークスは、地球表面上の重力異常の積分から、ジオイドから基準楕円体までの距離Nを求めることができるという定理を導きました。さらに、ヴェニング・マイネスは、鉛直偏差の成分を計算するための公式を導き出しました。
天文測地学に基づく幾何測地学は、地球の外形に関する情報しか提供できなかった。重力測地学は、方法物理測地学の手法は、地震学などの手法と組み合わせることで、科学者が地球の内部構造に関する仮説を検証することを可能にする。ヘイスカネンとヴェニング・マイネスは、重力測地測地学の現在の成果を要約している。[346ページ] 物理的な測地学を述べることによって[113]それが唯一与えることができるのは：
- 基準楕円体の平坦化。
2.ジオイドの北の起伏。
- 海洋や島嶼を含む任意の地点における垂直方向のζとηの偏向成分。
- 既存の測地系を世界共通の測地系に変換する。
- ジオイドから基準楕円体までの三角測量基線の縮小。
- 鉛直偏差の影響による山岳地帯での三角測量における誤差の修正。
- 重力測定の地球物理学的応用、例えば、地球内部の静水圧研究や油田や鉱床の探査など。
天文観測や既存の三角測量と組み合わせることで、重力測定法はさらなる成果を達成できる。ヘイスカネンとヴェニング・マイネスは次のように述べている。
著者らは、測地学の主要課題、すなわち大陸および海上のジオイドの形状を決定し、既存の測地系を世界測地系に変換するという課題を解決する上で、重力法が既存の方法の中で群を抜いて優れていると確信している。また、重力法は基準楕円体の計算にも非常に役立つ。[114]
まとめ
17 世紀に古典力学が誕生して以来、振り子は重力の強さを測定するための基本的な道具であり、重力は自由落下する物体の加速度として表されます。その理論の基礎は単振り子で、重力下での振り子の振動時間は、長さを重力加速度で割った値の平方根に比例します。単振り子の長さを振動時間の 2 乗で割った値は、秒を刻む振り子の長さに等しいため、重力の強さも秒振り子の長さで表されます。可逆な複合振り子は、ホイヘンスが開発した理論によって重力の絶対値を測定するのに役立っています。単軸の不変複合振り子も、振動時間の比較によって重力の相対値を測定するのに使用されています。
重力振り子の歴史は、理想的な単純振り子の近似値としてガリレオが考案した球振り子、あるいは「単純」振り子から始まります。フランスの科学者による秒振り子の長さの決定は、長い球振り子による補正観測に基づき、パリでボルダとカッシーニによる歴史的な決定へと繋がりました。19世紀には、ベッセルがケーニヒスベルクとベルリンで球振り子による観測と独自の理論的考察に基づき、秒振り子の長さを決定しました。しかし、19世紀には、絶対的および相対的な決定には複合振り子が好まれるようになりました。
ロンドンのヘンリー・ケーター大尉は、重力の絶対測定用に最初の変換可能な複合振り子を製作し、その後、不変の複合振り子を設計しました。この振り子は、ヨーロッパをはじめとする様々な観測所で相対測定に使用されました。ベッセルは、対称的な形状で交換可能なナイフで吊るされた可逆複合振り子の利点を理論的に実証しました。ハンブルクのA・レプソルド・アンド・サンズ社は、ベッセルの仕様に基づいて振り子を製作し、ヨーロッパの重力調査に使用しました。
チャールズ・S・パースは1875年、ハンブルクで米国沿岸測量局向けのレプソルド・ベッセル振り子の納品を受け、ジュネーブ、パリ、ベルリン、ロンドンでそれを用いて観測を行った。ヨーロッパ測量学会の創設者であるバイヤーからの最初の刺激を受けて、パースは実験と理論によって、振り子の振動による台座のたわみのため、以前にレプソルドの装置で得られていた結果を修正する必要があることを証明した。1877年、シュトゥットガルトで行われた測地学協会の会議で、エルヴェ・フェイは、たわみの問題を解決するために、2つの同様の振り子を同じ支持台から等しい振幅と逆位相で振ることを提案した。