原題は『The slide rule ―― a practical manual』、著者は Charles N. Pickworth です。
　例によって、プロジェクト・グーテンベルグさまに御礼。
　図版は省略しました。索引が無い場合、それは私が省いたか、最初から無いかのどちらかです。
　以下、本篇。（ノー・チェックです）

*** プロジェクト・グーテンベルクの電子書籍「計算尺」の開始 ***
計算尺
：
実践マニュアル
による
チャールズ・N・ピックワース
ウィットワース奨学生。「機械の世界」の編集者。「初心者のための対数」、「指示器：その構築と応用」、「指示器図：その分析と計算」などの著者。
第17版
マンチェスター：
エモット・アンド・カンパニー・リミテッド
キングストリート65番地。
ニューヨーク：
D.ヴァン・ノストランド社
ウォーレン通り8番地。
ロンドン：
エモット・アンド・カンパニー・リミテッド
ベッドフォードストリート20番地、WC
そして
ピットマン・アンド・サンズ・リミテッド
パーカー通り、キングスウェイ、WC 2。
[正味価格3シリング6ペンス]
無断転載を禁じます。
第15版への序文
本書では、特殊計算用の新しい計算尺がいくつか紹介されており、さらに内容が拡張され、近年注目を集めている計算尺の応用例である、ねじ切り歯車の計算に関する章が追加されている。

以前の版で紹介した特殊な計算尺の中には、現在入手不可能なものもあることを申し添えておきます。しかしながら、これらの計算尺をお持ちの方にとっては解説が役立つ可能性があり、またある程度は一般の方にも関心のある内容であるため、今回の版にも掲載することにしました。

著者は、このテーマを普及させるための自身の努力を評価してくださった多くの方々に感謝の意を表します。また、これまで幾度となく寄せられた多くの親切な助言や提案にも感謝し、今後も引き続きご支援いただけることを願っております。

CNP
ウィジントン、マンチェスター、1917年11月。

第17版への序文
この大変好評を博した書籍に対する継続的な需要により、早期に改訂版の発行が求められたことを受け、新たな計算尺の説明を追加し、若干の改訂を行う機会としました。

CNP
ウィジントン、マンチェスター、1920年12月。

コンテンツ。
ページ
入門編 5
計算尺の数学的原理 6
10のべき乗による表記 8
計算尺の機械的原理 9
原始的な計算尺 10
現代の計算尺 12
計算尺の表記法 14
カーソルまたはランナー 17
乗算 19
分割 24
乗算と除算における上段スケールの使用 26
逆数 27
乗算と除算の続き 28
スライドを反転させた状態での乗算と除算 30
割合 31
計算尺の基本的な使い方に関する一般的なヒント 36
平方数と平方根 37
立方と立方根 40
その他の力とルーツ 45
対数によるべき乗と平方根 45
力と根源を得るためのその他の方法 47
複合事業 49
式の評価に関するヒント 52
ゲージポイント 53
技術計算の例 56
三角関数の応用 74
対数-対数目盛付き計算尺 84
特殊な計算尺の種類 92
長尺計算尺 96
円形計算機 101
特殊計算用計算尺 109
計算尺の構造改良 110
計算尺の結果の精度 111
付録：-
新しいスライドルール 113
代数方程式の解法 122
ねじ切り歯車の計算 124
計算尺のゲージポイントと記号 126
表とデータ 128
計算尺データスリップ 133
計算尺。
5
入門編。
計算尺は、対数を用いて機械的に計算を行うための道具と定義できます。対数とその使い方に精通している人は、計算尺が実質的に簡潔に整理された対数表であり、任意の値を加算・減算するための簡単で便利な手段を備えていることを理解するでしょう。しかし、対数に馴染みのない人でも、計算尺を十分に活用するには、対数に関する初歩的な知識があれば十分です。乗算や除算といった単純な計算尺の操作には、対数の知識は不要です。実際、対数を意識的に理解していない人でも、この道具をうまく活用しています。しかし、これは計算尺の由来や限界を理解せずに盲目的に頼ることになり、結果として、最も単純な演算以外の結果に対する信頼が失われ、計算尺の最大限の活用を妨げてしまいます。そのため、ここでは対数計算の原理について、簡潔ながらも恐らく十分な概要を説明します。より詳しい説明を希望される方は、著者の著書『初心者のための対数』をご参照ください。

計算尺を使えば、様々な算術、代数、三角法の計算を容易かつ迅速に、そしてほとんどの実用的な目的に十分な精度で行うことができます。その動作原理を理解し、少し根気強く練習するだけで、この計算尺を使いこなせるようになります。この計算方法に習熟した人のほとんどは、面倒な算術計算に戻りたいとは思わないでしょう。

6
計算尺の数学的原理。
対数は、0、1、2、3、4 など、等差数列の数列であり、1、2、4、8、16など、等比数列の数列と明確な関係を持つものとして定義できます。より正確な定義は次のとおりです。任意の底に対する数の対数は、与えられた数に等しくなるために底を何乗する必要があるかを示す指数です。一般的に使用されている対数、つまり常用対数では、底として 10 が選択されます。したがって、一般的な定義は、次のように修正された形で述べることができます。ある数の常用対数は、与えられた数に等しくなるために 10 を何乗する必要があるかを示す指数です。この規則を単純な例に適用すると、100 = 10² となるため、選択した数である 100 に等しくなるには、底 10 を二乗（つまり2 乗）する必要があることがわかります。したがって、10 を 100 に等しくするために 10 を何乗する必要があるかを示す指数が 2 であるため、定義から 2 は 100 の常用対数であることがわかります。同様に、1000 の常用対数は 3 となり、反対方向に進むと 10 の常用対数は 1 になります。これらの結果を表にまとめ、拡張すると、次のようになります。

数字 10,000 1000 100 10 1
対数 4 3 2 1 0
数字については、

間 1 そして 10 ログは 0 そして 1
「 10 「 100 「 」 1 「 2
「 100 「 1000 「 」 2 「 3
「 1000 「 10,000 「 」 3 「 4
言い換えれば、1から10までの数の対数はすべて小数（つまり、小数）になります。10から100までの数の対数は1の後に小数が続き、100から1000までの数の対数は2の後に小数が続き、といった具合です。1から10までの数のこれらの小数（この特定の数列の対数）は次のとおりです。

数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
対数 0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1,000
72つの表を組み合わせることで、対数を完成させることができます。したがって、3に10を連続して掛けると、次のようになります。

数字 3 30 300 3000 30,000 等
対数 0.477 1.477 2.477 3.477 4.477
このことから、同じ有効数字（または複数の有効数字）を持つ数（この場合は3）の場合、対数の小数部または仮数部は同じですが、整数部または特性 は常に小数点前の数字の数より1少ないことがわかります。

1未満の数についても同様の手順に従います。したがって、最初の表を下方向に拡張すると、次のようになります。

数字 1 0・1 0.01 0.001 0.0001 等
対数 0 −1 −2 −3 −4
したがって、3を10で連続して割ると、次のようになります。

数字 3 0.3 0.03 0.003 0.0003 等
対数 0.477 1.477 ̅2·477 3.477 ̅4·477
ここでも、数値の有効数字が同じであれば、対数の仮数部は常に同じ（正の）値になりますが、特性は小数点の直後の 0 の数より1 多く、その上にマイナス記号が書かれているように負の値になります。通常の表には 1 から 10 までの数の対数の小数部のみが記載されています。これは、上記のように、与えられた規則に従って特性を変更することで、ある数の 10 倍数または 10 分の 10 の対数を一度に得ることができるためです。

1から10までの数の対数を表す2行の数字を調べると、いくつかの顕著な特徴が明らかになり、同時に対数計算の原理を説明するのに役立ちます。まず、任意の2つの対数を足すと、その2つの数の積の対数が得られることがわかります。したがって、log. 2とlog. 4の足し算は0·301 + 0·602 = 0·903となり、これは8の対数、つまり2 × 4の対数であることがわかります。逆に、2つの数の対数の差は、その2つの数を割った商の対数になります。したがって、log. 8 − log. 2 = 0·903 − 0·301 = 0·602となり、これは4の対数、つまり8 ÷ 2の対数です。

8もう一つ重要な点があります。任意の数の対数を2、3、またはその他の整数または分数で乗算すると、結果は元の数の対数をそれぞれ 2 乗、3 乗、またはその他のべき乗したものになります。したがって、log. 3 に 2 を掛けると、0·477 × 2 = 0.954 となり、これは 9 の対数、つまり 3 の 2 乗、または 3 の 2 乗であることがわかります。 同様に、log. 2 に 3 を掛けると 0.903 となり、これは 8 の対数、つまり 2 の 3 乗、または 2 の 3乗です。逆に、任意の元の数の対数を任意の数nで割ると、元の数のn乗根の対数が得られます。したがって、log. 8 ÷ 3 = 0·903 ÷ 3 = 0.301 であり、したがって log. 2 または8 の立方根の log. に等しい。

これらの例では単純な対数のみが扱われていますが、生徒は数値に関係なく同じ推論が適用されることを理解するでしょう。したがって、20 3の場合、log. 2 に特性 (この場合は 1) を接頭辞として付け、1·301 とします。3 を掛けると、結果として得られる対数は 3·903 となり、その特性は 3 なので、8000 に対応することがわかります。したがって、20 3 = 8000 です。

この簡潔な説明には、対数の性質に関して今述べるべきことがすべて含まれています。明確に心に留めておくべき主な事実は次のとおりです。（1） 2つの数の積を求めるには、それらの数の対数を足し合わせます。 その結果は、求める積の対数となり、その値を求めることができます。（2）ある数を別の数で割った 商を求めるには、それらの数の対数の差が商の対数となり、そこから商の値を求めることができます。（3）数をn乗した結果を求めるには、その数の対数にnを掛けます。こうして、求める結果の対数、ひいてはその値が得られます。 （４）ある数の n 乗根を求めるには、その数の対数をnで割れば、結果の対数が得られ、そこからその値を求めることができる。

10のべき乗による表記。
算術量を表す便利な方法は、それを 2 つの因数に分解することです。最初の因数は、小数点が最初の有効数字の直後に移動した元の数であり、2 番目の因数は 10 nで、 nは 9小数点が移動した桁数。この指数は、1より大きい数の場合は正の値、 1より小さい数の場合は負の値をとる。[1]したがって、このシステムでは、3,610,000 を 3·61 × 1,000,000 とみなし、3·61 × 10 6と表記します。同様に、361 = 3·61 x 10 2 ; 0·0361 (= 3.61
100) = 3·61 × 10 −2 ; 0·0000361 = 3·61 × 10 −5など。数値を元の形式に戻すには、インデックスで示される桁数だけ小数点を移動させるだけでよく、インデックスが正の場合は右に移動し、負の場合は左に移動します (0 を前に付けます)。この方法は、通常の算術作業で習得すべきものであり、計算尺による計算で基本的に使用されている方法です。したがって、計算尺を使用すると、63,200 に 0·0035 を掛けると、6·32 × 10 4 × 3·5 × 10 −3または 6·32 × 3.5 × 10 4–3 = 22·12 × 10 1 = 221·2 にほぼ自動的に解決されます。ただし、後ほど、より直接的ではあるものの、体系的ではない方法で結果に到達できることがわかります。

計算尺の機械的原理。

図1.

計算尺の機械的原理は非常に単純です。図1では、A と B は 10 等分された 2 つの定規を表し、分割線は図のように連続して番号が付けられています。定規 B を右に移動して、B の 0 が A の 3 と対向するまで移動させると、A の任意の数値は、B の対応する数値に 3 を加えた値に等しいことがわかります。したがって、B の 4 と対向する数値は、A の 7 です。理由は明らかです。B を右に移動することで、長さ 0.3 に別の長さ 0.4 を加えると、A で読み取れる結果は 7 になります。明らかに、2 つのコンパスを使用して、目盛り A の長さ 0.3 に長さ 0.4 を加えた場合も同じ結果が得られます。しかし、スライド B を使用すると、加算がより容易に実行され、さらに重要なことに、 10下側の目盛りの範囲内の数字のいずれかに3を加えた結果は、 Aの隣の数字を読むことですぐにわかります。

もちろん、引き算も同様に簡単に行えます。例えば、7から4を引くには、Aスケールの0.7からBスケールの0.4を引く必要があります。これは、Bスケールの0の上にAスケールの3があるとき、Aスケールの7の下にBスケールの4を配置することで行います。ここで、スケール上の一致する任意の2つの数値の差は常に3になることがわかります。

図2。

図2のようにスライドスケールBを反転させると、重要な変更が生じます。この場合、4と3の合計を求めるには、Aスケールの4をBスケールの3に合わせ、結果をAで読み取り、Bで0を割ります。ここで注目すべきは、スケール上の一致する数値の任意のペアの合計 は一定で7に等しいということです。したがって、このケースは直前のケースと似ていますが、一致する数値の任意のペアの差ではなく、合計が一定であるという点が異なります。

2つの因数の差を求めるには、逆演算が必要です。したがって、7から4を引くには、Aの7に対応するBの0を配置し、Bの4の上にAの3を配置します。

これらの例からわかるように、スライドを反転させた場合 の操作方法は、スライドが通常の位置にある場合の操作方法とは逆になります。

スケールの基本区分のみを考察したが、これらの考察は、基本区分をさらに細分化したあらゆる区分にも同様に適用されることをご理解いただきたい。さらに、単位を表すスケールの長さは、全く任意であることに留意されたい。

原始的な計算尺。
前述の原理を計算尺に適用する方法は、単純な形式の計算尺の構造を説明することで最も分かりやすく示すことができます。長さ約11インチ、幅約2インチの厚紙を用意し、その幅の中央に線を引きます。 1110 インチ離れた 2 つの点をマークします。これらの点に交差線を引いて、図3のように、両側に 1 と 10 とします。次に、1 とマークされた線から 3.01、4.77、6.02、6.99、7.78、8.45、9.03、9.54 インチの長さをマークします。前と同じように交差線を引いて、これらの線を 2、3、4、5、6、7、8、9 とします。スケールの中間の目盛りを埋めるには、1.1、1.2、1.3 などの対数 (表から) を取り、それぞれに 10 を掛けて、各細分化を配置する 1 からの距離を取得します。 1・2、1・3、1・4などの目盛りを付け、通常の測定定規と同様に、読みやすくするために目盛りの間隔を短くして目盛りを完成させます。カードを中央線に沿ってきれいに切り取ると、計算定規の基本構造が完成します。

図3。

計算尺の基本原理は明らかです。各目盛りは、任意の数値と1との距離がその数値の対数に比例するように目盛りが付けられています。

図4.

「対数を使って 2 × 3 の積を求めるには、0.301、つまり log. 2 を 0.477、つまり log. 3 に加えて 0.778、つまり log. 6 を得ることがわかっています。原始的な計算尺で、下側の目盛りの 1 を上側の目盛りの 3.01 インチ (2 とマークした部分) に合わせます (図4 )。次に、下側の目盛りの 4.77 インチ (3 とマークした部分) の上に、上側の目盛りの 7.78 インチ (6 とマークした部分) を合わせます。逆に、6 を 3 で割るには、下側の目盛りの 3 を上側の目盛りの 6 に合わせて合わせ、下側の目盛りの 1 の上に上側の目盛りの 2 を合わせます。この目盛りの長さの加算と減算の方法は、図1に示す単純なケースで使用された方法と同一であることがわかります。」

12
現代の計算尺。
現代の計算尺は、グラヴェット式、タヴェルニエ・グラヴェット式、マンハイム式など様々な名称で呼ばれ、多くはツゲ材で作られていますが、現在では主要な計測機器メーカーはすべて、ツゲ材またはマホガニー材で作られ、セルロイドで表面処理された計算尺を提供しています。セルロイドの白い表面は、ツゲ材の表面に刻まれた線よりも目盛りをはるかに鮮明に際立たせます。セルロイドの表面は磨いてはいけません。つや消しの表面の方が目に疲れにくいからです。最も一般的に使用され、全体的に最も便利な計算尺のサイズは、長さ約10½インチ、幅約1¼インチ、厚さ約⅜インチですが、5インチ、8インチ、15インチ、20インチ、24インチ、40インチの計算尺も作られています。計算尺の軸の中央には可動式のスリップが取り付けられており、これがスライドを構成し、基本的な例の2つの計算尺のうち下側のものに対応します。

図5.

図5はグラヴェット式またはマンハイム式の計算尺の表面を示したもので、4つの対数目盛（スケールライン）が用いられていることがわかります。上段と下段の目盛は計算尺の本体に刻まれ、下段と上段の目盛はスライドに刻まれています。上段の2つの目盛は細部に至るまで全く同じで、下段の目盛も同様です。通常、上段の2つの目盛はAとB、下段の2つの目盛はCとDで識別され、図の目盛の左端に示されています。

スケールCとDを参照すると、これらはそれぞれ図3の基本スケールの展開であることがわかるが、 13この場合、各主空間は多かれ少なかれ細かく分割されます。しかし、原理は全く同じなので、スライド（スケールCを載せた部分）を動かすことで、上述のように乗算と除算を機械的に実行できます。

上側のスケール線Aは、端と端を合わせて配置された全く同じ2つのスケールで構成されており、1つ目はIlとIcの間、2つ目はIcとIrの間にあります。これらのスケールのうち、 1つ目は左Aスケール、2つ目は右Aスケールとします。同様に、スライド上の対応するスケールは、左Bスケールと右Bスケールです。これら4つのスケールはそれぞれ、CスケールとDスケールの場合と同様に（都合の良い限り細かく）分割されていますが、もちろん、長さはCスケールとDスケールのちょうど半分です。

C スケールと D スケールの両端の目盛りは、それぞれ左インデックスと右インデックスと呼ばれます。これらはそれぞれ 1 と 10 で表される場合もあれば、両方とも 1 で表される場合もあります。同様に、IlとIrは A 線と B 線の左インデックスと右インデックスであり、Ic はこれらのスケールの中心インデックスです。定規の表面によく見られるその他の分割線は、左側の A スケールと B スケールにある、円周と直径の比 π = 3·1416 を示す線と、右側の B スケールにある、π
4= 0·7854、円の面積の計算に使用されます。スライドの裏側の目盛りについては後ほど説明しますが、ここでは、定規の片方の端（通常は面取りされている）にはミリメートル単位の目盛りが刻まれており、もう一方の端にはインチ単位の目盛りが8分の1または10分の1に分割されて刻まれていることを付け加えておきます。定規の溝の内側の底面には、これらの目盛りのいずれかが続いており、スライドを右に引き出し、定規の内側の目盛りと端の対応する目盛りを併用することで、一方では20インチ、他方では約500ミリメートルを測定できます。定規の裏側には通常、データのコレクションがあり、本書の最後に掲載されているスリップを代用すると便利な場合が多いです。

14
計算尺の表記法。
これまで、私たちの注意はスケールの基本的な分割の検討に限定されていました。しかし、目盛りの原理は全体を通して同じであり、これまで述べてきたことを踏まえると、この部分についてはこれ以上詳しく説明する必要はありません。スケールの読み方について少し説明する必要があります。なぜなら、この器具を使いこなすには、定規の各分割に正しい値を割り当てる際の操作者の器用さに大きく依存するからです。図5を参照すると、各スケールの基本的な間隔は必ず10分割されていることがわかります。しかし、連続する基本的な分割の長さは急速に短くなるため、各主要な間隔を、間隔1-2を分割できるのと同じ数に分割することは不可能です。このスケールの可変的な間隔は、最初は学習者を混乱させますが、少し練習すればすぐにその難しさは克服されます。

CスケールまたはDスケールでは、間隔1-2の長さが、10個の細分化のそれぞれをさらに10個の部分に分割するのに十分であることがわかります。したがって、間隔1-2全体が100に分割されます。より短い主空間2-3、およびさらに短い主空間3-4では、それぞれの10個の細分化を5個の部分に分割することしかできません。したがって、これらの主空間はそれぞれ50個の部分に分割されます。スケールの残りの部分では、各主空間の10個の細分化はそれぞれ2個の部分にのみ分割されます。したがって、主分割4からスケールの終わりまで、主空間は20個の部分にのみ分割されます。

上位スケールAまたはBでは、間隔1-2の長さがCまたはDの対応する間隔の半分しかないため、この間隔の10個の細分は5つの部分にしか分割されないことがわかります。同様に、間隔2-3、3-4、および4-5の10個の細分はそれぞれさらに2つの部分にしか分割されませんが、スケールの残りの部分では、基本間隔の長さが急速に短くなるため、10個の細分しかできません。

ルールに実際に示されている値は、下位スケールでは 1 から 10 まで、上位スケールでは 1 から 100 までであり、9ページで説明されているように、すべての因子は 10 のべき乗を掛けたり割ったりすることによって、これらの値の範囲内に収まります。この計画に従うことで、各因子を事実上単なる 15有効数字の系列を扱い、答えの小数点位置を固定する際に「10のべき乗」による必要な修正を行う。

しかしながら、実際には、計算に関係する要素に合わせて、定規上の値を必要な 10 のべき乗で乗算または除算するとみなす方が便利な場合が多い。この方法を採用すると、各目盛りに与えられる値は、下位目盛りの左側の指標数値 (1) に与えられる値に依存する。この指標数値は、10 の任意の倍数または分数である。したがって、 D 目盛りのIl は、1、10、100、1000 など、または 0·1、0·01、0.001、0.0001 などとみなすことができる。ただし、指標に初期値が割り当てられると、その値の比率は目盛り全体にわたって維持されなければならない。例えば、C の 1 が 10 を表すとすると、主目盛 2、3、4 などは 20、30、40 などと読みます。一方、4 番目の主目盛が 0.004 と読み取られると、目盛の左側のインデックス数字は 0.001 と読みます。主空間 1–2 の数字付き細分化は、インデックスが 10 を表す場合は 11、12、13、14、15、16、17、18、19 と読み、インデックスが他の値の場合は対応する倍数として読みます。

個別に検討すると、これらの説明はAスケールとBスケールのどちらにも同様に当てはまりますが、この場合、表記はスケールの後半部分まで続き、後半部分の数値はスケールの前半部分の対応する数値の10倍の値として読み取られます。

中間の分割の読み方は、もちろん、主分割に割り当てられた値によって決まります。したがって、 D のIlが 1 と読み取られる場合、空間 1–2 の最小の分割はそれぞれ 0·01 と読み取られ、空間 2–3 または 3–4 の最小の分割はそれぞれ 0·02 と読み取られますが、スケールの残りの部分では最小の分割は 0·05 と読み取られます。A または B スケールでは、スケールの前半の空間 1–2 の分割は ( Il = 1 の場合) 0·02、0·04 などと読み取られます。分割 2–3、3–4、および 4–5 では、最小の間隔は主空間の 0·05 と読み取られ、5 からスケールの中心インデックスまでは、分割は各主間隔の 0·1 を表します。中央のインデックス（ここでは10と読みます）を通過すると、その直後の最小の目盛りは10.2、10.4などと読み、20.0に到達します。次に、20.5、21.0、21.5、22.0などと読み、数字で示された主目盛り5に到達します。残りの目盛りは51、52、53などと読み、右端のインデックスである100に到達します。

16定規の各マスをさらに細かく分割することは目視で行うことができ、少し練習すれば、作業者は中間値を概算することに非常に熟練するでしょう。C の 1 を D の 1.04、1.09 などに設定し、C の 4、6、8 などの値に対応する D の値を読み取ることは、良い練習になります。正確な結果は簡単に暗算できるため、この方法によって、生徒は図表を用いるよりも、中間結果を概算する上でより良い指導を受けることができます。

ルールの中には、図5に示すように数字が記されているものもあれば、右上の目盛りが10、20、30などと記されているものもあります。また、小数で記されているものもあり、下段の目盛りと左上段の目盛りが1、1.1、1.2、1.3、…、2.5などと記されています。後者の形式は、初心者にとって利点があります。

先ほど説明したAスケールとBスケールの読み取り方法は、これらのスケールが下位のCスケールとDスケールとは完全に独立しているとみなされる場合にのみ適用されます。比例、乗算、除算といった通常の演算では、AスケールとBスケールを使用するオペレーターもいれば、CスケールとDスケールを使用するオペレーターもいます。それぞれの方法には利点がありますが、後述のように、対合や進化などのより複雑な計算では、上位スケールと下位スケールの関係が非常に重要な要素となります。

上側の目盛りの 1～10 の距離は、下側の目盛りの 1～10 の距離の半分です。したがって、上側の目盛りで 1 から取った任意の距離は、下側の目盛りで同じ距離が表す対数の 2 倍を表します。言い換えれば、D で log. N を表す長さは、A で 2 log. N を表します。逆に、A で log. N を表す長さは、log. N
2Dについて。

8ページで既に述べたように、ある数の対数を2倍すると、その数の2乗の対数が得られます。したがって、D上の任意の数より大きい数にはA上のその数の2乗が、逆にA上の任意の数より小さい数にはD上のその数の平方根が存在します。つまり、2より大きい数には4が、49より小さい数には7が、といった具合です。BとCのスケール間にも同様の関係が存在することは明らかです。

17
カーソルまたはランナー。
現代の計算尺にはすべてカーソルまたはランナーが取り付けられています。これは通常、計算尺の軸の縁にある溝に沿ってバネで動く軽量の金属フレームで構成されています。このフレームには、約1インチ四方のガラス、雲母、または透明セルロイドの板が取り付けられており、その中央には目盛り線に正確に直角に細い基準線が引かれています。計算尺の目盛り上の任意の値にカーソルを合わせるには、フレームを親指と人差し指で挟み、線が目盛り線に正確に合うか、または目盛り線の間の推定値に合うまで位置を調整します。このようにして1つの数値を固定したら、カーソル線を基準として、計算尺のどちらかの目盛り上の別の値を同様に調整できます。カーソルは、特に数値のどちらか一方または両方を目測で求める場合に、このような設定を行うのに非常に便利です。また、上側の目盛りを下側の目盛りに、あるいはその逆を参照する際にも非常に重要な用途があり、さらに、連続的な乗算や除算、および一般的な複雑な計算の補助としても、その価値は計り知れません。

複数行カーソル。—カーソルは2本の線で構成され、その線間の距離はAスケールの7.854と10の間の距離になります。このカーソルの使用方法については57ページで説明しています。別の複数行カーソルには、それぞれのスケールの95から105までの主要な目盛りに対応する短い線が刻まれています。これは、小さなパーセンテージを加算または減算する場合に便利です。

破線カーソル。—設定を容易にするために、図6に示すように、ヘアラインがスケール全体に連続せず、2つのギャップがある破線カーソルが作成されます。

ポインテッドカーソルは、定規の面取りされた縁に沿って伸びるインデックスまたはポインターを備えており、その上にインチ単位の目盛りが付いています。これは、指示図の縦軸の長さを合計したり、グラフ計算で必要となる場合がある数値の対数を表す長さをプロットしたりするのに役立ちます。

ゴールディングカーソル。 —10インチ計算尺の読み取り値の3桁目または4桁目を取得するには、読み取り値が収まる範囲をオペレーターが頭の中で分割する能力に頼らざるを得ない場合が多いことが指摘されている。この分割は、フレームに取り付けられた ゴールディングカーソル（図7 ）を用いることで機械的に行うことができる。18定規の通常の溝に沿って、セルロイドで覆われた金属板が取り付けられており、その金属板には三角形の目盛りAB Cが刻まれている。鑿状の刃Eが付いている部分はカーソル本体に固定されておらず、カーソル上をスライドするため、突出した突起のインデックスマークを定規の目盛りに沿ってわずかに移動させることができる。この移動は、図示のようにスロット内で動作する曲がったレバーFの短い端によって行われる。Dは、バネの制御でFに沿って移動できるポインターである。使用方法を説明するために、C の 1 が D の 155 に対応し、C の 27 の下にある D の値を読み取る必要があると仮定します。この値は 4150 から 4200 の間にあることがわかります。そこで、ポインター D を線 BC に合わせます (常に最初の操作)。次に、下側の突起のインデックス線が 4200 と一致するまで、定規全体に沿って移動します。次に、インデックス線が 4100 と一致するまで F をスケールに沿って移動し、ポインター D を線 AC に合わせ、インデックス線がスライド上の 27 と一致するまでレバーを戻します。すると、ポインター D が補助桁の値として AB 上の 85 を示していることがわかります。したがって、完全な読み取り値は 4185 です。

図6.

図8。

図7。

図9.

拡大カーソルは目盛りの読み取りに役立ち、明るく直接的な光の下では非常に便利です。ある形態では、通常のレンズがカーソルの上下端に蝶番で取り付けられた2本の軽いアームによって支えられており、使用しないときは定規の表面に折りたたむことができます。よりコンパクトな形態は、図に示されています。 19図8は、裏面に微細な線が刻まれた平凸ガラスの帯で構成されている。ラールのネストラー社製のカーソルでは、この平凸ガラスの帯が通常のカーソルに固定されている。倍率は約2倍なので、このカーソルを使えば、10インチ定規と同じ数の目盛りが付いた5インチ定規も、同じように簡単に読み取ることができる。

図9に示す、ロンドンのAW Faber氏が提供した桁数登録カーソルは、中央の0から上方向に-6、下方向に+6まで伸びる半円形の目盛りが付いています。28ページで説明されているように、小さな指で長い演算の最後に加算または減算する桁数を登録することができます。

乗算。
予備的なメモでは、2 つの数の対数を表す 2 つの長さを機械的に加えることで、これらの数の積が得られることが示されました。一方、ある対数の長さから別の対数の長さを引くと、後者が表す数が前者が表す数で割られます。したがって、C スケールと D スケールを使用すると、次のようになります。

乗算のルール。— Cスケールのインデックスを D の因数のいずれかに設定し、C のもう一方の因数の下に D の積を求めます。

図10。

したがって、2 × 4 の積を求めるには、スライドを右に移動させ、C の左インデックス (1) が D の 2 の上に来るまで移動させます。すると、C のもう一方の因子 (4) の下に、D の必要な積 (8) が見つかります。スライドに沿って右に進むと、C の 5 (D の 10 になる) を超えると、突出したスライドの下に目盛りがないことがわかります (図 10 )。D の目盛りが右に延長されていると想像すると、前の部分の繰り返しになりますが、2 つの部分と同様に、 20Aスケールの場合、繰り返し部分は10倍の値になり、Cの10は延長されたDスケールの20と一致します。この事実を考慮に入れ、Cの10がDの2と一致するまでスライドを左に移動させ、2 × 6 = 12、2 × 8 = 16などの結果を読み取ることができます。スケールが10倍の値になったので、結果には2桁の数字が含まれることに注意してください。したがって、ルールを好む人のために、

積の桁数に関するルール。—積を左にスライドして読み取る場合は 、2 つの因数の桁数を足します。右にスライドして読み取る場合は 、この合計から 1 を引きます。

例： 25 × 70 = 1750。

積はスライドが左に突き出ている状態で求められるので、積の桁数は 2 + 2 = 4 となります。

例： 3・6 × 25 = 90。

スライドは右方向に投影されるため、積の桁数は 1 + 2 − 1 = 2 となります。

例： 0.025 × 0.7 = 0.0175。

積はスライドを左に突き出した状態で得られ、したがって桁数は −1 + 0 = −1 となります。

例： 0.000184 × 0.005 = 0.00000092。

2 つの因数の桁数の合計は −3 + (−2) = −5 ですが、スライドが右に投影されるため、桁数は −5 − 1 = −6 になります。

最後の 2 つの例から、小数因数の最初の有効数字が小数点の直後に来ない場合、小数点の後に続く 0 の数だけ桁数を引いた数だけマイナス記号を桁数の前に付ける必要があることがわかります。したがって、0·03 は -1 桁、0·0035 は -2 桁、といった具合です。答えの桁数を決定する際に、これらのマイナス値が正しく考慮されるように、少し注意が必要です。このため、多くの人は小数因数を整数として扱い、小数の乗算の通常の規則に従って小数点の位置を決めることを好みます。したがって、最後の例では 184 × 5 = 920 としますが、通常の規則により積は 6 + 3 = 9 桁の小数点を含む必要があるため、6 つのサイファーを前に付けて 0·00000092 を得ます。両方の因数が整数と小数の両方から構成されている場合、積の桁数、したがって小数点の位置は、整数に対する通常の規則によって決定されます。

21積の桁数を決定する別の方法として、スライドの位置に依存しないため、すべての計算機に適用できる方法も紹介する価値がある。

積の桁数に関する一般規則—積の最初の有効数字が 、因数のどちらか一方よりも小さい場合、積の桁数は、2つの因数の桁数の 合計に等しくなります。そうでない場合は、桁数は、2つの因数の桁数の合計より1少なくなります。最初の桁数が同じ場合は、それ以降の桁数を比較する必要があります。

製品の数値の推定。—この方法で数値の数を決定することを好む人のためにルールを示しましたが、経験上、このツールを最大限に活用するには、定規で読み取った結果を単に答えの有効数字とみなし、小数点の位置が明らかでない場合は、非常に大まかな暗算で決定する必要があります。多くの場合、結果の大きさは問題の条件から明らかです。たとえば、答えが 0.3 インチ、3 インチ、または 30 インチであるか、10 トン、0.1 トン、100 トンなどであるかです。答えの大きさを推定できない場合、または係数に多くの数字が含まれている場合、または小数点の後に多くの 0 がある場合は、10 のべき乗による表記 ( 8ページ) が非常に役立ちますが、より一般的には、非常に大まかな計算で比較的簡単に解決できることがわかります。定規を使って迅速かつ確実に計算するには、かなりの練習が必要です。しかも、その練習で得られる経験は計算尺を使った計算に限られます。一方、「概算」法を練習すれば、同じ時間を費やして信頼性の高い結果を迅速に得ることができ、さらにこの方法は一般的な計算にも応用できるという利点があります。ただし、どちらの方法を選ぶかは個人の好みによります。両方の方法を紹介しますが、どちらの方法を選択するにしても、結果の大きさを把握する習慣を身につけることを強くお勧めします。

例： 33.6 × 236 = 7930。

Cの1をDの33.6に設定すると、Dの236の下を読み取り、答えの有効数字としてDの793を見つけます。30 × 200 = 6000という概算から、結果は4桁になることがわかり、したがって7930と読みます。

22例： 17,300 × 3780 = 65,400,000。

10のべき乗で因数分解することで

1·73 × 10 4 × 3·78 × 10 3 = 1.73 × 3·78 × 10 7。
Cの1をDの1.73に設定すると、Cの3.78の下に単純な乗算の結果である6.54が読み取れます。10の7を掛けると小数点が右に7桁移動し、答えは65,400,000になります。

因数の一つが定数である一連の積を求める必要がある場合は、C の 1 を D の定数因数に設定し、D のそれぞれの変数因数の下に、D の複数の積を読み取ります。

定数積（実際には除算）となる因数を求める場合は 、カーソルをDの定数積の位置に設定します。すると、スライドを移動していくにつれて、カーソル位置CとDのCのインデックス位置で同時に見つかる因数のペアが、その積を与えることがわかります。スライドの反転を扱う際に、より効率的な方法を説明します。

スライドを定規に合わせるのが一般的ですが、定規をスライドに合わせることでも同様の結果が得られることを覚えておくと便利な場合があります。したがって、D の 1 (または 10) を C の 2 に移動すると、C 上で、 D 上の他の任意の因数nに対して、2 × nの積が得られます。ただし、スライドと定規の位置が入れ替わっていることに注意してください。結果の桁数に定規を使用する場合は、定規がスライドの右側に投影されるときに、因数の桁の合計から 1 を引かなければなりません。

一般的な10インチ定規を用いると、CスケールとDスケールの細分化の程度は、いずれの要素においても3桁を超える数字を扱うことができない程度であることが一般的にわかります。同様の理由で、どの積においても最初の3桁を超える数字を直接読み取ることは不可能ですが、読み取りに関わる最小の空間を頭の中で分割することで、積の4桁目を正しく判断できる場合がよくあります。この方法は、CスケールとDスケールの前半部分でのみ信頼できるものです。しかし、3桁の積の最後の数字、場合によっては4桁の積の最後の数字は、要素を調べることで容易に確認できます。

例： 19 × 27 = 513。Cの左辺のインデックス 19 を D に置くと、C の 27 の反対側に積が見つかり、これは 510 と 515 の間にあります。しかし、因数を一目見れば、9 と 7 の積は 63 であり、この積の最後の数字が答えの最後の数字でなければならないため、3 番目の数字は 3 でなければならないと判断できます。

例： 79 × 91 = 7189。

23この場合、Cの区切り線91は、Dにおいて答えが7180と7190の間にあることを示しています。最後の数字は9でなければならないので、最後の2つの数字は89であるとすぐに推測できます。

いずれか一方または両方の因子に3桁を超える数字がある場合、右側の4桁目以降の数字は無視しなければなりません。ただし、最初に無視する数字が5、または5より大きい場合は、一般的に、使用する因子の3桁目を1増やすのが望ましいことに留意してください。通常は、2つの因子のうち1つだけを1増やせば十分ですが、両方の因子をこのように増やすことで、より高い精度が得られる場合があることは明らかです。

連続乗算。 —2つ以上の因数の積を求めるには、カーソルを使って、計算に複数の因数が取り込まれるにつれて、連続する積の位置をマークします（積の値自体は重要ではありません）。CのインデックスをDの最初の因数に設定し、カーソルの線をCの2番目の因数に移動させ、次にCのインデックスをカーソルに、カーソルを3番目の因数に、Cのインデックスをカーソルに、といった具合に移動させ、Cの最後の因数の下にD上の最終積を読み取ります。（最初の因数と結果はDで読み取り、すべての中間読み取りはCで行います。）

積の桁数を求める規則を用いる場合、スライドが右に突き出た状態で乗算が行われた回数を記録する必要があります。この回数を各因数の桁数の合計から差し引くと、積の桁数が得られます。スライドが右に突き出た回数を記録するために様々な工夫が凝らされてきましたが、中には非常に不便なものもあります。著者の方法は、スライドが右に突き出た回数をマイナス記号（−）で記録することです。これらの記号は任意の都合の良い方法で記録でき、得られた記号の合計を各因数の桁数の合計から差し引くと、前述のように積の桁数が得られます。

例： 42 × 71 × 1.5 × 0.32 × 121 = 173,200。

与えられた積、つまり定規で読み取った積は、次のようにして得られます。CのRHインデックスをDの42に設定し、カーソルをCの71に移動します。次に、CのLHインデックスをカーソルに移動し、カーソルをCの1.5に移動します。この乗算は右スライドで実行され、この事実をマーク−を付けてメモします。CのRHインデックスをカーソルに移動し、カーソルをCの0.32に移動します。次に、 CのLHインデックスをカーソルに設定し、読み取ります。 24結果は、C の 121 の下の D に 1732 と表示され、スライドが再び右に投影されると、2 番目の − メモマークが記録されます。因数には 2 + 2 + 1 + 0 + 3 = 8 桁あり、演算中に 2 つの − マークが記録されたため、積には 8 − 2 = 6 桁があり、したがって、173,200 (173,194·56) と表示されます。

結果を非常に大まかに評価するために、1.5 × 0.3 は約 0.5 であることに注目します。したがって、数字の数の手がかりとして、

40 × 70 × 60 = 3000 × 60 = 180,000。
分割。
乗算の手順については既に詳細に説明済みですので、その逆の除算の手順について詳しく説明する必要はないでしょう。

除算のルール。除数をCに、被除数をDに置き、商をCのインデックスの下のDに読み取ります。

例： 225 ÷ 18 = 12·5。

Cの18をDの225に合わせると、 CのLH指数の下に12.5が見つかります。

乗算の場合と同様に、因数は整数として扱われ、その後、小数点の位置は次の規則に従って決定されます。この規則は、後述するように、乗算の場合とは逆になります。

商の桁数に関する規則。—商を左にスライドして読み取る場合は 、被除数の桁数から除数の桁数を引きます。ただし、右にスライドして読み取る場合は、この差に 1 を加えます。 [2]

上記の例では、商は右スライドで読み取られるため、答えの桁数は 3 − 2 となります。+ 1 = 2。

例： 0.000221 ÷ 0.017 = 0.013。

ここでは、被除数の桁数は-3、除数の桁数は-1です。差は-2ですが、結果は右にスライドして得られるため、この結果に1を加える必要があります。そうすると、商の桁数は-2 + 1 = -1となり、答えは0·013となります。

必要に応じて、小数の乗算を検討する際に言及した方法で結果を得ることができます。したがって、上記を整数として扱うと、因数の桁数の差が 1 であるため、221 を 17 で割った結果は 13 となり、スライドの位置により、答えの桁数が 2 になります。次に、 25小数の割り算のルールでは、商の小数点以下の桁数は 6 − 3 = 3 に等しいことがわかっています。これは、ルールに従って読み取った結果の前に暗号を付ける必要があることを示しています。

乗算と同様に、除算でも、

商の桁数に関する一般規則—除数の最初の有効数字が 被除数の最初の有効数字より大きい場合、商の桁数は被除数の桁数から除数の桁数を引くことによって求められます。その逆の場合は、この差に 1 を加えます。最初の桁数が同じ場合は、それ以降の桁数を比較する必要があります。

商の桁数の概算。—商の桁数を概算する方法は、特に説明を必要としません。

例： 3.95 ÷ 5340 = 0.00074。

C の 534 を D の 3.95 に設定すると、C の ( RH ) インデックスの下に D の有効数字が読み取れ、それは 74 です。すると、3.9 ÷ 5 は約 0.8 になり、0.8 ÷ 1000 は概算値として 0.0008 になります。

例： 0·00000285 ÷ 0·000197 = 0.01446。

これを 2·85 × 10 −6 ÷ 1·97 × 10 −4と見なすと、2·85 を 1.97 で割ると 1·446 になります。10 のべき乗で割ると 10 −6 ÷ 10 −4 = 10 −2となるので、小数点を左に 2 桁移動させて、答えは 0·01446 と読みます。

定数除数で複数の数量を割る場合に特に役立つ別の割り算の方法も言及する価値があります。C のインデックスを D の除数に設定し、D の被除数の上に、C の商を読み取ります。

定数被除数を変数除数で割るには、カーソルをDの被除数に設定し、Cの除数を順次カーソルに移動させ、対応する商をCのインデックスの下のD上で読み取ります。スライドを移動せずに済む別の方法については、「スライドを反転させた状態での乗算と除算」のセクションで説明しています。

継続的分割、もしそのような表現をそう呼べるならば 3·14
785 × 0·00021 × 4·3 × 64·4= 0·0688 は、次のように繰り返すことで計算できます。C の 7·85 を D の 3·14 に設定し、カーソルを C のインデックスに移動、C の 2·1 をカーソルに移動、カーソルをインデックスに移動、4·3 をカーソルに移動、カーソルをインデックスに移動、6·44 をカーソルに移動、C のインデックスの下にある D の 688 を答えの有効数字として読み取ります。

結果の桁数については、複数の因数の桁数の合計を差し引き、各因数ごとに 1 を加えます。 26スライドが右に投影される時間。この場合、それは 1 回発生します。分母の桁数は 3 + (−3) + 1 + 2 = 3 桁、分子の桁数は 1 桁で、差に 1 を加える必要があります。したがって、答えの桁数は 1 − 3 + 1 = −1 桁となり、0·0688 となります。上記の計算方法は、連続乗算のプロセスに陥りやすい初心者を混乱させる可能性があります。このため、複合的な方法に慣れるまでは、まず連続乗算のプロセスによって複数の分母の積を求め、その積の数字を決定する必要があります。次に、分子をこの積で割って結果を得ます。

分母の積はDで読み取られるため、Cの分子をこの積に移動させ、 Dのインデックスの上にあるCの結果を読み取ることで、スライドのリセットを回避できます。ここではスライドと定規の位置が入れ替わっています。したがって、結果の桁数に関する規則に従う場合、定規がスライドの右側に突き出ているときは、桁の差に1を加える必要があります。

著者は、右スライドで割り算を行った回数を縦のメモ記号（|）で記録しています。これらのメモ記号の詳しい意味については、次のセクションで説明します。

小数点を固定するための概算計算では、この例では因数の中の小数点を移動し、 3
0.8 × 2 × 4 × 6=3
40= 0.075。

乗算と除算に上段の目盛りを使用する。
多くの人は、CとDよりもAとBの上の目盛りを使うことを好みます。欠点は、目盛りの長さがCやDの半分しかないため、下の目盛りを使った場合と同じ精度が得られないことです。しかし、一度設定すれば、スライドの位置を変えることなく、常に定規から直接結果を読み取ることができます。そのため、設定時にスライドをどの方向に動かすべきかという迷いを解消できます。

AとBのスケールが使用される場合、左側のスケールのペアはCとDと同じように使用されるものと理解され、これまでのところ、後者に関する規則は完全に適用されます。ただし、この場合、スライドは常に 27右に、乗算では積はAの左または右の目盛りのどちらかで求められます。積がAの左目盛りで求められた場合、積の桁数の規則はCとDの目盛りの場合と同じで、2つの因数の桁数の合計から1を引いた値になります。しかし、Aの右目盛りで求められた場合、積の桁数は2つの因数の桁数の合計に等しくなります。

除算においても、同様の修正が必要です。スライドを右に動かしたときに、Aの左辺の目盛りだけで除算を完全に実行できる場合、商（Aの左辺の目盛りBの上にある値）の桁数は、被除数から除数を減らし、1を加えた数になります。しかし、除算にAの2つの目盛りの両方を使用する必要がある場合、商の桁数は被除数から除数を減らした数になります。

逆数。
考慮すべき除算の特殊なケースは、数nの逆数の決定、または1
n通常の除算規則に従うと、 C のnを D の 1 に設定すると、次のようになることは明らかです。1
nC の 1 の下の D について。より重要なのは、操作を反転させること、つまり C の 1 (または 10) をD のnに設定することによって、次のように読み取ることができるということです。1
nC の 1 乗 (または D の 10 乗) について。したがって、C のインデックスの下で D について結果を読み取るときはいつでも、利用可能な D のインデックスの下で C についてその逆数を読み取ることもできます。

逆数の桁数は、n = 10、100、または10の任意のべき乗( p )の場合に明らかです。したがって1
10= 0.1;1
100= 0.01;1
10 p= 1 の前にp − 1 個の暗号が続く。その他のすべてのケースでは、次の規則が成り立つ。— 1 からその数値の桁数を引く。

元。 -1
339= 0.00295。

数字は3桁なので、答えは1 – 3 = -2桁になります。

元。 -1
0·0000156= 64,100。

数字には-4桁あります。したがって、結果には1 – (-4) = 5桁の数字があります。

28
乗算と除算の続き。
乗算と除算の規則を組み合わせることで、次の形式の式を容易に評価できます。a
b×CD
​×e
f×g
h= x。最も単純なケースでは、a × c
bスライドの設定を1つ変更するだけで解決できます。[3] 例として、14.45 × 60
8.5= 102。C の 8·5 を D の 14·45 に設定すると、必要であれば、商として C の 1 の下に D の 1·7 を読み取ることができます。しかし、ここではこれに関心はなく、60 を掛ける必要があり、スライドはすでにこの操作に合わせて設定されているので、C の 60 の下にすぐに結果である D の 102 を読み取ります。答えの数字は明らかです。

考慮すべき要素が複数ある場合は、D の 102 にカーソルを置き、C の次の除数をカーソルに移動させ、C の次の乗数にカーソルを移動させ、C の次の除数をカーソルに移動させる、という操作をすべての要素の処理が完了するまで繰り返します。D では最初の要素と結果のみが読み取られることに注意してください。また、乗算の場合はカーソルを移動し、除算の場合はスライドを使用します。

乗算と除算を組み合わせた結果の桁数。—ルールを使用する人は、乗算と除算を組み合わせた場合の小数点の決定に著者の方法を使用できます。スライドが右に突き出ている状態で乗算を行うたびに、− マークを付けます。スライドが右に突き出ている状態で除算を行うたびに、| マークを付けます。ただし、 |マークが可能な限り−マークを打ち消すようにします。分子の桁の合計から分母の桁の合計を引き、この差に、 | 文字の場合は打ち消されていないメモマークを加算し、 − 文字の場合はそれらを引きます。

元。 -43.5 × 29.4 × 51 × 32
27 × 3.83 × 10.5 × 1.31= 1468。

ⵜ
ⵜ
ⵏ
ⵏ
C の 27 を D の 43·5 に設定し、この割り算ではスライドが右に動くので、最初の ⵏ マークを付けます。カーソルを C の 29·4 に移動し、この掛け算ではスライドが右に動くので、最初の − マークを付け、図のように消去します。 29カーソルに 3·83 を設定するには、2 番目の ⵏ マークが必要ですが、これは 51 を掛けることで相殺されます。10·5 で割るには 3 番目の ⵏ マークが必要で、32 を掛けた後 (マークは不要)、最後に 1·31 で割るには 4 番目の ⵏ マークが必要です。次に、分子の桁が 8 個、分母が 6 個、相殺されないメモマークが 2 個 (1 なので加算可能) あるので、次のようになります。

結果の桁数 = 8 − 6 + 2 = 4。
取り消されなかった記号が「−」文字だった場合、桁数は 8 − 6 − 2 = 0 になります。

0.1未満の数値の場合、桁の位の数値は 負になります。これらの数値を反対側に移して正の値として扱うことで、面倒な加算を避けることができます。

         2       4    

したがって：- 0.00356 × 27.1 × 0.08375 = 288
0.1426 × 9.85 × 0.00002
2 1 1
最初の分子、0·00356 は −2 桁です。下線の下に2 を配置して、このことを示してください。 27·1 は 2 桁です。その上に 2 を配置します。 0·08375 は −1 桁です。したがって、下線の下に1 を配置します。 最初の分母は桁がありません。 2 番目の分母、9·85 は 1 桁です。したがって、その下に 1 を配置します。 0·00002 は −4 桁です。上線の上に4 を配置します。 上の数列の合計は 2 + 4 = 6、下の数列の合計は 2 + 1 + 1 = 4 です。 上から下を引くと、6 − 4 = 2 桁になります。これに、取り消しされていないメモマークのために 1 を加える必要があり、結果は 288 と読みます。

小数点を移動させると物事が簡単になることが多い。したがって、 32.4 × 0.98 × 432 × 0.0217
4.71 × 0.175 × 0.00000621 × 412000再配置すると、はるかに扱いやすくなります32.4 × 9.8 × 432 × 2.17 4.71
× 17.5 × 6.21 × 4.12= 141。

結果の桁数を概算と暗算で求めるには、4・71 が 432 に約 100 回、9・8 が 17・5 に約 2 回、6・21 が 32・4 に約 5 回、2・17 が 4・12 に約 2 回入ることに注意します。500
4= 125となり、結果が3桁であることがわかります。計算尺から読み取ると141となり、これが求める結果です。

30定規に沿ってスライドを時折移動させてインデックスを交換するという、CスケールとDスケールの使用に必ず伴う不測の事態は、非常に簡単な工夫で回避できる場合が多い。例えば、6.19 × 31.2 × 422
1120 × 8.86 × 2.09= 3·93 は、特に難しいケースとして挙げられることがあります。与えられた式を解くには、スライドを 2 回たどる必要がありますが、因数を少し異なる順序で取ると、 6.19 × 31.2 × 422 8.86
× 2.09 × 1120こうすることで、各ペアの有効数字がより近くなり、スライドを移動する必要がなくなるだけでなく、複数の分割を行うためにスライドを移動させる量も減らすことができます。

このようなケースではa × b
c × d × e × f × gまたはa × b × c × d × e
f × g本当に解決するa × b × 1 × 1 × 1
c × d × e × f × gそしてa × b × c × d × e
f × g × 1 × 1 × 1しかし、もちろん、小数点の位置を決めるために規則を使用する場合、そのように（頭の中で）導入された 1 は因数に追加の数字として数えられません。

スライドを反転させた状態での乗算と除算。
定規のスライドを反転させ、同じ面を上向きにして、Ɔ スケールが A スケールに隣接し、スライドと定規の左右のインデックスが一致するようにすると、D 上の任意の数と Ɔ 上の一致する数 (カーソルで簡単に参照できる) の積は常に 10 になります。したがって、Ɔ 上の数を小数として読み取ると、D 上の任意の単位数に対して、Ɔ 上のその逆数が得られます。したがって、D 上の 2 は Ɔ 上の 0.5 の反対側にあり、D 上の 3 は 0.333 の反対側にあり、Ɔ 上の 8 の反対側は D 上の 0.125 などとなります。これは、因数に対応するスライドと定規の長さの合計が、常に積に対応する長さ (この場合は 10) に等しいためです。

スライドを反転させて通常の乗算​​規則を適用しようとすると、実際には D で取った一方の因数を Ɔ で取ったもう一方の因数の逆数で乗算することになることがわかるでしょう。しかし、ある数の逆数を乗算することはその数で割る ことと等しく、因数をある数の逆数で割ることはその数 を乗算することと等しくなります。31数値。スライドを反転すると、乗算と除算の演算が逆になり、積の桁数と小数点の位置に関する規則も逆になります。したがって、スライドを反転して乗算する場合、（カーソルを使用して）一方の因数をƆに、もう一方の因数をDに配置し、Ɔのいずれかのインデックスの下にあるD上の結果を読み取ります。このようにスライドを設定すると、ƆとD上の一致する因数の任意のペアは、Ɔのインデックスの下にあるD上の同じ定数積を与えます。この事実の有用な応用例の一つは、与えられた面積の長方形断面の寸法を選定したり、長方形の板、プレート、貯水槽などの寸法を決定したりする場合です。例えば、D 上に Ɔ から 72 までのインデックスを配置すると、面積 72 平方フィートのプレートは、8 × 9 フィート、6 × 12 フィート、5 × 14.4 フィート、4 × 18 フィート、3 × 24 フィート、2 × 36 フィートなど、無数の中間値を持つことができることが容易にわかります。同様の性質を持つ他の多くの有用な応用例も思い浮かぶでしょう。

割合。
スライドが通常の位置にあり、C スケールと D スケールのインデックスが完全に一致している場合、これらのスケールの対応する分割の比は1 です。スライドを動かして C の 1 が D の 2 と一致するようにすると、C の任意の数nに対して D のn × 2が成り立つことがわかります。したがって、C の分子と D の分母を読み取ると、次のようになります。

C 1 1.5 2 3 4
D1 2 3 4 6 8.
言い換えれば、D上の数字とC上の対応する数字の比は2対1である。スライドをどの位置に置いても、同じ条件が成り立つことは明らかである。以上のことから明らかな比例の法則は、次のように表すことができる。

比例のルール。— Cスケールの比例式の最初の項を D スケールの 2 番目の項に設定し、C スケールの 3 番目の項の反対側に D スケールの 4 番目の項を読み取ります。

例： 20 ∶ 27 ∷ 70 ∶ xの比例式における第 4 項を求めます 。C の 20 を D の 27 に合わせ、C の 70 の反対側に D の 94·5 を置きます。したがって

C 20 70
D 27 94.5。
これは単に次の形式の乗算と除算の組み合わせであることは明らかでしょう。20 × 70
27= 94·5。したがって、 32比例式の任意の３項が与えられた場合、第１項を第２項に、または第３項を第４項にそれぞれ置き換え、与えられた他の項の反対側に求める項を読み取ります。[4]

したがって、分数を小数に変換すると、3
16これは、C の 3 を D の 1 のインデックスの上に置いて C の 0·1875 を読み取ることで決定されます。この場合、項は 3 : 16 :  x  : 1 です。逆の操作、つまり与えられた小数と等価な一般分数を見つけるには、C の与えられた小数を D のインデックスに設定し、D の任意の分母の反対側に、C の分数の対応する分子を配置します。

C のインデックスを D の 3·1416 に合わせると、この比率が 2 つのスケールの数値間で常に存在することが明らかになります。したがって、 C 上の円の任意の直径に対して、D 上の対応する円周が見つかります。 同様に、C の 1 を D 上の適切な変換係数に設定することで、ある単位の一連の値を別の単位の同等の値に変換できます。この点で、次の変換係数表が役立ちます。C と D のスケールの代わりに A と B のスケールを使用すると、完全な変換セットがすぐに得られます。ただし、この場合、最初の設定には左側の A と B のスケールを使用し、右側の A または B のスケールで読み取った値は 10 倍の値として読み取る必要があります。C と D のスケールでは、一方のスケールの一部が他方のスケールからはみ出します。この目盛りの部分を読み取るには、カーソルまたはランナーを、目盛りの範囲内にある C 目盛りのいずれかのインデックスに移動させ、スライドを移動して、C 目盛りのもう一方のインデックスがカーソルと一致するまで移動させ、残りの等価値を読み取ることができます。スライドを表記の方向 (右) に移動すると、読み取った値は 10 倍になり、スライドを左に移動すると、読み取った値は10 分の 1 になることに注意してください。多くの人が好む形式ではありますが、明らかに乗算の場合であり、本書の末尾のデータ スリップでそのように扱われています。

33
換算係数表
幾何学的等価性。
スケールC。 スケールD。 C = 1 の場合、
D =
円の直径 円周 3·1416
「 」 内接する正方形の側面 0.707
「 」 「正方形」 0.886
「 」 正三角形 1.346
円周 「内接正方形」 0.225
「 」 「正方形」 0.282
正方形の一辺 正方形の対角線 1.414
平方インチ 円形インチ 1.273
円の面積 内接する正方形の面積 0.636
長さの測定。
インチ ミリメートル 25.40
「 センチメートル 2.54
8分の1インチ ミリメートル 3.175
16番目「「 「 1.587
32番目「「 「 0.794
64番目「「 「 0.397
足 メートル 0.3048
ヤード 「 0.9144
チェーン 「 20·116
マイルズ キロメートル 1.609
面積の測定。
平方インチ 平方センチメートル 6.46
円形「 「 」 5.067
平方フィート メートル 0.0929
ヤード 「 」 0.836
„マイル キロメートル 2.59
「 」 ヘクタール 259.00
エーカー 「 0.4046
能力の指標。
立方インチ 立方センチメートル 16.38
「 」 インペリアルガロン 0.00360
「 」 米国ガロン 0.00432
「 」 リットル 0.01638
立方フィート 立方メートル 0.0283
「 」 インペリアルガロン 6.23
「 」 米国ガロン 7.48
「 」 リットル 28.37
ヤード 立方メートル 0.764
インペリアルガロン リットル 4.54
「 」 米国ガロン 1,200
ブッシェル 立方メートル 0.0363
「 ” 足 1.283
重量の測定方法。
34穀物 グラム 0.0648
オンス（トロイオンス） 「 31·103
（アヴォワール） 「 28.35
「 」 キログラム 0.02835
ポンド（トロイ） 「 0.3732
（アヴォワール） 「 0.4536
100ポンド 「 50.802
たくさん 「 1016·4
「 メートルトン 1.016
複合要因 ― 速度。
フィート/秒 メートル毎秒 0.3048
「 」 ” 分 18.288
「 」 時速マイル 0.682
” 分 メートル毎秒 0.00508
「 」 ” 分 0.3048
「 」 時速マイル 0.01136
ヤード/秒 「 」 0.0341
時速マイル メートル毎分 26.82
結び目 「 」 30.88
「 時速マイル 1.151
複合要因―圧力。
ポンド/平方インチ グラム/平方ミリメートル 0.7031
「 」 キログラム/平方センチメートル 0.0703
「 」 雰囲気 0.068
「 」 水頭（インチ） 27.71
「 」 ” ” 足 2.309
「 」 メートル 0.757
「 」 水銀柱インチ 2.04
水位数インチ ポンド/平方インチ 0.0361
「 」 水銀柱インチ 0.0714
「 」 1平方フィートあたりのポンド数 5.20
水銀柱インチ 雰囲気 0.0333
雰囲気 水深メートル 10.34
「 キログラム/平方センチメートル 1.033
水位 1平方フィートあたりのポンド数 62.35
「 」 雰囲気 0.0294
「 」 水銀柱インチ 0.883
1平方フィートあたりのポンド数 「 」 0.01417
「 」 キログラム/平方メートル 4.883
「 」 雰囲気 0.000472
1平方ヤードあたりのポンド数 キログラム/平方メートル 0.5425
平方インチあたりのトン数 “平方ミリメートル。 1.575
平方フィート 平方メートルあたりのトン数 10.936
複合要因 ― 重量、容量など
351フィートあたりの重量（ポンド） キログラム/メートル 1.488
1直線ヤードあたり。 「」「」「 0.496
1マイルあたり キロ/キロメートル 0.2818
トン „ „ トン „ 0.6313
足 ” ” メートル „ 1.894
ポンド/立方インチ グラム/立方センチメートル。 27.68
1立方フィートあたり。 キログラム/立方メートル 16.02
1立方ヤードあたり。 「」「」「 0.593
1立方ヤードあたりのトン数 トン「「 1.329
立方ヤード/ポンド 1キログラムあたりの立方メートル。 1.685
トン当たり トン当たり 0.7525
水1立方インチ 重量（ポンド） 0.03608
水（立方フィート） 「 」 62.35
「 」 キロ 28.23
「 」 インペリアルガロン 6.235
「 」 米国ガロン 7.48
1リットルの水 立方インチ 61.025
ガロンの水 体重（キログラム） 4.54
ポンドの真水 海水 1.026
1ガロンあたりの穀物数 グラム/リットル 0.01426
1ガロンあたりのポンド キログラム/リットル 0.0998
1ガロンあたり。 「 」 0.115
複合係数 ― 電力単位など
英国治療単位 キログラムメートル。 108
「 」 ジュール 1058
「 」 カロリー（Fr. Ther.単位） 0.252
1平方フィートあたり「」 1平方メートルあたり 2.713
„ „ 1ポンドあたり 1キログラムあたり 0.555
ポンド/平方フィート ダイン（平方センチメートルあたり） 479
フィートポンド キログラムメートル 0.1382
「 」 ジュール 1.356
「 」 熱量単位 0.00129
「 」 カロリー 0.000324
フィートトン トンメートル 0.333
馬力 強制脱闊達（Fr.HP） 1.014
「 」 キロワット 0.746
馬力あたりのポンド数 キログラム/馬 0.447
平方フィート/HP 馬一頭当たりの平方メートル 0.0196
立方体 „ „ 立方体 „ „ 0.0279
ワッツ 治療単位/時間 3.44
「 フィートポンド/秒 0.73
「 1分あたり 44.24
ワット時 キログラムメートル 367
「 」 ジュール 3600
キログラムメートル 「 9.806
36反比例。—「多い」には「少ない」が必要であり、「少ない」には「多い」が必要な場合、それは反比例であり、この形式の比例は前述の方法で容易に処理できることがわかりますが、スライドを反転させてCスケールがAスケールの隣に来るようにすると、作業がいくらか簡略化されます。カーソルの助けを借りて、反転したC（またはƆ）スケールとDスケールの値を読み取ることができます。これらは一連の反比例を構成します。たとえば、次の比例では

Ɔ 8 4
D 1.5 3
Ɔ スケールの 4 は D の 3 の反対側に配置され、Ɔ の 8 の下に D の 1.5 が見つかります。[5]

計算尺の基本的な使い方に関する一般的なヒント。
対合や進化などのより複雑な演算を検討する前に、基本的な演算における計算尺の使用に関するいくつかの一般的なヒントが役立つかもしれません。特に、これらは前のセクションで述べたより重要な点のいくつかを強化するのに役立つからです。

計算尺は、できるだけ直射日光の当たる場所で使用してください。

音階の分割方法を調べてください。C音階とD音階の目盛りを1から10までたどり、それぞれの目盛りが示す値と、右に進むにつれてこれらの値がどのように変化するかに注目してください。A音階とB音階の2つの半分についても同様に行い、音階の長さが短いため、細分化された値に違いがあることに注意してください。

Cの1をDの任意の値に設定し、Cの2、3、4などの値を読み取り、暗算で確認することで、値の読み取りを練習しましょう。同様に、平方数や平方根などを求め、表に示されている実際の値と比較しましょう。スライドとカーソルの両方をランダムに選んだ値に設定する練習もしましょう。正確さを目標にしましょう。スピードは練習を重ねるうちに身につきます。

37計算方法について疑問がある場合は、同じ形式の簡単な計算を行って確認してください。

器具の使用に完全に自信が持てるようになるまでは、従来の方法に従って作業を進め、たとえ自信がついたとしても、安易に変更を加えないようにしてください。もし何らかの変更を加えた場合は、まず簡単な症例で作業を行い、手術中に無意識のうちに通常の方法に戻ってしまうことがないよう、十分に注意してください。

計算が単純なものでない限り、どのように解くのが最善か（必要であれば式を変形するなど）を検討するのにかかる時間は、一般的に有益な時間の使い方と言えるでしょう。

2つの値を同時に設定する場合は、カーソルを定規上のいずれかの値に合わせ、スライド上のもう一方の値をカーソル位置まで移動させます。

57 × 0.1256 のように係数を掛け合わせる場合、まず小数値を取ります。C の 1 を D の 1256 に設定し、C の 57 の下の値を読み取る方が、逆の手順よりも簡単です。両方の値が目視で確認できたら、カーソルを C の 2 番目の係数に設定し、カーソル行の下にある D の結果を読み取ります。

連続運転においては、目盛りの読み取り値が可能な限り近くなるように、係数をこの順序で考慮することにより、スライドを必要以上に動かさないようにしてください。

平方数と平方根。
上段の目盛りと下段の目盛りの関係は、D 上の任意の数の上には A 上のその数の平方があり、逆に A 上の任意の数の下には D 上のその数の平方根がある、という関係であることがわかっています。スライド上の C 目盛りと B 目盛りについても同様です。定規に刻まれた値を見ると、D には 1 から 10 までの数が、A には 1 から 100 までの対応する平方があります。したがって、1 から 10 までの数の平方、または 1 から 100 までの数の平方根は、カーソルを使って定規上で読み取ることができます。その他のすべてのケースは、前述のように 10 のべき乗で因数分解することにより、これらの値の範囲内に収まります。

より実際的なルールは以下の通りである。

数の平方を求めるには、カーソルをDの数字に合わせ、カーソルの下にあるAの必要な平方を読み取ります。

平方数の桁数は、乗算の規則から簡単に推測できます。平方数をAの 左側の目盛りで読み取ると、38元の数字の桁数の2倍から1を引いた桁数になります。Aの正しい目盛り で読み取ると、元の数字の桁数の2倍になります。

例： 114の2乗を求めなさい。

Dの114にカーソルを合わせると、Aの対応する数字は13であることがわかります。Aの左側の目盛りから結果を読み取ると、桁数は(3 × 2) − 1 = 5となり、答えは13,000と読み取られます。正しい答えは12,996です。

例： 0·0093の2乗を求めなさい。

カーソルをDの93に置くと、Aの数値は865であることがわかります。結果はAの右側の目盛りで読み取られるため、桁数は-2×2=-4となり、答えは0·0000865 [0·00008649]と読み取られます。

平方根。—上記の規則は、与えられた数の平方根を求める逆演算の手順を示唆しており、平方根はAスケール上の数と反対側のDスケール上に存在します。ただし、数が奇数桁で構成されている場合は、Aスケールの左側の部分を取り、平方根の桁数は=N + 1
2ここで、Nは元の数の桁数である。数の桁数が偶数の場合は、Aスケールの右側の部分を取り、根号は元の数の桁数の半分となる。

例： 36,500の平方根を求めなさい。

桁数が奇数なので、 LH A スケールの 365 にカーソルを置くと、D には 191 が表示されます。規則により、 N + 1
2=5 + 1
2＝必要な根号の3桁なので、191 [191·05]と読みます。