パースは1879年、この方法の妥当性を理論的に証明し、その応用の設計を発表したが、「二重振り子」は当時却下された。ピアースはまた、円筒形の新しいタイプの不変可逆振り子を4つ設計・製作し、粘性流体中の振り子の運動抵抗に関するストークスの理論の実験的研究を可能にした。フランスのデフォルジュ司令官もまた円筒形の可逆振り子を設計・使用したが、長さが異なっていたため、観測値の縮尺においてたわみの影響が排除された。オーストリア＝ハンガリー帝国のロバート・フォン・シュテルネック少佐は、短い振り子を用いて重力の相対測定を行う装置を発明し、重力研究の新時代を切り開いた。その後、ヨーロッパで観測台が製作された。[347ページ] 2つまたは4つの振り子を同時に吊るす方式が考案されました。そして今世紀初頭、ヴェニング・マイネスは、シュトゥックラートの4振り子スタンドに吊るした振り子を振り回すフェイ＝パース方式によって、オランダの土壌の流動性に起因する不安定性の問題が解決されることを発見しました。
20世紀には、重力の絶対値および相対値の測定に関する研究が活発化しました。重力計は完成し、相対値の迅速な測定に広く利用されていますが、複合振り子は依然として不可欠な計測機器です。メンデンホールが非可逆振り子にナイフを取り付けた平面に置き換えた方法は、可逆振り子にも応用されています。ポツダム測地研究所は現在、フェイ＝パース法を可逆振り子に適用しています。[115]振り子は、インバー、溶融シリカ、溶融石英といった新しい材料で作られるようになった。精密な相対測定を可能にする最小の振り子が製作され、使用されるようになった。また、剛性を高めるために「I」字型の断面を持つ可逆振り子も作られるようになった。しかし、こうした改良を経て、現在の複合振り子装置の設計の基礎は19世紀に築かれた。
脚注:
[1]基本的な歴史文書は、1629 年から 1885 年末までに出版された作品や回想録の参考文献とともに、「身体に関する記憶に関するコレクション」、「社会出版物」に収集されています。フランセーズde Physique [以下、 Collection de mémoiresと呼ぶ]: vol. 4、Mémoires sur le pendule、précédés d’une bibliographie (パリ: Gauthier-Villars、1889)。そしてvol. 5、 『Mémoires sur le pendule』、パート 2 (パリ: Gauthier-Villars、1891)。重要な二次資料は次のとおりです。C . Wolf、「 Introduction historique」、第 1 巻、1 ～ 42 ページ。 4、上記。およびジョージ・ビデル・エアリー、「地球の図」、165-240 巻、メトロポリタン百科事典の 5 (ロンドン、1845 年)。
[2]ガリレオ・ガリレイの振り子に関する主要な記述は、ヘンリー・クルーとアルフォンソ・デ・サルヴィオによるイタリア語とラテン語から英語への翻訳である『二つの新科学についての講話』（エバンストン：ノースウェスタン大学出版局、1939年）の95～97ページと170～172ページに記されている。
[3]P. マリン・メルセンヌ、『コギタタ』物理-mathematica (パリ、1644 年)、p. 44.
[4]クリスティアン・ホイヘンス、Horologium oscillatorium、sive de motu pendulorum ad horologiaadaptato Demonstrationes geometaae (パリ、1673)、命題 20。
[5]このセクションで報告されている歴史的出来事は、エアリーの「地球の図」からの引用です。
[6]アベ・ジャン・ピカール、「La Mesure de la terre」（パリ、1671 年）。 ジョン・W・オルムステッド、「天文機器への望遠鏡の「応用」、1667-1669年」、Isis (1949)、vol. 40、p. 213.