例：√0·0098を求めなさい。

Aの右側の目盛りの98にカーソルを置くと（-2は偶数桁なので）、D上の対応する数字は99であることがわかります。この数字の桁数は-2なので、平方根の桁数は−2
2= −1。したがって、0·099 [0·09899+] と読みます。

例： √0 ·098を求めます。

桁数は-1なので、Aの左側のスケールでは98未満です。 39D には 313 があります。規則により、ルートの数は−1 +1
2= 0 となり、したがって根は 0·313 [0·313049+] と読み取られます。

例： √0 ·149を求めなさい。

桁数 (0) が偶数なので、カーソルは A の右側の目盛りの 149 に設定され、D には 386 が表示されます。規則により、ルートの桁数は0
2= 0 となり、根は 0·386 [0·38605+] と読み取られます。

平方根を求める別の方法として、スライドを反転させた状態でCとDの目盛りだけを使用する方法があり、この方法を用いると一般的に精度が高くなります。数値の桁数が奇数の場合は反転した目盛りƆの右側のインデックスを、偶数の場合は左側のインデックスを、平方根を求めるD上の数値と一致するように配置します。次にカーソルを使って、Ɔ上の同じ数値と一致するD上の数値を見つけます。この数値が平方根です。

例：√22·2を求めなさい。

Ɔの左インデックスを222にD上に置くと、ƆとD上の2つの等しい一致する数値は4.71であることがわかります。

カーソル行の下には、A 上に元の数である 22·2 があることに注意してください。そして、これに基づいて、以前と同様に根号の桁数が決定されます。

数の平方を求める通常の乗算​​方法は、多くの場合非常に便利です。一方、平方根を求める逆の過程である試行除算は推奨されません。

根の近似値を取得したり、通常の方法で見つけた根を検証したりするために、著者は時折、次の方法を採用してきました。B の 1 (または 10) を A スケールの数値 (必要に応じてLHまたは RH ) に設定し、カーソルを D の数値に移動します。見つけた根が正しければ、カーソルの下にある C の読み取り値と、C のインデックスの下にある D の読み取り値は完全に一致します。

左辺のAスケール上の数nにB上の1を置くと、C上の1の下のD上で√nが読み取られるのに対し、B上の10の下のD上で10nの根が読み取られることに学生は気づくでしょう。したがって、必要に応じて、数は常にAの最初のスケールで取得し、数の桁数が奇数か偶数かに応じて、根をB上の1または10の下に読み取ることができます。明らかに、2番目の根は最初の根に√10を掛けたものです。

40
立方体と立方根。
数を3乗するには、前述の方法と通常の乗算​​を組み合わせた方法が用いられます。

数の立方を求めるには、 CのL.H.またはR.H.のインデックスを D 上の数に設定し、 B の左側の目盛りの数の反対側にある立方をA のL.H.またはR.H.の目盛りで読み取ります。

この規則により、4つのスケールが用いられる。これらのうち、DスケールとLH Bスケールは常に使用され、同じ値として読み取られる。AのLHスケール とRHスケールに割り当てられる値は、以下の考察から明らかになるだろう。

CとDのインデックスが一致するところから始め、スライドを右に移動すると、上記のルールに従って作業すると、1から2·154（= ∛ 10 ）までの数の立方数がAの最初のまたはLHスケールで見つかることがわかります。スライドをさらに右に移動すると、R.H. Aスケールで 2·154から4·641（または∛ 10から∛ 100）までの数の立方数が得られます。LH A スケールを3 回繰り返すと、 C のLHインデックスをさらに右に移動させることができ、A のこの延長部分で 4.641 から 10 までの数の立方数を読み取ることができます。しかし、 C のRHインデックスを使用することで同じ目的を達成できます。この場合、スライドを以前と同様に右に移動させると、D 上の 4.641 から 10 までの数の立方数を、LH B スケール上の対応する数の上にLH Aスケール上で読み取ることができます。したがって、 C のLHインデックスを使用すると、 LH A スケール上の読み取り値は比較的に単位として、 RH A スケール上の読み取り値は十として見なすことができます。一方、百については、再びLH A スケールとC の右手インデックスを組み合わせて使用​​します。

これらの点を考慮に入れると、与えられた数 (n) の立方体の桁数 ( N ) は容易に導き出せる。したがって、一の位を用いる場合は N = 3n − 2、十の位を用いる場合は N = 3n − 1、百の位を用いる場合は N = 3n となる。規則の形で表すと次のようになる。

積をAのLHスケールで右スライド（単位スケール）で読み取ると、N = 3 n − 2となります。

AのRHスケールで積を読み取るとN = 3 n − 1になります。右にスライドします（10の位のスケール）。

積をAのLHスケールで左（百の位）にスライドして読み取ると、N = 3 nとなる。

41小数の場合も同じルールが適用されますが、以前と同様に、小数点の直後に1桁、2桁などの数字が続く場合は、桁数を-1、-2などと読みます。

例： 1·4 3の値を求めなさい。

CのLHインデックスをDの1.4に合わせると、BのLHスケールの1.4の反対側のAの読み取り値は約2.745 [2.744]であることがわかります。

例： 26·4 3の値を求めなさい。

CのLHインデックスをDの26.4に合わせると、BのLHスケールの26.4の反対側のAの読み取り値は約18,400 [18,399.744]であることがわかります。

例： 7·3 3の値を求めなさい。

この場合、 BのLHスケールの7·3の反対側がAで389 [389·017]と読み取られるとき、Dで7·3に設定されているCのRHインデックスを使用する必要が生じます。

例： 0·073 3の値を求めなさい。

前述の設定から、数値の桁数を3倍する必要があることがわかります。したがって、0·073には-1桁の数字があるため、3乗すると-3桁になり、0·000389と読みます。

最後の2つの例は、10のべき乗による因数分解の原理を説明するのに役立つ。したがって

0·073 = 7·3 × 10 −2 ; 0·073 3 = 7·3 3 × (10 −2 ) 3 = 389 × 10 −6 = 0.000389。
立方根（直接法）—ある数の立方根を求める方法の一つは、前述の操作を逆に行うことです。同じ目盛りを使って、スライドを右または左に移動させ、A 上の指定された数の下に、 C の右または左のインデックスの下の D 上に同時に見つかった数と一致する数が、 L.H. B 目盛り上で見つかるまで移動させます。この数が求める立方根です。

立方根を求める際にこれらの尺度を組み合わせて使用​​することについて既に述べたことから、数の立方根を求めるには、どの尺度を使用するかを決定するために、扱う桁数を知る必要があることが明らかになります。したがって、（算術的な抽出方法と同様に）与えられた数を、小数点から始めて、1より大きい数の場合は左へ、1より小さい数の場合は右へ、それぞれ3桁ずつのセクションに分けます。すると、左側の最初の桁のセクションが次のようになっている場合、

421 の図では、明らかに、数値は、私たちが「単位」スケールと呼んでいるもの、つまり、C のLHインデックスを使用して A のLHスケールで取得する必要があります。

2桁の数字の場合、その数字は「10の位」のスケール、つまりAのRHスケールで、 CのLHインデックスを使用して取得されます。

3桁の数字の場合、その数字は「百の位」のスケール、つまりAのLHスケールで、 CのRHインデックスを使用して取得されます。

立方根の桁数を決定するには、指示に従って数をいくつかのセクションに分割した場合、最初のセクションが1桁、2桁、または3桁のいずれであっても、分割された各セクションごとに根に1つの数字が含まれることに注目するだけで十分です。

全てが小数である数の場合、立方根も小数になります。小数点の直後に3 つの 0 が続く場合、立方根では小数点の後に1 つの0 が続きます。必要に応じて、立方根を求める前に、完全な 3 の倍数になるように 0 を追加する必要があります。したがって、立方根を求める際には、0·8 は 0·800 と、0·00008 は 0·000080 とみなされます。

例： ∛ 14,000 を求めなさい。

数字を上記のように指し示すと、最初のセクションには2 つの数字、すなわち 14 があることがわかります。カーソルを A のRHスケールの 14 に設定し、スライドを右に移動して、 D の 241 が C のLHインデックスの下にあるときに、B のLHスケールの 241 がカーソルの下に来るようにします。14,000をセクションに指し示すと、14,000、つまり2 つのセクションになります。したがって、ルートには 2 つの数字があり、結果として 24·1 [24·1014+] と読みます。

例： ∛ 0·162 を求めます。

分割セクションは3 つの数値で構成されているため、「百の位」の目盛りを使用します。カーソルをLH A 目盛りの 0·162 に設定し、 C のRHインデックスを使用して、カーソルの下にLH B 目盛りの 0·545 が見つかるまでスライドを左に移動すると、 C のRHインデックスは D の 0·545 を指し、これは 0.162 の立方根になります。

例： ∛ 0·0002 を求めます。

3 の偶数倍を作るには 00 を追加する必要があります。すると 200 となり、その立方根は約 5·85 であることがわかります。次に、最初の除算グループは 0 で構成されているため、小数点の後に 0 が 1 つ続き、∛ 0·0002 = 0·0585 [0·05848] となります。

43立方根（反転スライド法）。—立方根を求める別の方法として、反転スライドを用いる方法があります。いくつかの方法がありますが、次の方法が好ましいです。—スライドの左または右のインデックスをAの数値に設定し 、ᗺ（つまり、反転したB）の数値がDの同じ数値と一致し、これが求める根です。

指示通りにスライドを設定し、まずスライドの左側のインデックス、次に右側のインデックスを使用すると、必ず3組の一致する値を見つけることができます 。その3組のうちどれが目的の結果であるかを判断するには、例を用いるのが最も分かりやすいでしょう。

例： ∛ 5、 ∛ 50、 ∛ 500 を求めなさい。

スライドのRHインデックスを A で 5 に設定すると、D の 1.71 が ᗺ の 1.71 と一致することがわかります。次に、LHインデックスを A で 5 に設定すると、3.68 と 7.93 でさらに一致が見つかり、このようにして見つかった 3 つの値が要求された根です。最初の根は、A の 1 ～ 5 より下の D スケールの部分で見つかり、2 番目の根は、A の 5 ～ 50 より下の部分で見つかったことに注意してください。そして、A の 50 から 100 の下にある D の部分の 3 番目の根。したがって、この点で、スケール A は常に 1 からn、nから 10 n、および 10 nから 100 の 3 つのセクションに分割されていると考えることができます。1、1 + 3、1 + 6、1 + 9、つまり 1、4、7、10、または -2、-5 などの数字で構成されるすべての数については、最初のセクションの一致が求められます。数が 2、5、8、または -1、-4、-7 などの数字を持つ場合、2 番目のセクションの一致が正しく、数が 3、6、9、または 0、-3 などの数字を持つ場合、最後のセクションの一致が求められます。根の桁数は、すでに説明したように、数をセクションにマークすることによって決定されます。

立方根（ピックワース法）。―上記2つの方法に対する主な反論の一つは、どの目盛りを使うべきか、またスライドのどのインデックスを使うべきかを思い出すのが難しいことである。直接法では、比較する目盛りがしばしば離れており、最大で定規の長さの3分の2ほど離れているという反論もある。一方から他方へ目を移すのは面倒で時間がかかる。逆目盛り法では、目盛りの方向が逆で数字が反転しているという点も問題である。

著者の方法では、これらの異論は完全に解消される。常に同じ尺度と指標が使用され、そのまま読み取られる。 44通常の位置。n、10n 、 100n （nは10未満かつ1以上）の3つの根は、1回の設定で与えられ、スライドを移動することなく自然な順序で表示されます。比較する読み取り値は常に近接しており、それらの間の最大距離は定規の長さの6分の1です。設定は常に、より近い読み取り値が得られる目盛りの前半部分で行われ、最後に、必要に応じて、連続乗算によって結果を容易に確認できます。

この方法では、C 上に 2 つのゲージポイントが必要です。これらの位置を簡単に特定するには、C の 53 を D の 246 に合わせ、定規で D の 1 と A の 1 を結び、針先で C 上に短い細い線を引きます。C の 246 を D の 53 に合わせ、定規の反対側で同じ手順を繰り返します。このようにして得られたゲージポイント (C を 3 等分したもの) は 2·154 と 4·641 の位置にあり、それぞれ ∛ 10と ∛ 100とマークする必要があります。[6]

例： ∛ 2·86、 ∛ 28·6、∛ 286を求めなさい。

カーソルをAの2·86に設定し、右にスライドを描画して、カーソルの下にあるBの1·42の下にあるCの1·42を見つけます。次に、1の下、∛ 10、∛ 100を読み取ると、次のようになります。

∛ 2·86 = 1·42; ∛ 28·6 = 3·06 および ∛ 286 = 6·59。

10のべき乗で因数分解すると、元の根に∛ 10と∛ 100を掛けることがわかります。明らかに、3つの根は常にD上に自然な順序で、規則の長さの3分の1の間隔で見つかります。1から1000の間にない数の根の桁数は、前述のように求められます。

立方根を求める方法において、BとDの目盛りが等しくなるようにスライドを調整する必要がある場合、著者は次の方法を採用するのが有利であることがわかりました。例えば、カーソルをAの4.8に設定し、Bの目盛りのほぼ主目盛りである1.7をカーソルに合​​わせます。すると、Cの1はDの1.68になります。この差はDの2つの小さな目盛りに相当し、この差を表すスペースの3分の1だけスライドを前方に移動させると、求める根として1.687が得られます。少し練習すれば、この方法によって、Dの目盛りをBの目盛りと比較するよりも正確な結果を得ることができます。

45
その他の力とルーツ。
計算尺を使えば、平方数や立方数に加えて、他のいくつかのべき乗や平方根も簡単に求めることができる。

3分の2乗。 —N 2/3の値は、A 上の ∛̅N を D 上の数として求めます。桁数は、立方根の桁数から計算する平方数の規則に従って決定されます。多くの場合、N 2/3 をN ÷ ∛̅N として扱う方が望ましいことがわかります。この方法だと、結果の大きさがはるかに容易に理解できるからです。

32乗。 — N³⁄₂は、平方根を3乗し、各過程の桁数を決定することによって得られます。先に述べた理由から、N³⁄₂をN ×√Nとみなす方が好ましいです。

4乗。N 4の場合、C のインデックスを D 上の N に設定し、C 上の N の上に A 上の N 4と読みます。または、N の 2 乗の 2 乗を求め、各ステップで桁数を決定します。

4乗根。—同様に∜̅Nについても、平方根の平方根を取る。

4/3乗。 — N⁴⁄₃ = N 1·33 (ガスエンジンの図の計算に役立ちます) は、N × ∛̅N として扱うのが最適です。

他のべき乗は、繰り返し乗算することで求めることができます。例えば、B の 1 を A の N に設定すると、A では N 2 /N、N 3 /N 2、N 4 /N 3、N 5 /N 4などとなります。同様に、B の N を D の N に設定すると、N ¾、N ⅞などの値を読み取ることができます。

対数によるべき乗と平方根。
既に説明した単純な形式以外のべき乗や根を求めるには、通常の対数操作を用いる必要があります。したがって、a n = xを求めるには、 aの対数にnを掛け、得られた対数に対応する数xを求めます。同様に、 ⁿ√̅a = xを求めるには、 aの対数をnで割り、得られた対数に対応する数xを求めます。

対数目盛。グラヴェット式計算尺や類似の計算尺のスライドの裏面には、3つの目盛があります。そのうちの1つ（通常は中央の目盛）は、全長にわたって均等に分割され、右から左に目盛が振られています。この目盛には「L」のマークが付いていることがあり、これは対数目盛であることを示しています。目盛全体は、まず10等分され、それぞれが50等分されています。計算尺の右端にあるくぼみまたは切り欠きには基準マークがあり、この均等に分割された目盛のどの目盛もこの基準マークに合わせることができます。

46この小数点目盛は対数目盛Dと同じ長さで、逆方向に目盛りが付けられているため、スライドを右に引いてCの左手前 インデックスがD上の任意の数値と一致すると、等分割目盛の読み取り値はD上の数値の対数の小数部になります。したがって、 Cの左手前インデックスをD上の2に合わせると、基準マークで読み取った逆目盛の値は0.301、つまり2の対数になります。ここで、得られた数値は数値の対数の小数部、つまり仮数部であり、通常の規則に従って特性を付加する必要があることを明確に留意しなければなりません。すなわち、対数の整数部、つまり特性は、数値の桁数から1を引いた数に等しくなります。数値が完全に小数である場合、特性は小数点以下の桁数に等しくなります。 1.5点、プラス1点。後者の場合、特性は負の値となり、その上にマイナス記号が書き込まれることで示されます。

任意の数のべき乗または平方根を求めるには、次の操作を行います。CのLHインデックスを D の指定された数に設定し、定規を裏返して、定規の右端の切り欠きのマークの反対側にある、その数の対数の小数部を読み取ります。上記の規則に従って特性を加算し、べき乗の指数を掛けるか、平方根の指数で割ります。等分目盛りで読み取った結果の小数部を定規の開口部のマークの反対側に置き、 C のLH インデックスの下の D の答えを読み取り、結果の特性の数に応じて答えの桁数をマークします。

例： 36 1·414を評価します。

C の 1 を D の 36 に設定し、スライドの裏にある対数スケールで log. 36 の小数部を読み取ります。この値は 0·556 であることがわかりました。数値には 2 桁あるため、特性は 1 になります。したがって、log. 36 = 1·556 です。C と D スケールを使用して 1·414 を掛け、結果の log. として 2·2 を得ます。対数スケールの小数部 0·2 を定規の端の切り欠きのマークに設定し、C の 1 の下の D の 1585 を読み取ります。結果の log. の特性は 2 であるため、結果には 3 桁あり、したがって 158·5 と読みます。

この例を見れば、任意の数のn乗またはn乗根を求める方法を示すのに十分でしょう。

47
力と根源を得るためのその他の方法。
べき乗や平方根を求める簡単な方法として、通常の定規の D スケール (または A スケール) で比例した長さを縮尺する方法があります。これは、場合によっては役立ちます。したがって、1.25 1.67の値を求めるには、D スケールで実際の長さ 1–1.25 を取り、1 : 1.67 の比率で任意の都合の良い方法で拡大します。次に、コンパスを使用して、この新しい長さを 1 から切り離し、結果として 1.44 を得ます。目的の比率を得る便利な方法の 1 つは、比例コンパスを使用することです。したがって、1.52 ¹⁷⁄₁₆を得るには、コンパスを 16 対 17 の比率に設定し、小さい方の端を開いて D スケールで 1–1.52 を含むようにします。コンパスの大きい方の端の開口部は、1 から切り離すと、D スケールで求める結果である 1.56 が得られるような大きさになります。

図11。

数 N のn乗根を求める逆の手順は明らかに次のようになります。1
nスケール長1-Nの1/1であり、それ以上考慮する必要はありません。

必要な比率のスケール長を得るために、単純な幾何学的作図も使用されます。透明なセルロイドまたは丈夫なトレーシングペーパーに引かれた一連の平行線を定規の面に傾斜させて置き、スケールを希望どおりに分割するように調整することができます。値を定数だが比較的低いべき乗 nに累乗する必要がある作業が多い場合、著者は次の補助装置を発見しました。薄い透明なセルロイドに線 OC を描き（図11）、この線上に点 B を取って、OC
OBは目的の比率です。A スケールで OB = 1–10 にすると便利です。v 1 ·35の一連の値が必要だと仮定すると、OB は 12.5 cm、OC は 16.875 cm になります。これらの線上に、図のように半円が描かれ、両方とも点 O を通ります。

48このカーソルを上部の目盛りに適用して、点 O が 1 上にあり、半円 OMB がA 上のvを通るようにすると、より大きな半円が A 上でv nの値を与えます。したがって、p v n = 39·5 × 4·9 1·35の場合、B 上の 1 を A 上の 39·5 に設定し (図12 )、カーソルを B の作業エッジに適用して、O が 1 と一致し、OMB が B 上の 4·9 を通るようにします。すると、より大きな半円がスライドの端をある点で切断し、必要な結果として A 上に 337 が得られます。

もちろん、半円はいくつでも描くことができ、それぞれ異なる比率が得られます。等間隔に分割された複数の区画を基点として用いると、この装置は一連の小さなべき乗や平方根を簡単に求める手段となります。また、工作機械の速度ギアの調整などに必要な、2つの値間の幾何平均を求める際にも役立ちます。平方根を求める逆の操作も明らかであり、この装置が役立つ他の多くの用途も明らかになるでしょう。

図12。

線は非常に鋭利なペンで墨汁を用いてセルロイドの裏面に引くべきであり、線が定規の表面にぴったりと接するように引くべきである。

同じ目的で使用されるもう一つの装置であるラジアルカーソルは、常に上部の目盛りと併用して使用されます。図13に示すように、カーソル本体Pには目盛りの付いたバーSが取り付けられており、これは定規に対して垂直な方向に取り外して、任意の位置に調整できます。Sの下端には、中心線が刻まれた透明なセルロイド製のラジアルアームRが回転軸で接続されています。

図を参照すると、関係する原理は相似三角形の原理であり、スライドの幅は 49要素の 1 つとして使用されます。したがって、簡単な例を挙げると、S の 2 を P のインデックスに設定し、B の 1 を A の N に移動すると、放射状アームの中心線が C の 1 と一致するまで回転することで、A の N 2を読み取ることができます。明らかに、2 つの相似な三角形 A O N 2と N  t  N 2ではA O の長さが N  tの長さの 2 倍であるため、A N 2 = 2 A N となります。一般に、数のn乗を求めるには、カーソルを A の 1 または 10 に設定し、クロスバー S のnをカーソルのインデックスに移動させ、B の 1 を A の N に移動させます。次に、放射状アームの線を C の 1 に設定し、後者の下で A の N nを読み取ります。n 乗根を求める逆の手順は明らかです。

図13。

この方法や類似の方法によるべき乗や平方根の求め方の利点は、結果が定規の通常の目盛りで得られるため、必要に応じてそのまま次の計算に利用できる点にある。

統合作戦。
これまで様々な演算を個別に検討してきたが、ここでは技術計算で遭遇する様々な公式を解くための作業方法について検討する。ここでは、より一般的に使用されるいくつかの式の扱い方を説明することにする。これは、他のより複雑な計算を扱う際の手順を示すのに十分だからである。 50以下の問題では、上側と下側の両方のスケールが使用され、複数のスケールの相対的な値は常に考慮する必要があります。したがって、√のような式を解く際には、74.5
15.8= 6·86 の場合、まず B の 15·8 を A の 745 に設定することで除算が行われます。上部スケールの 2 つの部分の関係 ( 37ページ) から、7·45、745 などの値は 左側のA および B スケールで、15·8、1580 などの値は右側のA および B スケールで取得されることがわかります。したがって、 RH B スケールの 15·8 はLH A スケール の 745 に設定され、結果は D の C のインデックスの下に読み取られます。両方の値がLH A および B スケール、または両方ともRH A および B スケールで取得された場合、結果はx = √に対応します。7.45
1.58= 2·17、またはx = √74.5
15.8= 2·17、つまり、 6 ·
86√10したがって、スケールの選択を誤った場合は、必要に応じて√10を乗算または除算することで結果を修正できます。結果がDで読み取られた場合は、Bの中心インデックス（10）をDに設定し、修正された結果をCのインデックスで読み取ります。

a × b 2 = xを解くには、 D 上の C のインデックスをbに設定し、B 上のaを A 上のxと読み替えます。

解決するためにa 2
b= x。カーソルを使用してB のbをDの aに設定し、B のインデックスを越えてAのxを読み取ります。

解決するためにb
a 2= x。Cのa をA のbに設定し、B の 1 をA のxに置き換えます。

解決するためにa × b 2
c= x。Bのcを D のbに設定し、B のaをA のxに置き換えます。

( a × b ) 2 = xを解くには、C の 1 をD のaに合わせ、C のbをA のxに置き換えます。

解決するには（a
b) 2 = x。Cのbを D のaに設定し、C の 1 を Aのxに書き換えます。

√ a × b = xを解くには、B の 1 をA のaに置き換え、B のbの下にD のxを置きます。

√を解決するa
b= x。Bのbを A のaに設定し、C の 1 の下をD のxに変更します。

51解決するために b
c 2= x。Cのbを D のcに設定し、B のaをA のxに置き換えます。

c √を解くa
b= x。Bのbを A のaに設定し、C のcをD のxに変更します。

解決するために√ ̅a
b= x。Cのbを A のaに設定し、C の 1 の下をD のxに変更します。

解決するためにa
√ ̅b= x。Bのbを D のaに設定し、C の 1 の下をD のxに変更します。

b √ ̅a = xを解くには、C の 1 をD のbに設定し、B のaの下をD のxと読み替えます。

√ a 3 = xを解くには、√ ̅aとして扱います。

√ b 3 = xを解くには、√ ̅b × bとして扱います。

解決するために√ ̅a 3
b= x。√ ̅a × a
b。

√を解決するa 3
b= x。√̅a × a
√̅b​​= √a
b× a。

√を解決するa × b
c= x。Bのcを A のaに設定し、B のbをD のxに変更します。

解決するためにa × b
√ ̅c= x。Bのcを D のbに設定し、C のaの下にD のx を置きます。

√を解決するa 2 × b
c= x。Bのcを D のaに設定し、B のbをD のxに変更します。

解決するためにa 2 × b 2
c= x。Bのcを D のaに設定し、C のbをA のxに置き換えます。

解決するためにa √ ̅b
c= x。Cのcを A のbに設定し、 C のaの下にD のx を代入する。

解決するには（a × √̅b
c) 2=x。Cのca、B のbA のx

52
式を評価する際のヒント。
一般的に、立方数やそれ以上のべき乗の使用は可能な限り避けるべきです。したがって、前述のセクションでは、a √ b 3の形式の式をa × b × √ ̅bとして扱うことを推奨します。こうすることで、初心者でも値の大きさをより容易に理解でき、立方数計算に伴う大きな数の概算ミスを回避できます。

例： 7·3 × √ 57 3 = 3140。

C の 1 を D の 57 に設定します。カーソルを B の 57 に移動します ( 57 は偶数桁なのでRH )。C の 1 をカーソルに移動し、C の 7·3 の下の D の 3140 を読みます。おおよその推定として、√ 57は約 8、8 × 57 は約 400、400 × 7 は 2800 となり、結果が 4 桁で構成されていることがわかります。

a ∛ b 2またはa b ⅔の形式の式は、 a ×に並べ替えることでより適切に処理できます。b
∛ b。

例： —3·64∛ 4·32 2 = 9·65。

カーソルを A の 4·32 に設定し、カーソルの下の B と D の 1 の下が同時に見つかるまでスライドを移動します。カーソルを C の 1 に移動させます。カーソルを C の 4·32 に移動させ、 D の 3·64の上にC の 9·65 を読み取ります。（この場合、答えをスライド上で読み取ると便利です。22 ページを参照してください。）計算尺から、∛ 4·32は約 1·6 であることがわかります。これを 4·32 に掛けると約 3 になります。3·64 × 3 は約 10 なので、答えは 9·65 であることがわかります。

同様に、 a × b ⁴⁄₃の形の積は、 a × b × ∛ bとして扱うのが最適です 。

式の因数分解は、例えばx 4 − y 4 = ( x 2 + y 2 )( x 2 − y 2 ) のように、物事を簡略化することがあります。ここでは、4 乗を扱うには大きな数が必要となり、各因数の桁数を決定するのが面倒になります。しかし、平方数は定規ですぐに読み取ることができ、桁数は明らかであり、一般的にこの方法はより正確な結果をもたらすはずです。式 D 1 = ∛を考えてみましょう。D 4 − d 4
D中実軸の直径 D 1は、外径と内径がそれぞれ D とdである中空軸とねじり強度が等しい。 D 1 = ∛と整理すると(D 2 + d 2 )(D 2 − d 2 )
D例えば、D = 15 インチとします。 53d = 7 インチの場合、D 2 + d 2 = 274 および D 2 − d 2 = 176 となります。したがって、D_1 = ∛274 × 176
15= ∛ 3210 = 14·75 インチ

逆スケール表記。 —1 − xまたは 100 − xの形式の式では、スケールの表記が逆になっている、つまりスケールを逆方向​​に読むと便利な場合が多い。この場合、D スケールは下段に示されているように読みます。

直接表記法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dスケール
逆表記 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
新しい読み取り値は、 RH指数に割り当てられた値に応じて、通常の読み取り値から 1、10、100 などを引くことで求められます が、実際にはこの計算は不要です。少し練習すれば、主目盛と小目盛の両方を逆順に読み取ることは非常に簡単です。応用例としては、曲線のプロット、三角関数の公式などがあります。

例：スクリュープロペラのスリップ率を求めよ。

100 − S =10133V
PR

速度Vを15ノット、プロペラのピッチPを27フィート6インチ、毎分回転数Rを60とする。

B の 27·5 を A の 10133 に設定します (注: A の中央インデックス付近で設定します )。カーソルを B の 15 と B の 60 に移動します。LH A スケールを逆方向​​に読み取ると、 A のスリップ S = 8 パーセントが B の 10 上にあります。

パーセント計算。—数量をxパーセント増やすには、100 + xを掛けます。数量をxパーセント減らすには、100 − xを掛けます。したがって、xパーセントを加算するには、C の 100 + x をD の 1 に設定し、C の元の値の下に D の新しい値を読み取ります。x パーセントを減算するには、D の目盛りを 10 から逆方向に読み取り、 C のRHインデックスをxパーセントに設定します。読み取ります。その後、以前と同じように読み取ります。

測定ポイント。
エンジニアリング計算で頻繁に登場する定数係数の位置を示す特別な目盛りが、ほとんどの計算尺に付いています。通常、π = 3·1416 とπ
4= 0·7854—円周と面積を計算するための「ゲージポイント」は、上部の目盛りにマークされています。最初の値は、 54下側の目盛りにも。マークcとc 1 は、下側の目盛り 1·128 = √に時々見られます。4π
​そして3·568 = √40π
​これらは円筒の内容量を計算する際に役立ち、次のように導出されます。直径d、長さlの円筒の体積= π
4d 2 l ; 代入π
4その逆数4π
​式は次のようになる d 2
1·273 × l、そして小数部分の平方根を取ると、d
1·1282 × l 。これで非常に便利な形式になりました。C上のゲージ点c をD上の d に設定することで、B 上のlから A 上の立方体の内容を読み取ることができます。この例は、ゲージ点を配置する際に従うべき原理を示しています。定数の逆数を代入することで連続乗算を回避し、式を次の形式にします。a × b
cこれは、ご存知のように、スライドを1回設定するだけで解決できます。二乗する前にdを割る利点も明らかです。 スライドをその長さの半分以上右に描画する必要がある場合は、c 1 = c × √ 10というマークを使用します。

ゲージポイントMは31.83 =100π
​は、一部の定規の上部の目盛りに記載されています。B上のこの点をA上の円柱の直径に合わせると、B上で円周を1または100で割った値、あるいはB上で曲面の面積を長さで割った値が読み取れます。

ゲージポイントを設定する別の例として、ポンプの理論吐出量の式を見てみましょう。dをプランジャーの直径（インチ）、l をストロークの長さ（フィート）、Q を吐出量（ガロン）とすると、次のようになります。

Q = d 2 ×π
4× l ×12
277（注：277立方インチ＝1ガロン）

定数項を展開して逆数を取ると、この式は簡単に次の式に変換できます。Q =d 2 l
29·4または（d
5.42) 2 × l。したがって、ゲージポイント 5·42 を C から d に設定し、 B のストローク長 (フィート) を超えて、A の吐出量 (ガロン/ストローク) を読み取ります。または、B のピストン速度 (フィート/分) を超えて、A の理論吐出量 (ガロン/分) を読み取ります。

ゲージポイントの例は、このセクションでいくつか見つけることができます。 55金属の重量の計算について（59ページと60ページを参照）。ほとんどの場合、その導出は上記の説明から明らかです。球の重量の場合、体積 = 0.5236 d 3となり、これを材料の1立方インチの重量で乗算すると、重量W（ポンド）が得られます。したがって、鋳鉄の場合、W = 0.5236 × d 3 × 0.26 となり、これは都合よく次のように変換できます。W =d × d 2
7.3560 ページの例のように。

これらの例を用いれば、定数項が繰り返し出現する計算においても、基準点を設定する際に何ら困難は生じないはずである。

ゲージポイントのマーキング。—ゲージポイントを目盛りの作業端まで伸びる線でマーキングする方法は、目盛りの通常の読み取りを混乱させるため推奨されません。一般的に、ゲージポイントは時々しか必要とされず、関連する目盛りから離れた位置に、しかし関連性がわかる程度に近く配置すれば、カーソルを使って簡単に計算に組み込むことができます。通常、A目盛りの上とD目盛りの下には、さまざまなゲージポイントをマーキングするのに十分な余白があります。別の方法としては、カーソルの上端と下端の中央付近に、約1/8インチの間隔で2つの切り込みを入れる方法があります。これらの中央部分を外側に曲げると、舌状になり、カーソル線と一直線になり、それぞれ定規の直角エッジと面取りエッジにほぼ接触します。舌状部分に細い線を引くと、この2つのエッジストリップにマーキングされたゲージポイントに合わせることができます。必要に応じて、通常の測定目盛りは細かいサンドペーパーで削り取ることができます。

定規の表面に印を付けるゲージポイントについては、著者は45°の角度で引かれた2本の細い線（✕）が、指示すべき正確な点で交差する形を好む。この「十字」ゲージポイントでは、交差する線によってカーソルの位置合わせが容易になり、正確な設定が簡単に行える。[7]すべての線は、非常に鋭利な製図ペンで墨汁を用いて描画してください。より永続的なマーキングのために、墨汁を氷酢酸で擦り落とすか、セルロイド用の特殊インクを使用しても構いません。ゲージポイントに識別記号を書き込むのが難しい場合は、鋭利な針で小さな点を連続して付けて刻印しても構いません。