[7]長さの単位では、トワーズは 6 パリ フィート、つまり約 1,949 ミリメートルでした。
[8]ジャン・リシェ、カイエンヌ島での天文学と物理学の観察(パリ、1679 年)。ジョン・W・オルムステッド、「ジャン・リシェのカイエンヌへの遠征1672-1673」、Isis (1942)、vol. 34、117-128ページ。
[9]パリ フィートは 1.066 英国フィートで、1 インチには 12 線がありました。
[10]Christiaan Huygens、「De la Cause de la pesanteur」、 Divers ouvrages de mathematiques and de physique par MM.アカデミーロワイヤルdes Sciences (パリ、1693 年)、p. 305.
[11]アイザック・ニュートン、Philosophiae Naturalis principia mathematica (ロンドン、1687)、vol. ３、命題１８～２０。
[12]ピエール・ブーゲール、ブーゲー氏とコンダミーヌ氏の観察による決定、ロワ・オーの命令に対する特使ペルー、観察者エクアトゥール環境 (パリ、1749 年)。
[13]PL Moreau de Maupertuis、Maupertuis メシュー、Cliraut、Camus、Le Monnier、l’Abbé Outhier et Celius、faites par ordre du Roy au cercle polaire の観測結果を示す図(パリ、1738)。
[14]パリ、1743年。
[15]ジョージ・ガブリエル・ストークス、「引力とクレローの定理について」、ケンブリッジ・アンド・ダブリン数学ジャーナル （1849年）、第4巻、194ページ。
[16]Collection de mémoires、第4巻、p. B-34、およびJH Poynting とSir JJ Thomson、Properties of Matter（ロンドン、1927年）、p. 24を参照。
[17]ポインティングとトムソン、同上、22ページ。
[18]シャルル M. ド ラ コンダミーヌ、「サン ドマングのペンデュルの計量法」コレクション ドゥ メモワール、第 1 巻。 4、3-16ページ。
[19]RJ ボスコビッチ氏、オプティカムなどのオペラ関連作品 天文学（バッサーニ、1785）、vol. 5、いいえ。 3.
[20]JC ボルダとJD カッシーニ・ド・テューリー、「経験は注ぎます」connaître la longueurdu pendule qui but les Secondes à Paris」、コレクション・ドゥ・メモワール、第 4 巻、17-64 ページ。
[21]FW ベッセル、「Untersuchungen über die Länge des einfachen Secundenpendels」、Abhandlungen derケーニグリヒェンベルリンアカデミー、1826 年(ベルリン、1828 年)。
[22]ベッセルは、パリのフォルタンが製作し、アラゴの「ペルーの尺度」のオリジナルと比較した尺度を長さの基準として使用しました。
[23]LG du Buat、Principes d’油圧（パリ、1786 年）。Collection de Mémoiresの抜粋、B-64 ～ B-67 を参照してください。
[24]ヘンリー・ケーター大尉、「ロンドンの緯度における振り子の振動秒数の長さを決定するための実験の記録」『ロンドン王立協会哲学論文集』 （1818年）第108巻、33ページ。[以下、Philosophical Trans.と略記]
[25]MG de Prony、「決定方法の決定方法」ロングエール du pendule simple qui but les Secondes」、コレクション・ド・メモワール、第 4 巻、65-76 ページ。
[26]回想録集、vol. 4、p. B-74。
[27]Phil. Trans.（1819年）、第109巻、337ページ。
[28]ジョン・ハーシェル、「不変振り子の使用の歴史に関するノート」、インドの大三角測量 （カルカッタ、1879年）、第5巻。
[29]エドワード・サビン大尉、「地球の形状を決定するための実験の記録」 、フィリピン翻訳（1828年）、第118巻、76ページ。