56
技術計算における例。
計算尺の実用性を説明するために、ここではいくつかの例を示します。これらの例は、他の公式を用いた計算方法を理解する上で十分でしょう。いくつかの計算式では近似値しか得られませんが、いずれの場合も得られる精度は目盛りの読み取り範囲内に収まっています。多くの場合、定数を変更することで、提示された計算式を修正できます。ほとんどの例では、使用した公式は解から明らかですが、より複雑な例については、別途説明を加えています。

計測等
円弧の弦cと垂直高さhが与えられたとき、円の直径dを求めます。

B の高さhを D のコードの半分に設定し、B の 1 をA のxに読み替えます。すると、x + h = dとなります。

例— c = 6; h = 2; dを求めます。B の 2 を D の 3 に置き、B の 1 の上に A の 4·5 を置きます。すると 4·5 + 2 = 6·5 = dとなります。

円の半径rと弧の角度nが与えられたとき、弧の長さlを求めます。

C上のrをD上の57.3に設定し、D上の任意の角度nにわたって、 C上の弧の（おおよその）長さを読み取る。

例： r = 24、n = 30、lを求めます。

C の 24 を D の 57·3 に設定し、D の 30 を超えると、C の12·56 = lと読みます。

円の直径d (インチ)が与えられたとき、円周 c (フィート)を求めます。

C の 191 を D の 50 に設定し、C の直径 (インチ) の下に、D の円周c (フィート)を読み込みます。

例：直径17インチの滑車の円周をフィート単位で求めます。Cに191、Dに50を設定し、Cの17の下にDの4.45フィートを読み取ります。

円の直径が与えられた場合、その面積を求める。

B の 0.7854 を A の 10 (中心インデックス) に設定し、D の任意の直径を超えて B の読み取り領域を読み取ります。

定規に特別な目盛り線 = 0·7854 がある場合、B の右側の目盛り線をA のRHインデックスに設定し、上記のように読み取ります。π のみがマークされている場合は、B のこの特別な目盛り線を A の 4 に設定します。

57一部の定規のCおよびDスケールには、 √を示すcとマークされたゲージポイントがあります。4π
​= 1·1286。したがって、この場合、C の 1 を D のゲージ点cに設定し、上記のように A の面積を読み取ります。ゲージ点c ′ を使用する場合は、結果を 10 で割ります。または、 C のc をD の直径に設定し、B のインデックスで A の面積を読み取ります。カーソルが付属しており、ガラス上に2 本の線が引かれており、それらの間隔は、4π
​A スケールでは 1.273 となります。この場合、2 つのカーソル線の右側を D の直径に設定すると、面積はAの左側のカーソル線の下にある値として読み取られます。直径が 1.11 未満の場合は、B の中央のインデックスをA のLHインデックスに設定し、 LH B スケールで面積を読み取る 必要があります。一般的な作業で 2 つのカーソル線を使用することによって生じる混乱は、左側の線をそれぞれスケールをちょうど覆うだけの 2 つの短い長さにすることで回避できます。

円の直径d（インチ）が与えられたとき、面積a（平方 フィート）を求めます。

Bの6をAの11に設定し、Dの直径（インチ）の上にBの面積（平方フィート）を読み取ります。

ボイラーの煙道、凝縮器の管、暖房パイプなどの表面積を平方フィート単位で求める。ただし、直径はインチ単位、長さはフィート単位で与えられているものとする。

上記のように円周をフィート単位で求め、長さをフィート単位で掛け合わせます。

例：直径1¾インチ、長さ12フィートの機関車用ボイラー管160本によって得られる加熱表面積を求めなさい。

C の 191 を D の 50 に設定します。カーソルを C の 1·75 に移動させ、 C の左インデックスをカーソルに合​​わせます。カーソルを C の 12 に移動させ、C の 1 をカーソルに合​​わせます。そして、C の 160 の下に D の暖房面の 880 平方フィートを読み取ります。

寸法が同じ単位で、定規にゲージポイント M が 31·83 ( =にある場合100π
​)、B のこのマークを A の円筒の直径に合わせて、A の円筒面を B の長さで割った値を読み取ります。

長さl、幅bの長方形と同じ面積を持つ正方形の辺s を求める。

A 上の B のRHまたはLHインデックスをlに設定し、 B 上のbの下を D 上のsと読み替えます。

58例：l = 31 フィート、b = 5 フィートの長方形と同じ面積の正方形の一辺の長さを求めなさい 。

A の B の( RH ) インデックスを 31 に設定し、B の 5 の下に D の 12·45 フィートを読み取ります。

長方形のさまざまな長さlと幅bを求めて、一定の面積aを与える。

スライドを反転させ、ƆのインデックスをD上の指定された領域に設定します。次に、Ɔ上の任意の長さlの反対側に、 D上の対応する幅 bを見つけます。

例：長さが16、18、24、36、60フィートの長方形のシートの対応する幅を求め、面積が72平方フィートになるようにします。

D 上の Ɔ のRH指数を 72 に設定し、Ɔ 上の 16、18、24、36、および 60 の反対側に、D 上の対応する幅である 4·5、4、3、2、および 1·2 フィートを読みます。

直径d（インチ）、長さl（フィート）の円柱の内容物を立方フィートで求めます。

以前と同様に面積をフィート単位で求め、長さを掛けます。

寸法がすべてインチまたはフィートの場合は、C のマークc (= 1·128) を D の直径に合わせ、B の長さに合わせ、A の立方体含有量を読み取ります。

楕円の面積を求める。

C の 205 を D の 161 に設定します。カーソルを C の長軸の長さに移動させ、C の 1 をカーソルに移動させ、C の短軸の長さより下の D の読み取り領域に移動します。

例：長軸と短軸の長さがそれぞれ16インチと12インチの楕円の面積を求めなさい。

C の 205 を D の 161 に設定します。カーソルを C の 16 に移動させ、C の 1 をカーソルに移動させ、C の 12 の下に D の 150·8 インチを読み取ります。

球の表面積を求める。

B 上の 3·1416 をA のRHまたはLHインデックスに設定し、カーソルを使用して読み取った D 上の直径を超えて、B 上の凸面を作成します。

球体の体積を求める。

Bの1.91をAの直径に設定し、Cの直径の上にAの立方体含有量を読み取ります。

金属の重量。
金属の角棒1フィートあたりの重量（ポンド）を求める。

A 上の B のインデックスを 12 立方インチの金属 (つまり、1 直線フィート、1 平方インチの断面) の重量に設定し、C 上の正方形の辺にインチ単位で重量を読み取ります。

59例： 4½インチ角の錬鉄棒の1フィートあたりの長さの重量を求めなさい。

A の B の中央のインデックスを 3.33 に設定し、C の 4½ の上に 67.5 ポンドを読み取ります。

（注：他の金属については、下記の（2）列の対応する定数を使用してください。）

丸棒1フィートあたりの重量（ポンド）を求める。

B のRHまたはLHインデックスを A の 12 円筒形の金属の重量に設定し(下の列 (4))、C のバーの直径 (インチ) の反対側で、A の直線フィートあたりの重量 (ポンド) を読み取ります。

例：直径2インチの丸型鋳鋼1フィートの重量を求めなさい。

A 上で B のLHインデックスを 2.68 に設定し、C 上で 2 以上に設定すると、A 上で 10.7 ポンドと読み取られます。

平鋼の重量を1フィートあたりポンド単位で求める。

Cの幅をインチ単位で設定して12立方インチの重量1
D には金属の (下の列 (3)) が表示され、D の厚さの上には C に直線フィートあたりの重量 (ポンド) が表示されます。

例：幅4½インチ、厚さ⅝インチの棒鋼の1フィートあたりの重量を求めなさい。

C の 4.5 を D の 0.294 に設定し、D の 0.625 を超えると、C の直線フィートあたり 9.56 ポンドと読み取られます。

板金の平方フィートあたりの重量を求めるには、C の金属の立方フィートあたりの重量 (列 1) を D の 12 に設定し、

金属。 （１）
重量（ポンド/立方フィート） （２）
12立方インチの重量 （３）
1
重量 12 立方インチ （４）
12インチ円筒形の重量
錬鉄 480 3.33 0.300 2.62
鋳鉄 450 3.125 0.320 2.45
鋳鋼 490 3.40 0.294 2.68
銅 550 3.82 0.262 3.00
アルミニウム 168 1.166 0.085 0.915
真鍮 520 3.61 0.277 2.83
鉛 710 4.93 0.203 3.87
錫 462 3.21 0.312 2.52
亜鉛（鋳造） 430 2.98 0.335 2.34
（シート） 450 3.125 0.320 2.45
D にはプレートの厚さ (インチ) が表示されていますが、C には平方フィートあたりの重量 (ポンド) が表示されています。

60例：厚さ⅜インチのアルミニウム板の1平方フィートあたりの重量をポンド単位で求めなさい。

Cで168、Dで12に設定し、Dで0.375を超えるとCで5.25ポンドと読みます。

パイプの重量を1フィートあたりポンド単位で求める。

C 上のパイプの平均直径 (インチ単位、つまり内径に厚さを加えた値、または外径から厚さを引いた値) を、D に示された定数に設定し、 D の厚さの上に、C 上に直線フィートあたりの重量 (ポンド単位) を読み取ります。

金属。 パイプに関する定数。 球体に関する定数。
錬鉄 0.0955 6.87
鋳鉄 0.1020 7.35
鋼鉄 0.0936 6.73
真鍮 0.0882 6.35
銅 0.0834 6.00
鉛 0.0646 4.65
例：内径4インチ、厚さ1/2インチの鋳鉄管の1フィートあたりの重量を求めなさい。

Cを4.5に設定し、Dを0.102に設定し、Dを0.5超えた値でCを22.1ポンドと読み取ると、必要な重量になります。

直径がインチで与えられている場合、球体またはボールの重量をポンドで求めるには、次の式を使用します。（W = 0.5236 d 3 × 1立方インチの材料の重量）。

B 上の球の定数 (上記参照) を A 上の直径 (インチ) に設定し、C 上の直径の上に A 上の重量 (ポンド) を読み取ってください。

例：直径7½インチの鋳鉄球の重さを求めなさい。

Bで7.35、Aで7.5に設定し、Cで7.5を超えると、Aで57.7ポンドと読みます。

与えられた重量の球の直径をインチ単位で求める。

カーソルをA上の指定された重量（ポンド）に設定し、カーソル下のC上で、A上のB上の球の定数と同じ数値が見つかるまでスライドを動かします。

例：重さ7½ポンドの鋳鉄球の直径をインチ単位で求めなさい。

カーソルをAの7.5に設定し、スライドを動かすと、Cの3.8がカーソルの下に位置するとき、Aの3.8が同時にBの7.35の上にあることがわかります。したがって、必要な直径は3.8インチです。

最後の2つの例題を解く際には、立方数と立方根に関する規則（40ページ）を念頭に置いておく必要があります。

61
落下する物体。
落下時間が秒単位で与えられている場合、落下する物体の速度をフィート/秒単位で求める。

CのインデックスをDの落下時刻に設定し、Cの32·2の下にDの速度をフィート/秒単位で読み取ります。

落下距離（フィート）から、速度（フィート/秒）を求める。

C の 1 を A で通過した距離に設定し、B の 64·4 未満で D の速度をフィート毎秒で読み取ります。

例： 14フィート落下したときに得られる速度を求めなさい。

A の C の( RH ) インデックスを 14 に設定し、B の 64.4 未満で D の 30 フィート/秒を読み取ります。

一定時間内に落下した距離（フィート）を求める。

C のインデックスを D の秒数に設定し、B の 16·1 を超える部分を A のフィート単位で落下距離として読み取ります。

遠心力。
回転する質量の遠心力をポンド単位で求めるには、

B の 2940 を D の回転数に設定し、カーソルを B の重量 (ポンド) に移動させ、B のインデックスをカーソルに合​​わせ、B の半径 (フィート) を越えて A の遠心力 (ポンド) を読み取ります。

鋳鉄製の回転する車輪のリムにかかる遠心応力を、ポンド/平方インチ単位で求める。

C の 61·3 を D の車輪の平均直径 (フィート) に設定し、C の毎分回転数を超えて、A の毎平方インチの応力を読み取ります。

例：直径8フィート、毎分120回転で回転する鋳鉄製フライホイールのリムにかかる1平方インチあたりの応力を求めなさい。

Cで61·3、Dで8に設定し、Cで120を超えると、Aで245ポンド/平方インチと読みます。

蒸気機関。
ストロークと毎分回転数が与えられた場合、ピストン速度を求めます。

Cのストローク（インチ）をDの6に設定し、Dの回転数を超えてCのピストン速度（フィート/分）を読み取ります。

シリンダーの直径と吸入期間（インチ）が与えられた場合、遮断時のシリンダー内の蒸気の体積（立方フィート）を求める。

Bで2200をDのシリンダー直径に設定し、Bでの吸入期間中にAで蒸気の立方フィートを読み取る。

62例：シリンダー直径26インチ、ストローク40インチ、ストロークの⅝でカットオフ。1ストロークあたりに使用される蒸気の体積（理論値）を求めなさい。

Bの目盛りを2200、Dの目盛りを26に設定し、Bの目盛りが40×⅝または25インチを超える場合は、Aの目盛りを7.68立方フィートと読み取ってください。これは、1ストロークあたりに使用される蒸気の立方フィート数です。

シリンダーの直径（インチ）と圧力（ポンド/平方インチ）が与えられたとき、ピストンにかかる荷重（トン）を求めます。

Aで圧力をポンド/平方インチ単位でBに設定し、Dでシリンダー直径をインチ単位でBでピストンにかかる荷重をトン単位で読み取ります。

例：蒸気圧180ポンド/平方インチ、シリンダー直径42インチ。ピストンにかかる荷重をトン単位で求めなさい。

B の 180 を A の 2852 に設定し、D の 42 を超えると、B の総積載量は 111 トンと読み取られました。

シリンダー内の蒸気の流入期間と絶対初期圧力が与えられた場合、膨張期間（等温膨張）中の様々な時点での圧力を求める。

スライドを反転させ、Ɔ の吸入期間（インチ単位）を D の初期圧力に設定します。次に、Ɔ の膨張ストロークの任意の点における、D の対応する圧力を求めます。

例：流入期間12インチ、ストローク42インチ、初期圧力80ポンド/平方インチ。膨張期間の各5分の1における圧力を求めなさい。

Ɔ の 12 を D の 80 に設定し、Ɔ の全ストロークの 18、24、30、36、42 インチの反対側で、D 上の対応する圧力を求めます。—53·3、40、32、26·6、22.8 ポンド/平方インチ。

ストロークに対するカットオフ値の割合が与えられた場合、等温膨張する蒸気の平均圧力定数を求める。

前述の方法（46ページ）に従って、膨張比rの対数を求めます。得られた数値に特性値を付加し、D に 1 を代入します。次に、C の 2·302 の下に、D のx を代入します。D のx + 1に C のr を代入し、C のインデックスの下に、D の平均圧力定数を代入します。この定数に初期圧力を掛けると、ストローク全体における平均前進圧力が得られます。（注：常用対数 × 2·302 = 双曲線対数）

例：カットオフが1/4、つまり膨張比が4の場合の平均圧力定数を求めます。

D 上で C の( LH ) インデックスを 4 に設定し、スライドの裏面で対数スケールで 0·602 を読み取る。特性 = 0。したがって、D 上で C の ( RH ) インデックスを 0.602 に設定し、C 上の 2·302 の下に D 上で 1·384 を読み取る。1 を加え、このようにして D 上で得られた 2·384 にC 上でr (= 4) を設定し、C 上の 1 の下に 0.596 を読み取る。これが必要な平均圧力定数である。

63最も一般的なカットオフ度における平均圧力定数を以下に示す。

脳卒中の分数におけるカットオフ値 平均圧力定数
¾ 0.968
⁷⁄₁₀ 0.952
⅔ 0.934
⅝ 0.919
3/5 0.913
½ 0.846
2/5 0.766
3/8 0.750
⅓ 0.699
³⁄₁₀ 0.664
¼ 0.596
1/5 0.522
1/6 0.465
⅐ 0.421
⅛ 0.385
⅑ 0.355
⅒ 0.330
¹⁄₁₁ 0.309
¹⁄₁₂ 0.290
¹⁄₁₃ 0.274
¹⁄₁₄ 0.260
¹⁄₁₅ 0.247
¹⁄₁₆ 0.236
平均圧力を求めるには、C の 1 を D の一定値に設定し、C の初期圧力の下で D の平均圧力を読み取ります。

初期絶対圧力、ストローク長、および流入期間が与えられた場合、蒸気が断熱膨張すると仮定して、膨張期間中の任意の時点での絶対圧力を求めます。(P 2 =P 1
R ¹⁰⁄₉ここで、P 1は初期圧力、P 2は 膨張比Rに対応する圧力である。

C のLHインデックスを D の膨張比に設定し、スライドの裏側で対数の小数値を読み取ります。特性値を加え、このようにして D で得られた数値に C の 9 を設定し、C のインデックスの下にある D の値を読み取ります。この数値を対数スケールのインデックスマークに合わせ、定規の裏側の開口部でC のLHインデックスの下にある D の R ¹⁰⁄₉の値を読み取ります。初期圧力をこの値で割ると、膨張による対応する圧力が得られます。

例：初期絶対圧力120ポンド/平方インチ、ストローク4フィート、カットオフ1/4。ストロークの1/2と3/4が完了したときのそれぞれの圧力を求めなさい。

最初のケースでは R = 2 です。したがって、 C のLHインデックスを D の 2 に設定すると、スライドの裏面の対数の小数値は 0·301 であることがわかります。特性は 0 なので、C の 9 を D の 0.301 に配置すると、 C のRHインデックスの下の値として 0.334 を読み取ります。(注:小数点の位置を特定する際には、上記の式の項に従って、R の対数が 10 倍されていることに注意してください。) この数値を対数スケールの裏面インデックスに設定すると、 D の C のLHインデックスの下のR ¹⁰⁄₉の値は 2·16 であることがわかります。C の 120 をこの値に設定すると、D のRHインデックス上の C で読み取った ½ ストロークの圧力は55·5 lb./平方インチであることがわかります。同様に、ストロークの4分の3が完了した時点での圧力は、1平方インチあたり35.4ポンドであることがわかった。

蒸気の膨張の他の条件、またはガスや空気の場合も、手順は上記と同様である。

64エンジンの馬力を求めるには、平均 有効圧力、シリンダー直径、ストローク、および毎分回転数が与えられている必要があります。

D のシリンダー直径に C の 145 を設定します。カーソルを B のストローク (フィート) に移動させ、カーソルを B の 1 に移動させ、カーソルを B の回転数に移動させ、カーソルを B の 1 に移動させ、B の平均有効圧力で A の馬力を見つけます。

（注：ストロークがインチ単位の場合は、上記の145の代わりに502を使用してください。）

例：シリンダー直径27インチ、平均有効圧力38ポンド/平方インチ、ストローク32インチ、回転数57回転/分の場合、指示馬力を求めなさい。

C の 502 を D の 27 に設定し、カーソルを B の 32 に移動、B の 1 をカーソルに移動、カーソルを B の 57 に移動、B の 1 をカーソルに移動、B の 38 を超えて A の 200 IHP を読み取ります。

複式エンジンの馬力を求めるには、スライドを反転させ、 Ɔ上の高圧シリンダーの直径をA上のそのシリンダーのカットオフ値に設定します。次に、Aで得られた数値をƆ上の低圧シリンダーの直径で割った値をそのシリンダーのカットオフ値として使用し、同じ圧力とピストン速度で計算して、単気筒の場合と同様に馬力を算出します。

複式エンジンのシリンダー比を求めるには、スライドを反転させ、D の低圧シリンダーの直径に Ɔ のインデックスを設定します。次に、C の高圧シリンダーの直径の上で、A のシリンダー比を読み取ります。

例：高圧シリンダーの直径が7¾インチ、低圧シリンダーの直径が15インチの場合、シリンダー比を求めます。

D の Ɔ のインデックスを 15 に設定し、A の Ɔ の 7·75 を 3·75 に置き換えます。これが必要な比率です。

3段膨張式または4段膨張式エンジンのシリンダー比も同様に決定できる。

例： 4段膨張エンジンにおいて、シリンダーの直径はそれぞれ18、26、37、54インチである。高圧シリンダー、第1中間シリンダー、第2中間シリンダーの低圧に対する比率をそれぞれ求めよ。

D 上で Ɔ の( RH ) インデックスを 54 に設定し、A 上で Ɔ の 18、26、37 をそれぞれ必要な比率である 9、4.31、2.13 と読みます。

3段膨張エンジンの3つのシリンダーそれぞれの平均有効圧力（ポンド/平方インチ）、各シリンダーで発生させる必要のあるIHP、およびピストン速度が与えられた場合、それぞれのシリンダー直径を求めます。

65B の 42,000 を A のピストン速度に設定します。カーソルを B の低圧シリンダーの平均有効圧力に移動し、カーソルに B のインデックスを合わせ、A の IHP の下の C の低圧シリンダーの直径を読み取ります。高圧シリンダーと中圧シリンダーの直径を見つけるには、スライドを反転し、ᗺ の低圧シリンダーの平均圧力を D のそのシリンダーの直径に合わせます。次に、ᗺ のそれぞれの平均圧力の下の D の対応するシリンダー直径を読み取ります。

例： 3段膨張エンジンのシリンダー内の平均有効圧力は、LPが10.32、IMPが27.5、HPが77.5ポンド/平方インチです。ピストン速度は毎分650フィート、各シリンダーで発生するIHPは750です。シリンダーの直径を求めなさい。

B の 42,000 を A の 650 に設定し、カーソルを B の 10·32 に移動します。B のインデックスをカーソルに移動し、A の 750 の下の C にある 68·5 in. を読み取ります。これは LP シリンダーの直径です。スライドを反転し、ᗺ の 10·32 を D の 68·5 に配置し、ᗺ の 27·5 の下の IMP シリンダーの直径 = 42 in. を D 上で読み取ります。また、ᗺ の 77·5 の下の HP シリンダーの直径 = 25 in. を D 上で読み取ります。

ブレーキ馬力または動力計による馬力を計算する。

C の 525 を、レバーの端にかかる総重量 (ポンド) (またはバネばかりの引張力 (ポンド)) に合わせ、カーソルを C のレバーの長さ (フィート) に合わせ、C の 1 をカーソルに合​​わせ、C の毎分回転数の下で、D のブレーキ馬力を見つけます。

シリンダーの直径とピストンの速度（フィート/分）が与えられている場合、蒸気管の直径を求めます。ただし、蒸気の最大速度は毎分6000フィートとします。

Bの値を6000に設定してDのシリンダー直径を求め、Bのピストン速度の下にあるDの蒸気管直径を読み取る。

ワット調速機の毎分回転数が与えられたとき、ボールの回転面から吊り下げ点までの垂直高さをインチ単位で求めます。

Cの回転数をAの回転数を35,200に設定し、Bのインデックスを超えてAの高さを読み取ります。

鋳鉄製フライホイールのリムの重量（ポンド）が与えられた場合、リムの断面積（平方インチ）を求めます。

C 上の車​​輪の平均直径をフィート単位で設定し、D 上の 0.102 に設定し、C 上のリムの重量の下で D 上の面積を求めます。

56時間/週の石炭消費量（トン）とIHPが与えられた場合、1時間あたり1IHPあたりの石炭消費量を求めます。

C の IHP を D の 40 に設定し、C の週消費量の下に表示される石炭のポンド数を D の IHP あたり、1 時間あたりと読み替えます。

66例： 300 IHPで週24トンの石炭を消費する場合、1 IHPあたり1時間あたりの石炭使用量を求めよ。

Cで300、Dで40に設定し、Cで24未満の場合、Dで1時間あたり1 IHPあたり3.2ポンドを読み取ってください。

（注：週あたりの労働時間が上記以外の場合は、2240を労働時間数で割り、その商を上記の40の代わりに使用してください。）

機関車の牽引力を求める。

Bに示された駆動輪の直径（インチ）をDに示されたシリンダーの直径（インチ）に設定し、Aに示されたBのストローク（インチ）にわたって、ピストンにかかる有効圧力1ポンドあたりの牽引力（ポンド）を読み取ります。

蒸気ボイラー。
円筒形ボイラーシェルの破裂圧力を、シェルの直径、材料の厚さ、および極限強度が与えられた場合に求める。

Cのシェル直径（インチ）をDのプレートの厚さの2倍に設定し、Cの平方インチあたりの材料強度の下に、Dの平方インチあたりの破裂圧力（ポンド）を読み取ります。

例：直径7フィート6インチ、厚さ1/2インチの鋼板で構成された円筒形ボイラーシェルの破裂圧力を求めなさい。ただし、極限強度は1平方インチあたり50,000ポンドとします。

C の 90 を D の 1.0 に設定し、C の 50,000 未満で D の 555 ポンドを見つけます。

貿易委員会の規則に基づいて、フォックス社の波形炉の作動圧力を求める。

Cの最小外径（インチ）をDの14,000に設定し、Cの厚さ（インチ）の下にDの作動圧力（ポンド/平方インチ）を読み取ります。

安全弁スプリング用の丸鋼の直径d （インチ）を米国貿易委員会の規則に従って求める。

Cに8000を設定して、Dのバネにかかる荷重（ポンド）を求め、Cのバネの平均直径（インチ）の下にDのd3を読み取ります。次に、規則に従って立方根を求めます。

プーリー等の速度比
滑車の直径と毎分回転数が与えられた場合、滑車の周速度、または滑車によって駆動されるロープやベルトなどの速度を求める。

Cのプーリーの直径（インチ）をDの3.82に設定し、Dの毎分回転数をCの毎分速度（フィート）で読み取ります。

67例：直径53インチのプーリーで駆動され、毎分180回転するベルトの速度を求めなさい。

Cで53、Dで3.82に設定し、Dで180を超えるとCで毎分2500フィートを読み取る。

例：直径3フィート6インチの平歯車が毎分60回転で回転しているときのピッチラインの速度を求めなさい。

Cで42インチをDで3.82に設定し、Dで60を超えるとCで毎分660フィートを読み取る。

駆動プーリーの直径と毎分回転数、および従動プーリーの直径が与えられた場合、後者の回転数を求める。

スライドを反転させ、Ɔ 上の駆動プーリーの直径を、D 上での所定の回転数に設定します。次に、Ɔ 上の任意の従動プーリーの反対側の直径を、D 上での回転数を読み取ります。

例：駆動プーリーの直径が10フィート、毎分回転数が55、従動プーリーの直径が2フィート9インチの場合、後者の毎分回転数を求めなさい。

Ɔの10をDの55に設定し、反対にƆの2・75をDで200回転を読み取ります。

ベルトとロープ。
ベルトとプーリー間の摩擦係数μと接触弧の角度θ （ log.R =μθ
132)。

Cの132をDの摩擦係数に設定し、Cの接触角の角度に対応するDの値を読み取る。この値をスライドの裏側にある等間隔目盛りの開口部のインデックスマークに合わせ、CのLHインデックスに対応するDの値を読み取る。

例：摩擦係数を0.3、接触角を120度とした場合のベルトの張力比を求めなさい。

Cの132をDの0.3に設定し、Cの120の下に0.273を読み取ります。これを定規の裏側のインデックスに合わせて目盛りに合わせ、 左側のインデックスCの下にDの1.875を読み取ります。これが求める比率です。

ベルトの速度と伝達する馬力が与えられた場合、有効張力を幅1インチあたり50ポンドとして、必要なベルト幅を求めます。

Cに660を設定し、Dにフィート/分の速度を設定し、Dの反対の馬力でCにベルトの幅をインチ単位で求めます。

ベルトの速度と幅が与えられた場合、伝達される馬力を求める。

Cの660をDの速度に設定し、Cの幅の下にDで伝達される馬力を求めます。

68（注：その他の有効張力については、660の代わりに、ゲージポイントとして33,000÷張力を使用してください。）

綿製駆動ロープの速度と直径が与えられた場合、遠心作用を無視し、ロープの有効使用張力を1平方インチあたり200ポンドと仮定して、伝達される動力を求めます。

Bで210、Dで1.75に設定し、Bの速度（フィート/分）を超えてAの馬力を読み取る。

例：直径1¾インチのロープが毎分4000フィートの速度で回転する場合、ロープによって伝達される動力を求めなさい。

Bで210をDで1.75に設定し、Bで4000を超えるとAで58.3馬力と読み取られます。

前の例で、ロープの1フィートあたりの重量を = 0·27 d 2として、「遠心張力」を求めます。

C の 655 を D の直径 1.75 インチに設定し、C の速度 4000 フィートを超えて、A の遠心張力 = 114 ポンドを読み取ります。

平歯車。
平歯車の直径とピッチが与えられたとき、歯数を求める。

C のピッチを D の π (3·1416) に設定し、C の任意の直径の下から D の歯数を読み取ります。

平歯車の直径と歯数が与えられた場合、ピッチを求めます。

Cの直径をDの歯数に設定し、Dの3·1416の反対側のCのピッチを読み取ります。

一対の平歯車の中心間の距離とそれぞれの回転数が与えられた場合、それらの直径を求める。

D上の中心間の距離の2倍に、C上の回転数の合計を設定し、C上の各車輪の回転数の下に、D上のそれぞれの車輪の直径を求めます。

例： 2つの平歯車の中心間の距離は37.5インチで、それぞれ同じ時間内に21回転と24回転するように求められています。それぞれの直径を求めなさい。

C 上の 21 + 24 = 45 を D 上の 75 (または 37.5 × 2) に設定し、C 上の 21 と 24 の下から、D 上のそれぞれの直径として 35 インチと 40 インチを見つけます。

歯車によって伝達される動力を求めるには、ピッチ直径d (インチ)、毎分回転数n、ピッチp (インチ) が与えられた場合、次の規則により HP =n d p 2
400。

69B の 400 を D のピッチ (インチ) に設定します。カーソルを B の d に設定し、カーソルを B の 1 に設定し、B を任意の回転数 n で A の送信電力を読み取ります。

例：直径7フィート、ピッチ3インチ、毎分90回転で回転する平歯車が伝達できる馬力を求めなさい。

Bの400をDの3に設定し、カーソルをBの84インチに移動させ、カーソルをBの1に移動させ、Bを90回転以上回すと、Aに伝達される馬力である170が表示されます。

ねじ切り。
ガイドねじの1インチあたりのねじ山数が与えられている場合、指定されたピッチのねじを切削するためのホイールを求めます。

C上のガイドネジの1インチあたりのねじ山数を、Dに切削する1インチあたりのねじ山数に設定します。次に、C上のマンドレルにあるホイールの任意の歯数に対応する歯数を、D上のガイドネジに取り付けるホイールの歯数とします。

シャフトの強度。
鋼製シャフトの直径dと毎分回転数nが与えられた場合、以下の式から馬力を求める。

HP = d 3 × n × 0.02。

Cの1をDのdに設定し、カーソルをBのdに移動します。Bの50をカーソルに移動し、Bの回転数を超えてAのHPを読み取ります。

例：直径3インチの鋼鉄製シャフトが毎分110回転で伝達する馬力を求めなさい。

Cの1をDの3に設定し、カーソルをBの3に移動します。Bの50をカーソルに移動し、Bの110を超えてAで59.4馬力を読み取ります。

伝達する馬力と鋼製シャフトの回転数が与えられた場合、直径を求める。

Bの回転数をAの馬力に設定し、カーソルをBの50に移動します。次に、カーソル下のBの数値と、同時にDのCのインデックス下の数値が一致するまでスライドを動かします。この数値が、必要な直径です。

直径dの円形鋼製シャフトに、均等分布荷重 (lb.w )がかかり、中心間距離がlフィートのベアリングで支持されている場合のたわみk (インチ)を求めます( k =w l 3
78,000 d 4)

この式の形式を少し変更して、次のように進めます。Cのdを D のlに設定し、カーソルを同じ位置に移動します。 70C のインデックスの下にある D で見つかる B 上の番号。B上のd を カーソルに移動、カーソルをB 上のwに移動、B 上の 78,800 をカーソルに移動、A 上の偏向を B のインデックス上で読み取ります。

例：直径3½インチの円形鋼製シャフトに3200ポンドの均等分布荷重がかかっている場合のたわみをインチ単位で求めます。支持点間の距離は9フィートです。

C の 3·5 を D の 9 に設定し、 C のLH インデックスの下で D の 2·57 を読み取ります。カーソルを B の 2·57 に設定し、B の 3·5 をカーソルに合​​わせ、カーソルを B の 3200 に合わせ、B の 78,000 をカーソルに合​​わせ、 B のLHインデックス上で A の必要なたわみである 0.199 インチを読み取ります。

ねじりモーメント（インチポンド）と許容応力（ポンド/平方インチ）が与えられた場合、ねじりのみを受けるシャフトの直径を求めます。

B の応力（ポンド/平方インチ）を A のねじりモーメント（インチポンド）に設定し、カーソルを B の 5·1 に移動します。次に、カーソルの下の B で、同時に D の C のインデックスの下に表示される数値と同じ数値が見つかるまでスライドを移動します。

例：鋼製のシャフトに2,700,000インチポンドのねじりモーメントが加わります。許容応力が9000ポンド/平方インチの場合、直径を求めなさい。

Bの9000をAの2,700,000に設定し、カーソルをBの5·1に移動します。スライドを左に動かすと、 カーソルがBの右目盛の11·51の下にあるとき、Cの左目盛がDの11·51の反対側にあることがわかります。これが、必要なシャフトの直径です。

（注：これらの例題を解く際には、立方根を求める際に使用する尺度の規則（42ページ）を注意深く守る必要があります。）

慣性モーメント。
正方形断面の対角線の 1 つによって形成される軸に関する慣性モーメント( I =s 4
12)。

C のインデックスをD 上の正方形sの一辺の長さに設定します。カーソルを C 上のsに移動させ、カーソルを B 上の 12 に移動させ、B のインデックス上で A 上の慣性モーメントを読み取ります。