[30]ジョン・ゴールディンガム、「東インドのマドラスにおける振り子の長さを確かめるための観察」 、 Phil. Trans.（1822年）、第112巻、127ページ。
[31]バジル・ホール、「ケーター大尉とヘンリー・フォスター氏が不変振り子を使って行った実験の詳細を伝えるケーター大尉への手紙」 、フィリップ・トランス（1823年）、第113巻、211ページ。
[32]Collection de mémoires、vol.を参照してください。 4、p. B-103。
[33]同上、B-88ページ。
[34]同上、B-94ページ。
[35]フランシス・ベイリー、「真空への還元における振り子の補正について、ならびに振り子実験で観察されたいくつかの異常性に関する考察」、Phil. Trans. (1832)、第122巻、399-492頁。また、『Collection de mémoires』第4巻、B-105、B-112、B-115、B-116、B-117頁も参照。
[36]一つは真鍮製のケース、もう一つは圧延鉄製のケースで、長さ68インチ、幅2インチ、厚さ1/2インチでした。長さ2インチの三角形のナイフエッジが、中央から両端に向かって19.7インチ離れた三角形の開口部に差し込まれていました。これらの振り子は現存していないようです。しかし、米国国立博物館のコレクションには、長さ37-5/8インチの同様の真鍮製の振り子（図15）があり、1849年頃からワシントンD.C.で計器販売業を営んでいたエドワード・キューベル（1820-1896）の名が刻印されています。この計器の歴史は不明です。
[37]ベイリーのコメントについては、『Monthly Notices of the Royal Astronomical Society』（1839年）第4巻、141-143ページを参照。脚注38に記載されている手紙も参照。
[38]この文書は、振り子実験に関するいくつかの手稿メモ、そしてウィルクスとベイリーの間で交わされた6通の書簡とともに、米国国立公文書館海軍記録グループ37に所蔵されています。これらは、ここに提示するこの遠征に関する情報の元となった資料です。この初期のアメリカにおける振り子実験に私たちの注意を向けさせてくださった米国国立博物館のドリス・アン・エッシュ氏とジョセフ・ラドマン氏に深く感謝いたします。
[39]GBエアリー、「地球の平均密度を決定する目的でハートン炭鉱で行われた実験の記録」 、 Phil. Trans.（1856年）、第146巻、297ページ。
[40]TCメンデンホール、「東京および富士山山頂における重力の測定」『東京大学理学部紀要』（1881年）、第5号。
[41]JTウォーカー、「大三角法の演算の説明」 調査インド（カルカッタ、1879年）、第5巻、付録2号。
[42]Bessel、前掲書（脚注21）、第31条。
[43]CAF Peters , Briefwechsel zwischen CF Gauss und HC Schumacher (Altona, Germany, 1860), Band 2, p. 3. スイングの時間が正確に同じでない場合に必要な補正は、Bohnenberger によっても与えられたと言われています。
[44]FW Bessel、「Construction eines symmetrisch geformten Pendels mit reciproken Axen, von Bessel」、Astronomische Nachrichten (1849)、vol. 30、p. 1.
[45]E. プランタムール、「ジュネーブでの経験と反転の経験」、Mémoires de la Société de Physique et歴史 Naturelle de Genève、1865年(ジュネーブ、1866年)、vol. 18、p. 309.
[46]同上、309-416ページ。
[47]C. Cellérier、「Note sur la Mesure de la Pesanteur par le Pendule」、Mémoires de la Société de Physique et歴史 Naturelle de Genève、1865年(ジュネーブ、1866年)、vol. 18、197-218ページ。
[48]A. Sawitsch、「帝国ロシアの地方のバリエーション・デ・ラ・ペザントゥール」、王立天文学協会回想録（1872年）、vol. 39、p. 19.