長方形断面の、一方の辺に平行で曲げ面に垂直な軸に関する慣性モーメントを求める。

Cのインデックスをセクションの高さまたは深さhに設定し、カーソルをBのhに移動します。Bの12をカーソルに設定し、 Bのセクションの幅 bにわたってAの慣性モーメントを読み取ります。

例：高さh = 14 インチ、幅b = 7 インチの長方形断面の慣性モーメントを求めなさい。

D の C のインデックスを 14 に設定し、B のカーソルを 14 に設定します。B の 12 をカーソルまで移動し、B の 7 を上書きして A の 1600 を読み取ります。

71
ポンプ、パイプ等からの排出物
ポンプの理論上の吐出量（1ストロークあたりのガロン数）を求める。

Bの29.4をDのプランジャーの直径（インチ）に設定し、Bのストロークの長さ（フィート）をAの1ストロークあたりの理論吐出量（ガロン）で読み取ります。

（注：記入漏れを考慮して、20～40パーセントの減額を行う必要があります。）

パイプ内の摩擦による水頭損失（フィート単位）を求める（プロニーの法則）。

B のパイプの直径 (フィート) を D の水の速度 (フィート/秒) に設定し、カーソルを B の 2.25 に移動します。B の 1 をカーソルに移動し、B のパイプの長さ (マイル) を越えて、A の水頭損失 (フィート) を読み取ります。

パイプ内の水の流速をフィート/秒で求める（ブラックウェルの法則）。

Bの2・3をAのパイプの直径（フィート）に設定し、Bのパイプの傾斜（フィート/マイル）の下にDの速度（フィート/秒）を読み取ります。

堰を通過する流量を立方フィート/分、幅1フィートあたりで求めます。（流量= 214√h³）

C の 0·00467 を D のh（フィート単位）に設定し、 B のhの下にD の排出量を読み取ります。

与えられた水頭（フィート単位）の下で流れる水の理論的な速度を求める。

AのBのインデックスをフィート単位のヘッドに設定し、Bの64·4の下にDの理論速度をフィート/秒単位で読み取ります。

水車の馬力。
ポンセレット式水車の有効馬力を求める。

Cの880をDの毎分立方フィートの水流量に設定し、Cの落差（フィート）の下にDの有効馬力を読み取ります。

胸水車の場合は上記の880の代わりに960を、上掛け水車の場合は775を使用してください。

電気工学。
高導電率の銅線の1マイルあたりの抵抗値をオーム単位で求めます。温度は60°Fで、直径はミル単位で与えられます（1ミル＝0.001インチ）。

72C のワイヤの直径をミル単位で設定し、A の 54,900 に設定し、 B のRHまたはLHインデックスを超えて、A の抵抗値をオーム単位で読み取ります。

例：直径64ミル（約1.6mm）の銅線の1マイルあたりの抵抗値を求めなさい。

C の 64 を A の 54,900 に設定し、 B のRHインデックスを超えて A で 13.4 オームを読み取ります。

銅線の重量を1マイルあたりポンド単位で求める。

Cの7.91をDのミル単位のワイヤー直径に設定し、Bのインデックスの上からAの1​​マイルあたりの重量を読み取ります。

起電力と電流が与えられた場合、電気馬力を求める。

Cの746をDの起電力（ボルト）に設定し、Cの電流（アンペア）の下にDの電気馬力を読み取ります。

回路の抵抗（オーム）と電流（アンペア）が与えられたとき、吸収されるエネルギーを馬力で求めます。

Bの746をDの電流に設定し、Bの過抵抗をAのHPで吸収されたエネルギーを読み取る。

例： 220オームの抵抗を持つ回路に15アンペアの電流を流すのに必要な馬力を求めなさい。

Bで746、Dで15に設定し、Bで220を超えるとAで66.3 HPと読み取られます。

コマーシャル。
パーセンテージを追加する。

Cの100をDの100+指定されたパーセンテージに設定し、Cの元の数値の下にDの結果を読み取ってください。

パーセンテージを差し引く。

CのRH指数を100－Dの指定されたパーセンテージに設定し、Cの元の数値の下にDの結果を読み取る。

例：16ポンドから7.5パーセントを差し引きます。

Cで10、Dで92·5、Cで16未満、Dで14·8 = £14、16s.と読みます。

単利を計算する。

C の 1 を D の利率（パーセント）に設定します。カーソルを C の期間に移動させ、C の 1 をカーソルに移動します。次に、C の任意の合計の反対側に D の単利を計算します。

年利換算。

CのRH指数をDの利率に設定し、Cの元本をDの利息と読み替える。

例： 250ポンドを年利8%で1年9ヶ月間運用した場合の単利計算による金額を求めなさい。

Cの1をDの8に設定します。カーソルをCの1.75に移動させ、カーソルをCの1に移動します。次に、Cの250の反対側にあるDの35ポンド（利息）を読みます。すると、250 + 35 = 285ポンドとなり、これが金額です。

73複利を計算するため。

Cの左辺のインデックスを、Dに対する所定の利率で1ポンドの金額に設定し、 46ページで説明されているように、定規の裏面を読み取ってその対数を求めます。このようにして求めた対数に期間を掛け、その結果を等分目盛りの定規の裏面のインデックスに設定します。次に、Cの任意の金額の横に、Dの金額（複利を含む）を読み取ります。

例： 500ポンドを年利5%で6年間運用した場合の金額を複利で求めなさい。

Cの左側のインデックスをDの£1·05に設定し、定規の裏側にある等分目盛りのインデックス0·0212を読み取ります。6を掛けると0.1272となり、これを等分目盛りの定規の端にある切り込みのインデックスに合わせます。次に、Cの500の反対側にあるDの£670を読み取ります。これは複利を含めた必要な金額です。

その他の計算。
構成比率を計算する。

Cに試料の重量（または体積）を、Dに測定対象物質の重量（または体積）をそれぞれ設定し、Cのインデックスの下からDの必要なパーセンテージを読み取ります。

例： 1.25グラムの石炭のサンプルには、0.04425グラムの灰が含まれています。灰の割合を求めなさい。

Cの1.25をDの0.04425に設定し、Cのインデックスの下に3.54を読み取ります。これはDに必要な灰分の割合です。

蒸気圧 P とインジェクターの喉部の直径d (ミリメートル) が与えられたとき、毎時供給される水の重量 W (ポンド) を求めます。W =d 2 √̅P
0·505。

C の 0·505 を A の P に設定します。カーソルをC のdに移動させ、カーソルに C のインデックスを合わせます。次に、 C のdの下で、D の給水量を読みます。

与えられた風速（マイル毎時）による、1平方フィートあたりの風圧を求める。

Bの1をAの2に設定し、Dの速度（マイル毎時）の上にBの圧力（ポンド毎平方フィート）を読み取ります。

動いている物体の運動エネルギーを求める。

B に 64·4 を設定し、D にフィート毎秒の速度を、B にポンドの重量を掛け、A に運動エネルギーまたは累積仕事量をフィートポンドで読み取ります。

74
三角関数の応用
目盛り。―現代の計算尺の最も重要な特徴の一つは、スライドの裏側に特別な目盛りが設けられていることであり、これを定規の通常の目盛りと併用することで、様々な三角関数計算を容易に行うことができる。

通常のグラヴェット定規またはマンハイム定規のスライドの裏面または下面には、3 つの目盛りがあります。これらの 1 つは、前のセクションで説明した均等に分割された目盛りまたは等分された目盛りであり、これによって、説明されているように、数の対数の小数部分または仮数部が得られます。通常、この目盛りは 3 つの目盛りの中央にありますが、一部の定規では、これが一番下の位置にある場合があり、その場合は、次の説明を少し変更する必要があります。ただし、目盛りの目的が理解されれば、必要な転置は明らかになります。3 つの目盛りのうち一番上の目盛りは、通常文字 S で区別され、角度の正弦の対数を与える目盛りであり、35 分から 90 度までの角度の自然正弦を決定するために使用されます。この目盛りの表記は、見れば明らかです。主な分割 1、2、3 などは、角度の度数を表します。しかし、細分化された部分の値は、目盛り上の位置によって異なります。したがって、基本空間を12の部分に細分化した場合、1° = 60′ なので、それぞれの部分は5分 (5′) と読み取られます。

角度の正弦。—角度の正弦を求めるには、スライドを溝に置き、下面を上にして、スライドの端の目盛り線またはインデックスをAスケールの左右のインデックスに合わせます。次に、S上の指定された角度に対して、A上の角度の正弦の値を読み取ります。結果がAの左側の目盛り（1～10）にある場合、対数特性は-2です。右側の目盛り（10～100）にある場合は、-1です。言い換えれば、右側の目盛りの結果には小数点のみが付き、左側の目盛りの結果にはさらに暗号が付きます。したがって、次のようになります。—

正弦 2° 40′ = 0・0465;正弦 15° 40′ = 0・270。
角度の正弦の乗算と除算は、通常の計算と同じ方法で行われますが、 75スライドの裏面が上向きになるようにします。先ほど説明したとおりです。したがって、sin 15° 40′ に 15 を掛けるには、 S のRHインデックスを A の 15 に合わせ、S の 15° 40′ の反対側に A の 4.05 を見つけます。同様に、142 を sin 16° 30′ で割るには、S の 16° 30′ を A の 142 に合わせ、 S のRHインデックスの上に A の 500 を読み取ります。

結果に含まれる整数の数に関する規則は次のように決定される。乗数Mまたは被除数Dに含まれる整数の数をNとする。すると、積に含まれる整数の数P、または商に含まれる整数の数Qは次のようになる。

結果がMまたはDの右側にあり、同じスケールである場合 P = N − 2 Q = N
結果がMまたはDの右側に見つかり、もう一方のスケールでは P = N − 1 Q = N + 1
結果がMまたはDの左側に見つかり、もう一方のスケールでは P = N − 1 Q = N + 1
結果がMまたはDの左側にあり、同じスケールである場合 P = N Q = N + 2
分割が次の形式の場合20° 30′
50結果は定規の表面から直接読み取ることはできません。したがって、上記の例で、S の 20° 30′ を A の右側の目盛りの 50 と一致させると、 A のRHインデックスの下にある S の結果は 44° 30′ になります。必要な数値は、次の方法で見つけることができます。(1) スライドをすべてのインデックスが一致するように配置し、S の 44° 30′ の反対側に A の 0·007 を見つけます。または (2) 通常の定規の形式で、定規の下側の開口部にあるインデックスマークの反対側の目盛り B から読み取ります。商の整数の数に関する上記の規則は、この場合適用されません。

角度の正弦を簡単に求める必要がある場合は、スライドを通常の位置に置き、目盛BをAの下に配置します。次に、目盛S上の指定された角度を定規の裏側のインデックスに設定し、Aの右側のインデックスの下にあるBから正弦の値を読み取ります。

スケールの上限に近づくにつれて正弦の値の差が急速に小さくなるため、60°から90°の間の角度の正弦は上記の方法では正確に求めることができません。したがって、次の式を用いて正弦の値を計算することをお勧めします。

サインθ = 1 − 2 sin 2 90 − θ
2。

76sin 2の値を決定する 90 − θ
2スライドを通常の位置にして、値を設定します。90 − θ

2. 定規の下面にあるインデックスに S を合わせ、 A のRHインデックスの下にある B の 値xを読み取ります。スライドを動かさずにA 上のx を見つけ、その下の B 上の必要な値を読み取ります。

例： sin 79° 40′ の値を求めなさい。

正弦 79° 40′ = 1 − 2sin 2 5° 10’。

しかし、sin 5° 10′ = 0·0900 であり、A 上のこの値より下の B 上の値は 0.0081 です。したがって、sin 79° 40′ = 1 − 0·0162 = 0.9838 です。

非常に小さな角度の正弦は、角度自体にほぼ比例するため、直接読み取ることができます。これを容易にするために、いくつかの定規には2つの記号が付けられており、そのうちの1つである単一のアクセント記号（′）は、の対数に対応しています。1
サイン 1′ そして、3438番に見られます。もう一方の記号である二重アクセント記号（″）は、の対数に対応します。1
サイン1″そして、番号206,265に示されています。ルールによっては、これらのマークはAスケールまたはBスケールのいずれかに表示され、両方に表示されている場合もあります。いずれの場合も、一方のスケールの角度は、もう一方のスケールの重要なマークと一致するように配置され、結果は、2番目のインデックスの反対側にある最初のスケールで読み取られます。

3″未満の角度の正弦では、結果に含まれる整数の数は-5です。一方、3″から21″までの角度では-4、21″から3′27″までは-3、3′27″から34′23″までは-2です。

例： sin 6′ を求めなさい。

分を表す有効数字を6に合わせると、インデックスの反対側の値は175となり、上記の規則に従って0·00175と読みます。秒単位の角度にはもう一方の有効数字を使用します。分と秒で表された角度は、まず秒に変換する必要があります。したがって、3′ 10″ = 190″となります。

角度の正接。—スライドの裏面にある3番目の目盛りについて考察する必要があります。これは通常、他の目盛りと区別するために「T」の文字が付けられています。最近の定規のほとんどでは、この目盛りはスライドの下端近くに配置されていますが、一部の定規では3つの目盛りの中央に配置されています。また、一部の定規では、この目盛りは同じ場所に描かれています。 77正弦目盛と同じ方向、すなわち左から右への方向を持つものもあれば、T目盛が逆になっているものもある。どちらの場合も、定規の左端の背面に開口部が設けられており、正弦目盛に関連して既に述べたものと同様の指標マークが付いている。より一般的な配置について考えると、角度の正接を求める方法は次のように説明できる。

接線目盛は、規則によっては、約 34′、正確には接線が 0·01 の角度から始まります。しかし、より一般的には、目盛は約 5° 43′、つまり接線が 0·1 の角度から始まります。目盛のもう一方の端は、いずれの場合も 45°、つまり接線が 1 の角度に対応します。この説明は、目盛がどのように配置されていても、目盛の使用方法を示唆します。目盛が 34′ から始まる場合は、T 目盛を A の左右の目盛と併用します。一方、目盛が 5° 43′ から始まる場合は、D 目盛と併用します。

前者の場合、スライドを定規に配置して、T スケールが A スケールに隣接し、左右のインデックスが一致するようにすると、T 上の任意の角度の反対側に、A 上のその接線が見つかります。上記のことから、 A のLHスケールで読み取られる接線は 0.01 から 0.1 までの値を取り、 A のRHスケールで読み取られる接線は 0.1 から 1.0 までの値を取ることがわかります。言い換えると、 A のLHスケールで読み取られる接線の値には符号を付け、 RHスケールで見つかった場合は、そのまま小数として読み取ります。

例： tan を求めます。3° 50′。

指示通りにスライドを置くと、Tの3°50′の反対側のAの目盛りは67であることがわかります。これはAのLH目盛りで見つかったので、0.067と読みます。

例： tan を求めます。17° 45′。

ここで、T の 17° 45′ の反対側の A の読み取り値は 32 であり、A のRHスケールで見つかったので、0·32 と読みます。

正弦の目盛りの場合と同様に、定規の裏面に固定のT目盛りが付いている場合は、スライドを反転させることなく正接を求めることができます。

ここで、単一の接線スケールが提供される規則の検討に戻ります。この規則では、 78スライドをスケール T が D スケールに隣接して配置され、両方のインデックスが一致するように配置された場合、T 上の任意の角度 (5° 43′ から 45°) の正接の値を D 上で読み取ることができ、得られた結果はすべて小数として読み取られます。したがって、tan. 13° 20′ は 0·237 と読み取られます。

バックインデックスが提供されている場合、スライドは通常の位置で使用され、接線スケールの角度をこのインデックスに設定すると、D のLHインデックス上の C で結果を読み取ることができます。

45°を超える角度の正接は、次の式で求められます。 Tan. θ =1
tan. (90 − θ)45°から(90° − 5° 43′)までのすべての角度については、次のように進めます。(90 − θ)をTのDのRHインデックスに置き、tan. θをDのTのLHインデックスの下に読み取ります。このようにして得られた値の最初の数字は整数として読み取ります。したがって、tan. 71° 20′を求めるには、90° − 71° 20′ = 18° 40′をTのDのRH インデックスに置き、 TのLHインデックスの下に2·96を読み取ります。これが求める正接です。

40′未満の角度の正接は、角度自体にほぼ比例するため、正弦とみなすことができ、その値は、前述のように、正弦スケール上の単一および二重のアクセント記号を用いて決定されます。整数の数に関する規則は、正弦の場合と同じです。

接線の乗算と除算は非常に容易に行うことができる。

元。 ――タン。 21度50分×15＝6。

T のLHインデックスを D 上で 15 に設定し、T 上で 21° 50′ 未満の値を D 上で 6 と読みます。

元。 ――タン。 72度40分×117＝375。

T の (90° − 72° 40′) = 17° 20′ を D の 117 に設定し、 T のRH インデックスの下に D の 375 を読みます。

角度の余弦。—角度の余弦は、目盛りSをAの目盛りと一致するように配置して、S上の(90 − θ)の反対をA上のcos. θと読み取ることで求めることができます。結果をAのLH目盛りで読み取る場合は、読み取った値の前に暗号を付加します。一方、AのRH目盛りで読み取る場合は、値をそのまま小数として読み取ります。したがって、cos. 86° 30′を求めるには、S上の反対(90° − 86° 30′) = 3° 30′、A上の61°を見つけ、これは LH目盛りなので、結果は0·061と読みます。同様に、cos. 59° 20′を求めるには、 79反対側（90° − 59° 20′）またはSで30° 40′、Aで51と読み、これはAのRHスケールで見つかるので、0·51と読みます。

小さな角度の余弦を求める場合、20°未満の角度では定規の目盛りを直接読み取ることが不可能になることがわかります。このような場合は、補角を求める大きな角度の正弦を求める際に説明した方法を採用することをお勧めします。

角度の余接。―先に説明した角度の正接を求める方法から、角度の余接も同様に容易に求めることができることがわかるでしょう。5°45′から45°までの角度については、45°より大きい角度の正接を求める手順と同じです。つまり、スケールT上の角度をDのRHインデックスに移動させ、D上の余接をTのLHインデックスの下から読み取ります。このようにして得られた結果の最初の数字を整数として読み取ります。

角度(θ)が45°から84°15′の間にある場合、スライドをTのインデックスとDのインデックスが一致するように配置して、Tの(90 − θ)の反対側のDで結果を読み取ります。この場合、値はすべて小数になります。

角の割線。—角の割線は、S 上の (90 − θ)を A のRHインデックスに合わせ、その結果を S のLHインデックス上で A 上で読み取ることで容易に求められます。値がA のLH スケールで見つかった場合は、最初の数字を整数として読み取ります。一方、結果がA のRHスケールで読み取られた場合は、最初の2 つの数字を整数とみなします。

角度のコセカント。—角度のコセカントは、角度をS上のAの右目盛りに合わせ、A上の値をSの左目盛りで割ることによって求められます。結果をAの左目盛りで読み取る場合は、最初の桁を整数として読み取ります。一方、結果をAの右目盛りで読み取る場合は、最初の2 桁を整数として読み取ります。

ここで示されている角度の三角関数を求めるための規則の中には、左から右に読む単一の接線目盛Tを用いる規則の形式にのみ適用されるものがあることに注意してください。先に述べた他の目盛配置の場合、角度の接線と余接を求める手順を若干修正する必要がありますが、いずれの場合もこの修正の性質と程度は明らかであるため、これ以上の説明は不要です。

80
直角三角形の解法。
角度の三角関数を求める方法についての以上の説明から、直角三角形を解く方法は容易に理解できるため、いくつかの例を挙げるだけで十分である。

aとbを直角三角形の辺、 cを斜辺とし、 a °とb °を辺の対角とする。すると、考えられる場合のうち、

（１．）cとa °が与えられたとき、 a、b、b °を求める。

角度b ° = 90 − a ° であり、a = c sin a ° およびb = c sin b ° です。したがって、 a を求めるには 、S のインデックスをA 上でcに設定し、A 上で S 上のa ° に対応するaの値を読み取ります。同様の方法でbの値も得られます。

例：直角三角形において、 c = 9 フィート、a ° = 30° が与えられています。a 、b、およびb °を求めなさい。

角度b ° = 90 − 30 = 60°。 a を求めるには、 A 上で S のRHインデックスを 9 に設定し、S 上で 30° を超えて A 上でa = 4·5 フィートを読み取ります。また、スライドを同じ位置にして、 S 上で 60° を超えて A 上でb = 7·8 フィート [7·794]を読み取ります。

（２）aとcが与えられたとき、 a °、b °、bを決定する。

この場合、すべての三角形において辺の長さが対角の正弦に比例するという事実を利用します。したがって、この場合、斜辺 c が直角をなすため、その正弦は 1 です。S上のRH指数 (または 90°) は、A 上のcの長さに設定され、A 上のaの下にS 上のa °が見つかります。したがって、 b ° とbを決定できます。

（３）aとa °が与えられたとき、 b、c、b °を求める。

ここでb ° = (90 − a °) であり、解は前述のものと同様です。

（４．）aとbが与えられたとき、 a °、b °、cを求める。

a °を求めるには、tan. a ° = a / bを使用します。上記の例では、4.5
7.8= 0.577。したがって、スライドをTのインデックスとDのインデックスが一致するように配置して、D上の0.577の反対側からa ° = 30°の値を読み取る。斜辺cはc = a /(sin a °)から容易に得られる 。

81
斜角三角形の解法
斜角三角形の3辺とそれらの角を表すのに、これまでと同じ文字を用いると、次のようになる。

（１．）１辺と２つの角がa、a °、b °として与えられたとき、b、c、c °を求める。

まず、c ° = 180° − ( a ° + b °) です。また、辺は反対角の正弦に比例するため、 b =a正弦b °
正弦a °およびc =a正弦c °
正弦a °。

例えば、a = 45、a ° = 57°、b ° = 63° の場合、c ° = 180 − (57 + 63) = 60° となります。bとcを求めるには、S 上のa ° を A 上のaに合わせ、A 上で 63° と 60° より上のb (= 47·8) とc (= 46·4)の値を それぞれ読み取ります。

（２）a、b、a °が与えられたとき、b °、c °、cを求める。

この場合、S 上の角a ° は A 上の辺aの長さの下に配置され 、 A 上の辺bの下に S 上の角b ° が見つかります。角 c ° = 180 − ( a ° + b °) なので、 A 上の辺cをS 上の角cで割った値を読み取ることができます 。

（３）辺と挟角が与えられたとき、もう一方の辺と残りの角を求める。

例えば、a = 65、b = 42、挟角c ° = 55° が与えられている場合、( a + b ) : ( a − b ) = tan となります。a ° + b °
2 ∶ tan。a ° − b °
2すると、a ° + b ° = 180° − 55° = 125° となるので、a ° + b °
2=125°
2= 62° 30′。

45°より大きい角度の正接の法則により、tan. 62° 30′ = 1·92 となります。このようにして得られた値を上記の比例式に代入すると、107 : 23 = 1·92 : tan.a ° − b °
2これから、接線の値は0.412であることがわかり、すべてのインデックスが一致するようにスライドを配置すると、D上のこの値は22°25′の角度に対応することがわかります。したがって、a ° + b °
2= 62° 30′、a ° − b °
2= 22° 25′ なので、 a ° = 84° 55′、b ° = 40° 5′となります。最後に、辺cを決定するには、c =a sin c °
sin a °以前と同様。

82
実用的な三角関数の応用。
前節で説明した角度などの関数を決定する方法の適用例を示す例をいくつか紹介する。

円弧の弦を求めるには、円弧の挟角と半径が与えられている必要があります。

スライドを定規にCとDの目盛りが外側になるように置き、S上の与えられた角度の半分を定規の裏側のインデックスマークに合わせ、B上の弦の長さをA上の半径の2倍以下として読み取ります。

例：半径23インチ、角度15°の弧の弦が必要。

S の 7° 30′ を定規の裏側のインデックスマークに設定し、A の 46 の下に 6 インチを読み、B の弦の必要な長さを確認します。

2辺の長さとそれらの間の角が与えられた三角形の面積を求める。

Sの角度を定規の裏側のインデックスマークに合わせ、カーソルをBの2に移動します。次に、Bの片側の辺の長さをカーソルに合​​わせ、カーソルをBの1に合わせ、Bのもう一方の辺の長さをカーソルに合​​わせ、Aのインデックスの下にあるBの領域を読み取ります。

例：三角形の2辺の長さはそれぞれ5フィートと6フィートで、2辺の間の角度は20°です。面積を求めなさい。

S の 20 をインデックス マークに設定し、カーソルを B の 2 に移動、カーソルを B の 5 に移動、カーソルを B の 1 に移動、カーソルを B の 6 に移動して、A の 1 の下に面積 = 5·13 平方フィートを読み取ります。

上昇率が与えられた場合に、勾配の度数を求める。

T のインデックスと D のインデックスが一致するようにスライドを置き、D のパーセント率の上に、T の傾きの度数を読み取ります。

これまで主に検討してきた定規の配置はT字型の目盛りが1つしかないため、上記の問題のうち、傾斜が10～100パーセントの範囲にあるものだけが直接読み取れることがわかります。より小さな角度については、小数角の正接を求める公式のいずれかを使用する必要があります。

ダブルTスケール（Aスケールと併用される）を備えた定規では、1～100パーセントの任意の傾斜の度数をAで直接読み取ることができます。

勾配がxにおいて 1 と表される場合、度数を求める。

83TのインデックスをD上のxに合わせ、Dのインデックスの上にT上の必要な角度（度）を読み取ります。

例： 3.8分の1の勾配の度数を求めなさい。

Tの1をDの3.8に設定し、 DのRHインデックス上でTの14°45′を読み取る。

エンジンのスライドバルブのラップ、リード、およびストロークが与えられた場合、進角を求める。

Bの（ラップ＋リード）をAのバルブの移動量の半分に設定し、定規の裏側のインデックスマークでSの進角を読み取ります。

例：バルブの移動量4½インチ、ラップ1インチ、リード⁵⁄₁₆インチ。進角を求めなさい。

定規の裏面のインデックスの反対側のSで、1⁵⁄₁₆ = 1·312をBに、2·25をAに設定し、35°40′を読み取ります。

スライドバルブの角度進角θ、ラップ、およびストロークが与えられた場合、カットオフをストロークの割合で求めます。

B上のラップをA上のバルブのストロークの半分に合わせ、S上で定規の裏側のインデックスの反対側にある角度（偏心角の補角）を読み取ります。この角度に進角を加え、その合計を180°から引くと、カットオフ時のクランクの角度が得られます。この角度の補角のコサインに1を加え、その結果に50を掛けると、カットオフが発生した時点でのストローク完了率が得られます。

例：進角が35°40′、バルブストロークが4½インチ、ラップが1インチの場合、カットオフ時のクランクの角度と、ストロークに対する割合として表される吸入期間を求めなさい。

B の 1 を A の 2.25 に設定し、インデックスの反対側の S で偏心角の補角 = 26° 20′ を読み取ります。次に 180° − (35° 40′ + 26° 20′) = 118° = カットオフポイントでのクランク角。さらに、cos. 118° = cos. 62° = sin (90° − 62°) = sin 28° であり、28° を S のバックインデックスに置くと、 A のRHインデックスの下の B で読み取ったコサインは 0.469 であることがわかります。1 を加え、 C のLHインデックスを結果 1.469 に D に置くと、C の 50 の下から、D で必要な入場期間 = 73.4 パーセントを読み取ります。

三角関数の尺度は、特定の公式を評価するのに役立ちます。したがって、次の式において、 sin a = kとなるような角度aを見つけると 、次のように書くことができます。

k
√ 1 k 2= tan. a ;√ 1 − k 2
k= cot. a ; √ 1 − k 2 = cos. a ; など。

最初の式では、k = 0.298 とします。スライドを正弦目盛が外側になるように、またその目盛が定規の目盛と一致するように配置します。カーソルを A の ( RH ) 目盛の 0.298 に設定し、正弦目盛の 17° 20′ を必要な角度として読み取ります。次に、正接目盛の 17° 20′ の下に、D の 0.312 を結果として読み取ります。

84
対数-対数目盛付き計算尺
時折必要となる場合には、45ページで説明されている 平方根と立方根以外のべき乗と根を求める方法は十分満足のいくものです。しかし、そのような計算を多数行う必要がある場合は、通常の尺度と併せて、log.-log.、logo-log.、またはlogometric尺度と呼ばれるものを使用することで、プロセスを大幅に簡略化できます。関連する原理は、べき乗と根を参照する 対数計算の規則 ( 8ページ) を検討することで理解できます。これらの規則から、数の乗算と除算ではその対数を加算しますが、逆算と逆算では、場合に応じて、数の対数をべき乗または根の指数で乗算または除算する必要があることがわかります。したがって、3 2.3を求めるには、(log. 3) × 2·3 = log. xとなり、 45ページで説明されている通常の方法でlog. を求める必要があります。 3 スライドの裏側のスケール L を利用して、通常の方法で C と D スケールを使用して 2.3 を掛け、結果をスケール L に移し、 C の 1 の下の D のxの値を読み取る。より簡単な方法は、最初に PM Roget 博士によって提案されたもので、[8] log. 3 と 2·3 の乗算は、通常の 2 つの因数の場合と同様に、つまり、それらの対数を足し合わせて、結果として得られる対数に対応する数を見つけることによって行われます。この場合、log. (log. 3) + log. 2·3 = log. (log. x ) となります。3 つの項のうち最初の項は明らかに3 の対数の対数であり、2 番目の項は 2·3 の単純な対数であり、3 番目の項は答えの対数の対数です。したがって、原点からの距離がそこに刻まれた数の対数の対数 (log.-logs.) を表すように目盛りが付けられたスケールがあれば、これを通常の対数スケールと組み合わせて使用​​することで、必要な乗算を迅速かつ便利な方法で実行できます。log.-log. の配置を少し変えることで、 「P線」とも呼ばれるこのスケールは、これまで何度か導入されてきましたが、近年、熱力学、電気、物理計算における指数関数の使用が増加したことで、ロジェ博士の発明への関心が再び高まり、現在では対数-対数スケールを用いたさまざまなルールが利用可能になっています。

85デイビス対数-対数定規。—ダービーのジョン・デイビス＆サン社が導入した定規では、対数-対数スケールが別のスライド上に配置されています。この設計の利点は、通常の用途では定規をそのまま使用できること、そして対数-対数スケールに40インチの長さを確保できることです。

10インチのデイビス定規では、スライドの片面（Eとマークされている面）に、1より大きい数を表す2つの対数-対数スケールがあり、下側のスケールは1.07から2まで、上側のスケールは2から1000まで目盛りが続いています。スライドの裏面（-Eとマークされている面）には、1より小さい数を表す2つの対数-対数スケールがあり、上側のスケールは0.001から0.5まで、下側のスケールは0.5から0.933まで目盛りが続いています。これらのスケールはどちらも 、定規の下側のDスケール（主に1から10までとみなされ、指数スケールを構成する）と組み合わせて使用​​されます。20インチの定規では、対数-対数スケールはより広範囲にわたり、定規の上側のAスケール（1から100まで）と組み合わせて使用​​されます。ただし、以下では10インチの定規についてより詳しく言及します。

対数-対数スケールでは、任意の目盛りの原点からの距離がその数値の対数-対数を表すことが説明されています。原点は、明らかに対数-対数 = 0 となる目盛りです。これは、log(log. 10) = log. 1 = 0 なので、10 であることがわかります。したがって、E スケールに限定して、目盛り 20 の位置を特定するには、log(log. 20) = log. 1·301 = 0·11397 となります。したがって、スケール D の長さが 25 cm の場合、対応する対数-対数スケール上の 10 と 20 の間の距離は 113·97 ÷ 4 = 28·49 mm となります。10 未満の数値の場合、結果として得られる対数-対数は負の値となり、距離は原点から負の方向、つまり右から左にずれます。したがって、目盛り 5 の位置を特定するには、

log. (log. 5) = log. 0·699 = ̅1·844;つまり、−1 + 0.844 または −0·156;
したがって、目盛り5は10から負の方向に156÷4=39mm離れた位置に配置され、同様の方法でスケールをどちらの方向にも拡張できます。-Eスケールでは、表記はEスケールとは逆方向ですが、その他の点では完全に類似しており、原点（この場合は0・1）から任意の目盛りxまでの距離は log.[-log.x]を表します。したがって、2つのスケール上の同様の位置にある目盛りのうち、-Eスケールの目盛りはEスケールの目盛りの逆数になります。これは容易に検証できます 。86例えば、E の 10 を D の ( RH ) 1 に設定し、定規の裏側を見ると、-E の 0·1 が定規の右端の開口部のインデックスマークと一致することがわかります。

対数-対数スケールを使用する際には、次の点に注意することが重要です。(1) スケールに刻まれた値は確定しており、変更できません (たとえば、1·2 は 1·2 としか読み取れず、通常のスケールのように 120、0·0012 などとは読み取れません)。(2) 各スケールの上部は、下部の右側への延長として考えるべきであること。(3) スケールの下部の任意の値のすぐ上に、スケールの上部にその値の 10 乗があること。これらの点を念頭に置いて、E の 1·1 を D の 1 に設定すると、D の 2 上に E の 1·1 2 = 1·21 の値が得られます。同様に、3 上に 1·1 3 = 1·331 などが得られます。次に、スライドを横方向に読むと、2 の部分では 1·1 2 × 10 = 1·1 20 = 6·73 という値が得られ、3 の部分では 1·1 3 × 10 = 1·1 30 = 17·4 という値が得られます。したがって、ルールは次のようになります。x nの値を求めるには、E の x を D の 1 に設定し、D の n の部分でE のx nを読みます。