[49]JJ Baeyer、Über die大きいとフィギュア（ベルリン、1861）。
[50]Comptes-rendus de la Conférence Géodésique Internationale réunie à Berlin du 1864年10月15-22日（ヌーシャテル、1865年）。
[51]同上、パートIII、サブパートE。
[52]Bericht über die Verhandlungen der vom 30 September bis 7 October 1867 zu Berlin abgehaltenen allgemeinen Conferenz der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1868)。 1867 年 10 月 3 日の第 4 回会合の報告書を参照。
[53]C. ブルーンズとアルブレヒト「Bestimmung der」長さ ボン、ライデン、マンハイムのデ・セクンデンペンデル」 天文学-Geodätische Arbeiten im Jahre 1870 (ライプツィヒ: Veröffentlichungen des)ケーニグリヒェンプロイッシッシェン測地研究所、1871 年）。
[54]Bericht über die Verhandlungen der vom 23 bis 28 1874 年 9 月 28 日、ドレスデン abgehaltenen vierten allgemeinen Conferenz der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1875 年)。 1874 年 9 月 24 日の第 2 回会合の報告書を参照。
[55]キャロリン・アイゼル、「チャールズ・S・パース ― 19世紀の科学者」『スクリプタ・マセマティカ』（1959年）第24巻、305ページ。パースの研究について、著者らは彼の重力に関する研究の先駆的論文であるこの論文に深く感謝している。北米における振り子の研究の歴史は、著名なメイソンとディクソンに遡ることは特筆に値する。彼らは1766年から1767年にかけて「ペンシルバニア州ブランディワイン川の分岐点」で「時計の速度」を観測した。この観測結果は『フィリップ・トランス』 （1768年）第58巻、305ページに掲載されている。329-335.
[56]円錐錘付き振り子については、ED プレストン著「1889 ～ 1890 年のアフリカ西海岸への米国科学探検隊に関連した重力と磁気要素の測定」『1889 ～ 1890 年の沿岸測地測量局長の報告書 (ワシントン、1891 年)、付録 12』に説明と図解が掲載されています。
[57]アイゼル、op.引用。 (脚注55 )、p. 311.
[58]1875年から1876年にかけてのヨーロッパにおけるパースによる観測記録は、C.S.パース著「アメリカとヨーロッパの初期観測所における重力測定」『1875年から1876年にかけての沿岸測量局長報告書』（ワシントン、1879年）の202～337ページおよび410～416ページに掲載されています。パースの報告書は1878年12月13日付で、この時点で沿岸測量局の名称は米国沿岸測量局に変更されていました。
[59]Verhandlungen der vom 20 bis 29 1875 年 9 月 29 日、パリ Vereinigten Permanenten Commission der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1876 年)。
[60]同上。1875年9月25日の第5回会議の報告書を参照。
[61]ホーボーケンのスティーブンス研究所における実験は、1878年9月4日から8日にハンブルクで開催された常設委員会にピアースによって報告され、その報告書は1878年の一般報告である『1878年9月4日から8日までハンブルクで開催された常設委員会報告書』（ベルリン、1879年）116～120ページに掲載された。米国沿岸測地測量局の補佐官JEヒルガードが出席した。実験の詳細は、 C.S.ピアース著「振り子支持部のたわみについて」『1880～81年米国沿岸測地測量局長官報告書』 （ワシントン、1883年）付録第14号、359～441ページに記載されている。
[62]1876 年 10 月 5 日 10 日、ブリュッセルの欧州卒業委員会の Verhandlungen der vom 5 bis 10 (ベルリン、1877 年)。 1876 年 10 月 7 日の第 3 回セッションの報告を参照。
[63]Verhandlungen der vom 27 September bis 2 Oktober 1877 zu Stuttgart abgehaltenen fünften allgemeinen Conferenz der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1878)。
[64]Verhandlung der vom 16 bis 20 1879 年 9 月 20 日、Genf Vereinigten Permanenten Commission der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1880 年)。
[65]1879-80年米国沿岸測地測量部補佐報告書。 ピアースの論文は『アメリカ科学誌 』（1879年）第18巻112ページに掲載された。
[66]コンテス・レンデュス・ドアカデミーdes Sciences (パリ、1879)、vol. 89、p. 462.