上記のようにスライドを設定すると、1·1 の 8 乗、9 乗などは読み取れませんが、前述の (2) によれば、E スケールの欠落部分は、左側のルールの外側にある上部スケール (2 ～ 約 2·6) の部分であることがわかります。したがって、1·1 ～ 10 を D に配置すると、1·1 の 8 乗、9 乗などはE スケールの上部で読み取れます。一般に、

D の下行のx が1 に設定されている場合、その行ではx n が直接読み取られ、上行ではx 10 n が読み取られます。

D の上行のx が1 に設定されている場合、その行ではx n が直接読み取られ、下行ではx ⁿ⁄₁₀ が読み取られます。

D の下行のxが 10 に設定されている場合、その行ではx ⁿ⁄₁₀が直接読み取られ、上行ではx n が読み取られます。

D の上段のxが 10 に設定されている場合、その段ではx ⁿ⁄₁₀が直接読み取られ、下段ではx ⁿ⁄₁₀₀が読み取られます。

これらのルールは、付属の図（図14）に分かりやすく示されています。これらは 10 インチ定規の E スケールと -E スケールの両方に等しく適用でき、数のn乗またはn乗根を決定するために必要な指示のほぼすべてが含まれています。ただし、20 インチ定規には直接適用できません。なぜなら、ここでは下側と上側のスケールの関係がx nとx 100 nになるからです。

87例： 1·167 2·56を求めなさい。

E の 1·167 を D の 1 に設定し、D の 2·56 を E の 1.485 に読み替えます。

例： 4·6 1·61を求めなさい。

上部の E スケールの 4·6 を D の 1 に設定し、D の 1·61 を超える部分を E の 11·7 (11·67) と読みます。

例： 1·4 0·27と 1·4 2·7を求めなさい。

E の 1.4 を D の 10 に設定し、D の 2.7 を超えると、E の低いスケールでは 1.095 = 1.4 0.27 、 E の高いスケールでは2.48 = 1.4 2.7と読みます。

図14。

例： 46 0·0184と 46 0·184を求めます。

上部Eスケールの46をDスケールの10に設定し、Dスケールの1.84を超えると、下部Eスケールでは1.073、上部Eスケールでは2.022（2.0228）と読みます。

例： 0·074 1·15を求めます。

-E スケールを使用して、D 上で 0.074 を 1 に設定し、D 上で 1.15 以上を -E 上で 0.05 と読みます。

数の平方根を求める方法は、前述の例から明らかでしょう。

例：1.4√17と14√17を求めなさい。​

Eの17をDの1.4に設定し、Dの1の上にEの音を乗せると、Eの上の音階では7.56、Eの下の音階では1.224になります。

88例：0·031 √ 0·914を求めます。

-E の 0·914 を D の 3·1 に設定し、D の 10 以上を -E の上限スケールで 0.055 と読みます。

指数nが分数の場合、スライドを 1 回設定するだけで結果を直接得られることがよくあります。したがって、最初の方法で 1·135 ¹⁷⁄₁₆ を求めるには、¹⁷⁄₁₆ = 1·0625 を見つけ、1·135 を E に、1 を D に配置すると、1·144 を E に、1·0625 を D に配置すると読み取れます。直接法では、1·135 を E スケールの 1·6 に配置し、1·7 を D に配置して、1·144 を E に読み取ります。スケール D は 1 から 10 までと想定されているため、このスケールでは 16 と 17 を読み取ることはできませんが、比率は明らかです。 1.7
1.6そして17
16両者は同一であり、我々が実際に関心を寄せているのはその比率だけである。

x – n =の形式の式1
x nまたは （1
x) n の場合、必要な値は、まずxの逆数を求め 、これまでと同じように進めることで得られます。ただし、直接対数スケールと逆数対数スケール (E と -E) の両方を併用すると、必要な値を定規から直接読み取ることができ、事前の計算を完全に省略できます。デイビス形式の定規では、定規の D スケールと併用して使用する -E スケールで結果を読み取ることができ、 E スケール上のx は定規の裏側の開口部のインデックスマークに設定されます。

例： 1·195 −1·65の値を求めなさい。

定規の裏側にある左側の開口部の目盛りにEの1.195を合わせ、Dの1.65の上に重ねて-E目盛りの0.745を読み取ります。

ついでに述べておくと、対数-対数スケールは、任意の底に対する数の対数または逆対数を決定する簡単な方法を提供します。この目的のために、E の与えられたシステムの底を D の 1 に設定する必要があります。E の任意の数の下に、 D でのその対数が見つかります。したがって、一般的な対数の場合、E の底 10 を D の 1 に設定すると、100 の下に、必要な対数である 2 が見つかります。同様に、log. 20 = 1·301、log. 55 = 1·74、log. 550 = 2·74 などと読みます。逆に、D の 1·38 の上に、E の逆対数 24 が見つかります。また、逆対数 1·58 = 38、逆対数 1·19 = 15·5 などです。

10 未満の数の対数については、D の底を 10 に設定します。したがって、D の読み取り値は、見かけの値の 10 分の 1 として読み取られます。したがって、log. 3 = 0.477、log. 5.25 = 0.72、antilog. 0.415 = 2.6、antilog. 0.525 = 3.35 などとなります。

89E スケールの下半分にある数値の対数は D スケールにも存在しますが、図14を考慮すると、D スケールで底を 1 に設定すると、その数値は額面の10 分の 1として読み取られ、底を 10 に設定すると、その数値は100 分の 1として読み取られることがわかります。

自然対数、双曲線対数、またはネイピア対数の場合、底は 2·718 です。ε またはeとマークされた特別な線は、E スケール上のこの値の正確な位置を特定するために使用され、これを D の 1 に設定すると、log. e 4·35 = 1·47、log. e 7·4 = 2·0、antilog. e × 2·89 = 18 などと読みます。スケールの他の部分は、通常の対数について既に説明したように読み取ります。e のべき乗を含む計算は頻繁に発生しますが、これらは、すぐに理解できるように、言及されている特別な目盛り線を使用することで容易になります。

対数-対数スケールのどちらにも現れない数のべき乗または平方根を求める必要がある場合は、その数を因数に分解することができます。通常、因数の1つを10のべき乗にすると便利です。

例： 3950 1·97 = 3·95 1·97 × 10 3 × 1·97 = 3·95 1.97 × 10 5·91。

すると、3·95 1·97 = 15、10 5·91 (または逆対数) 5·91 = 812,000 となります。したがって、15 × 812,000 = 12,180,000 が求める結果です。

対数-対数スケールの高位部分にある数値は、多くの場合このように因数分解することができ、直接読み取るよりも高い精度が得られます。

前述のように主に扱われた対数-対数ルールの形式は、比較的長い範囲の目盛りを与え、採用された配置に対する唯一の異議は、別のスライドを使用することです。

ジャクソン・デイビス式ダブル計算尺。—この計算尺では、一対のアルミ製クリップにより、対数-対数計算尺を通常の計算尺の下端に一時的に取り付け、専用のカーソルを用いて通常の計算尺のC目盛と組み合わせて使用​​できます。このようにして、一方の計算尺を他方の計算尺に交換する手間をかけずに、対数-対数計算尺と通常の計算尺の両方を使用できます。指数目盛が計算尺上に表示されているため、 C目盛の1をE目盛のxに設定し、E目盛の結果をC目盛のnの下に読み取ることで、x nの値を求めることができます。

定規に挿入した対数-対数スライドと、クリップで端に固定した対数スライドのペアを使用することで、y = x nタイプの経験式を導出するのに非常に便利な配置が得られます。

90横田計算尺。—この計算尺では、対数-対数目盛が定規の表面に配置されており、各セットは3本の線から構成されています。1より大きい数については、これらの線はA目盛の上にあり、3本の逆対数-対数線はD目盛の下にあります。両方のセットは、スライド上のC目盛と併用して使用されます。この計算尺のその他の特徴は次のとおりです。—通常の目盛は、従来の25cmではなく10インチの長さです。したがって、数の対数は、定規の端にあるインチの通常の目盛で読み取ることができます。スライドの中央には立方体の目盛があり、スライドの裏面には、正弦目盛と正接目盛に加えて、割線の目盛があります。

図15。

ファーバー対数-対数定規。—図15に示すこの器具では、2つの対数-対数スケールが定規の表面に配置されています。1.1から2.9まで伸びる一方のセクションはAスケールの上に配置され、2.9から100,000まで伸びるもう一方のセクションはDスケールの下に配置されます。これらのスケールは、前述のようにスライドのCスケールと組み合わせて使用​​されます。定規の幅はわずかに広くなっていますが、対数-対数スケールが定規の面取りされた端に配置され、カーソルから突き出た舌で読み取られる従来の方法よりも、この配置の方が便利です。

図16。

91この定規のもう一つの斬新な特徴は、溝の底部に2つの特殊な目盛りが設けられている点である。スライドの左端にある面取りされた金属製のインデックスまたはマーカーを、これらの目盛りに合わせることができる。上側の目盛りは発電機や電動機の効率を測定するためのもので、下側の目盛りは電気回路における電位損失を測定するためのものである。

ペリー対数-対数定規。—マンチェスターのAGソーントン社が考案したこの定規では、対数-対数スケールは図16のように配置されており、1.1から10,000までのEスケールは定規のAスケールの上に、0.93から0.0001までの-EまたはE -1スケールは定規のDスケールの下に配置されています。これらのスケールは、カーソルの助けを借りて、スライド上のBスケールと併せて読み取られます。

以下の表形式の記述は、この形式の対数-対数計算尺を使用するために必要なすべての手順を網羅しています。

xが1より大きい場合。

x n Bの1をEのxに設定し、 BのnをEのx nに読み替える。
x – n B の 1 をE のxに置き換えます。Bのnの下をE −1のx – nと読み替えます。
x ⁱ⁄ₙ BのnをEのxに設定し、Bの1の上にEのxⁱ⁄ₙを置きます。
x ⁻ⁱ⁄ₙ B のnをE のxに設定する。B の 1 の下をE −1のx ⁻ⁱ⁄ₙと読む。

xが1未満の場合。

x n B の 1 をE −1のxに置き換える。Bのnの下をE −1のx nと読み替える。
x – n B の 1 をE −1のxにセットします。Bのnについては、 E のx – nを読みます。
x ⁱ⁄ₙ B のnをE −1のxに設定する。B の 1 の下をE −1のx ⁱ⁄ₙと読み替える。
x ⁻ⁱ⁄ₙ B のnを E −1のxに設定し、B の 1 をE のx ⁻ⁱ⁄ₙと読み替える。
B の 1 の代わりに 10 を使用する場合は、 E のx nの代わりに x ⁿ⁄₁₀を、E −1のx – nの代わりにx – ⁿ⁄₁₀を読みます。B の 100 を使用する場合は、これらの読み取り値をそれぞれx ⁿ⁄₁₀₀およびx – ⁿ⁄₁₀₀とします。

-E スケールがない規則では、 x – nの値は逆数の通常の規則によって求められます。x nを決定してその逆数を求めるか、または、まずxの逆数を求めてそれを n乗するかのいずれかです。数値x がE スケール上にある場合は、最初の方法に従う必要があります。

例： —3·45 −1·82 = 0.105。

Cの1をEの3.45に設定し、Cの1.82の下にCの9.51を読み取ります。次に、Bの1をAの9.5に設定し、Aのインデックスの下にBの0.105を読み取ります。

92xが1未満の場合は、 2番目の方法の方が適しています。

例： —0·23 −1·77 = (1
0.231 ·77 = 4·35 1·77 = 13·5

Bの1をAの0.23に設定し、Aのインデックスの下に読み取る1
0.23= B で 4.35。

Cの1をEの4.35に設定し、Cの1.77の下にEの13.5を読みます。

デイビスのルールと同様に、指数尺度Cは、1の代わりにRH指数（10）を使用する場合、額面値の⅒として読み取られます。

特殊な計算尺の種類。
さらに、先に述べた新しいタイプの対数-対数計算尺に加えて、最近いくつかの異なる方式が導入されました。特に注目すべきは、ラール在住のA・ネストラー氏による一連の計算尺です（ロンドン：A・ファストリンガー、スノーヒル）。これらには、「リーツ」、「プレシジョン」、「ユニバーサル」、「フィックス」の4種類の計算尺が含まれます。

リーツのルール。—このルールでは、通常のスケール A、B、C、D が用意されており、上端には D スケールの範囲の 3 倍のスケールがあり、立方と立方根を直接評価でき、n ³⁄₂とn ⅔も評価できます。

定規の下端にある目盛りは、D上の数値の対数の仮数部を示しています。

精密計算尺。—この計算尺では、20インチの計算尺と同等の精度を10インチの長さで実現できるよう、目盛りが配置されています。これは、20インチ（50cm）の目盛りの長さを2つに分割し、それらを計算尺とスライドの作業端に配置することによって実現されます。計算尺の表面の上端と下端には、通常の計算尺のA目盛りに相当する2つの部分があります。一方、スライドの中央には対数目盛りがあり、スライド上の50cm目盛りと併用することで、通常の10インチ計算尺で得られる長さのほぼ2倍の長さになります。スライドの下面にある三角関数目盛りについても同じことが言えます。正弦目盛りと正接目盛りはどちらも隣接する2つの長さにあり、カーソル溝の下の計算尺の端には、1°49′から5°44′までの小角の正弦目盛りがあります。これは、カーソル上のインデックス投影によって50cmスケールを参照するものです。

CとC′がスライド上の目盛りの2つの部分であり、DとD′が定規上の対応する目盛りである場合、 932つの因数を掛け合わせる場合、C上の1は直接上のスケールDにしか設定できません。一方、C′上の10は直接下のスケールD′にしか設定できません。したがって、最初の因数が約3.2より大きい場合は、カーソルを使用してC上の1をD′上の最初の因数に移動させる必要があります。同様に、除算では、CとD′、またはC′とDにある分子と分母を直接一致させることはできず、カーソルを使用して設定する必要があります。

結果の読み取りにおける不確実性は、次の規則に従うことで回避できます。乗算で指数（1または10）を設定する場合、または除算で分子を分母に設定する際にスライドを横切る必要がある場合は、積または商を読み取る際にもスライドを横切る必要があります。

万能計算尺。—この計算尺では、軸に1から10までの2つの目盛りが付いており、スライドをその目盛りに合わせることができます。上の目盛りの上には対数目盛りがあり、下の目盛りの下には1から100までの平方目盛りがあります。計算尺の軸の端、カーソル溝の下には、1から1000までの目盛りが付いています。カーソルから突き出たインデックスにより、この目盛りを計算尺の表面の目盛りと併用することができ、立方数や立方根などを計算できます。

スライド上では、下側の目盛りは通常の目盛りである1から10までです。中央の目盛りは、sin n cos nの値を示す目盛りの最初の部分で、この目盛りはスライドの上端（「sin-cos」と表示）に沿って50の目盛りまで続いています。この線の残りの部分は、右から左へ（0から50まで）走る目盛りで、cos 2 nの値を示しています。測量において、これらの目盛りは、観測地点と任意の点との間の水平距離、およびこれら2点の高さの差を計算するのに非常に役立ちます。

スライドの裏面には、角度の正弦と正接の目盛りが付いています。34′から5°44′までの角度の正弦と正接の値はほとんど差がないため、中央の目盛り1つでこれらの小さな角度の正弦と正接の両方の値に対応できます。

固定スライド定規。—これは、Aスケールが一定の距離だけずれていることを除けば、あらゆる点で標準的な定規です。π
4したがって、D上の1を超える値はA上の0.7854に相当する。これにより、円柱の面積と体積に関する計算を非常に容易に行うことができる。

94ベギン計算尺。—通常のC目盛とD目盛の使用に伴う欠点は、インデックスを変更したり、スライドの他の部分をストックに対して読み取り可能な位置に配置したりするために、スライドをその長さに沿って移動させる必要がある場合があることです。この欠点を回避するために、ツェレパチンスキーは、その後さまざまな計算尺、特にパリのタヴェルニエ・グラヴェ社製のベギン計算尺で使用されている独創的な仕組みを考案しました。この計算尺では、C目盛とD目盛は標準の計算尺と同様に使用されますが、A目盛とB目盛の代わりに、計算尺の長さの半分だけずらされた別のC目盛とD目盛のペアがあります。したがって、下側の目盛のペアは10 nから10 n + 1まで、上側の目盛のペアは√ 10 × 10 nから√ 10 × 10 n + 1までと見なすことができます。この配置では、スライドを左右に半分以上動かすことなく、常に2つの目盛り上の1から10までのすべての値を比較できます。これは、特に連続作業において大きな利点となります。

ベギン定規のもう一つの優れた特徴は、スライドの中央に反転したCスケールがあることで、これにより、スライドを一度設定するだけでa × b × cのような計算が可能になります。スライドの裏面には3つのスケールがあり、一番下のスケールはDスケールと併用する正方形のスケール（通常のBスケールに対応）で、上端には5°44′から90°までの正弦スケール、中央には5°43′から45°までの正接スケールがあります。ストックの正方形の端、カーソル溝の下には対数スケールがあり、同じ端、カーソル溝の上には一連のゲージポイントがあります。これらの値はすべて、カーソルのインデックスマークによって面スケールに参照されます。

アンダーソン計算尺― 精密計算尺のように長い目盛りを複数のセクションに分割する原理は、ロンドンのカセラ社が製造したアンダーソン計算尺に拡張されており、図17に示されています。この計算尺では、スライドに4つのセクションに分割された目盛りが付いており、ストックの上部にある全く同じ目盛り線と組み合わせて使用​​します。ストックの下部には、上部の値の平方根を示す8つのセクションに分割された目盛りが付いています。スライドのインデックスをストックの値に設定するために、図に示すように、透明なセルロイド製のインデックス2つがスライドに固定され、計算尺の表面を覆っています。各目盛りセクションの長さは30cmなので、上部の線は 95上側の目盛りは長さ約4フィートの単一の目盛りに対応し、下側の目盛りは長さ約8フィートの目盛りに対応しているため、これらの目盛りの細分化の数が大幅に増加し、結果として精度が大幅に向上する。

計算結果をどの行に求めるかを決定するために、定規とスライドの両端、およびカーソルの金属フレームに「行番号」のセットがマークされています。乗算では、左インデックスを使用する場合は、積の行番号は因数の行番号の合計になります。右インデックスを使用する場合は、この合計に 1 を加えた値になります。図は 2 × 4 の乗算を示しています。左インデックスは 2 (行番号 1) に設定され、スライド上のカーソルは 4 (行番号 2) に設定されています。したがって、左インデックスが使用されるため、結果は行番号 3 に求められます。除算についても同様のルールが容易に確立されます。行番号の列は、0 の見出しが付いており、10 の位には 4 の見出しが付いており、以下同様です。10 分の 1 には、-4 の見出しが付いた列があります。平方根スケールにも同様の行番号が付いているため、上のスケール上の任意の値の平方根は、下の対応する数値の行に求められます。

図17。

マルチプレックス計算尺は、 B目盛の配置において通常の計算尺とは異なります。この目盛の右側部分は通常のように左から右に並んでいますが、左側部分は逆方向に並んでおり、逆数目盛となっています。溝の底、スライドの下には1から1000までの目盛があり、これはD目盛と併用され、スライド端の金属製インデックスで読み取ることができます。この方法により、立方数や立方根などを直接読み取ることができます。製造元はニューヨークのユージン・ディーツゲン社です。

96「ロング」計算尺は、「プレシジョン」計算尺と同様に、台紙の上部と下部に2つのセクションに分かれた1つの目盛りが付いています。スライド上の目盛りも同様に分割されていますが、目盛りの方向が逆になっており、スライドが反転している状態に対応しています。そのため、乗算と除算のルールは通常とは逆になります（30ページ参照）。スライドの裏面には、1～10の目盛りと1～1000の目盛りがあり、この目盛りの立方数を読み取ることができます。台紙の目盛りと前者の目盛りを併用することで平方数を読み取ることができ、立方数目盛りと併用することで平方数、立方数、およびそれらの平方根を含む様々な式を計算できます。

ホールの航海用計算尺は、軸の溝に嵌め込まれた2枚のスライドで構成され、各スライドに2目盛り、各溝の両端に1目盛り、合計8目の目盛りが刻まれています。通常の計算尺としての用途はもちろんのこと、「子午線外視の縮尺」や「クロノメーターの緯度誤差補正」といった問題において、特に航海士にとって有用です。この計算尺は、同様の用途が他にも多数あり、ロンドン、ストランドのJH・スチュワード氏によって製造されています。

長尺計算尺
計算尺で得られる精度は、使用する目盛りの長さに依存することが示されています。しかし、一般的な利便性を考慮すると、長さが 20 インチを超える単純な直線目盛りの計算尺は不適切であるため、長尺計算尺の発明者は、操作の利便性と高い精度を両立させるために、通常使用される目盛りの配置を変更せざるを得ませんでした。採用された主な方法は、次の 3 つの種類に分類できます。(1) ハニングトンの拡張計算尺やサッチャーの計算器具のように、長尺を部分的な長さで使用する方法。(2) ファーンリーの万能計算機やシューアマンの計算器具のように、円盤上に螺旋状に長尺を配置する方法。(3) フラーの計算尺や「RHS」計算尺のように、円筒に螺旋状に巻かれた長尺を採用する方法。

フラーの計算定規。—図18に示すこの装置は、移動可能な 円筒dから構成されている。97ハンドルで保持される円筒状のストックfの上下および周囲を測定できます。対数目盛線は円筒dの表面に螺旋状に配置されており、500 インチ、つまり 41 フィート 8 インチの直線目盛に相当するため、結果として 4 桁、多くの場合 5 桁の数値を得ることができます。

図を参照すると、3つのインデックスが使用されていることがわかる。これらのうち、文字bで示されたインデックスはハンドルに固定されており、他の2つ、cとa（両者の間隔は完全ならせんの軸方向の長さに等しい）は、最も内側の円筒gに固定されている。この円筒はストック f内で伸縮自在にスライドするため、インデックスをdに対して任意の位置に配置することができる。さらに2つの目盛りが設けられており、1つは円筒dの上端（m ） 、もう1つは可動インデックス（ n ）上にある。

図18。

この器具を使用する際は、 d上の特定の数値 を固定インデックスbに設定し、aまたはcのいずれかを目盛りの別の数値に合わせます。これにより比率が確立され、シリンダーを動かして任意の数値をbに合わせると、比例式の 4 番目の項がa またはcの下に見つかります。もちろん、乗算では、一方の因数をbに合わせ、aまたはcを 100 に合わせます。次に、もう一方の因数をaまたはcに合わせ、結果をbの下から読み取ります。連続乗算、または乗算と除算の組み合わせを含む問題は非常に簡単に処理できます。したがって、固定インデックスを F、上側の可動インデックスを A、下側の可動インデックスを B とすると、a × b × cの場合、 a をF に合わせ、A を 100 に合わせ、 bを A または B に合わせ、A を 100 に合わせ、cを A または B に合わせ、積を F で読み取ります。

積に含まれる数字の最大数は、因数に含まれる数字の合計であり、これは最初の因数を除くすべての因数をBに繰り上げたときに得られる値です。因数をAに繰り上げるたびに、その合計から1を差し引きます。

98割り算の場合、a / ( m × n ) として、a をF に、A または B をmに、100 を A に、A または B をaに、100 を A に移動して、商を F で読み取ります。

図19。

商の桁数の最大値は、分子の因数の桁数と分母の因数の桁数の合計の差に、分母の各因数につき 1 を加えた値であり、これは A を分母のすべての因数と、B に最初に渡された因数を除く分子のすべての因数に設定した場合に得られます。B を分母の因数に設定するたび、または分子の因数を A に渡すたびに、1 を減算する必要があります。

数の対数は、尺度mとnを用いて求められ、したがって、既に詳しく説明した手順により、任意の大きさのべき乗と平方根を求めることができます。図示されている機器は、ロンドンのWFスタンレー社製です。

「RHS」計算機。 —RHスミス教授が設計したこの計算機では、長さ50インチの目盛り線が螺旋状に配置されている（図 19）。ただし、この場合は直径約¾インチ、長さ9½インチのチューブの中央部分に巻き付けられている。このチューブの平らな部分に沿ってスライドできるスロット付きホルダーには、目盛りを読み取る2つの広い開口部の両端に形成された4つの突起が設けられている。2つの突起が付いた外側のリングが、この構成を完成させている。

ホルダーの角の一方を第１の因数に合わせ、リングの角の一方を第２の因数に合わせ、ホルダーを移動させて第３の因数がリングの同じ角の下に来るようにします。すると、結果として得られる第４の項は、スロットの両端にあるホルダーの同じ（右または左の）角の下に見つかります。乗算では、上記の比例式の第２の因数として１００または１０００が用いられます。これは、フラーの法則に関連して既に説明したとおりです。実際、一般的に、操作方法は以前の器具で用いられたものと本質的に同じです。

99ホルダーの開口部の片端に示された目盛りと、螺旋上部の円形目盛りを組み合わせることで、数の対数の仮数を求めることができ、したがってべき乗や平方根に関する問題を容易に解くことができます。この器具は、ロンドンのJH・スチュワード氏より提供されています。

図20に示すサッチャーの計算器具は、直径4インチ、長さ18インチの円筒で構成されており、20本の三角形の棒で構成された開放型の枠組み内で、回転運動と縦方向の運動の両方を行うことができる。これらの棒は両端にリングが取り付けられており、ベースボードに固定された支柱内で回転させることができる。円筒の目盛りは40の断面長さから構成されているが、各目盛り線のうち、円筒の右半分に表示される部分は、左半分に1行先で繰り返される。したがって、円筒の各半分には、規則的な順序で回転する2つの完全な目盛りが事実上含まれている。三角形の棒の下側の線には、円筒の目盛りと完全に一致する目盛りがあり、棒の上側の線でスライドに接触していない部分には平方根の目盛りがある。

図20。

スライドを回転させることで、スライド上の任意の線をフレーム内の任意の線と対向させることができ、また、縦方向に動かすことで、これらの線上の任意の目盛りを一致させることができます。全体を支持支柱上で回転させることで、任意の読み取り値を表示させることができます。図に示すように、拡大鏡が備えられており、これはバーに取り付けられているため、必要に応じてバーに沿って移動させることができます。

分割式計算尺またはグリッドアイアン式計算尺。—長い目盛りを分割して長さを測るというアイデアは、1866年にグリッドアイアン式の計算尺を考案したJDエベレット博士によるものです。 100ハニングトンの拡張計算尺も同じ原理に基づいています。どちらの計算尺も下目盛りが繰り返されています。H. チェリー（1880）は、目盛りの自然なインデックスに加えて2つの固定インデックスポイントを設けることで、このような重複を回避できることを初めて示したようです。これらの追加インデックスは、チェリー計算機の下シートを縮小した図21の10′と100′に示されています。計算機の上部は、平行線が引かれた透明なシートで構成されており、両方のインデックスが一致すると、下目盛りの線と一致します。ある数値を別の数値で乗算するには、上シートのインデックスの1つをいずれかの因数に合わせ、透明シートの下にあるインデックスの位置を透明シート上に記録します。後者の点をもう一方の因数に移動させると、カード上のインデックスの下にある結果が見つかります。他の構成では、発明者は透明な目盛りを使用し、目盛りは下目盛りの目盛りとは逆方向に走っていました。この場合、上位スケールの係数が下位スケールのもう一方の係数に設定され、利用可能なインデックスで結果が読み取られます。

図21。

プロエルのポケット計算機は、前述の原理を応用したものです。図21に示すように、下部カードと、同様の目盛りが逆方向に刻まれた透明なセルロイド製の上部シートで構成されています。乗算と除算を連続して行うには、カーソルの代わりに針（付属）を使用して中間結果の位置を固定します。下部カード上のインデックスポイントにより、平方根と立方根を非常に簡単に求めることができます。この計算機は、ロンドンのジョン・J・グリフィン＆サンズ社から供給されています。

101
円形計算機。
10インチの計算尺は、一般的な用途ではおそらく最も実用的な計算器具ですが、近年では多くの種類が登場している、より携帯性に優れた円形計算尺を好む人も多くいます。このタイプの利点は次のとおりです。よりコンパクトで、ベストのポケットに入れて持ち運びやすい。目盛りが連続しているため、スライドを1から10まで移動させる必要がない。ダイヤルを任意の値に素早く設定でき、スライドが固かったり、うまくはまらなかったりする問題がない。ほとんどのタイプの欠点は次のとおりです。多くの問題は、直線定規よりも多くの演算を必要とします。結果を指やポインターで読み取るため、視差による誤差が生じ、一般的に直線定規ほど正確ではありません。内側の目盛りが短いため、読み取り精度が低くなります。立方体や立方根には、特別な目盛りの円が必要です。スライドを反転または逆さまにすることはできません。

図22。

図23。

ブーシェ計算機。—この円形計算機は、直径約2インチ、厚さ⁹⁄₁₆インチで、巻き上げ式時計に似ています。この機器には2つのダイヤルがあり、背面のダイヤルは固定されていますが、前面のダイヤル（図22、ロンドンのWFスタンレー社製の形状を示す）は、図示されている大きな中央軸を中心に回転します。この動きは、巻き上げ機構のフライス加工されたヘッドを回転させることで実現されます。ケース側面のフライス加工されたヘッドを回転させることで回転する小さな中央軸には、2つの細い針ポインターが付いています。 102各ダイヤル上を移動する目盛りが軸上に固定されているため、一方のポインターが常に他方のポインターと均等に重なります。巻き上げ軸の軸に沿ってケースに固定された細いインデックスまたはポインターが、図のように可動ダイヤルの4つの目盛りにまたがっています。これらの目盛りのうち、外側から2番目が通常の対数目盛りで、この計器では長さ約4¾インチの直線目盛りに相当します。内側の2つの円は、主対数目盛りの数値の平方根を示しており、小さい方の円には1から3.162（=√10）までの値の平方根が、もう一方の円には3.162から10までの値が対応しています。外側の円は角度の正弦の対数の目盛りで、対応する正弦は通常の目盛りで読み取ることができます。

固定ダイヤルまたはバックダイヤルにも、図23のように配置された4つの目盛りがあります。これらのうち外側の目盛りは等間隔の目盛りで、内側の3つの目盛りは、通常の対数スケールで取得され、ポインターによって参照される数値の立方根を示す目盛りの別々のセクションです。この立方根目盛りをセクションに分割する方法は、平方根目盛りの場合と同じです。したがって、最も小さい円には1から10までの数値の立方根が含まれており、目盛りは1から2.154までです。2番目の円には10から100までの数値の立方根が含まれており、目盛りは2.154から4.657までです。3番目のセクションには100から1000までの数値の立方根が含まれており、目盛りは4.657から10までです。

前の節で述べた計算尺の表記法は、一般的にブーシェ計算機の目盛りにも適用できると考えられます。ただし、この器具の使用方法はそれほど明白ではありませんが、以下で説明するように、対数目盛りの長さを様々に組み合わせるという動作原理は基本的に同じです。しかし、この場合、図4に示す直線目盛りの代わりに、円形目盛りの弧長を加算または減算する必要があり、さらに、固定目盛り（計算尺のストックに対応）がないため、これらの操作を通常の器具のように直接行うことはできないことがわかります。しかし、固定インデックスと可動ポインターの助けを借りて、次のように目盛りの長さの所望の組み合わせを実現できます。2に3を掛けたいと仮定すると、 103ダイヤルを逆方向​​に回し、通常の目盛りの2が固定インデックスの下に来るまで回した後、可動ポインターを目盛りの1に合わせます。このように設定すると、固定インデックスと可動ポインターの間には弧長1-2が配置されていることがわかります。あとは、この一定の弧長にさらに1-3の長さを加えるだけです。そのためには、弧1-3が可動ポインターの下を通過するまでダイヤルをさらに逆方向に回し、固定インデックスの下から結果の6を読み取ります。少し考えれば、固定ポインターと可動ポインターの間にある長さに他の目盛りの長さを加えることができることがわかります。言い換えれば、目盛りの任意の数値を可動ポインターに合わせ、固定インデックスの下から結果を読み取ることで、その数値を2倍することができます。これで乗算の規則が明らかになります。

乗算のルール—一方の因数を固定インデックスに設定し、目盛りのポインタを1に合わせます。もう一方の因数をポインタに設定し、固定インデックスの下の結果を読み取ります。

先ほど説明した通り、除算の手順についてはほとんど説明は不要でしょう。6を3で割るには、長さ1-6から弧長1-3を取ればよいことは明らかです。そのため、インデックスを6に設定し（これは実質的に、その基準点から長さ1-6を左に移動させることに相当します）、ポインターを除数3に設定します。この設定では、弧1-6は目盛りの1とインデックスの間に含まれ、弧1-3は目盛りの1とポインターの間に含まれます。目盛りの1がポインターと一致するまでダイヤルを回すと、より大きな弧1-6から弧1-3が差し引かれ、この演算の結果を表す残差がインデックスの下に2として読み取られます。

割り算のルール—被除数を固定インデックスに合わせ、ポインターを除数に合わせます。目盛りの1がポインターと一致するまでダイヤルを回し、固定インデックスの下に表示される結果を読み取ります。

上記の方法は乗算の規則の逆なので覚えやすく、一般的に推奨されます。しかし、定数除数で一連の除算を行う場合、つまりbがの場合、別の方法の方が望ましいです。a
b= xは定数です。この場合、スケール上の 1 がインデックスに設定され、ポインタがbに設定されます。そして、a の任意の値がポインタに渡されると、そのインデックスの下に商 x が見つかります。

104乗算と除算の組み合わせとしてa × b × c
m × n= xは容易に実行できますが、 a × b × c =なので、連続乗算の場合も明らかに同じカテゴリに属します。a × b × c
1 × 1= x 。 a /( m × n × r ) = xのようなケースは、a × 1 × 1 × 1
m × n × r= x ; while a × b × c
m= xも同様に修正され、次の形式になります。a × b × c
m × 1= x 。いずれの場合も、分子の因数が分母の因数より1 つ多くなるように式を整理する必要があり、必要に応じて 1 を導入します。単純な乗算と除算の演算では、因数の配置は同様です。与えられた規則から、m × n は実際には次のように見なされること が明らかです。m × n
1、 その間m
n発効するm × 1
nこの配置規則は一般的に適用可能であることに留意することが重要です。なぜなら、より複雑な式を解く際に非常に役立つことがわかるからです。