[67]Verhandlungen der vom 13 bis 16 September 1880 zu München abgehaltenen sechsten allgemeinen Conferenz der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1881)。
[68]同上、付録2。
[69]同上、付録2a。
[70]Verhandlungen der vom 11 bis zum 1882 年 9 月 15 日、Haag Vereinigten Permanenten Commission der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1883 年)。
[71]Verhandlungen der vom 15 bis 24 Oktober 1883 zu Rom abgehaltenen siebenten allgemeinen Conferenz der Europäischen Gradmessung (ベルリン、1884)。カッツ将軍は米国海岸測地測量に出席した。
[72]同上、app. 6. Zeitschrift für Instrumentenkunde (1884)、vol. 6 も参照してください。 4、303および379ページ。
[73]前掲書（脚注67）。
[74]1880～81年米国沿岸測地調査局長報告書（ワシントン、1883年）、26ページ。
[75]1889～1890年米国沿岸測地調査局長報告書（ワシントン、1891年）、付録第12号。
[76]1881-82 年米国沿岸測地調査局長報告書(ワシントン、1883 年)。
[77]ケンブリッジ哲学協会紀要（1856年）、第9巻第2部、8ページ。また、数学および物理学論文集（ケンブリッジ、1901年）、第3巻、1ページにも掲載。
[78]パースによる理論と実験の比較は、ウィリアム・フェレルによるパースの回想録（1890年10月19日、ウェストバージニア州マーティンズバーグ）の報告書で論じられている。米国沿岸測地測量局、特別報告書、1887-1891年（写本、国立公文書館、ワシントンD.C.）。
[79]ピアース振り子による観測が行われた観測所は、1881 年から 1890 年にかけての米国沿岸測地測量局長の報告書に記録されています。
[80]Comptes-rendus de l’Académie des Sciences (パリ、1880)、vol. 90、p. 1401. 1880 年 6 月 21 日付けのHervé Fayeの報告書は、同じComptes-rendusに掲載されています。 1463年。
[81]C. デフォージス司令官、「シュール」強度ドゥフォルジュは「振り子の絶対的な力」について述べている。「振り子の絶対的な力」 『物理学ジャーナル』（1888年）、第17巻、239、347、455頁。また、ドゥフォルジュは「振り子の観察」 『戦争一般貯蔵所』（パリ、1894年）、第15巻も参照。後者の著作の中で、ドゥフォルジュは「可逆的かつ可逆的」な振り子について記述し、それが真に不変であり、したがって相対的な測定に適していると主張した。ナイフは振り子に固定されており、ナイフを交換する効果は振り子管内の重りを交換することで得られた。
[82]Mittailungen des K. u.におけるフォン・スターネック少佐による論文K. Militär-geographischen Instituts、ウィーン、1882 ～ 1887 年。特に、vol. を参照してください。 7 (1887)。
[83]TC Mendenhall、「新型半秒振り子による重力測定…」、1890～1891年米国沿岸測地測量局長報告書（ワシントン、1892年）、第2部、503～564ページ。
[84]WH Burger、「干渉計による振り子支持部のたわみの測定」、1909～1910年米国沿岸測地測量局長報告書 （ワシントン、1911年）、付録6。
[85]EJ ブラウン、「ポツダムとワシントンにおける重力の相対値の測定」（特別出版第 204 号、米国沿岸測地測量部、ワシントン、1936 年）。
[86]M. Haid、「Neues Pendelstativ」、Zeitschrift für Instrumentenkunde (1896 年 7 月)、vol. 16、p. 193.
[87]R. シューマン博士、「Über eine Methode, das Mitschwingen bei raren Schweremessungen zu bestimmen」、Zeitschrift für Instrumentenkunde (1897 年 1 月)、vol. 17、p. 7. スタンドのデザインは 1879 年のパースのそれに似ています。
[88]R. シューマン博士、「Über die Verwendung zweier Pendel auf gemeinsamer Unterlage zur Bestimmung der Mitschwingung」、 Zeitschrift für Mathematik und Physik (1899)、vol. 44、p. 44.