通常の計算尺と同様に、このような式の係数はa × b × c
m × n= xは、分子の第 1 因数、分母の第 1 因数、分子の第 2 因数、分母の第 2 因数、といった順に取得され、第 1 因数がインデックスとして設定され、結果xが最終的に同じ参照点で読み取られます。

元。 -39 × 14.2 × 6.3
1.37 × 19= 134。

まず、インデックスに39を設定し、ポインタを1・37に設定します。次に、ポインタに14・2を、ポインタに19を、ポインタに6・3を設定し、結果134をインデックスから読み取ります。

最初の係数を固定インデックスに設定した後、計算式に割り算係数が加わるたびにポインターがそれぞれの係数に合わせられ、同時に掛け算係数ごとに ダイヤルが動かされることに注意してください。つまり、最初にダイヤルが動かされ（最初の係数をインデックスに設定）、次にポインターが動かされ、次にダイヤルが動かされる、というように処理されます。

結果の桁数。—結果を概算するよりも規則を用いる方が望ましい場合は、 単純な乗算と除算の場合、 21ページと25ページに記載されている一般的な規則を使用してください。乗算と除算を組み合わせた場合は、修正してください。 105必要に応じて、既に説明したように1を導入して式を解き、分子の桁の合計から分母の桁の合計を引きます。その後、著者の規則に従って、次のように進めます。

ダイヤルは常に 左に回してください。つまり、時計の針とは反対方向に回してください。

文字盤の動きのみに注目し、指針の動きは無視してください。

ダイヤル上の1が固定インデックスと一致するか、またはそれを超えるたびに、上記の数字の差に1を加算します 。

ダイヤルの1がポインターと一致するか、ポインターを追い越すたびに、上記の数字の差から1を減算します 。

連続乗算も同様に扱い、分母の桁として使用される1の数は、乗算される因数の数より1少ない数として数えます。

元。 -8.6 × 0.73 × 1.02 3.5
× 0.23= 7·95 [7·95473+]。

8·6 をインデックスに設定し、ポインタを 3·5 に設定します。0·73 をポインタに移動させ (スケール上の 1 がインデックスを通過することに注意)、ポインタを 0.23 に設定します。1·02 をポインタに設定し (スケール上の 1 がポインタを通過することに注意)、インデックス 7·95 の下を読み取ります。分子の桁数は 1 + 0 + 1 = 2 桁、分母の桁数は 1 + 0 = 1 桁です。規則に従って 1 を追加し、1 を引きます。しかし、後者が相殺されるため、結果の桁数は 2 − 1 = 1 になります。

ダイヤルを左に回すと、ダイヤルの1がインデックスとポインターの両方を通過して（つまり打ち消し合う）場合、ダイヤルを戻して設定を行うことができます。

1が最初の分子であり、したがってダイヤルの1がインデックスに設定されている場合、実際の計算操作が開始されていないため、この場合は桁の加算は行われないことが理解されるでしょう。

スタンレー・ブーシェ計算機（図23）では、中央に小さな目盛りが追加されており、指で自動的に加算または減算する桁数を示します。ただし、計算方法は前述のものとは異なります。各計算の開始時に0に戻ることを避けるため、ガラス面に円が研磨されており、そこに鉛筆で印を付けることで、計算開始時の指の位置を示すことができます。

数の平方を求めるには、いずれかの平方根スケールでその数をインデックスに合わせ、通常のスケールで求める平方数を読み取ります。

106数の平方根を求めるには、数をインデックスに合わせ、数の桁数が奇数の場合は内側の円で平方根を読み取り、偶数の場合は2番目の円で平方根を読み取ります。

数の立方を求めるには、通常の目盛りの1をインデックスに合わせ、ポインター（背面ダイヤル）を3つの立方根目盛りのいずれかの数値に合わせます。次に、ポインターの下の通常の目盛りの立方数を読み取ります。

数値の立方根を求めるには、インデックスを1に設定し、ポインターを数値に設定します。次に、背面ダイヤルの3つの内側の円のいずれかにあるポインターの下の立方根を読み取ります。数値が

1、4、7、10、または-2、-5など、 数字、 内輪の仲間。
2、5、8、11、または-1、-4など、 「 」 第二の円。
3、6、9、12、または-0、-3など、 「 」 第三の円。
より高次のべき乗または平方根の場合。—インデックスを1に設定し、ポインタを通常の目盛りの数値に合わせ、バックダイヤルの外側の円で対数の仮数を読み取ります。特性（46ページ参照）を加え、べき乗を掛けるか平方根で割り、ポインタをこの外側の円で結果の仮数に合わせます。通常の目盛りのポインタの下の数値を読み取り、特性から桁数を取得します。

角度の正弦を求めるには、インデックスを 1 に設定し、ポインターを外側の円の角度に合わせ、ポインターの下の通常の目盛りの自然正弦を読み取ります。また、背面ダイヤルの外側の円のポインターの下の対数正弦を読み取ります。

ハルデン・カルキュレックス。 —1876年にブーシェ計算機が導入された後、シャルパンティエ計算機のような円形の計算器具が導入されました。これは、固定されたリング内でディスクが回転し、両方の面の目盛りを合わせて設定し、計算尺のように比率を確立できるものでした。カルトリスの計算ディスクも同じ原理の別の器具です。図24と25に半分のサイズの図が示されているハルデン・カルキュレックスは、これらの初期の器具に比べて大幅に改良されています。これは、固定目盛りのリングを支えている外側の金属リングで構成されており、その内側にダイヤルがあります。このダイヤルの両側には平らな削り出しのヘッドがあり、親指と人差し指でこれらを挟むことで、ダイヤルを素早く簡単に設定できます。保護用のガラスディスクは金属リングに固定されていませんが、 107内部で回転するように配置されており、細いカーソル線が付いています。また、カーソル線は目盛りの横にあるため、視差の影響を全く受けずに非常に正確な設定が可能です。この構造は、故障の危険性がある機構の使用を回避するだけでなく、機器の体積を大幅に削減し、厚さは約 ¼ インチになります。

図24に示す前面では、固定リングに、対数を表す均等に分割された外側の目盛りと、ダイヤルの縁にある同様の目盛りと連動する1～10の通常の目盛りが付いています。内側の2つの円は、ブーシェ計算機と同様に、メインスケールの値の平方根を示します。図25に示す背面では、リングに、前面と同様に、6°から90°までの角度の正弦を示す外側の目盛りと、1～10の通常の目盛りが付いています。ダイヤル上の目盛りはすべて方向が反転しており（右から左へ）、外側の目盛りは通常の（ただし反転した）1～10の目盛りで構成され、内側の3つの円はこの反転した目盛りの値の立方根を示します。細いカーソル線がすべての目盛りに伸びているため、さまざまな計算を非常に簡単かつ正確に行うことができます。

図24。

図25。

ニューヨークのKeuffel and Esser社製のSperry’s Pocket Calculator （図26）は、それぞれ独自のポインターと固定インデックスを備えた2つの回転ダイヤルを備えています。Sダイヤルには、等間隔の外側スケール、通常の対数スケール、および平方根スケールがあります。Lダイヤルには、3つのセクションに分かれて螺旋状に配置された単一の対数スケールがあり、スケールの長さは12½インチです。ポインターは、2つのダイヤルを回転させる削り出しのつまみナットと同心円状に配置された小さな削り出しのヘッドによって回転します。ギアリング 108Lダイヤルとそのポインターは、Sダイヤルとそのポインターの3倍の速さで回転します。ブーシェ計算機と同様に、螺旋目盛を使って通常の計算をすべて行うことができ、結果は3つの目盛セクションのいずれかで読み取ることができます。多くの場合、結果を読み取るポイントは明らかですが、そうでない場合は、Sダイヤルの単一の目盛を参照することで、3つの螺旋のうちどれに結果があるのか​​がわかります。

Sダイヤル。Lダイヤル。
図26。

同じくKeuffel and Esser社製のK and E計算機は、図27および図28に示されています。この計算機には2つのダイヤルがあり、そのうち回転するのは1つだけです。図27に示すように、このダイヤルには通常の対数目盛と平方目盛があります。計器のガラスにはインデックスラインが刻まれています。固定ダイヤルには、正接目盛、等分目盛、正弦目盛があり、正弦目盛は2回転の螺旋上にあります。一緒に動くポインターは、図26のSperry計算機と同様に、フライス加工されたナットで回転し、可動ダイヤルはつまみナットで回転します。

図27。

図28。

109
特殊計算用計算尺。
エンジン出力計算機。—図29は、特殊な計算尺の典型的な例を示しています。これは、著者が開発した蒸気機関、ガス機関、石油機関用の出力計算機を、実物大の約半分の縮尺で表したものです。ご覧のとおり、これは台座から構成されており、台座の下部にはシリンダー径の目盛りが、上部には馬力の目盛りが刻まれています。これらの目盛りの間の溝には、目盛りが刻まれた2つのスライドがあり、台座および互いに縁接触しながら摺動することができます。

この装置は、蒸気機関、ガス機関、石油機関の制動馬力、指示馬力、所定の出力を発生させるための機関の寸法、および機関の機械効率を直接表示します。ピストン速度、プーリーと歯車の速度比、プーリーの周速度、およびそれによって駆動されるベルトとロープの速度の計算も、このコンピュータが使用される主な目的です。

図29。

スミス・デイビス式出来高計算天秤は、長さ11フィート（約3.3メートル）の2つの秤を備え、1ペンスから20ポンドまでの目盛りが付いています。これらの秤は、金銭計算にも時間計算にも使用できるよう目盛りが刻まれています。秤は、2つの同じ形状の車輪の縁に取り付けられ、分割された縁が互いに接するように配置されています。車輪は、両端が支持台のベアリングで支えられたスピンドルに取り付けられています。車輪はバネで押し付けられ、一体となって動きます。

天秤の目盛りを互いに合わせるために、踏み板のギアがバネの圧力を受け止めるように配置されており、左手で固定車輪を握っているときに、右手で自由車輪をどちらの方向にも回転させることができるようになっている。天秤の目盛りが週給の合計額に合わせられたら、踏み板を解放する。 1102つのホイールをロックして全体を回転させると、それぞれの週給の横に各人に支払われる金額が読み取れる。スミス・デイビス・プレミアム計算機も同じ原理だが、目盛りの長さは約4フィート6インチで、ホイールはバネで制御される。どちらの機器も、ダービーのジョン・デイビス＆サン社から供給されている。

ベインズ計算尺。—ラホールのHMベインズ氏によって発明されたこの計算尺では、目盛りの付いた4つのスライドが、それぞれ隣のスライドと端が接触するように配置されています。スライドは、背面で連結された平行四辺形に取り付けられているため、互いに接触した状態を保ち、所望の相対的な動きを与えることができます。この一般的に適用可能な原理に基づいて、発明者は鋳鉄管内の水の流れに関するフラマンの公式で扱われる問題を解くための計算尺を作成しました。—V = 76·28 d ⁵⁄₇ s ⁴⁄₇、ここでsは傾斜または水頭損失の正弦、dは管の直径（インチ）、Vは速度（フィート/秒）です。公式Q = AVもこの計算尺の適用範囲に含まれており、Qは流量（立方フィート/秒）、Aは管の断面積（平方インチ）です。

ファーマーの利益計算定規― 計算定規を商業計算に応用する試みはこれまでにも数多く行われてきましたが、必要な精度を確保するには長い目盛りが必要となり、結果として扱いにくい器具になってしまうのが現状です。ファーマーの利益計算定規では、金額目盛りが10のセクションに分かれており、これらは通常の定規の上目盛りの代わりとなるローラー上に平行に配置されています。直径3/4インチのローラーは、ストックの両端に固定されたブラケットに取り付けられており、ローラーを回転させることで、金額目盛りのどのセクションも、ローラーが接触しているスライド上端の目盛りと読み合わせることができます。この目盛りはパーセンテージを示し、売上高に対する利益、原価に対する利益、割引率などの計算を可能にします。スライドの下目盛りと、それに隣接するストックの下目盛りは、通常の定規のA目盛りとB目盛りに相当します。この器具は、マンチェスターのJ. Casartelli & Son社から供給されています。

計算尺の構造上の改良。
現在、計測機器メーカーは、定規の軸部におけるスライドの滑らかで均一な動作を保証する手段の開発に注目している。場合によっては非常に良好な結果が得られている。 111より弾力性を持たせるために、素材の裏側に切り込みを入れることで得られる。

ジョン・デイビス＆サン社製の定規では、図30のAに示すように断面がわずかに湾曲した金属片が、定規の全長にわたって一定間隔で固定されています。定規の両端付近には、金属製の裏板に長さ約1インチの開口部が設けられており、そこからスライドの裏側の目盛りを読み取ることができます。気候条件の変化による反りを防ぐため、定規の定規本体とスライドは複合構造になっています。定規本体の基部はマホガニー製で、溝付きの側面は基部にしっかりと固定されたツゲ材です。同様に、スライドの中央部はマホガニー製で、舌状の側面はツゲ材です。セルロイドも構造に用いられており、この素材の帯が定規本体の溝の底に沿って配置されています。この帯の中央には細い溝が刻まれており、弾力性を持たせるとともに、スライドのフィット感を調整するために定規本体の側面をわずかに押し合わせることができるようになっています。さらに調整手段として、メーカーは定規の両端に金属製のクリップを取り付けており、必要に応じて2本の小さなネジを締めることで、ストックをスライドに固定できるようになっている。

図30。

図32。

図31。

ニューヨークのKeuffel and Esser Companyが作った定規では、1つのストリップが調整可能になっている（図32）。

計算尺による測定結果の精度。
計算尺で得られる精度は、主に使用する目盛りの長さに依存しますが、目盛りの精度、操作者の視力、特に補間値を推定する能力もすべて要因となります。 112結果に影響します。低い目盛りを使用し、慎重に作業すれば、短い計算では誤差は0.15パーセントを大きく超えることはありません。連続して設定しても、誤差が相殺される可能性があるため、必ずしもずれが大きくなるわけではありませんが、作業を速くするとパーセント誤差が2倍になることがあります。ただし、目盛りの目盛りに大きく左右されます。わずかな不正確さを隠すために1つ以上の指標が太くなっている定規は避けるべきです。カーソルの線はシャープで細く、スライドとカーソルの両方がスムーズに動かなければ、良い作業はできません。時々、スライドとカーソルの端に少量のワセリンまたは清潔な獣脂を塗布してください。

目盛り全体を通して誤差率が一定であることは、C の 1 を D の 1.01 に設定すると、2 未満では 2.02、3 未満では 3.03、5 未満では 5.05 などとなり、複数の測定値が 1 パーセントの均一な誤差を示していることからわかります。

著者は、M. Ainslie氏（理学士）から、D 上の最初の設定または結果のより詳細な読み取り方法を提案された。C 上の 4 のような目盛りを D 上の 3 に設定すると、C 上の 4 つの主要な目盛り (40–44) は、D 上の 3 つの主要な目盛り (30–33) と同じ目盛りの長さであることがわかる。したがって、おおよそ、C 上の 1 つの目盛りは、D 上の 0.75 の目盛りに等しく、この比率は、もちろん、C 上の 10 の下の D 上に表示されている。√4 ·3が必要だとしよう。カーソルを A 上の 4·3 に設定すると、根は 2·06 より大きいことがわかる。スライドを動かして、D 上の 2 とカーソル線の間の間隔に正確に対応する C 上の主要な目盛りを見つける。目盛り 27–28 がちょうど収まり、C 上の 10 の下の読み取り値は 74 となる。したがって、根は 2·074 と読み取られる。目盛りの大きい部分では、主目盛りの代わりに1-1.1などの細分目盛りが使用されます。この方法は、実用的というよりは興味深い方法と言えるでしょう。なぜなら、ほとんどの作業において、目盛りの作成時に生じる誤差が、結果の信頼できる数値を制限するからです。

ほとんどの工学計算においては、計算尺は通常入手可能なデータの精度と同等の精度を提供します。しかしながら、特に指数関数を含む計算においては、対数目盛付き計算用紙 （著者が過去20年間推奨してきたもの）が非常に有用であることがわかります。

113
付録。
新しい計算尺—5乗根など—代数方程式の解法—計算尺のゲージポイントと符号—表とデータ—計算尺データスリップ。
ピックワース式計算尺。 —AW ファーバー氏が製作したこの計算尺の斬新な特徴は、計算尺本体に立方体の目盛り（F）が設けられている点です。図33からわかるように、目盛りは計算尺背面の溝付き凹部の面取りされた側に固定されています。スライドにはインデックスマークがあり、溝を通して見ることができ、目盛りの任意の目盛りに設定できます。通常の位置では、目盛りの1と一致します。計算尺の表面にあるC目盛りは、II.とIII.と記された2本の特別な分割線によって3等分されており、目盛りの最初の目盛り1とともに、D目盛りの値を設定または読み取るために使用されます。D目盛りにも同様の分割線が記されています。

図33。

立方数または立方根の計算式を用いる場合、スライドは右方向に引かれますが、この移動はDスケールの長さの3分の1を超えることはありません。この限られた移動と、スライドの1つの設定により、∛̅a 、 ∛a × 10、および∛a × 100 （aは10未満かつ1以上）の値が、使用するスケールや読み取る値に関して不確実性なく、同時に得られます。

数の立方を求めるには。 —D上のマークIIとIIIは、その目盛りを3つの等しい部分に分割します。 114立方数が第 1 節にある場合は、C の I. をそれに設定します。第 2 節にある場合は、C の II. をそれに設定します。第 3 節にある場合は、C の III. をそれに設定します。次に、スライドの裏側のインデックス マークの下に、スケール F 上の立方数の有効数字が見つかります。設定に C の I. を使用した場合は、立方数は 1 桁になります。II. を使用した場合は 2 桁になります。III. を使用した場合は 3 桁になります。立方数の最初の桁が一の位にない場合は、最初の有効数字が一の位になるように小数点をn桁移動し、上記のように立方数を見つけ、小数点を逆方向に3 n桁移動します。

数の立方根を求めるには、インデックスマークをスケール F 上の数の有効数字に設定し、立方根を D 上の C 上の I.、II.、または III. の下に読み取ります。これは、小数点の前に 1、2、または 3 桁の数があるかどうかに応じて決まります。小数点の前に 1、2、または 3 桁の数がある場合は、直接処理します。その他の形式の数は、小数点を 3 桁 (または必要な 3 桁の倍数) 移動し、根を見つけて、3 桁移動するごとに小数点を 1 桁移動しますが、 逆方向に移動することで、上記の形式のいずれかに変換します。

「電気」計算尺。A . ネストラー氏が作成したこの電気計算用の特別な計算尺では、上側の目盛りは 0.1 から 1000 までで、それぞれ「Amp.」と「sq. mm.」と記されています。スライドの下側の目盛りは 1 から 10,000 までで、M (メートル) と記されています。一方、定規の下側の目盛り (0.1 から 100) は「ボルト」と記されています。後者の目盛りは、M の 10 がボルト目盛りの 0.173 と一致するようにずらされています。関係する 4 つの要素は、電流の強さ (アンペア)、導体の断面積 (平方ミリメートル)、導体の長さ (メートル)、および許容電位損失 (ボルト) です。これらのうち 3 つを入力すれば、4 つ目の要素を非常に簡単に求めることができます。スライドの裏面には、正方形の目盛り、立方体の目盛り、および通常の定規の D 目盛りに対応する単一の目盛りがあります。したがって、スライドを反転させることで、数の2乗、3乗、4乗および平方根を求めることができます。この規則の別の形式では、メートルの目盛りがヤードの目盛りに置き換えられ、導体の断面積（平方ミリメートル）の代わりに、対応する電線の「ゲージ」サイズが示されます。

「ポリフェーズ」計算尺。—ニューヨークのKeuffel & Esser社製のこの器具は、通常の目盛りに加えて、棒の垂直エッジに立方体の目盛りが付いています。 115この定規では、スライドの中央に逆Cスケール、つまり通常のCスケールと全く同じ目盛りですが、目盛りが右から左に並んでいる目盛りが描かれています。この定規は、3つの要素の組み合わせを含む問題や、平方、平方根、立方、立方根、および多くの高次のべき乗や根を含む問題の解決に特に役立ちます。電気および水力学の分野での使用に特に適しています。

対数-対数複式計算尺。—同じメーカーが対数-対数複式計算尺を発売しました。この計算尺では、対数-対数目盛が3つのセクションに分かれており、それぞれが上下に配置され、通常A目盛が配置される位置にあります。これらの目盛は既に説明した方法（86ページ）で使用されますが、対数-対数目盛全体が分割されている方法により、いくつかの利点が得られます。目盛の限界は、e ¹⁄₁₀₀からe ⅒（目盛LL 1）、e ⅒からe（目盛LL 2）、およびeからe 10（目盛LL 3）です。ここで、eは自然対数または双曲線対数の底（2·71828）です。このようにして、1·01から22,000までの対数-対数範囲が提供され、すべての実用的な要件を満たします。これらの対数-対数目盛は、スライドの上端に配置されたC目盛と併用して読み取ります。同様のCスケールが、方向を反転させてスライドの下端に配置されており、赤い数字で容易に区別できるようになっている。定規本体の隣接するスケールは通常のDスケールであり、その下にはD上の値の常用対数を示す等分割スケールがある。スライドの中央には接線スケールがある。

「デュプレックス」定規は、両端でしっかりと固定された2枚の側板が定規本体を形成し、その間をスライドが移動する構造になっていることが理解されるでしょう。そのため、定規とスライドの表裏両面が使用可能で、片面の目盛りは、全体を一周するカーソルによってもう一方の面の目盛りに連動します。この定規では、背面の目盛りは標準定規の通常の目盛りに加えて、スライドの中央に正弦目盛りが追加されています。この定規は、指数関数や三角関数を含む非常に幅広い問題に対応できることは明らかです。

拡大カーソル付き小型計算尺。—現在、いくつかのメーカーが、10インチ計算尺と同じ目盛りを備えた5インチ計算尺を、拡大カーソル付きで販売している（図34）。これはポケットに入れて持ち運べるコンパクトな器具となるが、目盛りが密集しているため、通常はスライドを合わせることができない。 116カーソルを使わずに測定する。もちろん、これは通常の測定器よりも多くの動作を伴う。また、正確な測定値を得るには、拡大カーソルを直射日光の下で使用することが非常に重要である。これらのわずかな不便さを許容できるのであれば、この原理を拡張し、10インチ定規を20インチ定規と同じように完全に目盛り付け、拡大カーソルを取り付けることも可能である。著者は、メーカーにそのような定規を発売するよう働きかけてきたが、成功していない。

AG Thornton, Limited社が提供する拡大カーソルは、カーソル全体を覆うレンズを備えています。強力な拡大効果があり、半円形レンズの場合よりも、通常の読みから拡大された読みへの変化がスムーズです。

図34。

化学計算用計算尺― 化学計算に特化した計算尺が、最近A.ネストラー氏によって発表されました。この計算尺では、C目盛とD目盛は通常通り配置されていますが、A目盛とB目盛の代わりに、最も重要な元素と化合物の原子量と分子量を示す目盛点またはマークが多数設けられています。スライドの裏面にも同様の目盛が配置されているため、スライドを裏返すことで計算範囲を大幅に拡張できます。この計算尺は主に分析計算に用いられます。例えば、ある物質をsグラム使用し、AgClの沈殿物がaグラムである場合、塩素の含有率を求めるには、次 の式を用います。 =Cl.
Ag.Cl.×として
​したがって、スライドの上目盛りの Ag.Cl. マークを定規の上目盛りの Cl. マークに合わせ、C 目盛りのaの下に D 上の塩素の量が見つかります。カーソルをこの値に設定し、C 上のs をカーソルに合​​わせると、C 上の必要なパーセンテージを D 上の 10 で割った値を読み取ることができます。

この法則は、その他様々な化学計算や電気化学計算の解法にも応用できる。

117ステルフォックス計算尺。—図35に示すこの計算尺は、長さ5インチの本体に、長さ10インチのスライドが長いダボで中央部で接合されています。部品を分離することで、5インチ計算尺のコンパクトさを実現しています。計算尺とスライドの上部の目盛りは、通常のA目盛りとB目盛りに似ています。本体下部のD目盛りは2つの部分に分かれており、図に示すように、2番目の部分が最初の部分の下に配置されています。スライドの中央の目盛りは通常のC目盛りに対応し、スライドの下端には同様の目盛りがありますが、インデックス(1)はその長さの中央にあります。この構造により、通常の計算尺で時折必要となるスライドの再設定が不要になり、一般的に10インチ計算尺の精度と5インチ計算尺のコンパクトさを兼ね備えています。ただし、カーソルをより頻繁に使用する必要があります。この計算尺は、ダービーのジョン・デイビス＆サン社製です。

図35。

電気計算尺。—同じメーカーの別の計算尺は、特に電気技師に便利で、計算尺とスライドの作業エッジに通常の目盛りが付いています。スライドの中央には立方体の目盛りが配置されています。2つのセクションに分かれた対数-対数目盛りが設けられており、1.07から2までの電力部分は計算尺の下部に、2から10³までの電力部分は計算尺の上部にあります。計算尺の最上部の目盛りは2つの部分に分かれており、左側の20から100までの「ダイナモ」とマークされた部分はダイナモの効率を示し、右側の20から100までの「モーター」とマークされた部分は電動モーターの効率を示します。計算尺の最下部の「ボルト」とマークされた目盛りは、銅導体の電位損失を示します。本体の通常の目盛りは、左側にL（リード線の長さ）、右側にKW（キロワット）と表示されています。スライドの通常の目盛りは、左側にA（アンペア）とmm²（断面積）、右側にHP（馬力）と表示されています。カーソル上の追加の目盛り線により、電気計算を英国単位系またはメートル法単位で行うことができます。

118ピコレ式円形計算尺― フィラデルフィアのLEピコレ氏が製作した、シンプルな円形計算尺を図36に示す 。これは、丈夫なセルロイド製のベースディスクの上に、薄いセルロイド製の小さなディスクが回転する構造になっている。透明なセルロイド製のカーソルがディスクの上に折り畳まれ、内側のディスクとカーソルの摩擦によって内側のディスクが回転するように取り付けられている。両方のディスクを握ることで、カーソルの位置を必要に応じて調整できる。隣接する目盛りは互いに逆方向に刻まれているため、乗算と除算は通常の計算尺の反転スライドと同様に行える。外側の目盛りはメインスケールの3分の2の長さで、立方根を求めることができる。平方根も容易に求められ、連続乗算と除算も便利に行える。この精巧に作られた小型計算尺の改良版も入手可能である。

図36。

その他の最近の計算尺。—その他の特殊な計算尺の中でも、ダービーのジョン・デイビス＆サン社製の測量士用ジャキン10インチ計算尺について言及しておくべきでしょう。一連の短い補助目盛りを設けることで、角度の正弦または正接を数値で乗算する精度を1万分の1まで得ることができます。同じメーカー製のデイビス・リー・ボトムリー計算尺には、円の間隔を測るための特別な目盛りが設けられています。円を等間隔に分割することは、しばしば必要となります 。119リベットやボルトなどの間隔調整、歯車の歯の位置決めなどは、この器具を使えば容易に行えます。クンツ 計算尺は非常に多機能な器具で、幅は約2¼インチの軸があり、スライドは下端近くにあります。スライドの上には11個の目盛りがあり、カーソルで主目盛りに連動させることができます。これらの目盛りにより、平方数と平方根、立方数と立方根、円の面積と円周を直接読み取ることができます。目盛りの半分を尺の裏側に移動させ、ダブルカーソルを使用すれば、さらにコンパクトな器具にすることも可能です。

図37。

ロンドンのWHハーリング氏が供給する10インチ定規の一種では、定規本体はよく乾燥させた籐でできており、表面は通常のセルロイドで覆われています。定規には金属製の裏板があり、スライドの取り付け位置を調整できるようになっています。この裏板は定規の全長にわたって伸びており、両端に約1インチの開口部が設けられているため、通常採用されている切り欠き状の凹部よりも、スライドの裏側の目盛りをより簡単に設定できます。著者は、切り欠き状の凹部の代わりにガラスまたはセルロイドの窓を取り付けるよう製造業者に働きかけてきましたが、成功していません。これにより、S目盛りとT目盛りの目盛りをより正確に設定でき、定規の両端で両方を使用できるようになるため、特定の三角関数計算において有利になります。さらに、均等分割目盛または対数目盛の各目盛を中央線の両側に交互に配置できるため、より正確かつ容易に読み取ることができるという利点もある。

近年、さまざまな工作機械操作に必要な時間や同様の目的のために、多くの特殊な計算尺が考案されているが、 120鉄や鋼の棒、板などの重量を計算するための規則に与えられた。

デイビス・ストークス野戦砲術用スライド定規。—この定規は、「遭遇戦」および「塹壕戦」野戦砲術の計算に適応したもので、18ポンド速射砲用に設計されています。ツゲ材のストックの上部と下部は、柔軟なセルロイドの中央部で結合されており、前後にツゲ材のスライドを受け入れる溝があります。19個の目盛りのそれぞれに名前が記されており、対応する目盛りは赤または黒で着色されています。前面の縁は面取りされており、1/20,000の目盛りが付いています。この定規は、変位の問題、地図上の視角、補正器の変更、温度、風、気圧の変化に対する距離補正などを解決します。変位計算の特別な機能として、50ヤードのサブベース角度目盛りが設けられており、1つの設定で頂点角を読み取ることができます。

デイビス・マーティン無線計算尺。—無線電信では、λ = 59·6√ LCの式のいずれか、または複数の要素が未知である場合に、波長、容量、または自己誘導を決定する必要が生じることがよくあります。デイビス・マーティン無線計算尺は、このような計算を簡略化するために設計されています。ストックの上側の目盛り（インダクタンス）は 10,000 から 1,000,000 までです。スライド上の隣接する目盛り（容量）は 0.0001 から 0.01 までですが、逆方向です。ストックの下側の目盛り（波長）は 100 から 1000 までで、上側の目盛りの平方根を示します。目盛りの下端には、波長と容量を表すさまざまな単位に対応する矢印がいくつかあります。

改良されたカーソル。—計算尺の操作、特に二次方程式や三次方程式を解く場合、カーソルの枠によって目盛りが見えなくなることが少なくありません。この欠点を解消するために、枠のないカーソルが導入されました。厚手の透明なセルロイドが使用されることもありますが、これは使用中に傷がつきやすいという欠点があります。図37は、ニュージャージー州ホーボーケンのKeuffel & Esser社が製造した、あらゆる点で満足のいく最新の枠のないガラス製カーソルを示しています。

3本の細い線を持つカーソルは、いくつかの規則に従って調整され、線の間隔はAスケールで0.7854～1の間隔に等しくなります。

デイビス・プレッツ計算尺。—この計算尺では、通常の目盛りの反対側に、単一の対数-対数目盛りとその逆数の目盛りが配置されている。 121上側の対数スケール。したがって、常用対数は直接読み取ることができ、常用対数の特性と仮数の特性を利用することで、スケールを無限に拡張できます。 10 は対数-対数スケールの最大値であるため、1 から 0.025 以内まで下げられます。 10 を超える対数-対数値の読み取りは非常に簡単な方法で行われます。 スライドの中央にもスケールがあり、上側の対数スケールと組み合わせて使用​​すると、0.0001 から 10,000 までの任意の数の自然対数を直接読み取ることができます。また、上側の対数スケールの任意の数は、 e x がこれらの範囲内にある場合、 e xで乗算または除算できます。 スライドの裏面には、すべての円関数と双曲線関数のスケールがあり、これらは上側の対数スケールと組み合わせて使用​​されます。

クロンプトン・ギャラガー社製ボイラー効率計算機は、 厚みのある板材に溝が設けられており、そこにチャートを挿入することで、2枚のスライドに対して直角にチャートを移動させることができます。一方のスライドの面取りされた縁には、目盛りが続き、板材の開口部を通してチャートの曲線に沿って読み取れるようになっています。

デイビス・グリンステッド複素数計算機。—この計算尺は、複素数をa + j bの形式からR∠θ の形式に変換する計算、およびその逆の計算において非常に役立ちます。通常の変換プロセスでは、三角関数表を繰り返し参照する必要があり、面倒で時間がかかります。複素数計算機を使用すれば、表を参照することなく、最小限の時間と労力で変換を行うことができます。

長さ約16インチのこの定規には、5つの目盛りが付いています。一番上の目盛り（A）は、通常の対数目盛りが3回繰り返されたものです。スライド上の隣接する目盛りは、（1）0.1°から45°までの正接の対数目盛り（B）、および（2）0°から45°までの正割の対数目盛り（C）で構成されています。下の目盛りDとEはA目盛りと同じで、別の計算尺を使わずに乗算などを行うために設けられています。カーソルを使って、A目盛りの読み取り値を下の目盛りに転記することができます。

a + j b をR∠θ に変換するルールを使用する際は、スケール A 上で、B スケールのインデックス (45°) を大きい方の成分に、カーソルを小さい方の成分に設定します。次に、カーソルの下の B 上で θ (またはbがaより大きい場合はその補数) を読み取ります。その後、カーソルを C スケールの θ に設定し、カーソルの下の A 上で R を読み取ります。このルールは、ダービーの John Davis & Son, Limited 社によって作成されました。