[89]P. フルトヴェングラー、「Über die Schwingungen zweier Pendel mit annähernd gleicher Schwingungsdauer auf gemeinsamer Unterlage」、Sitzungsberichte derケーニグリッヒャーPreussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Berlin, 1902) pp. 245-253. パースは、2つの振り子を同じ台で振動させる計画を検討した（Report of the Superintendent of the US Coast and Geodetic Survey for 1880-81、Washington, 1883, p. 26; Charles Sanders Peirce著Collected Papers、6.273にも掲載）。 1882 年 5 月にワシントンで開催された重力に関する会議で、ピアースは、2 つの振り子を 1 つの支柱に吊るして逆位相で振動させることによりたわみをなくす方法を再び提案しました (「1882 年 5 月にワシントン DC で開催された重力測定に関する会議の報告書」、1881 年から 1882 年にかけての米国沿岸測地測量局長官の報告書、ワシントン、1883 年、付録番号 22、503 ～ 516 ページ)。
[90]FA Vening Meinesz、Observations de pendule dans les Pays-Bas (デルフト、1923)。
[91]A. Berroth、「Schweremessungen mit zwei und vier gleichzeitig auf demselben Stativ schwingenden Pendeln」、 Zeitschrift für Geophysik、vol. 1 (1924-25)、いいえ。 3、p. 93.
[92]「重力測定用振り子装置」 エンジニアリング（1926年）、第122巻、271-272頁。
[93]マルコム・W・ゲイ、「精密振り子装置を用いた相対重力測定」『地球物理学』 （1940年）、第5巻、176-191頁。
[94]LGDトンプソン、「相対重力測定用の改良型青銅振り子装置」、ドミニオン天文台（オタワ、1959年）発行、第21巻第3号、145-176頁。
[95]WA ハイスカネンとFA ヴェニング・マイネス、『地球とその重力場』 (マグロウ: ニューヨーク、1958 年)。
[96]F. キューネンとP. フルトヴェングラー、Bestimmung der Absoluten Grösze der Schwerkraft zu Potsdam mit Reversionspendeln (ベルリン: Veröffentlichungen des Königlichen Preussischen Geodätischen Instituts、1906)、新シリーズ、第 1 号。 27.
[97]1895 年 9 月 25 日から 10 月 12 日までベルリンで開催された第 11 回総会 (国際測量会議) の第 5 回会議 (1895 年 10 月 9 日) で、F. Kühnen 博士によって報告されました。脚注には、米国を代表した OH Tittmann 助手がその後、パースが以前に発見していた振り子のたわみ自体が周期に与える影響について報告したことが記されています ( Report of the Superintendent of the US Coast and Geodetic Survey for 1883-84、ワシントン、1885 年、付録 16、pp. 483-485)。
[98]米国沿岸測地測量部助手報告書、1883-84年 （原稿、国立公文書館、ワシントン）。
[99]CS ピアース、「振り子のたわみが振動周期に及ぼす影響」、1883～84年米国沿岸測地測量局長報告書（ワシントン、1885年）、付録16。
[100]FR Helmert、Beiträge zur Theorie des Reversionspendels (ポツダム: Veröffentlichungen)デス・ケーニグリヒェンPreussischen Geodätischen Instituts、1898)。
[101]JA Duerksen、「米国の振り子重力データ」 （特別出版番号 244、米国沿岸測地測量部、ワシントン、1949 年）。
[102]同上、2ページ。また、EJ Brown、同上（脚注85）も参照。
[103]ポール・R・ヘイルとガイ・S・クック、「ワシントンにおける重力の価値」、国立標準局研究ジャーナル （1936年）、第17巻、805ページ。
[104]サー・ハロルド・ジェフリーズ、「重力の絶対値」、 王立天文学会月報、地球物理学補足誌 （ロンドン、1949年）、第5巻、398ページ。
[105]JSクラーク、「重力による加速」、Phil. Trans.（1939年）、第238巻、65ページ。
[106]Hugh L. Dryden、「重力のポツダム絶対決定の再検討」、Journal of Research、National Bureau of Standards (1942)、vol. 29、p. 303;およびA. ベロス、「Das Fundamentalsystem der Schwere im Lichte neuer Reversionspendelmessungen」、Bulletin Géodésique (1949)、no. 12、183-204ページ。
[107]TC Mendenhall、前掲書（脚注83）、522ページ。
[108]AH Cook、「重力の絶対測定における最近の進歩」、Bulletin Géodésique（1957年6月1日）、第44号、34-59頁。
[109]脚注89を参照。
[110]CS ピアース、「振り子実験による地球の楕円率の推定について」、1880～81年米国沿岸測地測量局長官報告書（ワシントン、1883年）、付録15、442～456頁。
[111]ハイスカネンとヴェニング・マイネス、op.引用。 (脚注95 )、p. 74.
[112]同上、76ページ。
[113]同上、309ページ。
[114]同上、310ページ。
[115]K.ライヒェネダー、「可逆振り子によるポツダムにおける新測定法」『測地誌』 （1959年3月1日）第51号、72頁。
米国政府印刷局: 1965
米国政府印刷局文書管理官による販売、
ワシントン DC、20402、価格 70 セント。
転写者の訂正
数式の書式設定は、元のものから「インライン」で表示されるように変更され、必要に応じて式を明確にするために括弧が追加されました。
脚注は論文の末尾に移動しました。図表と 重力用語集のセクションは段落の区切りを避けるため移動しました。軽微な句読点の誤りは注記なしに修正しました。誤植および不一致は以下のように修正しました。
P. 320「T 1 – T 2の差は十分に」—「十分に」でした。
P. 321「faites à Genève avec le pendule à réversion」――「復帰」があった。
P. 326「Schwere mit Hilfe verschiedener Apparate」—「verschiedene」がありました。
P. 328「ヤードとメートルの間」—引用符の終わりを削除。
P. 334「メンデンホール装置は〜の一部であった」—「であった」を「であった」に変更。
342ページの「ポツダム測地学研究所」には「ポツダム」とありました。
P. 345「物理的な重力測定法」には「方法」がありました。
脚注1「Société française de Physique」—「Française」がありました。
脚注3「Cogitata physico-mathematica」—「physica」がありました。
脚注10「MM による数学と物理学」。 de l’Académie Royale’—「数学」、「ロイヤル」がありました。
脚注12「par ordre du Roy au Pérou, pour observer」—「Perou, pour observir」がありました。
脚注19「Opticam et Astronomiam」—「Astronomian」がありました。
脚注20「connaitre la longueur du pendule qui」—「connaitre la longuer」がありました。
脚注21「Abhandlungen der Königlichen Akademie」—「Königliche」がありました。
脚注25「pour déterminer la longueur du pendule」—「longeur」がありました。
脚注41『Survey of India (Calcutta, 1879)』— ‘Surey’ とありました。
脚注45と47の「Société de Physique et d’histoire」には「d’historire」が含まれていました。
脚注49「Über die Grosse und Figur der Erde」—「Grosse」がありました。
脚注53「Bestimmung der Länge」には「Lange」が含まれていました。 「Astronomisch-Geodätische Arbeiten」—「Astronomische」がありました。 「Veröffentlichungen des Königlichen」—「Königliche」がありました。
脚注55「(1768)、第58巻、329-335ページ。」—「329-235」とありました。
脚注66「Comptes-rendus de l’Académie」—「L’Académie」がありました。
脚注81「Sur l’Intensité absolue」—「l’Intensité」がありました。
脚注89「Sitzungsberichte der Königlicher」—「Königliche」がありました。
脚注100「Veröffentlichungen des Königlichen」には「Veröffentlichungen Königliche」がありました。
文頭とフォン・スターネック振り子に言及する場合を除いて、すべての人名において「Von」/「von」の大文字表記は「von」に統一されました。
*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍 19世紀における重力振り子の開発の終了 ***
《完》