122
代数方程式の解法
計算尺は、2次および3次の方程式の解法において興味深い応用が見られます。このプロセスは基本的に試行錯誤ですが、特に問題の条件や操作者の方程式理論の知識によって求められる結果の性質について何らかの考えが得られる場合、より面倒な代数的方法の効率的な代替手段となることがよくあります。原理は次のように簡単に説明できます。C の 1 をD のxに設定すると(図 38 )、C のxの下で D のx ( x ) = x 2が得られます。しかし、スライドを以前と同じように設定して、 C のxの下ではなく、 x + mの下を読み取ると 、D の結果はx ( x + m ) = x 2 + mx = qになります。したがって、方程式x 2 + mx − q = 0 を解くには、上記の手順を逆に行い、カーソルをD のqに設定し、カーソルの下にある C の数値と、C の 1 の下にある D の数値の差が m になるまでスライドを移動します。設定から明らかなように、これらの数値の積はqであり、その差はmであるため、これらは方程式の根であることがわかります。方程式x 2 − mx + q = 0 の場合、m が根の和に等しくなる必要があります。したがって、カーソルを以前と同様にD のqに設定し、カーソルの下にある C の数値と、C の 1 の下にある D の数値の合計が mに等しくなるまでスライドを移動します。これらの数値が求める根です。代替方程式x 2 − mx − q = 0 およびx 2 + mx + q = 0 は、根の符号を変えることで他の方程式から導き出せるため、これ以上考慮する必要はありません。

図38。

例：x² − 8x + 9 = 0の根を求めなさい。

カーソルをDの9に設定し、カーソルの下に6・64が見つかるまでスライドを右に動かします。Dの1・355はCの1の下にあります。これらの数値が求める根です。

もちろん、上の音階を使うこともできます。実際、一般的には上の音階の方が好ましいでしょう。

例：x² + 12·8x + 39 ·4 = 0の根を求めなさい。

カーソルをAの39·4に合わせ、カーソルの下のBの7·65と、Bの1の上にAの5·15が表示されるまでスライドを右に動かします。したがって、根は−7·65と−5.15です。

123上下の尺度の相対的な値を少し考慮すれば、関心のある学生は、3次方程式も同様に解けることを容易に理解できるだろう。この主題は、提案された方法で扱うことができるいくつかの式を詳細に検討するほど一般的な重要性はないが、著者は、この方法が実際の計算に適用できることを示す例として、次の例を挙げている。

例：直径7.5インチ、重さ2ポンドの中空の銅球が水に浮いている。この球はどのくらいの深さまで沈むだろうか？

押し出された水 = 27.7 × 2 = 55.4 立方インチ。浸漬された部分の体積はπ
3(3 r x 2 − x 3 )、rは半径、x は浸漬深さです。したがってπ
3(3 r x 2 − x 3 ) = 55·4、および 11·25 x 2 − x 3 = 52·9。

この方程式を解くには、カーソルをAの52·9に合わせ、カーソル下のDの1の値とカーソル下のBの値の合計が11·25になるまでスライドを動かします。このようにして、カーソル下のBの1の値2·45とカーソル下の8·8を、合計が11 ·25となる値のペアとして見つけます。したがって、 x = 2·45インチが求める結果であると結論付けられます。

このようにルールを設定すると（図39）、スライドが右にずれる量がD上のxを表し、したがってA上のx 2を表すことがわかります。一方、B上の1からカーソル線までの長さは11·25 − xを表します。したがって、上側のスケール設定により、x 2 (11·25 − x ) = 11·25 x 2 − x 3 = 52·9となり、要求どおりになります。

図39。

特定の事例において取るべき方法が不明な場合は、学生は総合的に検討し、検討対象となっている事例と類似した性質を持つ単純な例を構築し、そこから逆のプロセスで取るべき計画を導き出すべきである。

124
ねじ切り歯車の計算。
計算尺は、ねじ切り、ヘリカルギア加工、スパイラルギア加工に必要なギア計算において、長年にわたり有用な用途を見出してきた。

単歯車。旋盤での単純なねじ切り加工の場合、切削する1インチあたりのねじ山数をガイドねじの1インチあたりのねじ山数（または、より都合の良い場合はそれぞれのピッチをインチ単位で）に設定するだけで済みます。そうすれば、2つの目盛りの一致する値のペアが、使用可能な歯車の組み合わせとなります。

例： 1インチあたり1⅝山のねじ山を持つねじを、1インチあたり2山のガイドねじで切削するための砥石を探します。

C の値を 1.625 に、D の値を 2 に設定すると、80 (駆動輪) と 65 (被駆動輪) が可能な車輪であることがわかります。

複合歯車。—このようにして見つかった歯車が不便なサイズである場合、複合歯車列が使用されます。これは（通常）2つの駆動歯車と2つの従動歯車から構成され、前者の2つの積と後者の2つの積は、単純な歯車と同じ比率になります。したがって、駆動歯車が60と40、従動歯車が65と30の場合、次のようになります。60 × 40
65 × 30=2400
1950=2
1.625以前と同様。

上記のようにスライドを設定すると、適切なホイールに分割するのに便利な値が容易に得られます。したがって、1600
1300;2400
1950; 4000
3250;4800
3900これらは、容易に因数分解できるいくつかの示唆的な値である。

ねじ切り計算用計算尺 —ねじ切り歯車の計算には、特殊な円形および直線計算尺が長年使用されてきました。複合歯車の場合、通常は 6 つの目盛りを使用します。2 つのスライドにそれぞれ 2 つずつ、ストックに 2 つです。ストック上の上側の目盛りは、切削する 1 インチあたりのねじ山数を表す目盛りで、隣接する目盛り (上側のスライド上) は、ガイドねじの 1 インチあたりのねじ山数を表す目盛りです。ガイドねじの目盛りを切削するねじ山数に設定し、下側のスライドを調整して、中央の目盛りの 2 つに都合の良い一対の駆動輪が一致し、同時に一対の従動輪が下側の 2 つの目盛りに一致するようにします。

125数年前、1つのスライドで複合歯車を作れる計算尺が開発されました。通常付属する歯車セット（20～120歯、5歯ずつ進む）を前提として、20×25、20×30など、最大115×120までの積が計算されました。これらの積は、下部の2つの目盛りに沿って配置されました。上部の目盛りは、切削する1インチあたりのねじ山数を示す目盛りと、各種ガイドねじの1インチあたりのねじ山数を示す目盛りでした。ガイドねじの目盛りを切削するねじ山数に合わせると、下部の目盛りで一致する目盛りによって、必要な駆動歯車と従動歯車のペアが得られました。

分数ピッチねじの計算― 著者は長年、分数ピッチねじを切削するために必要な砥石の寸法を決定する際に計算尺を使用することを推奨してきましたが、この用途における計算尺の有用性がようやく認められるようになったことを嬉しく思います。最良の結果を得るには、精度の高い20インチの計算尺が望ましいですが、注意深く作業すれば、精度の高い10インチの計算尺でも非常に近い値を得ることができます。いずれの場合も、拡大カーソルまたは手持ちの老眼鏡があると大変便利です。

例：ピッチ0.70909インチのねじを切削するためのホイールと、1インチあたり2山のガイドねじを探します。

D の 0·70909 にするには、C のガイドねじピッチを 0·5 (インチ単位) に設定します。この設定をできるだけ正確に行うには、112ページに記載されている方法を使用できます。C の 10 を D の約 91 に設定し、C の 77–78 の区間が D の 70–71 の区間の 0.91 に相当することに注意してください。カーソルを C の 78 に設定し、5 をカーソルに合​​わせます。これで、C の 5 が D の 7·091 と一致するようにスライドが設定されます。

2つの尺度の検査により、必要な比率に様々な一致要因があることがわかります。最も正確なのは、Cで55、
Dで78これらの値は以下のように分割できます。55 × 50
65 × 60適切な複合歯車列を形成する。

126
計算尺の目盛りと記号。
多くの計算尺には生成物
−1Dスケールの右端では、左端では引用。
+1。これらの記号が、大陸で広く用いられている積と商の桁数を決定する規則を指していることは、やや残念なことである。大陸の方法では、積の桁数は、最初の因数の左側で結果が得られる場合、2つの因数の桁数の合計に等しい。しかし、最初の因数の 右側で結果が得られる場合は、この合計から1を引いた値に等しい。生成物
−1D音階の右端は、この規則を視覚的に思い出させる役割を果たしている 。

除算の場合も同様です。商の桁数は、被除数の右側に商が現れる場合は被除数の桁数から除数の桁数を引いた数に等しく、左側に商が現れる場合はこの差に1を加えた 数に等しくなります。引用。
+1Dスケールの左端には、このルールを視覚的に思い出させる目印があります。

Aスケールの両端にある記号は一般的に適用されますが、その有用性には疑問があります。これは分数を表すものと想定されており、縦線は小数点の位置を示しています。455という数を低いスケールで乗算する場合、小数点が左に2桁移動して4.55となり、これは実際にスケール上で見つけることができる値です。この値を使用する場合、この結果の桁数に、小数点が移動した桁数（この場合は2桁）と同じ桁数を加える必要があります。小数点が右に移動した場合は、移動した桁数を引く必要があります。同様に、除算では、除数の小数点が左にn桁移動した場合は、演算の最後にn桁を引く必要があります。一方、小数点が右にn桁移動した場合は、 n桁を加える必要があります。 127参照されている記号は、もちろんすべての尺度に適用され、これらのプロセスを完全に示しており、説明されている方法を使用する人が従うべき手順を思い出させるものとして提示されています。

記号π、c、c′、およびMについては、「ゲージポイント」のセクション（53ページ）で説明されています。

一部のルールでは、D スケールに追加の記号があります。1 つは、値の位置です。180 × 60
π= 3437·74 であり、ラジアンの分数を表す値は ρ′ と表記される。もう 1 つの値は、180 × 60 × 60
π= 206265 であり、したがってラジアンの秒数を表す点が ρ″ と記されている。3 番目の点は ρ˶ と記され、その値に配置されている。200 × 100 × 100
π= 636620 は、円の新しい目盛りが使用される場合に使用されます。

これらの測定点は、角度を円周率に変換する場合、またはその逆の場合、および小角の関数を決定する場合に役立ちます。

ゲージポイントは、A スケールと B スケールの 1146 にマークされることがあります。これは「砲手マーク」として知られており、20° 未満の角度を含む砲兵計算で使用されます。この場合、目的上、角度の接線と円周の測定値は等しいとみなすことができます。この定数では、角度は分、補助基線はフィート、基線はヤードで測定されます。B の補助基線（フィート）は、A の基線が 1146 を超える場合、A の分角度に設定されます。 1
1146=π × 3
180 × 60。

128
表とデータ。
面積計算の公式。
平行四辺形の面積＝底辺×高さ。

ひし形の面積＝対角線の積の1/2。

三角形の面積＝底辺の半分×高さ。

正三角形の面積 = 一辺の二乗 × 0.433。

台形の面積 = 2辺の長さの和の 1/2 × 高さ。

4辺以上の異なる辺を持つ直角図形の面積は、それを三角形に分割し、それぞれの三角形の面積を求めて、それらを合計することによって求められます。

正多角形の面積 = (1) 1辺の長さ × 辺の数 × 内接円の半径、または (2) 図形を分割できる三角形の面積の合計。

円周 = 直径 × 3・1416。

正方形を外接する円の円周 = 辺の長さ × 4.443。

円周＝正方形の一辺の長さ×3.545。

円弧の長さ = 半径 × 円弧の角度 × 0.01745。

円の面積 = 直径の二乗 × 0.7854。

扇形の面積＝弧の長さ×半径の半分。

円弧の面積＝扇形の面積－三角形の面積。

面積が円に等しい正方形の一辺の長さ = 直径 × 0.8862。

面積が正方形と同じ円の直径 = 正方形の一辺 × 1・1284。

円に内接する正方形の一辺の長さ = 円の直径 × 0.707。

正方形を外接する円の直径 = 正方形の一辺 × 1.414。

正方形の面積 = 内接円の面積 × 1.2732。

正方形に外接する円の面積 = 正方形の一辺の二乗 × 1.5708。

正方形の面積 = 外接円の面積 × 0.6366。

放物線の面積＝底辺×高さの⅔。

楕円の面積 = 長軸 × 短軸 × 0.7854。

角柱または円柱の表面積 = (両端の面積) + (長さ × 周囲長)。

角柱または円柱の体積＝底面積×高さ。

ピラミッドまたは円錐の表面積 = ½(斜高 × 底面の周囲長) + 底面の面積。

ピラミッドまたは円錐の体積 = (⅓)(底面積 × 垂直高さ)。

球の表面積 = 直径の二乗 × 3・1416。

球の体積 = 直径の3乗 × 0.5236。

六角柱の体積 = 辺の二乗 × 2.598 × 高さ。

放物面の体積＝外接円柱の体積の1/2。

リングの体積（円形断面）＝リングの平均直径×2.47×断面の直径の二乗。

129
物質の比重と重量。
金属。
金属。 比重。 1立方フィートの重量（ポンド）。 1立方インチの重量（ポンド）。
アルミニウム鋳造 2.56 160 0.0927
アルミニウム、青銅 7.68 475 0.275
アンチモン 6.71 418 0.242
ビスマス 9.90 617 0.357
真鍮、鋳造 8・10 505 0.293
「ワイヤー」 8.548 533 0.309
銅板 8.805 549 0.318
「ワイヤー」 8.880 554 0.321
金 19.245 1200 0.695
ガンメタル 8.56 534 0.310
錬鉄（平均） 7.698 480 0.278
「キャスト（平均）」 7.217 450 0.261
鉛、圧延板 11.418 712 0.412
マンガン 8.012 499 0.289
水銀 13,596 849 0.491
ニッケル、鋳造 8.28 516 0.300
リン青銅鋳造 8.60 536·8 0.310
白金 21.522 1342 0.778
銀 10.505 655 0.380
鋼（平均） 7.852 489·6 0.283
錫 7.409 462 0.268
亜鉛板 7.20 449 0.260
キャスト 6.86 428 0.248
その他の物質。
物質。 比重。 1立方インチの重量（ポンド）。
アスベスト 2.1～2.80 ·076-·101
レンガ 1.90 ・069
セメント 2.72～3.05 ·0984-·109
粘土 2.0 ・072
石炭 1.37 ・0495
コカ・コーラ 0.5 ・0181
コンクリート 2.0 ・072
耐火レンガ 2.30 ・083
花崗岩 2.5～2.75 ·051-·100
黒鉛 1.8～2.35 ・065-・085
砂岩 2.3 ・083
スレート 2.8 ・102
木材-
ブナ 0.75 ・0271
コルク 0.24 ・0087
エルム 0.58 ・021
モミの木 0.56 ・0203
オーク ・62-・85 ·025-·031
松 0.47 ・017
チーク材 0.80 ・029
130
究極の強度を誇る純正素材。
材料。 張力（ポンド/平方インチ） 圧縮力（ポンド/平方インチ） せん断力（ポンド/平方インチ） 弾性係数（ポンド/平方インチ）
鋳鉄 11,000～30,000 5万～13万 1400万～2300万
「平均。」 16,000 95,000 11,000
錬鉄 4万～7万 2600万～3100万
「平均。」 50,000 50,000 40,000
軟鋼 6万～10万 3,000万～3,600万
軟鋼平均。 80,000 70,000 55,000
鋳鋼平均。 12万 1500万～1700万
銅、鋳造 19,000 58,000
「鍛造」 34,000 16,000,000
真鍮、鋳造 18,000 10,500 9,170,000
ガンメタル 34,000 11,500,000
リン青銅 58,000 43,000 13,500,000
木材、トネリコ 17,000 9,300 1,400
「ブナ」 16,000 8,500
「松」 11,000 6,000 650 1,400,000
「オーク」 15,000 10,000 2,300 1,500,000
レザー 4,200 25,000
有用な要素の力、根源など。
n 1
n n 2 n 3 √̅n​ 1
√ ̅n ∛ ̅n 1
∛ ̅n
π = 3·142 0.318 9.870 31.006 1.772 0.564 1.465 0.683
2π = 6.283 0.159 39.478 248.050 2,507 0.399 1.845 0.542
π
2= 1.571 0.637 2.467 3.878 1.253 0.798 1.162 0.860
π
3= 1.047 0.955 1.097 1.148 1.023 0.977 1.016 0.985
4
3π = 4·189 0.239 17.546 73.496 2.047 0.489 1.612 0.622
π
4= 0.785 1.274 0.617 0.484 0.886 1.128 0.923 1.084
π
6= 0.524 1.910 0.274 0.144 0.724 1.382 0.806 1.241
π 2 = 9·870 0.101 97.409 961·390 3.142 0.318 2.145 0.466
π 3 = 31·006 0.032 961·390 29,809.910 5.568 1.796 3.142 0.318
π
32= 0.098 10·186 0.0095 0.001 0.313 3.192 0.461 2.168
g = 32·2 0.031 1036·84 33,386.24 5.674 0.176 3.181 0.314
2 g = 64·4 0.015 4147·36 267,090 8.025 0.125 4.007 0.249
131
油圧相当品。
1フィート水頭＝0.434ポンド/平方インチ。
1平方インチあたり1ポンド＝2.31フィートの水頭。
1英ガロン＝277.274立方インチ。
1英ガロン＝0.16045立方フィート。
1英ガロン＝10ポンド
1立方フィートの水 = 62.32ポンド = 6.232英ガロン。
海水1立方フィート＝64.00ポンド
1立方インチの水 = 0.03616ポンド。
海水1立方インチ＝0.037037ポンド。
1円筒フィートの水 = 48.96ポンド
円筒形の1インチの水 = 0.0284ポンド。
長さ12インチ、一辺1インチの水柱の重さは0.434ポンドです。
長さ12インチ、直径1インチの水柱の重さは0.340ポンドです。
12インチ立方体の容量は6.232ガロンです。
1インチ四方、長さ1フィートの容器の容量は0.0434ガロンです。
直径1フィート、長さ1フィートの容器の容量は4.896ガロンです。
直径1インチ、長さ1フィートのシリンダーの容量は0.034ガロンです。
円筒形の1インチの容量は0.002832ガロンです。
1立方インチの容量は0.003606ガロンです。
直径12インチの球体の容量は3.263ガロンです。
直径1インチの球体の容量は0.00188ガロンです。
1英ガロン＝1.2米国ガロン。
1英ガロン＝4.543リットルの水。
1ガロン（米国）＝231.0立方インチ。
1米国ガロン＝0.83英国ガロン。
1ガロン（米国）＝3.8リットルの水。
1立方フィートの水は、7.476米国ガロンに相当します。
1立方フィートの水は28.375リットルの水に相当します。
水1リットル＝0.22英ガロン。
水1リットル＝0.264米国ガロン。
水1リットル＝61.0立方インチ。
水1リットル＝0.0353立方フィート。
ポンド（常用ポンド）の換算値。
10 100 1000 10,000 10万
QRコード ポンド。 100ポンド。 QRコード ポンド。 トン 100ポンド。 QRコード ポンド。 トン 100ポンド。 QRコード ポンド。 トン 100ポンド。 QRコード ポンド。
1 0 10 0 3 16 0 8 3 20 4 9 1 4 44 12 3 12
2 0 20 1 3 4 0 17 3 12 8 18 2 8 89 5 2 24
3 1 2 2 2 20 1 6 3 4 13 7 3 12 133 18 2 8
4 1 12 3 2 8 1 15 2 24 17 17 0 16 178 11 1 20
5 1 22 4 1 24 2 4 2 16 22 6 1 20 223 4 1 4
6 2 4 5 1 12 2 13 2 8 26 15 2 24 267 17 0 16
7 2 14 6 1 0 3 2 2 0 31 5 0 0 312 10 0 0
8 2 24 7 0 16 3 11 1 20 35 14 1 4 357 2 3 12
9 3 6 8 0 4 4 0 1 12 40 3 2 8 401 15 2 24
132
三角関数。
直角三角形。
【直角三角形】
sin. A =a
b セクションA =b
c Tan. A =1
c

Cos. A =c
b コセックA =b
a コタンジェント A =c
a

Versin. A =b − c
b. Coversin. A =b − a
b。

与えられた。 必須。 式。
a、b A、C、c sin. A =a
bCos. C =a
b c = √ ( b + a )( b − a )

a、c A、C、b Tan. A =1
cコタンB =1
c b = √ a 2 + c 2

A 、 C、c、b C = 90° − A c = a × コタン。 A b =罪
。

A、b C、a、c C = 90° − A a = b × sin. A c = b × cos. A

A、c タクシー​​​ C = 90° − A a = c × Tan。 A b =c
Cos. A

斜角三角形
s = ½( a + b + c )

【斜角三角形】
与えられた。 式。
A、B、C、a 面積＝ ( a 2 × Sin. B × Sin. C) ÷ 2 Sin.あ
A、b、c ½( c × b × Sin. A)
a、b、c √ s ( s − a )( s − b )( s − c )
与えられた。 必須。 式。
A、C、a c c = a罪C
罪A
A、a、c C サインC =c罪。A
a
a、c、B A Tan. A =a Sin. B
c − a Cos. B
a、b、c A sin. ½A = √( s − b )( s − c )
b × c
cos. ½A = √s ( s − a )
b×c;
Tan. ½A = √( s − b )( s − c )
s ( s − a )
複合角。
罪。 (A + B) = 罪。 A Cos. B + Cos. A Sin. B.
罪。 (A − B) = 罪。 A Cos. B − Cos. A Sin. B.
Cos. (A + B) = Cos. A Cos. B − Sin.罪。 B.
Cos. (A − B) = Cos. A Cos. B + Sin.罪。 B.
Tan. (A + B) =たん。 A+タン。 B
1 − 黄褐色。タンさん。 B。

Tan. (A − B) =たん。 A − タン。 B1
+タン。タンさん。 B。

133
計算尺データスリップ、CN Pickworth、Wh.Sc. 編纂。
（このページは上記の線に沿って切り取り、計算尺の裏面に添付されている区分データシートの一部を切り離すことをお勧めします。）
¹⁄₃₂ 0.03125
¹⁄₁₆ 0.0625
³⁄₃₂ 0.09375
⅛ 0.125
⁵⁄₃₂ 0.15625
³⁄₁₆ 0.1875
⁷⁄₃₂ 0.21875
¼ 0.25
⁹⁄₃₂ 0.28125
⁵⁄₁₆ 0.3125
¹¹⁄₃₂ 0.34375
3/8 0.375
¹³⁄₃₂ 0.40625
⁷⁄₁₆ 0.4375
¹⁵⁄₃₂ 0.46875
¹⁷⁄₃₂ 0.53125
⁹⁄₁₆ 0.5625
¹⁹⁄₃₂ 0.59375
⅝ 0.625
²¹⁄₃₂ 0.65625
¹¹⁄₁₆ 0.6875
²³⁄₃₂ 0.71875
¾ 0.75
²⁵⁄₃₂ 0.78125
¹³⁄₁₆ 0.8125
²⁷⁄₃₂ 0.84375
⅞ 0.875
²⁹⁄₃₂ 0.90625
¹⁵⁄₁₆ 0.9375
³¹⁄₃₂ 0.96875
円周 = 3·1416 d。

面積 „ „ = 0·7854 d 2。

正方形の面積と円の面積の比、s = 0·886 d。

円は平方に等しく、d = 1·128 sです。

正方形の円周、s = 0·707 d。

Circsb. 正方形の円、d = 1·414秒。

楕円の面積 = 0.7854 a × b。

球の表面積 = 3·1416 d 2。

体積「 」 = 0·5236 d 3。

„ „ 円錐 = 0·2618 d 2 h。

ラジアン =180°
π= 57.29度

自然対数または斜対数の底 = e = 2·7183。

自然対数または水銀対数 = 合成対数 × 2·3026。

g (ロンドン) 32·18 フィート/秒、毎秒。

腹筋温度= 度華氏 + 461° = 度℃＋２７４°。

C.° =5
9(F.° − 32°); F.° =9
5C.° + 32°。

カロリー/ポンド ― 熱量単位：石炭、14,300;

ガソリン代、20,000。立方メートル当たりの石炭ガス。フィート、700。

比熱:—重量鉄、0.1138; CI、0.1298;

銅、真鍮：0.095；鉛：0.0314。

インチ = 25.4 ミリメートルメートル、ミリメートルメートル = 0.03937 インチ。

フィート＝0.3048メートル、メートル＝3.2809フィート。

ヤード＝0.91438メートル、メートル＝1.0936ヤード。

マイル = 1・6093 キロメートル;キロメートル= 0・6213マイル。

平方インチ = 6.4513平方センチメートル、平方センチメートル = 0.155平方インチ

平方フィート = 9.29平方センチメートル、平方センチメートル = 0.1076平方フィート

平方ヤード = 0.836 平方メートル、平方メートル = 1.196 平方ヤード。

平方ミリリットル = 258.9 ヘクタール、ヘクタール = 0.00386 平方ミリリットル

くぅ。インチ = 16・386 c. cm。; c. cm。 = 0・06102立法。で。

くぅ。フィート = 0・0283 c.メートル; c.メートル = 35·316立方メートル。フィート

グレイン = 0.0648グラム、グラム = 15.43グラム。

オンス = 28.35グラム。; „ = 0.03527オンス。

ポンド = 0.4536 キログラム、キログラム = 2.204 ポンド

トン = 1・016 トン。トン = 0・9842 トン。

時速1マイル＝1.466フィート、または44.7センチメートル／秒

ポンド。立方メートル当たり。インチ = 0.0276 キログラム/立方センチメートル。 cm。

キログラム/立方センチメートル。 cm。 = 36·125 ポンド/立方メートル。で。

ポンド。立方メートル当たり。フィート = 16·019 キログラム。立方メートル当たり。メートル。

1ガロンあたりの穀物量 = 1リットルあたり0.01426グラム。

グラム/リットル = 70.116 グレイン/ガロン。

究極の強さ ポンド/平方インチ
テンズン。 コンポーネント。
重量鉄 50,000 50,000
キャスト「 16,000 95,000
鋼鉄 80,000 70,000
銅 21,000 50,000
真鍮 18,000 10,500
鉛 2,500 7,000
松 11,000 6,000
オーク 15,000 10,000
金属の重量。 キューブ。イン。 立方フィート 12立方インチ
重量鉄 0.277 480 3.33
キャスト「 0.260 450 3・12
鋼鉄 0.283 490 3.40
銅 0.318 550 3.82
真鍮 0.300 520 3.61
亜鉛 0.248 430 2.98
アルミニウム 0.096 168 1.16
鉛 0.411 710 4.93
ポンド/平方インチ = 2.31 フィート水 = 2.04 インチ水銀 = 0.0703 キログラム/平方センチメートル
大気圧 = 14.7 ポンド/平方インチ = 33.94 フィート水 = 1.0335 ポンド
1平方フィートの水の重量 = 0.433 ポンド/平方インチ = 62.35 ポンド/平方フィート = 0.0304
立方フィートの水 = 62.35 ポンド = 0.0278 トン = 28.315 リットル = 7.48 US ガロン。
ゴール。 (インプレッション) = 277·27 立方メートル。インチ = 0·1604 立方センチメートルフィート = 10 ポンド、水 = 4·544 リットル。
リットル = 1.76 パイント = 0.22 ガロン = 61 立方インチ = 0.0353 立方フィート = 0.264 US ガロン
馬力 = 毎分 33,000 フィートポンド = 0.746 キロワット = 毎分 42.4 熱量単位
熱量単位 = 778 フィートポンド = 1055 ワット秒 = 107.5 キログラムメートル = 0.252 カロリー。
フィートポンド = 0.00129 熱量単位 = 1.36 ジュール = 0.1383 キログラムメートル。
キロワット = 1.34 HP = 44,240 フィートポンド/分 = 3412 熱量/時。

1. nは元の数の対数の特性であることが認識される。

2．分子が1、1​​0、または10の任意のべき乗である特殊なケースは、逆数の規則（27ページ）に従って処理する必要があります。

3．CスケールとDスケールを使用する際に、スライドを移動してインデックスを変更する必要が生じる可能性は、設定として考慮されていません。

4．読者は、このような計算尺の設定で因数をたすき掛けすると定数積が得られることを思い出すかもしれない。例えば、20 × 94·5 = 27 × 70。

5.この場合、たすき割りは定数商になります。例えば、8 ÷ 3 = 4 ÷ 1.5。上のスケールは逆数のスケールなので、比率は実際には

O ⅛ ¼
D 1.5 3
6．これらの線は目盛りの作業端まで伸ばさず、より細かい目盛りの境界を形成する水平線で終わるようにし、カーソルを使用してその値を計算に読み込みます（55ページ参照）。

7．同じ原理はカーソルにも適用できる。

8．王立協会の哲学的論文集、1815年。

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リバプール、チャーチストリート12番地
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理学修士、化学優等学位、FICPA M.Text.I.、FICPA

WH ビーストン、RPA
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作成者—

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人気はますます高まっており、現在では英国全土の当社製品ラインの主要販売店から入手可能です。

【計算尺】
当社は、エンジン分割式計算尺の全製品ラインを製造しており、特に特許取得済みの調整機構により、スライドのスムーズな動作を実現しています。また、計算尺上の数字を隠さない新しい「フレームレス」インジケーターも特長です。

[サッチャーの計算器具]
サッチャーの計算器具は、乗算、除算、またはその両方の組み合わせの問題を解くためのもので、33,000以上の除算が可能です。結果は、数字の4桁目、通常は5桁目まで、驚くほど高い精度で得られます。

また、
金属製、円形、スタディア式、化学計算用、電気計算用、その他特殊計算尺
ご要望に応じて詳細な資料をお送りします。
キューフェル＆エッサー社
ニューヨーク州フルトン通り127番地、本社および工場はニュージャージー州ホーボーケン
シカゴ − セントルイス − サンフランシスコ − モントリオール
画材
数学および測量機器
メジャー

6インチ標準サイズ、拡大カーソル付き、ポケットケース入り、5/-

ノートン
＆
グレゴリー
株式会社
本社
キャッスル・レーン、ウェストミンスター、ロンドン、SW1
支店
グラスゴー、クイーンストリート71番地。
フェニックス・ハウス、クイーン・ストリートおよびサンドヒル、ニューカッスル・アポン・タイン。
計算尺の在庫状況（6月17日～6月27日）
大量購入の場合の業者向け特別見積もり
製図室で使用する測量、計測、数学機器、器具、各種材料の詳細については、本社までお問い合わせください。

ノートン＆グレゴリー株式会社
ノートン＆グレゴリー株式会社
ロンドン。
“ダイヤモンド”
製図用具
ロンドン工場で製造されています。
センタースクリュースプリングボウハーフセット。
【センタースクリュースプリングボウハーフセット】
4インチスプリングボウハーフセット、センタースクリュー調整式、交換可能な針、ペン、鉛筆の先端付き。価格17/6

図に示すセンタースクリュー式スプリングボウハーフセットコンパスは、従来使用されていた3つの独立したスプリングボウを1つの器具に統合できるという利点を持ち、センタースクリューにより操作が容易かつ正確になると同時に、2インチ以上の半径、つまり旧型の2倍の半径を実現しています。

この楽器は3本セットの弓よりも安価でありながら、構造的にはかなり頑丈です。

固定された針先には肩が付いています。

この図は、当社が製造する様々な製図器具の一例を示すものです。

その他の楽器の詳細と価格、および楽器ケースについては、ご要望に応じて図解入りの小冊子をお送りいたします。

大学、学校、専門学校向けに特別に用意された楽器セット
申請書に見積書を提出してください。
本社宛てに手紙を書いてください：
キャッスル・レーン、ウェストミンスター、ロンドン、SW1。
製図および測量機器
AGソーントン社 パラゴン・ワークス キング・ストリート西2番地 マンチェスター
エンジニア向け計算尺、高精度な断面図面と布

D 1916 図解カタログは、2つの版で発行されたばかりです。製図室用（448ページ）と製図者用（160ページ）があり、業界で最も包括的なカタログです。
英国陸軍省および海軍本部の請負業者
製図用具および製図事務用品の製造も行っています。
（マンチェスターのミネルバ工場とアルバート・ミルズにも所在。）
数学的ツール
測量機器
計算尺
学生およびエンジニア向け
マンハイム、ポリフェーズ、デュプレックス、電気、ログログ、およびカルキュレックス
JHスチュワード株式会社
科学機器メーカー
406 STRAND、および 457 WEST STRAND
ロンドン、WC2
真の友であり、頼れる案内人
ザ
「ホールデン微積分」
[ハルデン計算機]
実寸大｜｜｜英国製
最も便利で完璧な計算尺の形状。
それら全ては直線的な定規でできることだろうか。
ケース入り、取扱説明書付き。
27/6は送料無料です。
J. HALDEN & CO., LTD.、8 ALBERT SQUARE MANCHESTER
拠点：ロンドン、ニューカッスル・アポン・タイン、バーミンガム、グラスゴー、リーズ
[ロープ]
エンジニアリング、
測量
そして
数学
楽器、
等。
計算尺。
ジョセフ・カサルテッリ＆サン
マンチェスター、マーケットストリート43番地。
電話番号 2958 市。| | | 設立 1790 年。
ロープ駆動

これは、最も効率的かつ最も経済的な電力伝送方法です。

ランベス社製コットン製ドライビングロープ

動力伝達において最も効率的かつ経済的なロープです。

4本撚りまたは3本撚りで作ります。

特別な機能：

他のどのロープよりも伸びが少なく、他のどのロープよりもしなやかで、他のどのロープよりも駆動力が優れています。

トーマス・ハート社、ランベス・ワークス、ブラックバーン。
転写者メモ
ページ 変更元 変更しました
24 右側なので、答えの桁数は 3 − 2 × 1 = 2 です。 右側なので、答えの桁数は 3 − 2 + 1 = 2 です。
116 グラム、方程式はx ×Cl.
Ag.Cl.×として
​したがって、マーク グラム、方程式x =Cl.
Ag.Cl.×として
​したがって、マーク
誤字脱字は修正済み。非標準的な綴りや方言はそのまま残しています。
脚注には番号を用い、最終章の最後にすべて配置した。
*** プロジェクト・グーテンベルク電子書籍「計算尺」の終了 ***
《完》